湖南省2024年數(shù)學(xué)中考第一輪復(fù)習(xí)第二十四講與圓有關(guān)的位置關(guān)系課件

第二十四講與圓有關(guān)的位置關(guān)系湖南2024年數(shù)學(xué)中考第一輪復(fù)習(xí)必備知識(shí)·夯根基高頻考點(diǎn)·釋疑難湘約中考·檢成效必備知識(shí)·夯根基【課標(biāo)要點(diǎn)】1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)設(shè)圓O的半徑為r,點(diǎn)P到圓心的距離為OP=d.則:點(diǎn)P在圓外?________;點(diǎn)P在圓上?________;

點(diǎn)P在圓內(nèi)?________.

(2)確定圓的條件:不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)確定__________圓.

(3)三角形的外心:三角形外接圓的圓心,三角形三邊的________________的交點(diǎn).

d>r

d=r

d<r

一個(gè)

垂直平分線(xiàn)

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】1.(1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)A(1,0),B(0,-3),C(2,-3)________確定一個(gè)圓(填“能”或“不能”).

(2)已知☉O的半徑為5,當(dāng)線(xiàn)段OA=6時(shí),則點(diǎn)A與☉O的位置關(guān)系是()A.在圓上 B.在圓外C.在圓內(nèi) D.不能確定

能

B【課標(biāo)要點(diǎn)】2.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系(1)設(shè)圓O的半徑為r,圓心到直線(xiàn)的距離為OP=d.則:直線(xiàn)與圓相離?________;直線(xiàn)與圓相切?________;直線(xiàn)與圓相交?________;

(2)切線(xiàn)的定義、性質(zhì)與判定:①定義:和圓有__________公共點(diǎn)的直線(xiàn).

②性質(zhì):圓的切線(xiàn)____________過(guò)切點(diǎn)的直徑.

③判定:經(jīng)過(guò)半徑的外端,并且__________于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn).

(3)切線(xiàn)長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線(xiàn),它們的切線(xiàn)長(zhǎng)__________,這一點(diǎn)和圓心的連線(xiàn)__________兩條切線(xiàn)的夾角.

d>r

d=r

d<r

一個(gè)

垂直于

垂直

相等

平分

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】2.(1)已知☉O的半徑r=5,圓心O到直線(xiàn)l的距離d=3,則直線(xiàn)l與☉O的位置關(guān)系為()A.相交

B.相切C.相離

D.相交或相切(2)如圖,PA,PB切☉O于點(diǎn)A,B,直線(xiàn)FG切☉O于點(diǎn)E,交PA于F,交PB于點(diǎn)G,若PA=8cm,則△PFG的周長(zhǎng)是()A.8cm

B.12cm

C.16cm

D.20cmAC【課標(biāo)要點(diǎn)】3.三角形的內(nèi)切圓(1)定義:與三角形各邊都__________的圓.

(2)三角形的內(nèi)心:三角形____________的圓心,是三角形三條______________的交點(diǎn).

(3)性質(zhì):三角形的內(nèi)心到三角形的__________的距離相等.

(4)半徑:r=_________.特別地,直角三角形內(nèi)切圓的半徑為r=_________.

相切

內(nèi)切圓

角平分線(xiàn)

三邊

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】3.兩直角邊分別為6,8,那么Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑為_(kāi)______.

2

高頻考點(diǎn)·釋疑難考點(diǎn)1

點(diǎn)、線(xiàn)與圓的位置關(guān)系【例1】如圖,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=3cm,BC=4cm.O為AB的中點(diǎn).問(wèn)題1

以C為圓心,2.5cm為半徑作☉C,則O與☉C的位置關(guān)系為()A.O在☉C內(nèi) B.O在☉C上 C.O在☉C外 D.無(wú)法確定問(wèn)題2

以B為圓心,R為半徑作圓,使得點(diǎn)C在圓內(nèi),點(diǎn)A在圓外,則R的值可以是()A.4 B.4.6 C.5 D.5.6問(wèn)題3

以C為圓心,2cm為半徑作☉C,直線(xiàn)AB與☉C位置關(guān)系是__________.

問(wèn)題4

以C為圓心,以r為半徑作圓.若此圓與線(xiàn)段AB只有一個(gè)交點(diǎn),則r的取值范圍為_(kāi)________________________.

BB

相離

【方法技巧】“一找二求三比”定位置關(guān)系第一步,找到半徑;第二步,求出距離(圓心到點(diǎn)的距離或圓心到線(xiàn)的距離);第三步,比較大小得結(jié)論.提醒:直線(xiàn)與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.【變式訓(xùn)練】(2023·株洲醴陵一模)已知Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,以點(diǎn)B為圓心,r為半徑作☉B(tài),當(dāng)r=3時(shí),☉B(tài)與AC的位置關(guān)系是__________.

相切

考點(diǎn)2

切線(xiàn)的性質(zhì)【例2】(2023·長(zhǎng)沙芙蓉區(qū)二模)如圖,已知AB是☉O的直徑,C是☉O上一點(diǎn),OD⊥BC,垂足為D,連接AD,過(guò)點(diǎn)A作☉O的切線(xiàn)與DO的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E.(1)求證:∠B=∠E;(2)若☉O的半徑為4,OE=6,求AD的長(zhǎng).

【自主解答】(1)∵OD⊥BC,∴∠ODB=90°,∵AE為☉O的切線(xiàn),∴AB⊥AE,∴∠OAE=90°,∵∠BOD=∠AOE,∴∠B=∠E;

【方法技巧】見(jiàn)切線(xiàn),連半徑題目中如果出現(xiàn)切線(xiàn),連接圓心和切點(diǎn),得到垂直,再根據(jù)直角三角形和等腰三角形的結(jié)論,利用勾股定理、銳角三角函數(shù)等求出邊長(zhǎng)和角的度數(shù).【變式訓(xùn)練】1.(2023·湘西古丈一模)如圖,☉O與△OAB的邊AB相切,切點(diǎn)為B.將△OAB繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△O'A'B,使點(diǎn)O落在☉O上,邊A'B交線(xiàn)段AO于點(diǎn)C.若∠A'=27°,則∠OCB=________.

87°

2.(2023·婁底新化三模)如圖,在?ABCD中,∠ABC<90°,☉O與它的邊BA,BC相切,射線(xiàn)BO交邊AD于點(diǎn)E,當(dāng)AB=6,BC=8時(shí),DE的長(zhǎng)等于_______.

2

【思路點(diǎn)撥】(1)由圓周角定理∠BCD=90°,得到∠DBC+∠BDC=90°,進(jìn)而得到∠BED+∠DBE=90°,即可得出結(jié)論;(2)由勾股定理求出AD的長(zhǎng),平行得到∠ACB=∠DEB,進(jìn)而得到∠ACB=∠BDC=∠ADB,證明△BAD≌△BCD,得到AD=CD,等角的余角相等,得到∠CDE=∠ABD,解Rt△ECD,即可得解;(3)由等邊對(duì)等角得到∠ABC=∠ACB,根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=∠ADB,利用等角的余角相等,得到∠F=∠EDF,即可得證.【自主解答】(1)∵BD為☉O的直徑,∴∠BCD=90°,∴∠DBC+∠BDC=90°,∵∠BDC=∠DEC,∴∠BED+∠DBE=90°,∴∠BDE=90°,∴OD⊥DE,∵OD為☉O的半徑,∴DE是☉O的切線(xiàn).

(3)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵∠ACB=∠ADB,∴∠ABC=∠ADB,∵∠BAD=∠BDE=90°,∴∠ABC+∠F=∠ADB+∠EDF=90°,∴∠F=∠EDF,∴ED=EF.【方法技巧】切線(xiàn)判定的兩種方法1.直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)時(shí),連半徑,證垂直.常用的方法有:(1)利用等角轉(zhuǎn)換證垂直;(2)利用三角形全等證垂直;(3)利用平行證垂直.2.沒(méi)有給出直線(xiàn)與圓的公共點(diǎn),作垂直,證半徑.常用的方法有:(1)當(dāng)有角平分線(xiàn)時(shí),可利用角平分線(xiàn)的性質(zhì),來(lái)證明所作垂線(xiàn)等于半徑;(2)當(dāng)存在線(xiàn)段相等、角相等等條件時(shí),通過(guò)構(gòu)造直角三角形,利用全等三角形的性質(zhì),來(lái)證明所作垂線(xiàn)等于半徑.

【解析】(1)連接OD,如圖,∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD.∵OA=OD,∴∠BAD=∠ODA,∴∠ODA=∠CAD,∴AC∥OD,∴∠ODC+∠C=180°.∵∠C=90°,∴∠ODC=90°,∴OD⊥BC.∵OD為☉O的半徑,∴BC是☉O的切線(xiàn);

考點(diǎn)4

三角形的外接圓與內(nèi)切圓【例4】(教材原題·湘教版九年級(jí)下冊(cè)·P74例6)如圖2-51,☉O是△ABC的內(nèi)切圓,∠A=70°,求∠BOC的度數(shù).【思路點(diǎn)撥】由O是內(nèi)心,可得角平分線(xiàn),再利用三角形內(nèi)角和定理即可解得.

②④⑤

【解析】(1)∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°,∴∠BAC+∠ABC=90°,∵∠BAC=∠BDA,∴∠BDA+∠ABC=90°,∴∠BAD=90°,∴ED是☉O的切線(xiàn);

常規(guī)題型組

精練湖南14地市、州必考題1.(2022·長(zhǎng)沙中考)如圖,PA,PB是☉O的切線(xiàn),A,B為切點(diǎn),若∠AOB=128°,則∠P的度數(shù)為()

A.32° B.52° C.64° D.72°湘約中考·檢成效B2.(2023·邵陽(yáng)中考)如圖,AD是☉O的直徑,AB是☉O的弦,BC與☉O相切于點(diǎn)B,連接OB,若∠ABC=65°,則∠BOD的大小為_(kāi)_______.

50°

3.(2022·懷化中考)如圖,AB與☉O相切于點(diǎn)C,AO=3,☉O的半徑為2,則AC的長(zhǎng)為_(kāi)______.

5.(2022·衡陽(yáng)中考)如圖,AB為☉O的直徑,過(guò)圓上一點(diǎn)D作☉O的切線(xiàn)CD交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)O作OE∥AD交CD于點(diǎn)E,連接BE.(1)直線(xiàn)BE與☉O相切嗎?并說(shuō)明理由;(2)若CA=2,CD=4,求DE的長(zhǎng).【解析】(1)直線(xiàn)BE與☉O相切,理由:連接OD,∵CD與☉O相切于點(diǎn)D,∴∠ODE=90°,∵AD∥OE,∴∠ADO=∠DOE,∠DAO=∠EOB,∵OD=OA,∴∠ADO=∠DAO,∴∠DOE=∠EOB,∵OD=OB,OE=OE,∴△DOE≌△BOE(SAS),∴∠OBE=∠ODE=90°,∵OB是☉O的半徑,∴直線(xiàn)BE與☉O相切;(2)設(shè)☉O的半徑為r,在Rt△ODC中,OD2+DC2=OC2,∴r2+42=(r+2)2,∴r=3,∴AB=2r=6,∴BC=AC+AB=2+6=8,由(1)得:△DOE≌△BOE,∴DE=BE,在Rt△BCE中,BC2+BE2=CE2,∴82+BE2=(4+DE)2,∴64+DE2=(4+DE)2,∴DE=6,∴DE的長(zhǎng)為6.

D8.(知源善用·2022·株洲中考)中國(guó)元代數(shù)學(xué)家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角池圖”.“方田一段,一角圓池占之.”意思是說(shuō):“一塊正方形田地,在其一角有一個(gè)圓形的水池(其中圓與正方形一角的兩邊均相切)”,如圖所示.問(wèn)題:此圖中,正方形一條對(duì)角線(xiàn)AB與☉O相交于點(diǎn)M,N(點(diǎn)N在點(diǎn)M的右上方),若AB的長(zhǎng)度為10丈,☉O的半徑為2丈,則BN的長(zhǎng)度為_(kāi)___________丈.

9.(實(shí)踐應(yīng)用·2023·湘潭中考)問(wèn)題情境:筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具,既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保.明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理(如圖①).假定在水流量穩(wěn)定的情況下,筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都按逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng),每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒.問(wèn)題設(shè)置:把筒車(chē)抽象為一個(gè)半徑為r的☉O.如圖②,OM始終垂直于水平面,設(shè)筒車(chē)半徑為2米.當(dāng)t=0時(shí),某盛水筒恰好位于水面A處,此時(shí)∠AOM=30°,經(jīng)過(guò)95秒后該盛水筒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處.

10.(函數(shù)創(chuàng)新·2022·湘潭中考)已知A(3,0),B(0,4)是平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn),連接AB.(1)如圖①,點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上,以點(diǎn)P為圓心的圓與兩條坐標(biāo)軸都相切,求過(guò)點(diǎn)P的反比例函數(shù)表達(dá)式;(2)如圖②,點(diǎn)N是線(xiàn)段