廣東省高中數(shù)學(xué)-立體幾何復(fù)習(xí)資料(文)

廣東省高中數(shù)學(xué)一立體幾何復(fù)習(xí)資料（文）

4.如右圖，一個(gè)簡(jiǎn)單空間幾何體的三視圖其主視圖與左視圖都是邊長為2的正三角形，其俯

視圖輪廓為正方形，則其體積是（）俯視圖

AB4血c.D-

3363

【答案】A

13.如圖所示，一個(gè)圓錐形的空杯子上面放著一個(gè)半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好

盛滿杯子，則杯子高11=.

【答案】8cm

9.如圖所示，已知三棱柱ABC-4月G的側(cè)棱與底面邊長都相等，A在底面ABC上的射

影D為8C的中點(diǎn)，則異面直線與CG所成的角的余弦值為（）

V53

()D)--(C)(D)-

AT4T4

【答案】D

【解析】連結(jié)AD，AD,易知ZA.AB為異面直線與CG所成的角，則

3

cosNAAB=cos/AADcos=故選D；

6.已知直線/,加，〃及平面a,下列命題中是假命題的是

A.若/〃加，〃〃，則/〃〃；B.若/〃a,n//a,貝!)/〃〃.

C.若/!?加，m//n,則/_L〃；D.若/_La,〃〃a,則/_L〃；

【答案】B

5.如圖1是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的圖面稱為

俯視圖-圖1<

A.B.4GC.8D.12

3

【答案】C

11.如圖，一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正三角形，俯視圖是一個(gè)圓,

那么這個(gè)幾何體的圓回積為.

【答案】-71

2

12.如圖是某幾何體的三視圖，其中正視圖是腰長為2的等腰三角形，俯視圖是半徑為1

的半圓，則該幾何體的體積是.

V3

【答案】6

9.已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖（俯視圖中的弧線是半圓），根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位:

cm）,可得這個(gè)幾何體的體積是（）cn?。

A.nB.2乃C.4兀D.4

【答案】A

4.給定下列四個(gè)命題：

①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另外一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；

②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；

③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；

④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直.

其中，為真命題的是（）

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

【答案】D

【解析】①錯(cuò)，②正確，③錯(cuò)，④正確.故選D

7.已知長方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長分別是3,4,x,且它的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,

這個(gè)球面的表面積為125n則x的值為（）

A.5B.6C.8D.10

【答案】D

【解析】因?yàn)榍虻陌霃綖镽=，所以有44（小上匚）2=125肛所以x=10

22

9.如圖1是某個(gè)正方體的側(cè)面展開圖，八是兩條側(cè)面對(duì)角線，則在正方體中，4與，2

A.互相平行B.異面且互相垂直C.異面且夾角為2TTD.相交且夾角為巴TT

33

【答案】D

9.有一個(gè)幾何體的三視圖如下，外輪廓是邊長為1的正方形，則該幾何體的體積為

正視圖側(cè)視圖俯視圖，

【答案】C

15

【解析】該幾何體是正方體削去一個(gè)角，體積為1一a=￡

00

9.某個(gè)錐體（圖1）的三視圖如圖根所示，據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，這個(gè)錐體的側(cè)面積S=

A.6B.2岳JrC.6+VBTZ-D.6+2岳兀

【答案】C

7.己知名￡是兩個(gè)不同的平面，m,n是兩條不同的直線，給出下列命題：（）

①若m_La,，“u〃，則a_L￡.②若mua,nua,mH仇〃〃尸，則a〃。.

③如果加ua,〃（za,m、〃是異面直線，那么〃與a相交.

④若ac^=加,〃〃機(jī)，且〃則〃〃a且〃〃△其中正確的命題是（）

A.①②B.①④C.②③D.③④

【答案】B11.己知一個(gè)空間幾何體的三視圖如右圖所示，它們是半徑為4的半圓或圓，則

該幾何體的表面積為?

正視圖（主視明）

甥視制《第”制出，

【答案】32乃

4.三棱柱的直觀圖和三視圖（主視圖和俯視圖是正方形，左視圖是等腰直角三角形）如圖

所示，則這個(gè)三棱柱的全面積等于

A.12+472B.6+2V2C.8+4V2D.4

主視圖-左視圖“

【答案】A

1如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面

PADL^ABCD,且PA=P￡>=二一A。，若E、尸分別為PC、8。的中點(diǎn).

2

C

AB

'(1)求證：上/〃平面PA。；

(2)求證：平面POC，平面PAD.

(3)求四棱錐P—ABC。的體積匕-88.

【答案】(1)證明：連結(jié)AC,則尸是AC的中點(diǎn)，在△CPA中，EF/7PA,

2分

且PAu平面PAD,EF<Z平面PAD,

，EF〃平面PAD........4分

(2)證明：因?yàn)槠矫鍼AD_L平面ABCD,平面PADC1平面ABCD=AD,

又CDJ_AD,所以,CDJ_平面PAD,.......7分

又CDu平面PDC,二平面PAD_L平面PDC.........8分

(3)PA^PD^—AD^y/2,：.PA2+PD~=AD2,

2

2

PA1PD,SSPAD=；(V2)=1,.............10分

又由(2)可知CD_L平面PAD,CD=2,.................11分

12

^P-ADC=^C-PAD=1X2=—,.................13分

24

VP-ABCD=2VP-ADC=2><3=5,.................I4分

18.(本小題滿分14分)

如圖，在直三棱柱ABC—A4G中，AC=3,BC=4,AB=5,A&=4,點(diǎn)。是AB的

中點(diǎn)，

(1)求證：AC1BC｝；

AB2=AC2+BC2,：.ACIBC

CC,1平面ABC,ACu平面ABC,

AC±CC,,又BCCC,=C,

AC1平面BCC4,萬Gu平面BCG4，

AC1BC,.............5分

(2)設(shè)C4與QB的交點(diǎn)為石，連結(jié)OE，???。是AB的中點(diǎn)，E是。刀的中點(diǎn),

：.DEAG，DEu平面COB’AGZ平面CD耳,AC1平面。……

10分

=,,

(3)Vp—RCC~5--AC=—x|—x4x4|x—=4.....14分

cC]-rCAD/Z>|A/-t>|C|C3Oa|Cc|Cc23(2J2

18.在四棱錐P-ABCD中，APBC為正三角形,AB_L平面PBC,AB〃CD,AB=-DC,E為P￡>中點(diǎn).F

2

為PC中點(diǎn)。(1)求證：AE〃平面PBC；(2)求證：AEL平面PDC.

【答案】⑴證明:連接EF,E為PO中點(diǎn).F為PC中點(diǎn)，則EF〃CD,EF=^DC,因?yàn)锳B〃CD,

2

AB=-DC,所以有EF〃AB且EF=AB,則四邊形ABEE是平行四邊形.所以AE〃BF,因?yàn)锳E不在

2

平面PBC內(nèi)，BF在平面PBC內(nèi)，所以AE〃平面PBC.(8分)

(2)因?yàn)锳B_L平面PBC,AB〃CD,所以CD_L平面PBC,BF在平面PBC內(nèi)，CD_LBF.

△PBC為正三角形,BFJ_PC,又PCcCD=C,PC、CD在平面PDC內(nèi)，所以BFJ_平面PDC,又AE

〃BF,所以AE,平面PDC.(14分)

19.(本小題滿分14分)

如圖所示，圓柱的高為2,PA是圓柱的母線，ABCD為矩形，AB=2,BC=4,E、F、

G分別是線段PA,PD,CD的中點(diǎn)。

(1)求證：平面PDC_L平面PAD；

(2)求證：PB〃面EFG；

(3)在線段BC上是否存在一點(diǎn)M,使得D到平面PAM的距離為2?若存在，求出BM；若不

P

存在，請(qǐng)說明理由。

【答案】證明(1)：PA是圓柱的母線，...PA_L圓柱的底面。............................1

分

?；CDu圓柱的底面，，PAJ_CD

又；ABCD為矩形，.".CD1AD

而ADPA=A,；.CD_L平面PAD...............................3分

又CDu平面PDC,...平面PDCJ_平面PAD。...............................4分

(2)取AB中點(diǎn)H,連結(jié)GH,HE,

；E,F,G分別是線段PA、PD、CD的中點(diǎn)，

；.GH//AD〃EF,

；.E,F,G,H四點(diǎn)共面。.....................................6分

又H為AB中點(diǎn)，，EH〃PB。.....................................7分

又EHu面EFG,平面EFG,

.*.PB//ffiEFGo.....................................9分

(3)假設(shè)在BC上存在一點(diǎn)M,使得點(diǎn)D到平面PAM的距離為2,則以APAM為底D為

頂點(diǎn)的三棱錐的高為2,連結(jié)AM,則人乂=，4?2+3知2=@+創(chuàng)〃,

2

由(2)知PA_LAMS△PAM='PA?A例='x2,22+8"=V4+5M

22

I1iQ____________________

DPAM

**?V-二~?SAPAM?2=—?+BM-?2=-J4+BM-........11分

,??S?=(AO?A8=gx4x2=4

1IQ

p

==§..............12分

；VD-PAM=Vp_AM￡,

-yj4+BM2=號(hào)解得：BM=2y/3

33

c

2框<4

...在BC上存在一點(diǎn)M,當(dāng)BM=273使得點(diǎn)D到平面PAM的距離為2。........14分

18.(本小題滿分13分)如圖1,在正三角形ABC中，AB=3,E、F、P分別是AB、AC、

BC邊上的點(diǎn)，AE=CF=CP=lo將AAFE沿EF折起到AAiEb的位置，使平面AEF與平面

BCFE垂直，連結(jié)AiB、AiP(如圖2)。

(第18題圖)

(1)求證：PF//平面AiEB；

(2)求證：平面8cFEJ?平面AFB；

(3)求四棱錐Ai—BPFE的體積。

CFPC

【答案】(1)證明：在正三角形ABC中：PC=FC，AF=BP；.——=——PF//BE

AFBP

又???PF(z平面A|EB,BEu平面ARB；.PF〃平面A】EB...............4分

(2),/AE=CF=1AF=2EF=Jl+4-2xlx2xcos60"=V3

-：EF2=AE2+AF2EF±AB即所，為￡

又平面&EF±平面8PFE,且平面AEFc平面BPFE=EF

.??AEJ?平面BP/西???AEu平面AE8二平面BCFEl平面AiEB............9分

（3）由（2）知平面3PFE且:.SBPF￡=gx（l+2）xJ5=g6

：?VA-BPFE=；X'|百xl=V.........................13分

18.（本小題滿分14分）

如圖5,己知四棱柱ABC。-Age?的俯視圖是邊長為3的正方形，側(cè)視圖是長為3

寬為8的矩形.

⑴求該四棱柱的體積；

⑵取的中點(diǎn)E,證明：面BCE_1_面A1.

【答案】⑴依題意，四棱柱的底面是矩形，側(cè)面與底面垂直，過片作底面垂線的

垂足是AB的中點(diǎn)，四棱柱的體積V=SABC&X。……2分，=ABxADxh……3分，

=2x3xV3.......5分，=6-\/3........6分

⑵連接C2,依題意AC。。］是正三角形……8分，所以……9分，

又4），面。。。6……10分，。七＜=面。。。6,所以AO1CE……11分,

因?yàn)樗訡E1面A。3A……12分，

因?yàn)镃Eu面BCE,面BCEJ.面A。2A14分.

18.（本小題滿分14分）

如圖所示的長方體ABC?！?4GA中，底面A8CD是邊長為2的正方形，。為AC

與8。的交點(diǎn)，BB、=航,M是線段BQ1的中點(diǎn).

(1)求證：3M//平面。AC；

(2)求三棱錐。的體積.

：。、M分別是3。、BQ1的中點(diǎn)，8。1。乃是矩形,

...四邊形。。8M是平行四邊形，

AD.O//BM.-------2分

?.?。0u平面QAC,8Mz平面〃AC,

BM//平面AAC.-----------------6分

(2)解法1連結(jié)。片，；正方形A3CD的邊長為2,

BB\=C.,：.B\D、=2?,OB{=2,0,0=2,則+

:.OB]1D,O......................................................................-8分

又：在長方體ABC。-44GA中，AC1BD,AC1D,D,且3。RD=D,

：.AC_L平面BDD[B],又DQu平面BDD^,

.?.AC，。。，又ACOB1=0,

。0L平面ABC，即D0為三棱錐A—ABC的高.------1°分

,/5A4fir=1x272x2=272,D、0=2

4J/1O|V2?2

VSDX2X2分

■-LD^l-/A1￡BJ|VC=3--ZMViDB]VC-JP^3-^^3-^-------------------------------14

解法2：三棱錐D,-AB,C是長方體ABCD一人用弓"割去三棱錐D,-DAC、三棱錐

B1—BAC、三棱錐4一4月。1、三棱錐C—。蜴4后所得，而三棱錐2—D4C、

BAC、A-A,BtD,.C—C4。是等底等高，故其體積相等.

%-AB,=匕tBco-ABcq_45_BAC=2x2x2A/2-4x—x—x2x2x2A/2=-y—

18.（本小題滿分14分）

已知四棱錐P-ABCD的底面A6co是邊長為4的正方形，

PD±平面ABC。,PD=6,E,F分別為PB,A3中點(diǎn)。

⑴證明：8。，平面?。。；

（2）求三棱錐P-DEF的體積。

【答案】18.解：（1）「。，平面48。。,3。0：平面48。。.?.。。，3。........2分

又底面A8CO是正方形，故8CJ.C。.........4分

PDDC相交........5分

故8CJ.平面POC.......6分

（2）E為中點(diǎn)，故P,8兩點(diǎn)到平面。EF的距離相等.....8分

故Vp_DEF=VB-DEF=^E-BDF........“分

設(shè)5。中點(diǎn)E',則七￡：'=,「。=3且￡：白〃尸。，又P￡>J_平面A6CO

2

故EE'_L平面A8CO,又"BDF=gx4x2=4

故Vp-DEF=VE-BDF=1x4x3=4.....14分

如圖6,在四面體PABC中，PA=PB,CA=CB,D、E、F、G分別是PA,AC、CB、BP的中點(diǎn).

(1)求證：D、E、F、G四點(diǎn)共面；

(2)求證：PC1AB；

(3)若△ABC和PAB都是等腰直角三角形，且AB=2,PC=桓,求四面體PABC的體積.

【答案】證明與求解(1)依題意DG//AB……1分，EF〃AB…2分，

所以DG〃EF……3分,DG、EF共面,從而D、E、F、G四點(diǎn)共面……4分。

(2)取AB中點(diǎn)為0,連接P0、C0……5分因?yàn)镻A=PB,CA=CB,所以PO_LAB,C01AB

7分，

因?yàn)镻0CC0=D,所以AB_L面POC...8分

PCu面POC,所以ABJ_PC...9分

(3)因?yàn)锳ABC和PAB是等腰直角三角形，所以PO=CO=gAB=1…10分，

因?yàn)镻C=0,Op2+oc2=pc2,所以0p，()c……11分，

又PO_LAB,且ABA0C=0,所以P0,面ABC...12分

4xPOx5-4xlx2xlxrl……M分(公式?分’其他㈤

18.(本題滿分14分)

如圖所示，圓柱的高為2,底面半徑為J7,AE、DF是圓柱的兩條母線，過AO作圓柱的截

面交下底面于3C.

(1)求證：BCHEF-,

(2)若四邊形ABCD是正方形，求證BC_LBE；

(3)在(2)的條件下，求四棱錐A-8CE的體積.

【答案】(1)證明：在圓柱中：

上底面〃下底面，

且上底面C截面ABCD=A￡>,下底面Cl截面ABCD=3C

BC//AD........................................................2分

又AE、DF是圓柱的兩條母線，,AEd)產(chǎn)

ADFE是平行四邊形，所以又3C〃AO

Z.BC//EF......................................................5分

（2）AE是圓柱的母線，

4￡_1下底面,又BCu下底面，，BEJ.5C.......................7分

又截面ABCD是正方形，所以又ABAEA

面A8E,又BEu面A8E,二BCLBE......................9分

（3）因?yàn)槟妇€AE垂直于底面，所以AE是三棱錐A—BCE的高................1。分,

E0就是四棱錐E—A3C。的高................10分

設(shè)正方形ABCD的邊長為x,貝ijAB=EF=x,BE=AB2-AE2=g-4

又BC//EF,且BCLBE,，EFJ_BE,「.BF為直徑，即BF=2J7

在Rf8所中，BF2=BE2+EF2

即（277）2=/+無2-4n%=4

SABCD=4x4=16）................................................12分

AEBE2x"2-4

AB4~

：.V=ixV3X16^...................

CE>~ABCD^-3OES/AiBDCC-tDx3314分

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA_L平面ABCD,且PA=AD,點(diǎn)F是棱PD

的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱CD上移動(dòng)。

（1）當(dāng)點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)時(shí)，試判斷直線EF與平面PAC的關(guān)系,并說明理由;

（2）求證：PE1AF.

【答案】（1）當(dāng)點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)時(shí)，EF〃平面PAC（2分）

?.?點(diǎn)E、F分別是CD、PD的中點(diǎn).\EF/7PC（4分）

?.?PCU平面PAC,EFC平面PAC，EF〃平面PAC（6分）

（2）：PA_L平面ABCD,CDU平面ABCDACD±PA

又：ABCD是矩形ACD±AD

??PAnAD=A；.CD_L平面PAD

；AFU平面PAD.\CD±AF（9分）

；PA=AD,點(diǎn)F是棱PD的中點(diǎn)APDIAF（12分）

又⑶口必口二口；.AF_L平面PDC（13分）

：PEU平面PDCAPE1AF（14分）

6.在空間，下列命題正確的是（）

A.若三條直線兩兩相交，則這三條直線確定一個(gè)平面

B.若直線m與平面Q內(nèi)的一條直線平行，則m//a

C.若平面虹分，且an/?=/，則過a內(nèi)一點(diǎn)p與/垂直的直線垂直于平面￡

D.若直線a//b,且直線/J_a,則/工人

【答案】D

6.已知直線/J_平面a,直線mu平面尸，給出下列四個(gè)命題：①?！ā?/_Lm

②a工pnlHm；③/〃根=a_L/?；?lLm^a///3.其中正確的命題有（）個(gè)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

12.一個(gè)正方體的全面積為。2,它的頂點(diǎn)全都在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積為

2

______________:［答案］M

2

17.（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐尸-RBCO中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱即，底

面ABCD,F少=EC,E是PC的中點(diǎn)，作EF1產(chǎn)B交PB于點(diǎn)F；

（I）證明以“平面EDB；（II）證明PB_L平面EFD；

【答案】（1）證明：連結(jié)AC,AC交BD于0。連結(jié)E0。

\,底面ABCD是正方形，點(diǎn)0是AC的中點(diǎn)

在ABC中，E0是中位線，，以“或\

而￡0U平面EDB且產(chǎn)金仁平面EDB,

所以，為“平面EDB。

（1D證明：：RD_L底在ABCD且QCU底面ABCD,

J.PD1.DC..,.DELPC

①同樣由尸。，底面ABCD,得PD1BC.

?.?底面ABCD是正方形，有QC13C,：8C1平面PDC

而㈡/u平面PDC,?。匠

②由①和②推得DE，平面PBC

而FHu平面PBC,「.OEJ?產(chǎn)§

又防1尸8且加1口酹=￡,所以產(chǎn)81平面EFD

18.(本題滿分14分)

如圖(1)在等腰AA8C中，。、E、尸分別是A3、AC,3c邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將AACQ沿CO

翻折，使得平面AC。_L平面8co.(如圖(2))

(1)求證：AB〃平面OEF；

(2)求證：BD1AC；

(3)設(shè)三棱錐A-BCD的體積為K、多面體ABFED的體積為％,求匕：匕的值.

【答案】(I)證明：如圖：在△ABC中,由E、尸分別是AC、8c中點(diǎn)，得EF，AB,

又AB(Z平面。EF,EFu平面QEF,〃平面OEF........................4分

(2)?.?平面AC。，平面BCD于CD

AD±CD,且AOu平面ACQ

.?.4D_L平面BCD,又BDu平面BCD,??