高中數(shù)學競賽真題分類匯編 13 多項式（學生版+解析版50題）

競賽專題13多項式

（50題競賽真題強化訓練）

一、填空題

1.（2021?全國?高三競賽）若（20萬+11?=奴3+蘇）,+0盯2+辦3,則

。一2b+4c-8d=?

2.（2019?全國?高三競賽）若a>b>,a+b+c=0,且為、/為ox?+云+°=0的兩實根.則

忖一周的取值范圍為.

3.（2018?湖南?高三競賽）四次多項式18/+小+2oox_1984的四個根中有兩個根

的積為-32,則實數(shù)k=.

4.（2018?湖南?高三競賽）已知n為正整數(shù)，若3〃-1（）是一個既約分數(shù),那么這

n+6〃一16

個分數(shù)的值等于.

5.（2019?全國?高三競賽）已知關于x的方程*3+加+笈+°=0的三個非零實根成等

比數(shù)列，則八_/=.

6.（2021?全國?高三競賽）若實數(shù)a,b滿足“-〃=2,空蛆+支工匚=4則/-從=

1+。\-b

7.（2019?全國?高三競賽）已知實數(shù)〃、b、x、>滿足ar+勿=3,ax2+by2=l,

ax3+by3=16,ax4+by4=42.則口？+與,=.

8.（2019?全國?高三競賽）設拋物線y?=x的一條弦PQ被直線/：y=^（x-l）+l（Z:eZ）

垂直平分.則弦PQ的長等于.

9.（2019?全國?高三競賽）對正整數(shù)k,方程（儲-力伊-左）=。2-％的整數(shù)解組（。也c）

有個.

10.（2018?全國?高三競賽）在復數(shù)范圍內，方程f+px+l=0（p€R）的兩根為a、

P.若Ia-刈=1,則P=.

11.（2021?全國?高三競賽）在1,2,3,4,…，1000中，能寫成/一〃+l（aeN）的

形式，且不能被3整除的數(shù)有個.

12.（2020?浙江?高三競賽）設曲線C：f（x）=xi-3x2+2x,若對于任意實數(shù)&,直線

〉=依+〃與曲線c有且只有一個交點，則6的取值范圍為.

13.（2019?江蘇?高三競賽）若田》-2是關于x、y的多項式f+叼+切2-5》+丫+6的因

式，則a—b的值是.

14.（2019?江西?高三競賽）設x>0,且f+!=7,則d+[=

xx

15.（2019?江西?高三競賽）將集合｛1,2......19｝中每兩個互異的數(shù)作乘積，所有

這種乘積的和為.

16.（2019?山東?高三競賽）整數(shù)”使得多項式/）=3/—"X一〃一2,可以表示為兩個非

常數(shù)整系數(shù)多項式的乘積，所有"的可能值的和為.

17.（2019?全國?高三競賽）已知關于x的方程9+（°-2010卜+。=0（。*0）的兩根均

為整數(shù).則實數(shù)。的值為.

18.（2019?全國?高三競賽）已知實系數(shù)方程63-/+陵-1=（）有三個正實根.則

5a2-6ab+3

P=的最小值為

a3(b-a)

19.（2019?全國?高三競賽）若占、林W是關于x的一元三次方程/_5/+5*+1=0的

三個兩兩不等的復數(shù)根，則代數(shù)式（X；+E）（￥+々$+4）（后+Wx+X：）的值為

20.（2019?全國?高三競賽）對xeR,?eN+,定義C；=他7）…（…+1）.設

n\

p（x）是一個6次多項式且滿足尸（0）=1,P⑻=2*一"=1,2,…,6）.用

C：（k=1,2,…,6）表示P（x）=.

21.（2018?河北?高三競賽）若實數(shù)x、y、z滿足/+y2+z2=3,x+2y-2z=4,則

Zmax+Z.nin=-

22.（2018?福建?高三競賽）已知整系數(shù)多項式/（力二/+勾丁+叼/+生/+4工+6,

若/（石+夜）=0,/⑴+"3）=0,則〃一1）=.

23.（2018?全國?高三競賽）設〃、6、ceR.且滿足方程組，

[a2+/?2+c2-10?-11=0,?，,.r口

\）貝1」而+力。+。。的取值氾圍是__________.

[a~-hc-4a-5=0.

24.（2018?全國?高三競賽）設實數(shù)。使得關于工的一元二次方程

5/-5以+664-1715=0的兩個根均是整數(shù).則所有這樣的。是.

25.（2018?全國?高三競賽）設多項式/（x）滿足2/（x+l）+3/（x—l）=10f+llx+32.

則〃x）=.

26.（2018?全國?高三競賽）已知關于x的方程x3-4d+5x+a=0（aeR）有三個實

數(shù)根西,々W.則max｛辦,超,&｝的最大值為.

27.（2021?全國?高三競賽）已知多項式P（x）=*產+*鏟^+…+4X+4有2020

個非零實根（可以有重根），其中%,q,…,『2。為非負整數(shù)，求尸（2020）的最小值.

28.（2021?浙江?高三競賽）已知方程*2+以+/,=0有兩個不同的實數(shù)根，則

/+以3+（。_2）/_以+1=0有個不同的實數(shù)根.

29.（2019?福建?高三競賽）已知/（%）=/-10*3+以2+法+。，若方程/（x）=0的根均為

實數(shù)，，”為這5個實根中最大的根，則機的最大值為.

二、解答題

30.（2021?全國?高三競賽）設不芻（與＜々）是方程//+笈+1=0的兩個實根，

^，々（為〈/）是方程如2+區(qū)+1=0的兩個實根，若與＜玉＜々＜匕，求實數(shù)。的取值

范圍.

31.（2021?全國?高三競賽）已知實數(shù)x、y、z滿足x+y+z=2020,—+—+-=；^/求

xyz2020

證：x、八z中至少一個為2020.

32.（2020?浙江?高三競賽）已知P（x）,。（九）為整系數(shù)多項式，若

P2（x）-（x2-2020）e（x）=l,求P（x）,Q（x）.

x+y+盯=8

33.（2019?新疆?高三競賽）己知光、y、z是正數(shù)且滿足y+z+yz=15.則

z+x+zx=35

x+y+z+xy=.

34.（2019?山東?高三競賽）已知"-31+9是素數(shù)，求正整數(shù)〃的所有可能值

〃+Z?+c+d=3

35.（2019?全國?高三競賽）設實數(shù)a、b、c、d滿足■a2+b2+c2+d2=3.

abc+bed+eda+dab=1

證明：a（\-a^=b[\-b^=c（l-c）3=d（l-d^.

36.（2019?全國?高三競賽）若t（reR）為某一整系數(shù)多項式的根，則稱/為“代數(shù)數(shù)”.否

則，稱/為“超越數(shù)”，證明:

(1)可數(shù)個可數(shù)集的并為可數(shù)集;

(2)存在超越數(shù).

37.(2019?全國?高三競賽)是否存在實數(shù)3使得

十八八《2+/+叫(>”")是一個三元多項式.

x+y+z

a=tb+c

38.(2019?全國?高三競賽)已知非零實數(shù)6、ci滿足%/,2\-

p=cll+r+rI

(1)證明：二次方程9+cp-2c)x—?+c2)p-c)=O必有實根；

(2)當。=15,。=7時，求。,').

39.(2019?全國?高三競賽)設實數(shù)P、q、=滿足：存在。為。、4、廠中某一個，且

另兩個恰為方程/+(4-3〃+片—34=0的兩實根.試求/+/+/的最小可能值.

40.(2019?全國?高三競賽)設2006個實數(shù)4，%，…,%>06滿足g+§+…+需=。，

2320073

幺+經+...+—J,4+&+...+—，，…_^+_^_+...+皿=±,

342008545200972007200840124013

求代數(shù)式1+年+與+…+糯的值.

41.(2018?全國?高三競賽)求出所有使x+y+x、,+L+Lxyx均為整數(shù)的正有理數(shù)組

xyz

(x,y,x)(x<y<z).

42.(2018?全國?高三競賽)已知復平面上的正“邊形，其各個頂點對應的復數(shù)恰是某個

整系數(shù)多項式/(x)=爐+a,iX"T+…+qx+4的〃個復根.求該正多邊形面積的最小值.

43.(2021?浙江?高二競賽)已知二次函數(shù)/5)=/+依+仇a,6eR)有兩個不同的零點.若

/(d+2x-l)=0有四個不同的根不<與(三<匕，且玉，巧，％,匕成等差數(shù)列，求

。一力的取值范圍.

44.(2021?全國?高三競賽)設函數(shù)/。)=/-/+公-1有三個正零點，求

/.、5。2—3cib+2々=..

g(〃,b)=-7-———的最小值.

a~(b-a)

45.(2019?江蘇?高三競賽)已知實數(shù)。、b、c均不等于0,且

22

a+b+c=m,a+b^c=^-,求如-2a產+雙加-郵+c(-2c了的值

2abc

46.(2019?全國?高三競賽)已知非常數(shù)的整系數(shù)多項式/(X)滿足

(X3+4X2+4X+3)/(X)=(X3-2X2+2X-1)/(X+1).①正明：對所有正整數(shù)〃(〃28),

/（〃）至少有五個不同的質因數(shù).

47.（2019?全國?高三競賽）已知正AABC的三個頂點在拋物線y=Y上.試求正A4BC

中心的軌跡方程.

48.（2019?全國?高三競賽）已知方程Y+px+gW和V-py+r=0都有實根（P、

q、reR,PRO）,且可以安排適當?shù)捻樞蚍謩e將兩個方程的根記為4、々和,，

力.則“乂一馬必=1成立的充要條件是P4（q-r）2+2/（g+r）+l=".

49.（2019?全國?高三競賽）試求出所有實系數(shù)多項式/（x）,使得對滿足

q6+bc+ca=0的所有實數(shù)。、b>c,都有

f[a-t>）+f（b-c）+f[c-a）=2f（a+b+c）.

50.（2018?全國?高三競賽）求所有正整數(shù)對（〃，4，%），）.其中，2<4,且（0應）=1,使得

ACOS—

3q+i=2v,

競賽專題13多項式

（50題競賽真題強化訓練）

一、填空題

1.（2021?全國?高三競賽）若（20x+lly）3=o?+bx2y+sy2+辦3,則

a-2b+4c-Sd=.

【答案】-8

【解析】

【分析】

【詳解】

令x=l,y=-2,條件式立即化為（一2）3=。-26+4。-8”,即。一以+4。-8d=—8.

故答案為：-8.

2.（2019?全國?高三競賽）若a>b>,a+b+c=0,且％、x?為以2+bx+c=。的兩實根.則

忖-閭的取值范圍為.

【答案】［0,3）

【解析】

【詳解】

由a+b+c=0,知方程以2+bx+c=0有一個實根為1,不妨設百=1?

則由韋達定理知電=￡.

a

而a>b>c,a+b+c=0,故

a>0,c<0,且a>-a-c>c.

c1

則一2<上<一二?

a2

故:3（力4，

從而，忖-,同0,3）.

故答案為［0,3）

3.（2018?湖南?高三競賽）四次多項式+丘2+2OOX-1984的四個根中有兩個根

的積為-32,則實數(shù)k=.

【答案】86

【解析】

【詳解】

設多項式x4-18d+丘2+200X-1984的四個根為項、芻、鼻、匕，則由韋達定理，得

X,4-x24-x34-x4=18,

x}x2+百天+西14+x2x3+x2x4+x3x4=k,

XxX2X3+XxX2XA+x1x3x44-x2x3x4=-200,

xlx2x3xA=-1984.

設xtx2=-32,則x3x4=62,故

62（毛+玉）-32（玉+X4）=-200.

fx.+x=4,

又不+工2+馬+工4=18,所以＜~9

[x3+x4=14,

故％=%%+.+(%+/)(/+3)=86.

故答案為86

4.(2018?湖南?高三競賽)已知n為正整數(shù)，若空即二處是一個既約分數(shù)，那么這

n+6〃-16

個分數(shù)的值等于.

Q

【答案】5

【解析】

【詳解】

n~4-3n—10(〃+5)(〃—2).、/、

因為〃2一6〃-16=(n+8)(”-2)'當〃一2=±1時，若("+8,"+5)=(〃+5,3)=1,則

〃：+3〃T0是一個既約分數(shù),故當〃=3時，該分數(shù)是既約分數(shù).

n一6〃一16

Q

所以這個分數(shù)為5.

Q

故答案為

5.(2019?全國?高三競賽)已知關于x的方程/+以2+笈+,=()的三個非零實根成等

比數(shù)列，則43C-63=.

【答案】0

【解析】

【詳解】

d+dq+dq1=-a?

設這三個根分別為"、dq、dq2,由韋達定理得+

d%3=—f(3)

②十①得=,

a

代入式匚得(-3j=_c,故de-/：。.

故答案為0

6.(2021?全國?高三競賽)若實數(shù)“，6滿足a-b=2,空生+支工匚=4貝1」/-/=

1+a\-b

【答案】82

【解析】

【分析】

【詳解】

(1+Z?)-+(i)-=4<?=>(1-Z>2)(1+^)+(1-a2)(1-a)=4(1+a)(l-b),

1+a\-b

Q(a—b)[(a—b)2+3ab]—(a-b)2-2ab—(tz-Z?)+2=4+4(a—b)-4ab<=>ab=\,

—匕5=32+/)(03_)_a2b2(〃一。)=82.

故答案為：82.

7.(2019?全國?高三競賽)已知實數(shù)。、b、x、了滿足ox+公=3,加+勿2=7,

ax3+by3=16,ax4+by4=42.則ax5+by5=.

【答案】20

【解析】

【詳解】

山混+勿3=16=>(加+旅)(x+y)=16(x+y)

=(以4+紗4)+芍(加+如2)=i6(x+y)=42+7切=16(x+y),

ax2+by2=7

=(?+勿2)G+y)=7(x+y)

=>(6+勿3)+盯3+〃y)=7(x+y)

=>16+3孫=7(1+丁),

聯(lián)立式□、口解得x+y=-14,孫=-38.

則axA+by4=42

=>(oV*+by4)(x+y)=42(x+y)

二(以5+如,+.(ax'=42(x+y)

=加+by5=42（x+j）-16xy=20.

故答案為20

8.（2019?全國?高三競賽）設拋物線產=丫的一條弦PQ被直線/：y=Mx—l）+l（ZwZ）

垂直平分.則弦PQ的長等于.

【答案】V10

【解析】

【詳解】

設直線P。的方程為y=-Jx+6（顯然%=0,否則，/不可能垂直平分尸。）.

k

"y2=x,

由《1消去X并整理得V+仙-尿=0.

y=--x+b,

.k

由PQ與拋物線V=x有兩個不同交點，知上式的判別式大于零，即公+4必＞（）.

kb2

設尸。的中點為則有為=-5，XM=—+bk.

22

而M在直線/上，所以，版-i）+i

將式代入式整理得:（％+2*2_2%+2）＜0.

解得-2＜左＜0.

又由&eZ,知％=-1.

將A=—1代入式；得匕=—1.

于是，直線尸。的方程為y=x-L

由2'消去y,Wx2-3x+l=0-

?=x

設占、%為其兩根，根據韋達定理得

X,+x2=3,xxx2=1.

故歸。|=》+嗑|占-百

2

=5/2^(^+X,)-xtx2=\T~■

故答案為四

9.(2019?全國?高三競賽)對正整數(shù)k,方程一研從-々)=。2々的整數(shù)解組344

有個.

【答案】無數(shù)

【解析】

【詳解】

取。=b+1,c=一人.

則<?2-%=4&-23匕+公一女

^a2-k^b2-k^=a2b2-k^a2+b2^+k2.

因/+〃=(6+1)2+/=2/；僅+1)+1=26波+1,

所以，(a2-k)(b2-k)=c2-k.

由b的任意性知，方程有無數(shù)個解.

故答案為無數(shù)

10.(2018?全國?高三競賽)在復數(shù)范圍內，方程Y+p無+l=O(〃eR)的兩根為a、

夕.若|a-河=1,則。=.

【答案】土石或土石

【解析】

【詳解】

若方程有實數(shù)根，則這兩個實數(shù)根分別為短擔與主叵二，此時，P=±A/5；

22

若方程無實數(shù)根，則這兩個復數(shù)根互為共扼復數(shù)，分別為出藥與主層口，

止匕時，p=±6

11.(2021?全國?高三競賽)在1,2,3,4,…，1000中，能寫成/一k+l(aeN)的

形式，且不能被3整除的數(shù)有個.

【答案】501.

【解析】

【詳解】

設5={1,2,3,4,…,1000},若〃="2一廿+i,則〃H3(mod4).又

4Ar=(2fc)2-(2)t-l)2+l,4Z+1=(4+l/-(l)?+1,4Z+2=(2%+1)?-(2獷+1,因

此:，n=a2-h2+1當且僅當"w3(mod44).令A={awS|a=3(mod44)),

B={beS|b三0(mod3)},則Ac8={cwS|c三3(modl2)},因為|"=250,網=333,

|Ac網=84,從而符合條件的數(shù)的個數(shù)為1000-250-333+84=501.

故答案為501

12.(2020?浙江?高三競賽)設曲線C：f(x)=xy-3x2+2x,若對于任意實數(shù)3直線

>=點+。與曲線C有且只有一個交點，則b的取值范圍為.

【答案】0.

【解析】

【詳解】

直線片質+。與曲線C聯(lián)立，消去y得：x3-3x2+(2-k)x-h=0,

法1：由題設，該方程對任意的％eR,均有且又只有一個實數(shù)解，

設g(x)=V-3X2+(2-k)x-b,貝i]g'(x)=3x?—6x+(2-Q,

則△=36-12(2-4)40對任意的丘R恒成立，這不可能成立，

故b的取值范圍為0.

法2：設方程的根為七,則

322

x—3x+(2—k)x—h=^x—x0^x+inx+n^.

由題意得，方程V+如+〃=0無解，或方程的根為與.對比兩邊的系數(shù)得：

3

m=——

一mx0=-3不

n—mx^=2—k=<n=5-k

-nx=-hh

Qn=—

、為

因為WkeR,所以〃wR,方程V+mx+〃=0化為

x2+—x+—=0(*)

94b

(1)方程(*)無解時，貝g=F一一<0,即6>9%對任意廝*0恒成立，

X。%)

故人的取值范圍為0.

(2)方程(*)有唯一的解%,則A=2-絲=OnXo=]；,于是121+3+絲1=0,

玉)無()4"14。J9

矛盾.

綜上所述，6的取值范圍為0.

故答案為：0

13.(2019?江蘇?高三競賽)若x+y—2是關于x、y的多項式/+叼+b『-5x+y+6的因

式，則a—6的值是.

【答案】1

【解析】

【分析】

結合因式分解待定系數(shù)V+無y+bV-5x+y+6=(x+y-2)(x+〃y+s),即可得解.

【詳解】

由題：x+y—2是關于X、y的多項式J+axy+力2_5x+y+6的因式，

所以Y+cixy+by2-5x+y+6=(x+y-2)(x+by+m)

艮[Jx2+axy+by2-5x+y+6=x2+(/?+l)Ay+by2+(/n-2)x+(/n-2h)y-2m

a=b+\

a=-\

m-2=—5

所以,解得*=-2

in-2Z?=1

m--3

-2m=6

所以“一b的值是1.

故答案為：1

【點睛】

此題考查多項式因式分解，利用待定系數(shù)法求解系數(shù)，也可利用賦值法，結合特殊值

求解.

14.(2019?江西?高三競賽)設x>0,且爐+二=7,則d+l=

【答案】123

【解析】

【詳解】

-X2+—\+2—9'所以■-=3.

由49=卜+:/+4+2,則X4+[=47,

x4x

所以/+:=X4—X3--+X2--v—+

Xx~XX

=(x+J)+I=3(47-7+1)=123.

故答案為：123.

15.(2019?江西?高三競賽)將集合｛1,2......19｝中每兩個互異的數(shù)作乘積，所有

這種乘積的和為.

【答案】16815

【解析】

【詳解】

所求的和為^[(1+2+~+19)2-(12+22+―+192)]=1(36100-2470)=16815.

故答案為：16815.

16.(2019,山東,高三競賽)整數(shù)〃使得多項式“X—〃一2,可以表示為兩個非

常數(shù)整系數(shù)多項式的乘積，所有〃的可能值的和為.

【答案】192

【解析】

【詳解】

由題意知/(》)=(。/+6"。)(公+6),其中b、cd、e均為整數(shù)，且不妨設(a,<0=0,3)

或(3,1).

若(a,</)=(1，3),則—54—1)=(1—Hc)(—3+e),所以(-3+e)|(-5),得e=—2,2,

4,8；

又-?j,。得=3(〃e-3〃-6),有3|e,矛盾.

若(a,0=(3,1),一方面由一5=/(—1)得(e—1)|(—5),有e=—4,0,2,6；

另一方面,/(e)=0,得3/-〃e-〃-2=0,故可以求得〃的值為38,-2,26,130.

所以所求之和為192.

故答案為：192.

17.(2019?全國?高三競賽)己知關于x的方程x2+(a-2010)x+a=0(aH0)的兩根均

為整數(shù).則實數(shù)。的值為.

【答案】4024

【解析】

【詳解】

設方程的根為西、芻(占4馬).

由韋達定理得X]+入2=-（。-2010）,x1x2=a,則％+工2=2010,即

（N+1）（毛+1）=2011.

X=0[x=—2012

I二八;八或<I-O'故〃=°（舍）或。=4°24?

x=2010[x=-2.

{22

18.（2019?全國?高三競賽）已知實系數(shù)方程依3_/+&_1=0有三個正實根則

八5a2-6a6+3,，0-、，

「=/（b-a）的取小值為——"

【答案】108.

【解析】

【詳解】

設G?_12+灰_]=0的三個正實根為片、打、匕.

由韋達定理得匕+%+匕=—，①

?a

b尸

v1v2+v2v3+v3v1=—,（2）

1

叩2匕=一?③

a

由式、得。>0,b>0.

由式、得223G.④

a

而331y2+嶺匕+匕匕）<（X+嗎+匕）=>3?—<3ab<1.

12

1/5a-6ab+35a+1

a3[b-a）c^（b-a）

又（匕+%-W）（為+W-匕）（匕+%一匕）4匕丹匕n（5-2匕）（：-2%）（}-2M3）4：

=>9?2-4ab+120=5。2+124。（匕一”）.

則八4a元（b-馬a]=4/"

故當.=走，/,=君時，戶取最小值108.

9

故答案為108

19.（2019?全國?高三競賽）若呼X?、不是關于x的一元三次方程V-5f+5x+l=0的

三個兩兩不等的復數(shù)根，則代數(shù)式（x；+西々+項（第+々七+旬（石+"+x；）的值為

【答案】625

【解析】

【詳解】

由韋達定理得

Xl+X2+X3=5,x,x2+XyX3+x3x1=5,XjX2X3=-1.

則(x：+X/2+￥)(￥+工2工3+宕)(后+芻X1+X；)

_M一石￡一石石一年5#一5七一1-(5考一5%2-1)

王一工2工2一W七一玉一七一工2

5焉—5%)-1-(5x^—5%3])5x；-—1—(5%；—5X1一])

x2-X3毛一百

=125(Xj+x2-1)(馬+W-1)(%,+%-1)

=125（4-A3）（4-X1）（4-A2）=625.

20.（2019?全國?高三競賽）對xeR,neN+,定義C；='（1）…『巴）.設

n\

P（x）是一個6次多項式且滿足尸（0）=1,P㈤=2""=1,2,…,6）.用

G4=12…,6）表示P（x）=.

【答案】1+C：+C：+C：

【解析】

【詳解】

由尸（0）=1,知存在多項式Q（X）使得P（x）=1+xQ（x）.

故1=P（1）=1+Q（1）,有Q（l）=0.

又有多項式2（x）使得Q（x）=（x-1）Q?（x），即P"）=1+x（x-1）Q（x）.

故2=P（2）=1+2Q（2）,有。2⑵=；.

從而，又有多項式。3（x）使得。2（x）=（x-2）2（x）+；.

則P(x)=1+C；+x(x-l)(x-2)Q3(x).

又由4=P(3)=l+3+3!Q3⑵,知Q,⑶=°.

故Q,(x)=(x-3)<2,(x),P(x)=1+Q+x(x-l)(x-2)(x-3)2,(x).

進一步有P(x)=l+d+d+x(xT)(x-2)(x-3)(x-4)2(x).

繼續(xù)下去并利用「(可是6次多項式可得P(x)=1+C；+C：+C.

故答案為i+a+c：+d

21.(2018?河北?高三競賽)若實數(shù)x、y、z滿足W+y2+z2=3,x+2y-2z=4,則

Zmax=?

【答案】-￡

【解析】

【詳解】

由柯西不等式得(x2+y2)0+22”(x+2y)2,由已知得f+y2=3_z2,

(x+2y)2=(4+2z)2,所以有5(3—Z2"(4+2Z)2,化簡得9z?+16z+l40，即2皿、

Zmin為方程9z?+16z+l=0的兩根,由韋達定理得Zm”+Zmin=-~~-

9

22.(2018,福建,高三競賽)已知整系數(shù)多項式/(力二^5+qd+〃4工+%,

若/(6+0)=0,/(1)+/(3)=0,則〃-1)=.

【答案】24

【解析】

【詳解】

設改，=百+行，則為=10-6)=2,

于是￥-2>/5xo+3=2,2百%=片+1.

所以(2麻。y=(*+1)2,x：-10x：+l=().

所以為=6+0是多項式8(尤)=丁-10/+|的一個根.

又毛=6+也不可能是三次整系數(shù)多項式、：次整系數(shù)多項式的零點.

所以g(x)整除f(x).故"x)=g(x)(x-r)=(x4T0x2+l)(x-r),r為整數(shù).

所以/?(l)=-8(l—r)=—8+8八，〃3)=—8(3-r)=—24+8廠.

由/。)+/(3)=0,得(一8+8廠)+(—24+8廠)=0,r=2.

所以〃犬)=(/_10/+1)(》_2),"-1)=24.

23.（2018?全國?高三競賽）設“、b、ceR.且滿足方程組,

ci~+b~+c~-10a—11=0,

八/47=。.則油的取值氾峰

【答案】［Y0,72］

【解析】

【詳解】

由題設得bc=“2-4a-5，b2+c2=-cr+10a+11.

則6+c=士J（6+c）-=+＞Jb2+c2+2bc=+\Ja2+2a+\=±（?+l）.

由根與系數(shù)關系知，b、c是關于「的一元二次方程/干（。+1），+。2-4a-5=0的兩個

實根.

由△=（4+1）2-4（/-4〃-5）20,解得-14a47.

＞2

令f（＜a^=ab+bc+ca=a（b+c）+bc=±a（＜a+］）+a-4a-5,

所以，/（a）=2（?+l）a-|或/⑷=-5（a+l）（-14a47）.

易知，當/（a）=—5（a+l）時，-40＜/（a）＜0；當〃a）=2（a+l）?-1時,

40.

-丁4〃“）472.所以必+秘+8的取值范圍是［"?）,72］.

O

24.（2018?全國?高三競賽）設實數(shù)。使得關于x的一元二次方程

5--55+664-1715=0的兩個根均是整數(shù).則所有這樣的。是.

【答案】870

【解析】

【詳解】

設兩個整數(shù)根為玉、々（不由根與系數(shù)關系得。=再+々，從而，。是整數(shù).

由原方程得叫"W=x+l3+TZeZ=—eZ

5%-665%-665%-66

-5x857+66〃=①wz

（因為5與5x-66互質）＜=＞

5%~665%-665x-66

=5x-66=±l或土4219（因為4219是質數(shù)）

ox=13或857.

所以，。=13+857或13+13或857+857,即。=870或26或1714.

由方程有整數(shù)根知5,，這與"26,1714矛盾.故。=870.

25.（2018?全國?高三競賽）設多項式/（6滿足2/（工+1）+3〃工-1）=10尤2+1尻+32.

則〃x）=.

【答案】2/+3X+5

【解析】

【詳解】

注意到/（X+1）與/（X—1）的次數(shù)相同，而右邊為二次的，^f（x）^ax2+bx+c.

代入題設等式并比較兩邊系數(shù)得。=2,6=3,c=5.

因此，f（x）-2x2+3x+5.

26.（2018?全國?高三競賽）已知關于x的方程丁―4d+5x+a=0（aeR）有三個實

數(shù)根今,々,匕,則rnaxM，%,不｝的最大值為.

【答案】2

【解析】

【詳解】

不妨設$=max｛%,孫七｝.

X+X+X=4,%+W=4-X,

山韋達定理得《123=?3

、|平2二5-43（%+工2）=5-七（4一￡）.

x{x2+X2X3+=5

于是，以玉、工2為根的一元二次方程為了2-（4一&）%一5+七（4-天）=0

2

=>A=（4-X3）-4[5-^3（4-^）]>0=>3%3-8X3+4<0

2

^?2.

當七=2時，X[=%=1，。=-2.

故3幅,孫玉｝的最大值為2.

2020209

27.（2021?全國?高三競賽）已知多項式P（x）=a2O2Ox+a20l9x'+-+alX+a0^2020

個非零實根（可以有重根），其中4，4,…，田儂為非負整數(shù)，求P（2O2O）的最小值.

【答案】20212020

【解析】

【詳解】

設2020個非零實根為不々，…，了2020?易知%,“2020—1.

當x20時，P（x）>0,所以不<0.

由均值不等式知2020-4.202口呼工'（i=l,2,…,2020）.這2020個式子相乘，得

2020I2020—

P(2020)=.a2O2O2O2產囪㈠產口占

,=1Vi=l

=a20202021

=20212°2°2。仙麗>20212020.

當P（x）=（x+1嚴。時，等號成立.故網2020）的最小值為202p2。.

故答案為：202F02。.

28.（2021?浙江?高三競賽）已知方程d+ax+匕=0有兩個不同的實數(shù)根，則

f+以3+（6—2）/-公+1=0有個不同的實數(shù)根.

【答案】4

【解析】

【分析】

【詳解】

設為與匕是方程/+公+匕=0的兩個不同的根.

由韋達定理知*1+*2=-〃，XIX2=b-

不難驗證,x“+axi+（Z?-2）x2-ax+l

=Y-（為+（與々-2）X2+（X1+%2）x+l

2

=（x_中-1）卜2-x2x-l）,

剩下只需證明，方程-1=0,鋁-々x-l=。的根是實數(shù)且兩兩不同.

事實上，這兩個方程的判別式顯然都是正的，所以個有兩個不同的實數(shù)根，

而若X是這兩個方程的公共根廁有（丁-中T）-（d-WX-1）=x（&-玉）=0,

于是x=（）,是x=0卻明顯不是它們的根.

所以方程/+/+。-2卜2一6+1=0有四個實數(shù)根.

故答案為：4.

29.（2019?福建?高三競賽）已知f（x）=/—10/+以2+法+。，若方程寅x尸0的根均為

實數(shù)，加為這5個實根中最大的根，則機的最大值為.

【答案】4

【解析】

【詳解】

設/（x尸0的5個實根為再蒯r2覆效&in,則由韋達定理，得m+內+々+￡+匕=0,

+x,+毛+玉）+（玉々+毛玉+%七+々毛+^4+J^X4）=-10.

XXXX

于是，X,X2+%1%3+X|X4+23+24+WZ=-10+.

所以x；+x；+x；+x：

=①2—2（—10+機2）=20—m2.

另一方面，由柯西不等式，知（玉+々+占+.）”4（匯+考+宕+x；）.

于是，M蒯1（20-1）,116,4?4.

又對./W=（x-4）（x+1尸=%5-1Ox3-20x2-15x-4,

方程7W=0的根均為實數(shù)，且5個實根中最大的根加=4.

所以，”的最大值為4.

故答案為:4.

二、解答題（共0分）

30.（2021?全國?高三競賽）設西,蟲王＜々）是方程qV+/w+l=0的兩個實根，

如匕（&＜看）是方程以2+法+1=0的兩個實根，若＜W＜匕，求實數(shù)。的取值

范圍.

【答案】

【解析】

【分析】

【詳解】

由韋達定理，得X|+&==-7，*3+、4=,XjX=—.

aa'a4a

11,11

前后兩式分別相除，得一+—=-6=一+一.

X\X2X3元4

因為西工2=’7＞。，所以為、工2同號.

a~

11111111

若當＜。＜工1＜%2V%4，—＜一＜一＜—，—+—V—+一,矛盾.

11111111

若為<%<%2<0<%4，貝J-V-<一<-'—+—<一+—矛盾.

WX七/XX2X3X4

所以小工八工3、Z同號，旦有工3工4=’〉0，即a>0.

a

11111111c

又因為/<石<方<X4，得—<一<一<—，所以------>------->0.

%%%工3玉%玉工2

即標〉〃，結合。>0,知實數(shù)。的取值范圍為{a|a>l}.

31.（2021?全國?高三競賽）已知實數(shù)X、4z滿足x+y+z=2020-+'+'=焉求

xyz2020

證：x、y、z中至少一個為2020.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

【詳解】

由題意知2020(肛+yz+zx)=A>z,故:

(X-2020)(y-2020)(z-2020)

=xyz—2020(盯+yz+zx)+20202(x+y+z)-20203

=20202(x+y+z-2020)=0,

故x、y、z中至少一個為2020.

32.(2020?浙江?高三競賽)已知P。)，Q(x)為整系數(shù)多項式，若

P2(X)-(X2-2020)G(X)=1,求P(X),Q(X).

【答案】答案見解析

【解析】

【詳解】

由題意得:P2(x)-l=p-2020)Q(x),gp[P(x)-1][P(x)+1]=(x2-2020)0(x).

因為P(x)+1-[P(x)-1]=2,故P(x)+1,尸(x)—1無公約式，

若。(x)=0,則尸(x)=±l,

若。(x)H0,因為尸(x),。。)為整系數(shù)多項式，

P(x)-\=(x2-2020)%(x)P(x)+l=(x2-2020)q\x)

則〈',、'或〈',、，，

.P(x)+l=%(x)[P(x)-l=%(x)

其中q(x),%(%)無公約式,

若尸(x)-1=1：一2020)/(x),則%⑴=6-2020)%(力+2,

、尸(x)+l=%(x)

故P(x)=(』-2020)1(x)+1,Q(x)=<7|(x)[(x2-2020)%(x)+2],

JP(X)+1=(W_2020)4(X)

同理當<',、時，

.p(x)-l=%(x)

2

尸(x)=(/-2020)1(x)-l,Q(x)=q{(x)[(x-2020)^(x)-2],

綜上，PM=(x2-2020)(x)-1,Q(X)=/(X)[(X2-2020)I(X)-2]

22

或P(x)=(x-2020)1(x)+1,Q(x)=q(X)[