高中數(shù)學(xué)《-橢圓的標(biāo)準(zhǔn)-方程》同步練習(xí)（含答案）

高中數(shù)學(xué)《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》同步練習(xí)(含答案)

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1.(3分)橢圓、"+1的焦距是4,則實數(shù)TH的值為()

A.5B.13C.5或13D.8或15

2.(3分)

22

已知橢圓Q的方程為土+匕=1,橢圓。2的中心為原點，焦點在工

43

軸上，且Q與有相同的離心率.過CI的右頂點且與％軸垂直的

直線被橢圓截得的線段長為2n，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

22

3.已知橢圓。噌+1=l(a>b>0)的上頂點為以/為圓心,

橢圓的長半軸為半徑的圓與y軸的交點分別為(0,1+V3),(0,1-

V3).

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)不經(jīng)過點/的直線，與橢圓C交于P,Q兩點，且/p.力Q=0,

試探究直線I是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標(biāo)，若不

過定點，請說明理由.

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4.橢圓器+a=l(a>b>0)過點(2,3)尸/BCD各頂點都在橢圓

上，^AB=~2>^BC=2'

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知M,N是橢圓上的兩點，Q是橢圓的上頂點，若直線

QM,QN的斜率滿足/CQM/QN=1，求證：直線MN恒過定點.

5.已知橢圓N曝+靠=l(a>b>0)經(jīng)過點C(0,l),且離心率為.

(1)求橢圓N的方程和焦距；

(2)直線上y=：與橢圓N的交點為4B兩點，線段48的中點

為M.是否存在常數(shù)人使乙4MC=/l?乙48c恒成立，并說明理由.

221

6.已知橢圓C噎+3=l(a>b>0)的離心率e=5,直線%+

y—V6=0與圓/+y2=非相切.

(1)求橢圓的方程；

(2)過點N(4,0)的直線，與橢圓交于不同兩點48,線段的中垂

線為匕若1在y軸上的截距為卷，求直線/的方程.

221

7.已知橢圓氏宗+京=19：＞匕＞0)的離心率為5，F(xiàn)是橢圓E的

右焦點，A是橢圓E的左頂點，。為坐標(biāo)原點.若橢圓E經(jīng)過點

M(0,V3).

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)過點F的動直線/與E相交于尸，Q兩點.當(dāng)a/PQ的面積S最

大時，求直線1的方程，并求出S的最大值.

8.已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在工軸上且過點P(B,

離心率是它.

2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線］過點E(-l,0)且與橢圓C交于48兩點，若|E4|=2|EB|,

求直線［的方程.

參考答案

一、選擇題

1.C【解答】

解：當(dāng)焦點在％軸上時，租=9+4=13；

當(dāng)焦點在y軸上時，9=m+4,m=5.

故選C.

二、填空題

2.二+匕=1

129

解：易知橢圓C］的離心率e=a

22

設(shè)橢圓C2的方程為a+*l（a>b>0），

則橢圓。2的離心率或=正m

a2

故/=力，

4

%2y2

故橢圓C2的方程為國+金=

4

由題意可知，橢圓。2過點（2,遍），

所以莪+至=1,

4

解得=12.

22

故橢圓。2的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.

乙129

22

故答案為：二+匕=1.

129

三、解答題

3.解：（1）依題意知點力的坐標(biāo)為（0,匕），

則以點/為圓心，以a為半徑的圓的方程為:

x2+（y—6）2=a2,

令％=0得y=b±a,

由圓/與y軸的交點分別為(0,1+V3),(0,1-V3)

b+a=1+A/3,

可得

b—a=1—y/3,

解得b=1,a=建，

故所求橢圓C的方程為9+y2=1.

(2)由筋?AQ=0得/1AQ，

可知P力的斜率存在且不為0,

設(shè)直線，PA：y=kx+1

則Qa：y=一扛+1，

將代入橢圓方程并整理得(1+3k2)x2+6kx=0,

6k.

可得%P=-1+3卜2’

一?2

則舛=尚一1,

類似地可得%Q=懸？%=1一左，

由直線方程的兩點式可得：

直線[的方程為”等％―最

即直線E過定點，該定點的坐標(biāo)為(0,-

4.解：(1)由圖形的對稱性可知，力C,BD交于原點。，設(shè)

43,%）,B3,%），C（一/,一月），

則直+城=1磅+度=1,

a2b29a2b2

兩式相減整理得之+y\y\=0,①

a2x^-%2

y2-yi_iyz+yi3

又由2’

%2一%12'X2+X1

=

兩式相乘得—代入①得與—-=o>

%2一%i4az4

故a2=q匕2,橢圓方程化為芝+[=i,

34b2b2

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把點(2,3)代入得爐=12,a2=16,橢圓方程為靠+套=1.

(2)(2(0,273),設(shè)M(%i，%),N(%2，y2)，若MN與無軸垂直，

則工1=%2，%=一%，kQM.kQN=三#=

4]T1

不滿足華M-kQN=1,舍去；

設(shè)MN方程為y=/c%+t,代入橢圓方程整理得

(3+4/c2)%2+8ktx+4嚴(yán)—48=0,

/=48(161-t2+12)＞0,

4t2—48,8kt

與"2+%2--

vyi-2V3..2-2舊_]

%2

kx1—2\[^kX2^"t—2y/3i

,-L

Xi%2

整理得(憶2—l)x1X2+k(t-2V5)(%1+%2)+

(t-28)2=0,

即上T)貂+如-2回(-9

+(t-2V3)2=0

=("2圾缺署)=。，

得t-28=0或士嘩=0.

3+4/C2

當(dāng)t—28=0時，MN經(jīng)過Q,不合題意，所以t=—14g,

故直線MN恒過點(0,-148).

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5.解：(1)因為橢圓可曝+k=1(￡1＞匕＞0)經(jīng)過點

C(0,l),且離心率為當(dāng)

所以b=1,￡=烏又因為a?—c2=b2,

a2

可解得c=l,a=近,焦距為2c=2.

2

所求橢圓的方程為土+y2=i.

(2)存在常數(shù)；I=2,使乙4MC=2乙4BC恒成立，

證明如下:

y—kx—3,

由《2

x1,

I2+y2=

得(9+18k2)/-12kx-16=0,/>0,

則％】+%2=蓋,％62=麗轟.

又因為C/=(/,%-1),CB=(%2，為一

—>—>

所以C/?CB=+(71—1)(72—1)

=%1%2+(入1-1)-1)

416

2

=(1+k)xtx2--k(x\+x2)+—

=(1+12).上三—睫.上三+竺=0,

、/9+18/c239+18k29

所以211CB>

因為線段的中點為M,所以|MC|=\MB\,

所以4AMC=2AABC.

存在常數(shù)a=2,使乙4MC=2乙4BC恒成立.

6.解：⑴由題意得，e2=^=~

即a?=［匕2,

直線％+y-V6=0與圓％2+y2=/相切，

得b=噌=V3,a=2.

27

故橢圓的方程是乙+匕=1.

43

(2)由題意得直線1的斜率k存在且不為零，

設(shè)，：y=k(x—4),kW0,4(%i，%),

8(%2，%)，48中點QOo，%),

ry=k(x—4),

聯(lián)立一,y2消去、并整理得

l丁+石=1

(3+4/c2)%2—32k2x+64k2-12=0.

32k2

Xi+%2=--，

1乙4H+3

由4=(-32k2)2-4(3+4k2)(64/-⑵>0,

解得一之<k<^.

故—gVk<之且々H0.

2

+x216k

比二二―=藐二'

12k

y0=-4)3+4/？

得0個空—衛(wèi)匕

"13+4H'3+4-

1

由八y—%---(x-%0)?

即y+券=?(%一16k2

3+4k2

化簡得：y=-^+4k

K4k2+3

令％=6得&h4

13，

解得k=；或々=3,

4

11

-5<k<5且攵。0，

故

k=4

所以直線/的方程為y=；(%-4),

即％—4y—4=0.

7.解：(1)設(shè)F(c,0),

Ia2

由題意知b=a,

(。2=b2+c2,

a=2,

解得b=V3,

c=1,

22

故橢圓E的方程為土+匕=1.

43

(2)由(1)得4(-2,0),F(1,O).

①當(dāng)21%軸時，直線/的方程為％=1,

易得|PQ|=3,

此時△4PQ的高為a+c=3,

19

所以△ZPQ的面積S=-x3x3=-；

②當(dāng)直線/的斜率存在時，

設(shè)直線1的方程為y=做％-1),

由題意可得kW0,

y=k(x—1)

Efe,%2y21

1=1

14-3

得(4/+3)/-8k2%+4k2-12=0,

A=(-81)2-4(4/+3)(4/C2-12)=144(/+1)>0,

設(shè)P(%i，y。，。(％2，%)，

由根與系數(shù)的關(guān)系得%]+次=黑，％1%2=喘詈，

2

所以|PQ|=7k+l|%i—x2\

=+1.+十2/一4%]十2

=VFTT?'2限式=12(/+1),

4H+34H+3

點4(—2,0)到直線八k%-y—k=0的距離

,|"2k-0-k||3Zc|

d—.—

Vk2+1-H+i'

所以△APQ的面積為

1

S=--\PQ\-d

乙

112(/c2+1)\3k\

~2'4fc2+3'V/c2+l

=18SD

q-+3)2

令軌2+3=t,

因為H>0,

所以t>3,k2=1，

4

所以S=18戶尹

_9t2-2t