滬教版七年級數(shù)學(xué)上冊專題03因式分解(原卷版+解析)

專題03因式分解一、單選題1．對于多項式（1）；（2）；（3）；（4）中，能用平方差公式分解的是(

)A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4）2．下列從左到右的變形，是因式分解的是（

）A． B．C． D．3．下列多項式中能用平方差公式分解因式的是（

）A． B．C． D．4．不論x為何值，等式都成立，則代數(shù)式的值為（

）A．-9 B．-3 C．3 D．95．下列各式中，不能用完全平方公式分解的個數(shù)為（

）①；②；③；④；⑤．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．因式分解：①；②；③；④，含有相同因式的是（

）A．①和② B．①和④ C．②和③ D．③和④7．下列因式分解中錯誤的是（

）A． B．C． D．8．多項式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一個因式是x﹣2y，另一個因式是（）A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣19．已知實數(shù)m，n，p，q滿足，，則（

）A．48 B．36 C．96 D．無法計算10．小明是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：，，5，，a，，分別對應(yīng)下列六個字：口，愛，我，數(shù)，學(xué)，淥．現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（

）．A．我愛學(xué) B．愛淥口 C．淥口數(shù)學(xué) D．我愛淥口二、填空題11．＝______________12．因式分解：________．13．多項式因式分解時應(yīng)提取的公因式為______．14．若，則的值為______．15．分解因式：____．16．分解因式：=___________．17．分解因式：______．18．閱讀下面材料：一個含有多個字母的式子中，如果任意交換兩個字母的位置，式子的值都不變，這樣的式子就叫做對稱式．例如：a+b+c，abc，a2+b2，…含有兩個字母a，b的對稱式的基本對稱式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等對稱式都可以用a+b，ab表示，例如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．請根據(jù)以上材料解決下列問題：（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，屬于對稱式的是_______（填序號）；（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．①若，求對稱式的值；②若n＝﹣4，直接寫出對稱式的最小值．三、解答題19．分解因式(1)4a-2ab；(2)(3)20．把下列各式分解因式：(1)；(2)x（x﹣1）﹣3x+4；(3)；(4)．21．因式分解：(1)(2)(3)(4)22．因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．23．分解因式：．24．因式分解：25．閱讀材料：若，求的值．解：根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)，則，．(2)已知，求的值．(3)已知的三邊長都是正整數(shù)，且滿足，求的周長．26．閱讀下列解答過程：已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式及m的值．解：設(shè)另一個因式為則，，∴，∴∴另一個因式為，m的值為-21．請依照以上方法解答下面問題：已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式及k的值．27．如圖，邊長為a的大正方形有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）(1)上述操作能驗遷的等式是（請選擇正確的選項）A．a(chǎn)-ab=a（a-b）

B．a(chǎn)-2ab+b=（a-b）

C．a(chǎn)+ab=a（a+b）

D．a(chǎn)-b=（a+b）（a-b）(2)請利用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知9a-b=36，3a+b=9則3a-b=②計算：28．閱讀下面材料完成分解因式．型式子的因式分解．這樣，我們得到．利用上式可以將某些二鎰項系數(shù)為1的二次三項式分解因式．例把分解因式分析：中的二次項系數(shù)為1，常數(shù)項，一次項系數(shù)，這是一個型式子．解：請仿照上面的方法將下列多項式分解因式．(1)(2)29．?dāng)?shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想．我們常利用數(shù)形結(jié)合思想，借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，如：探索整式乘法的一些法則和公式．(1)探究一：將圖1的陰影部分沿虛線剪開后，拼成圖2的形狀，拼圖前后圖形的面積不變，因此可得一個多項式的分解因式____________________．(2)探究二：類似地，我們可以借助一個棱長為的大正方體進行以下探索：在大正方體一角截去一個棱長為的小正方體，如圖3所示，則得到的幾何體的體積為____________；(3)將圖3中的幾何體分割成三個長方體①、②、③，如圖4、圖5所示，∵，，，∴長方體①的體積為．類似地，長方體②的體積為________，長方體③的體積為________；（結(jié)果不需要化簡）(4)用不同的方法表示圖3中幾何體的體積，可以得到的恒等式（將一個多項式因式分解）為______________．(5)問題應(yīng)用：利用上面的結(jié)論，解決問題：已知a-b=6，ab=2，求的值．(6)類比以上探究，嘗試因式分解：=．專題03因式分解一、單選題1．對于多項式（1）；（2）；（3）；（4）中，能用平方差公式分解的是(

)A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4）【答案】C【分析】由于平方差公式必須只有兩項，并且是兩個數(shù)差的形式，利用這個特點即可確定哪幾個能用平方差公式分解．【解析】解：平方差公式必須只有兩項，并且是兩個數(shù)平方差的形式，（1）兩平方項符號相反，可以利用平方差公式；（2），兩平方項符號相同，不能運用平方差公式；（3）4雖然是兩項，并且是差的形式，但不是平方差的形式；（4），兩平方項符號相反，可以利用平方差公式．所以（1）（4）能用平方差公式分解．故選：C．【點睛】此題考查了平方差公式的特點，只要抓住平方差公式的特點：兩平方項，符號相反，熟記公式結(jié)構(gòu)特點是解題的關(guān)鍵．2．下列從左到右的變形，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的定義即可求出答案，把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式．【解析】解：A、右邊不是整式的積的形式，是分式，不符合因式分解的定義，故此選項不符合題意；B、從左到右的變形，不是因式分解，故此選項不符合題意；C、右邊不是整式的積的形式，不符合因式分解的定義，故此選項不符合題意；D、左邊是多項式，右邊是整式的積的形式，符合因式分解的定義，故此選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查因式分解的定義，解題的關(guān)鍵正確理解因式分解的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．3．下列多項式中能用平方差公式分解因式的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用平方差公式逐項分解因式可求解．【解析】解：A、，無法因式分解，故此選項錯誤；B、，無法因式分解，故此選項錯誤；C、，無法因式分解，故此選項錯誤；D、，故此選項正確．故選：D．【點睛】此題主要考查了公式法分解因式，熟練掌握平方差公式的基本形式是解題關(guān)鍵．4．不論x為何值，等式都成立，則代數(shù)式的值為（

）A．-9 B．-3 C．3 D．9【答案】D【分析】已知等式右邊利用多項式乘多項式法則計算，再利用多項式相等的條件求出p與q的值，即可求出答案．【解析】解：由題意可得，=，∴p=2，q=-3，則=9．故選D．【點睛】本題考查了因式分解法-十字相乘法，解決本題的關(guān)鍵是熟練的掌握十字相乘法．5．下列各式中，不能用完全平方公式分解的個數(shù)為（

）①；②；③；④；⑤．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】利用完全平方公式判斷即可．【解析】解：①，能用完全平方公式分解，不符合題意；②，不能用完全平方公式分解，符合題意；③，不能用完全平方公式分解，符合題意；④，能用完全平方公式分解，不符合題意；⑤，不能用完全平方公式分解，符合題意．綜上，不能用完全平方公式分解的是②③⑤，共3個故選：C．【點睛】此題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．6．因式分解：①；②；③；④，含有相同因式的是（

）A．①和② B．①和④ C．②和③ D．③和④【答案】C【分析】先把每個多項式分解因式，再逐個選項判斷即可．【解析】解：①2x2-x=x（2x-1），②x2+4+4x=（x+2）2，③x2+x-2=（x+2）（x-1），④-x2+4x-4=-（x-2）2，即①和②沒有相同的因式，①和④沒有相同的因式，②和③有相同的因式x+2，③和④沒有相同的因式，故選：C．【點睛】本題考查了因式分解，能靈活運用各種方法分解因式是解此題的關(guān)鍵．7．下列因式分解中錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)完全平方公式，分組分解法，十字相乘法，平方差公式因式分解即可【解析】解：A.

，故該選項正確，不符合題意；B.，故該選項正確，不符合題意；C.，故該選項不正確，符合題意；

D.，故該選項正確，不符合題意；故選C【點睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．8．多項式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一個因式是x﹣2y，另一個因式是（）A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1【答案】C【分析】首先將原式重新分組，進而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．【解析】解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．故選：C．【點睛】此題考察多項式的因式分解，項數(shù)多需用分組分解法，在分組后得到兩項中含有公因式（x-2y），將其當(dāng)成整體提出，進而得到答案.9．已知實數(shù)m，n，p，q滿足，，則（

）A．48 B．36 C．96 D．無法計算【答案】A【分析】先利用單項式乘以多項式法則將要求值的多項式進行整理，將題目所給的有確定值的式子進行變形，得出所需要的式子的值，運用整體代入法既可求解．【解析】解：，，，，，，，，，，，，，，故選：A．【點睛】本題考查單項式乘以多項式、多項式乘以多項式的綜合運用，解題的關(guān)鍵是對條件所給的式子變形要有方向性和目的性，同時要掌握分組分解法對式子進行因式分解．10．小明是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：，，5，，a，，分別對應(yīng)下列六個字：口，愛，我，數(shù)，學(xué)，淥．現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（

）．A．我愛學(xué) B．愛淥口 C．淥口數(shù)學(xué) D．我愛淥口【答案】D【分析】先將題干算式因式分解，后于所對應(yīng)漢字對應(yīng)即可求解．【解析】解：=∵，，5，，a，，分別對應(yīng)六個字：口，愛，我，數(shù)，學(xué)，淥，結(jié)果中一定有“我”，“愛”，“淥”，“口”，∵根據(jù)代數(shù)式的書寫規(guī)則，“5”一定在最前面，∴“我”在最前面，對照四個選項可知，只有D選項正確．故選：D．【點睛】本題考查因式分解，且與現(xiàn)實生活聯(lián)系創(chuàng)新，正確分解并于所對應(yīng)漢字對應(yīng)為關(guān)鍵．二、填空題11．＝______________【答案】【分析】先提公因式，然后根據(jù)完全平方公式分解因式即可．【解析】解：故答案為：．【點睛】本題主要考查了分解因式，熟練掌握完全平方公式，是解題的關(guān)鍵．12．因式分解：________．【答案】【分析】先提公因式，然后根據(jù)完全平方公式因式分解即可求解．【解析】解：原式；故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．13．多項式因式分解時應(yīng)提取的公因式為______．【答案】【分析】根據(jù)公因式取系數(shù)最大公約數(shù)，相同字母的最低次項相乘即可求解．【解析】解：多項式因式分解時應(yīng)提取的公因式為，故答案為：．【點睛】本題考查了確定公因式，解題關(guān)鍵是明確公因式的確定方法．14．若，則的值為______．【答案】18【分析】先進行因式分解，然后整體代入計算即可．【解析】解：==；將整體代入=．【點睛】本題考查了代數(shù)式求值、因式分解，熟練掌握完全平方公式整體代入是解題關(guān)鍵．15．分解因式：____．【答案】【分析】先提出公因式，再利用十字相乘法因式分解，即可求解．【解析】解：．故答案為：【點睛】本題主要考查了多項式的因式分解，熟練掌握多項式的因式分解方法，并根據(jù)多項式的特征靈活選合適方法解答是解題的關(guān)鍵．16．分解因式：=___________．【答案】(a+3b)(a－3b)(a2+9b2)【分析】運用兩次平方差公式進行因式分解即可．【解析】解：原式=(a+3b)(a－3b)(a2+9b2)．故答案為：(a+3b)(a－3b)(a2+9b2)．【點睛】本題考查運用平方差公式進行因式分解，解題關(guān)鍵是掌握a2-b2=(a+b)(a-b)．17．分解因式：______．【答案】【分析】先利用乘法公式展開、合并得到原式，再進行分組得到完全平方公式，所以原式，然后再把括號內(nèi)分組分解即可．【解析】解：原式．故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解——分組分解，理解分組分解法一般是針對四項或四項以上多項式的因式分解，分組有兩個目的，一是分組后能出現(xiàn)公因式，二是分組后能應(yīng)用公式，并靈活運用整體代入思想解答是解題的關(guān)鍵．18．閱讀下面材料：一個含有多個字母的式子中，如果任意交換兩個字母的位置，式子的值都不變，這樣的式子就叫做對稱式．例如：a+b+c，abc，a2+b2，…含有兩個字母a，b的對稱式的基本對稱式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等對稱式都可以用a+b，ab表示，例如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．請根據(jù)以上材料解決下列問題：（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，屬于對稱式的是_______（填序號）；（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．①若，求對稱式的值；②若n＝﹣4，直接寫出對稱式的最小值．【答案】（1）①③；（2）①＝6；②的最小值為．【分析】（1）根據(jù)對稱式的定義進行判斷；（2）①先得到a+b＝﹣2，ab＝，再變形得到＝＝，然后利用整體代入的方法計算；②根據(jù)分式的性質(zhì)變形得到＝，再利用完全平方公式變形得到（a+b）2﹣2ab+，所以原式=m2+，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可確定的最小值．【解析】解：（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，屬于對稱式的是①③．故答案為①③；（2）∵x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+n∴a+b＝m，ab＝n．①a+b＝﹣2，ab＝，＝＝＝＝6；②＝＝（a+b）2﹣2ab+＝m2+8+＝m2+，∵m2≥0，∴的最小值為．【點睛】本題主要考查完全平方公式，關(guān)鍵是根據(jù)題目所給的定義及完全平方公式進行求解即可．三、解答題19．分解因式(1)4a-2ab；(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）運用提公因式法分解因式即可；（2）運用平方差公式分解因式即可；（3）運用提公因式法分解因式即可．（1）解：4a-2ab；（2）解：；（3）解：．【點睛】本題考查了分解因式，解決本題的關(guān)鍵是運用提公因式法和平方差公式分解因式．20．把下列各式分解因式：(1)；(2)x（x﹣1）﹣3x+4；(3)；(4)．【答案】(1)3（a﹣b）（2a﹣2b+1）(2)(3)(4)【分析】（1）利用提公因式法分解；（2）先利用乘法法則化簡整式，再利用完全平方公式因式分解；（3）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解；（4）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解．（1）解：＝3（a﹣b）[2（a﹣b）+1]＝3（a﹣b）（2a﹣2b+1）（2）解：x（x﹣1）﹣3x+4（3）解：（4）解：【點睛】本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解決本題的關(guān)鍵．21．因式分解：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用提公因式法，進行分解即可解答；（2）利用完全平方公式，進行分解即可解答；（3）先利用平方差公式，再利用十字相乘法進行分解即可解答；（4）利用因式分解﹣分組分解法，進行分解即可解答．（1）解：；（2）；（3）；（4）【點睛】本題考查了因式分解﹣分組分解法，提公因式法與公式法，熟練掌握各種因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．22．因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式即可；（2）先提公因式2x，再用完全平方公式分解因式即可；（3）先提公因式x，再用十字相乘法分解因式即可；（4）先根據(jù)平方差公式分解因式，再根據(jù)完全平方公式分解因式即可．（1）解：原式==；（2）解：原式==；（3）解：原式==；（4）解：原式====【點睛】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．23．分解因式：．【答案】【分析】先分組，再利用提公因式法分解因式．【解析】===．【點睛】此題考查分解因式：分組分解法、提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、因式分解法，根據(jù)每個多項式的特點選用適合的分解方法是解題的關(guān)鍵．24．因式分解：【答案】【分析】分組后利用立方差公式分解，再提取公因式即可.【解析】【點睛】本題考查是因式分解，掌握立方差公式及會分組是關(guān)鍵.25．閱讀材料：若，求的值．解：根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)，則，．(2)已知，求的值．(3)已知的三邊長都是正整數(shù)，且滿足，求的周長．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）通過完全平方公式進行變式得，然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得結(jié)果；（2）由得，然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得結(jié)果；（3）把兩個方程通過變式得，然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得a、c，進而得b，便可求得三角形的周長．（1）解：由，得，∵≥0，，∴a-3=0，b=0，∴a=3，b=0．故答案為：3；0．（2）由得，∴x-y=0，y-4=0，∴x=y=4，∴=16；（3）∵a+b=8，∴b=8-a，∵，∴，∴，∴a-4=0，c-5=0，∴a=4，c=5，∴b=4，∴△ABC的周長為a+b+c=4+4+5=13．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系，偶次方的非負(fù)性，理解閱讀材料中的解題思路是解題的關(guān)鍵．26．閱讀下列解答過程：已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式及m的值．解：設(shè)另一個因式為則，，∴，∴∴另一個因式為，m的值為-21．請依照以上方法解答下面問題：已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式及k的值．【答案】另一個因式為x＋7，k的值為﹣14．【分析】利用已知結(jié)合因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，假設(shè)出另一個因式，利用多項式相等，對應(yīng)項或?qū)?yīng)項的系數(shù)相等進而得出方程組，可得答案．【解析】解：設(shè)另一個因式為（x+m），由題意，得：x2+5x+k＝（x﹣2）（x+m），則x2+5x+k＝x2+（m﹣2）x﹣2m，∴，解得，∴另一個因式為x＋7，k的值為﹣14．【點睛】此題主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程組，正確假設(shè)出另一個因式是解題的關(guān)鍵．27．如圖，邊長為a的大正方形有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）(1)上述操作能驗遷的等式是（請選擇正確的選項）A．a(chǎn)-ab=a（a-b）

B．a(chǎn)-2ab+b=（a-b）

C．a(chǎn)+ab=a（a+b）

D．a(chǎn)-b=（a+b）（a-b）(2)請利用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知9a-b=36，3a+b=9則3a-b=②計算：【答案】(1)D(2)①4；②【分析】（1）用兩種方法表示陰影部分的面積即可．（2）①利用（1）中得到的平方差公式計算即可；②根據(jù)平方差公式可進行求解．（1）解：圖1中陰影部分的面積，圖②中陰影部分的面積．．故選D．（2）解：①，3a+b=9，，．故答案為：4．②．【點睛】本題主要考查平方差公式及其應(yīng)用，用兩種方法表示同一個圖形面積，再用所得公式完成計算是求解本題的關(guān)鍵．28．閱讀下面材料完成分解因式．型式子的因式分解．這樣，我們得到．利用上式可以將某些二鎰項系數(shù)為1的二次三項式分解因式．例把分解因式分析：中的二次項系數(shù)為1，常數(shù)項，一次項系數(shù)，這是一個型式子．解：請仿照上面的方法將下列多項式分解因式．(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照題意進行分解因式即可；（2）仿照題意進行分解因式即可．（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了分解因式，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．29．?dāng)?shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)