湖北省荊門市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省荊門市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列函數(shù)是偶函數(shù)的為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對于A，函數(shù)定義域R，顯然，且，函數(shù)不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，A不正確；對于B，函數(shù)定義域為，函數(shù)不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，B不正確；對于C，函數(shù)定義域為，，函數(shù)奇函數(shù)，C不正確；對于D，函數(shù)定義域是R，，函數(shù)是偶函數(shù)，D正確.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)復(fù)數(shù)，則，得，，，解得：或，所以或，得.故選：C.3.總體由編號01，，02，…，19，20的20個個體組成．利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B.07 C.02 D.01〖答案〗D〖解析〗從第一行的第5列和第6列起由左向右讀數(shù)劃去大于20的數(shù)分別為：08，02，14，07，01，所以第5個個體是01.故選：D.4.圓錐被一平面所截得到一個圓臺，若圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，圓臺母線長為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖所示：圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，圓臺母線長為，則，解得，所以圓錐母線長為，所以該圓錐的側(cè)面積為.故選：B.5.垃圾分類是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲存、投放和搬運，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動，做好垃圾分類是每一位公民應(yīng)盡的義務(wù).已知某種垃圾的分解率與時間（月）近似地滿足關(guān)系（其中a，b，為正常數(shù)），經(jīng)過6個月，這種垃圾的分解率為，經(jīng)過12個月，這種垃圾的分解率為，那么這種垃圾完全分解大約需要經(jīng)過（）個月（參考數(shù)據(jù)：）A.20 B.28 C.32 D.40〖答案〗C〖解析〗由題意得，，解之得，則，則由，可得，兩邊取常用對數(shù)得，，則.故選：C.6.已知函數(shù)，若方程有三個不等的實數(shù)根，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵函數(shù)，方程有三個不等的實數(shù)根，∴作出函數(shù)和圖象，如圖所示：設(shè)，根據(jù)函數(shù)對稱性可得，令，得，所以，則的取值范圍為.故選：D.7.如圖是函數(shù)的部分圖象.現(xiàn)將的圖象向右平移個單位長度后得到奇函數(shù)，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由圖象可知的周期為，又經(jīng)過點，即，將其代入可得，所以，故，則，由于為奇函數(shù)，所以，故，由于，故當(dāng)取最小值.故選：A.8.在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝，O是的內(nèi)心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，則動點P的軌跡所覆蓋圖形的面積為（）A. B. C.4 D.6〖答案〗B〖解析〗在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a＝7.設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則bcsinA＝(a＋b＋c)r，解得r＝，所以S△BOC＝×a×r＝×7×＝，故動點P的軌跡所覆蓋圖形的面積為＝.故選：B.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中有多項符合題目要求的.全部選對的得5分，有錯選的得0分，部分選對的得2分.9.若是任意的非零向量，則下列敘述正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗CD〖解析〗對于A，若，則向量長度相等，但方向不一定相同，不能得到，故A選項錯誤；對于B，若，則，即或，故B選項錯誤；對于C，若，則非零向量方向相同或相反，非零向量方向相同或相反，即的方向相同或相反，故，故C選項正確；對于D，若，則，所以，得，故D選項正確.故選：CD.10.跑步愛好者小亮為了參加“2021年重慶市第六屆運動會半程馬拉松”比賽，從2020年1月開始進(jìn)行長跑訓(xùn)練.他根據(jù)某跑步軟件記錄的2020年1月至2020年11月期間每月跑步的里程(單位：十公里)數(shù)據(jù)整理并繪制了下面的折線圖.請根據(jù)該折線圖分析，下列結(jié)論正確的是（）A.月跑步里程逐月增加B.月跑步里程最小值出現(xiàn)在2月C.1月至5月的月跑步里程相對于6月至11月波動性更小D.月跑步里程的中位數(shù)為5月份對應(yīng)的里程數(shù)〖答案〗BCD〖解析〗對于選項A：由折線圖變化趨勢可知：月跑步里程不是逐月增加的，故選項A不正確；對于選項B：由折線圖知：月跑步里程最小值出現(xiàn)在2月，故選項B正確；對于選項C：由折線圖的變化趨勢可知：8月至11月波動較大，因此1月至5月的月跑步里程相對于6月至11月波動性更小，故選項C正確；對于選項D：月跑步里程數(shù)按從小到大的順序排列對應(yīng)月份分別為：2月、8月、3月、4月、1月、5月、7月、6月、11月、9月、10月，故5月份對應(yīng)的里程數(shù)為中位數(shù)，故選項D正確.故選：BCD.11.如圖，在棱長為1的正方體中，是棱上的一個動點，下列說法正確的是（）A.棱錐的體積為定值B.截面的周長的最小值為C.存在點，使得平面D.與平面所成的角的最大角為〖答案〗ABD〖解析〗在正方體中，，對于A，連接，由平面平面，得，又平面，則平面，而平面，于是平面，點到平面的距離等于到平面的距離，棱錐的體積為定值，A正確；對于B，因為平面平面，則平面與平面的交線平行于，同理平面與平面的交線平行于，因此平面截正方體的截面為，連接，顯然，在正方形中，延長于，使，連接交于，連接，如圖，顯然垂直平分，點是中點，因此截面的周長，當(dāng)且僅當(dāng)點與重合時取等號，B正確；對于C，因為正方體的對角面是矩形，不垂直于，而平面，因此不垂直于平面，C錯誤；對于D，令與平面所成的角為，，由選項A知，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又為銳角，因此，D正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù).函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則（）A.B.C.是滿足條件的一個函數(shù)D.若當(dāng)時單調(diào)遞增，則的解集是〖答案〗ACD〖解析〗由題可得關(guān)于對稱，且關(guān)于直線對稱，所以，所以的周期為，，故A正確，B錯誤；函數(shù)的周期為，定義在R上的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，故C錯誤；對于D項，由題可知函數(shù)在上遞增，且，又關(guān)于直線對稱，在上遞減，且，所以時，，又周期為4，故的解集是，D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.將〖答案〗填在答題卡上相應(yīng)位置.13.兩個粒子從同一發(fā)射源發(fā)射出來，在某一時刻，它們的位移分別為，則在上的投影向量為_________.〖答案〗〖解析〗在上的投影向量為：.故〖答案〗為：.14.某企業(yè)三個分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，三個分廠產(chǎn)量分布如圖所示，現(xiàn)在用分層抽樣方法從三個分廠生產(chǎn)的該產(chǎn)品中共抽取100件做使用壽命的測試，則第一分廠應(yīng)抽取的件數(shù)為_____；由所得樣品的測試結(jié)果計算出一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的使用壽命平均值分別為1020小時，980小時，1030小時，估計這個企業(yè)所生產(chǎn)的該產(chǎn)品的平均使用壽命為______．〖答案〗501015小時〖解析〗第一分廠應(yīng)抽取的件數(shù)為100×50%=50；該產(chǎn)品的平均使用壽命為1020×0.5+980×0.2+1030×0.3=1015(小時)．故〖答案〗為：501015小時.15.在中，，，，，，若的外接圓的半徑為，則角___________.〖答案〗〖解析〗設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，由正弦定理，，，，即為鈍角，為銳角，，，.故〖答案〗：.16.已知四棱錐中的外接球的體積為，，平面，四邊形為矩形，點在球的表面上運動，則四棱錐體積的最大值為________〖答案〗〖解析〗，故，將四棱錐補成長方體，可知外接球的直徑為長方體的體對角線，設(shè)長方體的長、寬、高分別為，且，由于，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，要使得四棱錐的體積最大，只需點為平面的中心與球心所在的直線與球的交點，又，故體積的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.在中，，，，是邊上一點，，設(shè)，．（1）試用，表示；（2）求的值．解：（1）∵是邊上一點，，∴，又∵，，，∴．（2）∵，，，∴，.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，的最大值為1，最小值為，求實數(shù)的值；（2）若，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.解：（1）當(dāng)，有，則，因為，所以，，解得.（2），由，得，因為，取或，或，故函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為或.19.為了解我市參加2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的學(xué)生的考試成績，現(xiàn)從中選取60名同學(xué)，將其成績（百分制，均為正整數(shù)）分成，六組后，得到部分頻率分布直方圖（如下圖），回答下列問題.（1）求分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計本次考試成績的眾數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（3）根據(jù)評獎規(guī)則，排名靠前的的同學(xué)可以獲獎，請估計獲獎的同學(xué)至少需要多少分？該估計值是第_____百分位數(shù).解：（1）由題意可得：，得分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為，頻率分布直方圖如下：（2）因為各組的頻率依次為，則的頻率相同且最大，所以眾數(shù)為和，平均分為.（3）因為的頻率，兩組的頻率，設(shè)獲獎的同學(xué)至少需要分，則，解得，所以得獲獎的同學(xué)至少需要88分，根據(jù)百分位數(shù)的定義可知：該估計值是第90百分位數(shù).20.如圖，在直角梯形ABCD中，，，，點E是BC的中點．將沿BD折起，使，連接AE、AC、DE，得到三棱錐．（1）求證：平面平面BCD；（2）若，二面角的大小為60°，求三棱錐的體積．解：（1），，，故平面，平面，故，，，故平面，平面BCD，故平面平面BCD.（2）如圖所示：分別為的中點，連接，分別為中點，故，平面，故平面，平面，故，分別為中點，故，，故，，故平面，故為二面角的平面角，即，設(shè)，則，，，，，，根據(jù)的等面積法：，解得，.21.拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點.”已知在中，以為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為.若角的對邊分別為，且（1）求；（2）若，求的面積最大值.解：（1）由正弦定理