八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假-全等三角形湘教版知識(shí)精講

初二數(shù)學(xué)寒假專(zhuān)題—全等三角形湘教版

【本講教育信息】

教學(xué)內(nèi)容：

寒假專(zhuān)題一一全等三角形

教學(xué)目標(biāo)：

1.理解旋轉(zhuǎn)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

2.掌握全等三角形及其性質(zhì)與判定

3.掌握直角三角形的性質(zhì)及判定

4.掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)與判定

5.掌握勾股定理及其逆定理

6.通過(guò)典型例題的講解，使同學(xué)們靈活掌握某些特殊題的巧妙方法和特殊思維，從而提

高同學(xué)們探索問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力。

—,重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：

1.掌握全等三角形的性質(zhì)與判定

2.掌握直角三角形的性質(zhì)與判定

3.掌握勾股定理及其逆定理

難點(diǎn)：靈活掌握某些特殊題的巧妙方法與特殊思維方式

知識(shí)要點(diǎn)歸納：

1.旋轉(zhuǎn)變換的概念：

將圖形P繞定點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一個(gè)定角，得到圖形F2,這種由圖形P變到F2的變換稱(chēng)為旋

轉(zhuǎn)變換。

2.旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)：

(1)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀

(2)對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等，對(duì)應(yīng)角相等

(3)任意兩條對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角

3.全等三角形的定義：

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形。

4.全等三角形的性質(zhì)：

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)相等。

5.兩個(gè)三角形全等的判定方法：

SSSSASASAAAS

6.直角三角形的性質(zhì)：

(1)有一個(gè)角為直角

(2)有兩個(gè)銳角互余

(3)斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半

(4)如果有一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

(5)如果一個(gè)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，那么這個(gè)角等于30°

(6)勾股定理：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

7.直角三角形的判定：

(1)有一個(gè)角為90°的三角形是直角三角形。

(2)如果一個(gè)三角形一邊上的中線(xiàn)等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

(3)勾股定理的逆定理：有兩邊的平方和等于第三邊的平方的三角形是直角三角形。

(4)有兩銳角互余的三角形是直角三角形。

8.兩個(gè)直角三角形全等的判定方法：

SSSSASASAAASHL

9.角平分線(xiàn)的性質(zhì)：

一個(gè)角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。

10.角平分線(xiàn)的判定：

到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線(xiàn)上。

規(guī)律與方法歸納：

1.“中心對(duì)稱(chēng)”是旋轉(zhuǎn)的一個(gè)特殊情形——旋轉(zhuǎn)角為180。的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中心稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)中

心，中心對(duì)稱(chēng)由對(duì)稱(chēng)中心完全確定。

2.(1)利用旋轉(zhuǎn)變換的手段解幾何問(wèn)題的方法叫旋轉(zhuǎn)變換法。

(2)利用這種方法解題的基本做法是把圖形的一部分作對(duì)稱(chēng)變換，使條件與結(jié)論之間

的聯(lián)系更加明顯和集中，輔助線(xiàn)段的添加更為自然。

(3)運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是確定繞哪個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)角的大小，從而正確運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變

換的性質(zhì)解題。

3.兩個(gè)全等的三角形可以經(jīng)過(guò)平移，旋轉(zhuǎn)，軸反射等運(yùn)動(dòng)或變換使之重合。

4.(1)運(yùn)用三角形全等，可以證明線(xiàn)段相等，角相等，兩直線(xiàn)垂直等問(wèn)題。

(2)利用全等三角形的方法證題的關(guān)鍵是要找到兩個(gè)待證的全等三角形。

(3)還可以利用等腰三角形，直角三角形的特殊角或邊之間的關(guān)系，證明兩角，兩線(xiàn)

段相等或兩線(xiàn)段垂直。

(4)也可以利用勾股定理逆定理證明兩線(xiàn)段垂直。

【典型例題】

在前面的兩個(gè)寒假專(zhuān)題講座中，老師介紹了七種特殊的方法和一些創(chuàng)新題的創(chuàng)新思想，

創(chuàng)新思維，今天這個(gè)講座老師將通過(guò)一些典型例題，介紹一些特殊題型的巧妙方法和特殊思

維方式。

例1.在aABC中，已知AB?=370,BC2=116,AC2=74,求此三角形的面積。

分析：本題是已知三邊的長(zhǎng)，求三角形的面積。按照常規(guī)的思維，可以用作高的方法來(lái)

解，但是比較復(fù)雜。

觀察題中已知條件的特點(diǎn)：370=92+172,116=42+102,74=52+72,且

9=4+5,17=10+7,由這個(gè)特點(diǎn)我們可以考慮構(gòu)造出一個(gè)幾何圖形，進(jìn)而活用勾股定理

來(lái)解決，“巧”是解這個(gè)題的關(guān)鍵。

解：如上圖，作矩形ADBE,使AD=17,AE=9,在EA上取EG=4,在EB上取EF

=7,過(guò)G作GK//AD交BD于K,過(guò)F作FH〃AE交AD于H,GK與FH相交于C,則

AB2=92+172

BC2=42+102

AC2=52+72

^MBC=^SABE-S(MCG_,^ABCF-§矩形￡GCF

=—x9xl7-—x5x7--x4xl0-4x7

222

=11

小結(jié)：此題巧妙解法的關(guān)鍵是“妙作”圖形，“活用”勾股定理。

例2.求證：直角三角形中，斜邊上的高與斜邊的和大于兩直角邊之和

己知：如下圖，在AABC中，NA=90°,AD±BC,垂足為D

求證：AD+BC>AB+AC

分析：要證不等式兩端均為兩線(xiàn)段之和，所以考慮構(gòu)造線(xiàn)段和（差）轉(zhuǎn)化為證兩線(xiàn)段的

不等問(wèn)題。

思路一：構(gòu)造線(xiàn)段和把結(jié)論中的分散線(xiàn)段相應(yīng)集中為直角三角形的邊，利用直角三角形

斜邊大于直角邊解決問(wèn)題。

證明一：如下圖，延長(zhǎng)AC至E,使CE=AB

延長(zhǎng)BC至F,使CF=AD

連結(jié)BE、EF

則AD+BC=BF,AB+AC=AE

?.?N4+N1=N4+/2=9O°,Z2=Z3

Z1=Z3

又?:AB=CE,AD=CF

\ABD=\CEF{SAS}

ZF=ZADB=90"

EF=BD

又BF2=BE2-EF2,AE2=BE2-AB2

而AB>3￡>=￡F

/.BF2>AE2

：.BF>AE

/.AD+BC>AB+AC

思路二：通過(guò)構(gòu)造線(xiàn)段差把結(jié)論中的分散線(xiàn)段相應(yīng)集中為直角三角形的邊，利用直角三

角形斜邊大于直角邊解決問(wèn)題。

證明二：如下圖，在BC上截取BE=BA

作ERL4C于F,則EC=BC—AB

且N1=N2

又Nl+N3=N2+N4=90°

Z3=Z4

Rt\ADE=Rt^AFE(AAS)

：.AD=AF

FC=AC-AF=AC-AD

而在RfAEFC中，EC>EF

:.BC-AB>AC-AD

：.BC+AD>AB+AC

小結(jié)：以上兩種方法叫做“構(gòu)造法”。

思路三：應(yīng)用面積與勾股定理通過(guò)運(yùn)算證明，較簡(jiǎn)明。

證明三：設(shè)AB=c,AC=b,BC=a,AD=h

則a2=〃+c2,—ah~~be

22

(a+/?)~——a~+h~+2ah——(b~+c"+2Z?c)+h~

=(b+c)2+h2>(b+c)2

即(a+?2>S+c)2

a+h>b+c

即BC+ADAAB+AC

思路四：還可用類(lèi)似證明二的方法用構(gòu)造法證明。

證明四：如圖，在CB上截取CE=AB,在CA截取CF=AD

則BE=BC-AB,AF=AC-AD

連結(jié)EF,過(guò)E作EG//AC交AB于G

?.ZR4D=NC,CF=AD,CE=AB

\ABDw\CEF

：.AEFC=ABDA=90°

，四邊形AGEF為長(zhǎng)方形

AF=GE,ZAGE=90°

在R/ABEG中，BE>EG

：.BC-AB>AC-AD

即4)+3C>AB+AC

思路五：思路三還可以用分析法證明。

證明五：欲證a+//>〃+c

a+h>Q,b+c>0

.,.只需證明a2+h2+2ah>b~+c~+2bc

?：a1=b2+c2,2ah=2bc

，只需證明h~>0

vh2>0顯然是成立的

：.a+h>b+c成立

AD+BC>AB+AC

例3.如下圖，O為正三角形ABC的中心，你能用旋轉(zhuǎn)的方法將AABC分成面積相等的

三部分嗎？如果能，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出分割方案，并畫(huà)出示意圖。

分析：由于正三角形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，并且將它繞其中心旋轉(zhuǎn)120°,240。后均能與

自身重合，故其分割線(xiàn)繞中心旋轉(zhuǎn)120°,240。后能彼此重合，由此，我們可先畫(huà)出一條

分割線(xiàn)，再作出它繞中心旋轉(zhuǎn)120。，240。后的圖形，即可將aABC分成形狀、大小完全

相同的三部分，顯然也就將其面積三等分，此題“妙”在先畫(huà)出一條分割線(xiàn)，“巧”在這條

分割線(xiàn)的畫(huà)法。

本題答案不唯一，下面給出三種分法，同學(xué)們還可以考慮更多的分法。

解法1：連結(jié)OA、OB、OC,如圖甲所示

解法2：在AB上任取一點(diǎn)D,將D點(diǎn)分別繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)120°和240。，得到D2,

連結(jié)OD,OD|,OD?即得如圖乙所示。

解法3：在解法2中，用相同的曲線(xiàn)連接OD,OD”O(jiān)D2即得如丙圖所示。

A

例4.如下圖，已知等邊三角形ABC與等邊ACDE,A、B、D在同一直線(xiàn)上，一只小螞

蟻由C經(jīng)B到達(dá)D點(diǎn)，一只大螞蟻由B直接到達(dá)E點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：哪個(gè)走的路程較遠(yuǎn)？

分析：本題實(shí)際上是比較線(xiàn)段CB+BD與BE的長(zhǎng)度的大小，要比較兩條線(xiàn)段的和與一

條線(xiàn)段之間的長(zhǎng)短，--種方法是補(bǔ)短法，另一種方法是截長(zhǎng)法，這兩種方法在前面的知識(shí)講

座中已經(jīng)詳細(xì)講過(guò)，這里不再?gòu)?fù)述。

此題的巧妙之處能夠?qū)⑽浵伒男谐檀笮〉谋容^轉(zhuǎn)化為兩條線(xiàn)段的和與一條線(xiàn)段的長(zhǎng)短

比較問(wèn)題，下面我們僅舉補(bǔ)短法來(lái)證明。

證明：:△ABC和4CDE是等邊三角形

CA=CB,CE=CD,ZACB=ZDCE=60°

ZACD=NBCE

AACDsABCE（SAS）

：.AD=BE=AB+BD=CB+BD

即班=CB+%>

...兩只螞蟻所走的路程一樣遠(yuǎn)。

【模擬試題】（答題時(shí)間：30分鐘）

一.填空題

1.如圖，下面四個(gè)條件中，請(qǐng)你以其中兩個(gè)為已知條件，第三個(gè)為結(jié)論，推出一個(gè)正確

的命題（只需寫(xiě)出一種情況）

2.已知如下圖，DC//AB,且DC=AE,E為AB的中點(diǎn)，觀察圖形，在不添加輔助線(xiàn)的

情況下，請(qǐng)寫(xiě)出三個(gè)與4AED的面積相等的三角形。

A

3.直角三角形的周長(zhǎng)為3+6,斜邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)等于1,則兩直角邊長(zhǎng)分別為

4.在RfAABC中，CD是斜邊AB上的高，BC=3,AC=4,則CD=,BD=

5.如下圖所示，在4ABC中，ZACB=90°,AC=AE,BF=BC,則NECF等于

6.如下圖所示，已知Nl=Z2,AC±BC,BD=4,CELAD,2CE=AC,則CD=()

V2

7.如下圖，在AABC中，乙4=30°,N8=45°,AC=—,則BC=

2

8.在aABC中，AB=6，AC=4,ZA=60°,則aABC的面積為_(kāi)________

9.在銳角AABC中，已知兩邊a=l,b=3,那么第三邊的變化范圍是____________

10.如下圖，在正方形ABCD中,AE1BD于E,S矩形詆。=40cm*2*,

SMBE'S^DBA=1:5,則AE=-----------------cm

BC

二.如下圖所示，在4ABC中，NAC6=9(T,點(diǎn)0是4ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且

2

SA°A廣SA°BC=SA。”求證：OA2+OB=5OC2

三.已知：a、b、c為AABC的三邊長(zhǎng)，且有a?+2〃+/+867=30a+6段＞+16c,請(qǐng)

判定三角形ABC的形狀。

四.有一批邊角余料狀材料，如下圖所示，其中NA=NC=9(T,AB=AD,現(xiàn)要把每塊這

樣的材料都加工成正方形，并且希望材料利用率盡量高，怎樣做最好呢？

五.如下圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,AB、AD上各有一點(diǎn)P、Q,如果AAPQ的周長(zhǎng)為

2,求/PCQ的度數(shù)。

APB

【試題答案】

1.如?。簵l件①AE=AD,②AB=AC,可得到④N8=NC

2.AEBC,AAEC,ZXACD等

3.V3,1

5.45°

6.2

1

7.-

2

8.3

9.解：最長(zhǎng)邊所對(duì)的角小于90°,若b為最長(zhǎng)邊，第三邊c>=7=2五，若c是

最長(zhǎng)邊，則。<護(hù)壽=&5

故2/<c、<

10.解：由得5AAM:5Am4=：DB?=1：5

貝ijAB：DB=1：V5

設(shè)A5=Z,則。8=后左

22

AD=^DB-AB=.(瓜>_%2=2k

??.S矩物88=40,即&2=40

解得左=26

.?.6。=尿=后2逐=10

AD=2k=4石

?ABAD,

AE=-----------=4cm

BD

二.證明：作OMLAC,ONLBC,M、N是垂足

2222

那么CM?+OB2=(OM+AM)+(ON+BN)

?^AOCA=§^SABC

AC-OM^(^AC-BQ

OM=-BC,BN=20M

3

同理可證：AM=2ON