高中數(shù)學(xué)必修第一冊1. 2 .3 充分條件、必要條件

1.2.3充分條件、必要條件

(1)通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與

最新課必要條件的關(guān)系.(2)通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充分條件的意義，

程標(biāo)1潤理解判定定理與充分條件的關(guān)系.(3)通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解

充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.

新知初探后主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性

知識點一充分條件與必要條件

一般地，“若p,則為真命題，是指由p通過推理可以得出辦這時，我們就說，由p

可以推出q,記作p=q,并且說，p是q的充分條件(sufficientcondition),q是p的必要條件

(necessarycondition).

狀元隨筆如果“若p,則q”為假命題，那么由條件p不能推出結(jié)論q,記作pn/q.此

時，我們就說p不是q的充分條件，q不是p的必要條件.

知識點二充要條件

如果“若p,則和它的逆命題“若q,則p"均是真命題，即既有pnq,又有q=p,

就記作此時,p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，

簡稱為充要條件(sufficientandnecessarycondition).顯然，如果p是q的充要條件，那么q也

是p的充要條件.

狀元隨筆p與q互為充要條件時，也稱“p等價于q”“q當(dāng)且僅當(dāng)p”等.

基礎(chǔ)自測

1.錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的()

A.充分條件B.必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.設(shè)p：x<3,q：—l<x<3,則p是q成立的()

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

3.設(shè)A、3是兩個集合，貝I]“ACB=A"是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.用符號“今”與“今/”填空：

(1>2>1%>1；

(2)a,b都是偶數(shù)4十匕是偶數(shù).

課堂探究?素養(yǎng)提升一強(qiáng)化創(chuàng)新性

題型1充分條件、必要條件、充要條件的判斷

[教材P31例1]

例1判斷下列各題中，p是否是q的充分條件，q是否是p的必要條件：

(1)/?：q：xGR；

(2)p：x是長方形；q：x是正方形.

pnq由充分條件的定義來判斷.

pnq由必要條件的定義來判斷.

激材反思

充分條件、必要條件、充要條件的判斷方法

1.定義法

(1)分清命題的條件和結(jié)論：分清哪個是條件，哪個是結(jié)論.

(2)找推式：判斷“pnq”及“g=p”的真假.

(3)根據(jù)推式及條件得出結(jié)論.

2.等價轉(zhuǎn)化法

(1)等價法：將命題轉(zhuǎn)化為另一個與之等價的且便于判斷真假的命題.

(2)逆否法：這是等價法的一種特殊情況.

若rp=rq,則p是q的必要條件，4是〃的充分條件；

若r°=>rq,且則「是"的必要不充分條件；

若rpOrq,則p與q互為充要條件；

若rp石rq,且則p是q的既不充分也不必要條件.

3.集合法：寫出集合4=｛她7。)｝及8=｛尤|q(x)｝,利用集合間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.

4.傳遞法：若問題中出現(xiàn)若干個條件和結(jié)論，應(yīng)根據(jù)條件畫出相應(yīng)的推式圖，根據(jù)圖中

推式的傳遞性進(jìn)行判斷.

5.特殊值法：對于選擇題，可以取一些特殊值或特殊情況，用來說明由條件(結(jié)論)不能

推出結(jié)論(條件)，但是這種方法不適用于證明題.

跟蹤訓(xùn)練1指出下列各題中p是q的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條

件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選一個作答).

(l)p：x—3=0,q：(x—2)(x—3)=0；

(2)0兩個三角形相似，q：兩個三角形全等；

(3)p：a>b,q：a+c>Z?+c.

判斷pnq,qnp是否成立|結(jié)合定義得出結(jié)論

題型2求條件(充分條件、必要條件和充要條件)

［經(jīng)典例題］

例2使不等式2x2—5x—3成立的一個充分不必要條件是()

A.x20

B.x<0或x>2

C.x￡［-1,3,5)

D.xW—5或x>3

先求濟(jì)滿足題意

的充要條件

結(jié)合集合關(guān)奉

從選項中國消充

分木蛇要條件

方收歸他

本題易錯的地方是顛倒充分性和必要性，根據(jù){小23或xW—3}{x|x>2或xVO},誤

選B.事實上，“不等式212—5x—320成立”為結(jié)論q,我們只需找到條件p使p=q且夕了，

p即可.使2x2—5x—3<0成立的x為一T〈XV3,再求必要不充分條件.

跟蹤訓(xùn)練22x2-5x-3<0的必要不充分條件是（）

1

A.~-<x<3

2

B.0<x<2

C.-l<x<2

i

D.~-<x<4

2

題型3充分條件、必要條件、充要條件的應(yīng)用

［經(jīng)典例題］

例3已知0：2x2—3x—2^0,q：x2—2（a—l）x+a（a—2）^0,若p是q的充分不必要條

件.求實數(shù)a的取值范圍.

狀元隨筆

構(gòu)造集合'/（工）1；求解廠二二77------------構(gòu)造a的

------->w乙次0/MgN不等久A

*卜1夕（工）}加、N1-----------------------------

恂軍關(guān)孑〃的木箸為細(xì)-->結(jié)果

方法歸於）

根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件求參數(shù)的取值范圍時，主要根據(jù)充分條件、必要條

件、充要條件與集合間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的兩個集合之間的包含關(guān)系，然后建立關(guān)

于參數(shù)的不等式（組）進(jìn)行求解.

跟蹤訓(xùn)練3已知聞={尤|（%—。）2<1},N={X|N—5X—24<0},若M是N的充分條件，

求a的取值范圍.

先求M、N,再利用充分條件得MnN,即MUN來求a的取值范圍.

1.2.3充分條件、必要條件

新知初探咱主學(xué)習(xí)

[基礎(chǔ)自測]

1.解析：“便宜沒好貨”的意思是“好貨”肯定“不便宜”，所以“不便宜”是“好貨”

的必要條件.

答案：B

2.解析：因為(一1,3)(—8,3),所以p是q成立的必要不充分條件.

答案：C

3.解析：A、2是兩個集合，則由“ACB=A”可得“AUB”，由可得“ACB=

A”,所以A、B是兩個集合，則“ACB=A”是“AUB”的充要條件.故選C.

答案：C

4.解析：⑴命題“若1>1,則x>]”是假命題,x2>lx>l.

(2)命題“若a,b都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”是真命題，故a,6都是偶數(shù)今a+b是偶

數(shù).

答案：(1)幺(2)今

課堂探究?素養(yǎng)提升

例1【解析】(1)因為整數(shù)都是有理數(shù)，從而一定也是實數(shù)，即pnq,因此P是q的

充分條件，4是0的必要條件.

(2)因為長方形不一定是正方形，即pq,因此p不是q的充分條件，g不是p的必要條件.

跟蹤訓(xùn)練1解析：(l)x-3=0=>(.r-2)(x-3)=0,但(%—2)(%—3)=0/工一3=0,故p

是q的充分不必要條件.

(2)兩個三角形相似了，兩個三角形全等，但兩個三角形全等今兩個三角形相似，故P是

q的必要不充分條件.

(3)a>bna+c>b+c,JLa-\-c>b~\-c=>a>b,故p是q的充要條件.

例2【解析】由2x2—5x—320,得了23或尤W—巳，所以選項中只有xG{—1,3,

5}是使不等式2R—5x—320成立的一個充分不必要條件.

【答案】C

跟蹤訓(xùn)練2解析：2x2—5x—3<0=>—|<x<3,

?13)(-|1,4)

—^<x<4是212—5x—3