異面直線所成角問題-【題型·技巧培優(yōu)系列】2022-2023年高一數(shù)學(xué)同步精講精練（人教B版2019必修第三冊(cè)）（解析版）

專題〃-5異面直線所成角問題

。?？碱}型目錄

題型1異面直線所成的角的概念及辨析..............................................................2

題型2求異面直線所成的角.........................................................................5

?類型1直接平移后相交......................................................................5

?類型2利用中位線平移.....................................................................12

?類型3補(bǔ)全長方體..........................................................................21

題型3由異面直線所成的角求其他量...............................................................22

?類型1線段條數(shù)問題.......................................................................22

?類型2線段長度問題.......................................................................27

?類型3面積問題............................................................................34

?類型4體積問題............................................................................35

Q知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn).異面直線所成角的概念：

1.定義：如圖，口,。是異面直線，在空間中任選一點(diǎn)o,過點(diǎn)a分別作ac的平行線方和o',則這兩條

直線?！头剿傻囊讳J角或直角稱為異面直線a。所成的角.

2.異面直線所成角范圍：（0,自

3.求異面直線所成的角的步驟

一作，即依據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角

二證，即證明作出的角是異面直線所成的角

三求，解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，

則它的補(bǔ)角才是要求的角

4.向量法

已知a,b為兩異面直線，A,C與B,D分別是a,b上的任意兩點(diǎn),a，b所成的角為9，則cosB=|總御

但題型分類

題型1異面直線所成的角的概念及辨析

【例題1]（2023?高一課時(shí)練習(xí)）異面直線所成角范圍所構(gòu)成的集合記為集合口，直線與平面所成角構(gòu)成

的范圍為集合O,則"OeD'是"□€?！模ǎl件

A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要

【答案】A

【分析】根據(jù)異面直線所成角范圍、直線與平面所成角構(gòu)成的范圍，結(jié)合充分性、必要性的定義進(jìn)行判斷

即可.

【詳解】因?yàn)椤?=（0,芻,￡7=[0,5,

所以由Oe。&自推出口e但由DeK一定能推出口eD,

因此“口€口是"口€口的充分非必要條件，

故選：A

【變式1-1】1.（多選）（2022春?浙江?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平行四邊形ABCD,Z7Z7=￡7,BC=1,

乙口□□=120°,E是線段CD上一動(dòng)點(diǎn).將△AE所在的直線進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，在翻轉(zhuǎn)過程中，下列結(jié)論

正確的是（）

A.當(dāng)O=2時(shí)，存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直

B.當(dāng)￡7=3時(shí)，存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直

C.當(dāng)。=4時(shí)，存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直

D.當(dāng)。=5時(shí)，存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直

【答案】BCD

【分析】本題從與OU垂直入手，轉(zhuǎn)化為□□與口口垂直,從何轉(zhuǎn)化為△□□已與A鋪在一個(gè)

平面內(nèi)后，z/7/7Z7>90°.

【詳解】解：設(shè)翻折前的OE為方，□□/口己,則在翻折過程中，存在某個(gè)位置使得直

線□□與□鹿直,只需保證/￡70方=90°,

?:乙/□□=乙□□□,由極限位置知，只需保證N方￡7。245。即可.

在^^口口^,ad=1,zZ7'Z7O=45°,乙口已□=120°,奧"匚j□口=15°,

由正弦定理知，—=—,則方。=V3+1,M+sin150=sinf450-30°）=sin45°cos300-

cos450sin30°=回，;

因?yàn)槊缶€段的f點(diǎn)，則。2V5+1,

故選：BCD.

【變式1-1]2（多選X2022春?廣西桂林?高一?？计谀┤鐖D所示，已知在正方體。口口。-口口口口

中，0u平面&&&&,且A與&a不平行，則下列能成立的是（）

A.口與口口^■行

B.口與口口^^

c.。與口a所成的角為30°

D.口與口匪直

【答案】BCD

【分析】依次分析每個(gè)選項(xiàng)，假設(shè)oil□口,得出矛盾，A錯(cuò)誤；取磔4a所在直線，滿足BD;取磔

a&成3?！憬牵琧成立，即可得到答案.

【詳解】假設(shè)on口口，則由口口IIa4可得on□[□、，與"。與aa不平行"矛盾，所以。與

平行，A錯(cuò)誤；

取%。14所在直線，滿足B,又因?yàn)镺_L□]口「□、口、II口口,所以口口,D正確；

取。與04成30。角，因?yàn)?ali口□,所以此時(shí)。與所成的角為30。，C正確；

故選：BCD

【變式1-1]3.(2022春?上海青浦?高一上海市青浦高級(jí)中學(xué)?？计谀?a,b為異面直線，且a,b所成

角為40。，過空間一點(diǎn)P作直線c,直線c與a,b均異面，且所成角均為O,若這樣的c共有四條，則

范圍為.

【答案】(70°,90°)

【分析】設(shè)平面O上兩條直線m,n分別滿足口,￡711D,則m,n相交，且夾角為40°,討論5勺取值范

圍，從而確定c的情況以及條數(shù)，即可得答案.

【詳解】設(shè)平面入兩條直線m,n分別滿足Oil□，口\\口,

則m,n相交，設(shè)交點(diǎn)為P,且夾角為40°,

如圖示：

過空間一點(diǎn)P作直線C,若直線c與a,b均異面，且所成角均為。，

則直線c與直線m,n所成角均為。，

當(dāng)0°4。<20°時(shí)，不存在這樣的直線c,

當(dāng)口=20°時(shí)，這樣的直線c只有一條，

當(dāng)20°<U<70°時(shí)，這樣的直線c有兩條，

當(dāng)口=70°時(shí)，這樣的直線c有三條，

當(dāng)70°<口<90°時(shí)，這樣的直線c有四條，

當(dāng)口=90°時(shí)，這樣的直線c只有一條，

故答案為：(70°,90°)

題型2求異面直線所成的角

【方法總結(jié)】把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：

(1)平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

(2)認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

(3)計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；

(4)取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是(0,同,當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條

異面直線所成的角..

?類型1直接平移后相交

【例題2-1]（2023春?全國?高一專題練習(xí)）在正為本□□□□-口1口1口1口內(nèi)，E舌分別是線段〃。,

□i勺中點(diǎn)，則異面直線0D,EF所成角余弦值是（）

A.[B.[C.[D.1

2332

【答案】C

【分析】如圖所示，連接?？?確定其補(bǔ)角是異面直線EF與&。所成角，在直角△UUg,

計(jì)算得到答案.

【詳解】如圖所示：F是線段aO的中點(diǎn)，連接￡7&交4OTF,

由正方體的性質(zhì)知。,知異面直線a。，EF所成角即為直線,EF所成角，

故NOO皈其補(bǔ)角是異面直線訐與&斤斤成角.

設(shè)正方體邊長為2,在直角△￡700中，口口=垃,口口=1,￡70=V3

故cos乙□□口=%=當(dāng)

故選：C

【變式2-1]1.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）在正方悻口□□□一口1口回口1中,P為&&的中點(diǎn),

則直線PB與□口1所成的角的正切值為（）

A.fB.1C.V3D.2

【答案】A

【分析】平移直線至m,將直線PB與。&所成的角轉(zhuǎn)化為PB與口。所成的角，解三角形即可.

【詳解】逢接口□與口國于口,

因?yàn)椤酢酢酢酢猽y口、□、a是正方體，且p為口、a的中點(diǎn),

所以S_L□□,所以4?？凇橹本€PB與04所成的角.

設(shè)正方體的棱長為2,

則在Rt△UU/J^,□□=V2,□□=2,所以tanzZ7￡7O=-

所以直線PB與O4所成的角的正切值為日

【變式2-1】2（2023春?全國?高一專題練習(xí)如圖所示在正三根在□□□—口1口、口1中口□、=口口=2,

則異面直線4口與□、口所成角的余弦值為（）

A,B立C-D立

euu

A.2-2,4-4

【答案】D

【分析】先利用棱柱的結(jié)構(gòu)特征、異面直線所成角的定義得到N&oa是異面直線小ga4所求角或

其補(bǔ)角，再利用正三棱柱的結(jié)構(gòu)特征及余弦定理進(jìn)行求解.

【詳解】連接口0，由棱柱的性質(zhì)得,

所以Na。。是異面直線與&&所成角或其補(bǔ)角；

由正三棱柱的性質(zhì)及￡7&=O口=2,

得口口=2,口、□=\口心+口d=20,

口1口=J口1n\+口[3=2V2,

在△4OO中,由余弦定理，

得

COSN￡7I￡7Z7=-2□□?□、□~~

4+8-8_V2

2x2x272—T

即異面直線0口與口1口所成角的余弦值為祭

故選：D.

【變式2-1]3.（2022春福建福州?高一福建省福州高級(jí)中學(xué)校考期末）在長方體口口、口1

中，口6禽，口）我，。。1=1,則。。和口口所成的角是（）

A.60°B.45°C,30°D.90°

【答案】A

【分析】根據(jù)。&Il0a可知0a即為oz?和口口所成的角.

【詳解】如圖所示：易知II,

所以□□和所成的角，即為口口和所成的角，

在Rt△□□、0中，tan/口□□、==V3,

LJLjy

所以/a。￡71=60°.

即□□]和□□、所成的角是60。.

故選：A

【變式2-1]4.（2023?全國?高一專題練習(xí)）如圖，已知正三棱柱￡700-口口口的棱長都相等，孤

棱中點(diǎn)，則口口與所成角的正弦值為（）

A邛B.當(dāng)C.半D.4

4444

【答案】B

【分析】取&&的中點(diǎn)。，芭妾□□、d口、口口,設(shè)正三棱柱0/70-a&a的棱長為2,證明出

口5口、口,所以，口口與￡74所成的角即為&D與￡74所成的角，NO4皈其補(bǔ)角即為所求，推導(dǎo)

*□□□、=90°,即可計(jì)算出Noa。的正弦值，即為所求.

【詳解】取aa的中點(diǎn)。，鑿妾□□、口］□、口口,設(shè)正三棱柱-a。1a的棱長為2,如下圖

因?yàn)椤酢醮凇酢壳铱诳?=,所以，四邊形O&0。為平行四邊形，

所以，口口1舊1口1且口口=口［□］,

又因?yàn)榭跒殒i為口口、口］口、的中氤，典\口口“口1口且口口=□］口,

所以，四邊形。口口孕平行四邊形，地□□《［□國□□、=口□,

年為□□#口口1且口□、=,所以，□□“□□縣□□=□□、,

所以，四邊形。。為平行四邊形，所以，口口口u,

所以O(shè)Z7與。&所成的角即為aZ7與￡74所成的角，ND&O或其補(bǔ)角即為所求.

在^□□［O43,□□1-J/Z7爐+CJCJy-2V2,口口=J口民+口、-V5，口、口=V3.

因?yàn)椤?/才=□己+4行，所以△口□、灰直角三角形，□□□□、=90°,

即以S\nz□口、口=墨=矗=號(hào)?

故選：B.

【變式2-1］5.（2023?高一單元測(cè)試）在如圖所示的正方體OOOO-口&&口中，異面直線?？谂c

a。所成角的大小為（）

【答案】c

【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義及正方體的特征求解

【詳解】連接a。，,如圖，

因?yàn)檎襟w中口1口〃口、口,

所以no就是a□與口1次斤成的角，

在4,□、□=□]□—

:□=60°.

故選：C

【變式2-1]6.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）在棱長為1的正方體口□□□-□[□]□目中,a為&&的

中點(diǎn)，那么直線口口與aa所成角的余弦值是（）

DC

4

小B、

A4B?嚅C.|D.1

【答案】B

【分析】根據(jù)異面直線夾角的概念平移找角，再結(jié)合余弦定理計(jì)算即可.

【詳解】解：連接&□、交口、口于口,取口。中點(diǎn)為o,連接口口,an,口□,

由正方體可知，□、口、〃□□,□、□、=,又口口、交口、口、于口，口為口［□］中點(diǎn),所以。切/

1

□、□、,□□二3口、口、'

我口□,所以四邊形OZ7OH）平行四邊形，而以□□

則直線與&&所成角為/00。1或其補(bǔ)角，

在△口、口仔,口、口=三口、口1=凈□口=□□=3+$=1,&￡7=心+3=苧,

所以cosN/J/Zy=

2口口口、口

則直線。。與。15所成角的余弦值是詈.

故選：B.

?類型2利用中位線平移

【例題2-2］（2023春?全國?高一專題練習(xí)）在正方體-□】4&&中A狡別為口闔

中點(diǎn)，則異面直線4門與口。所成角的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】由題易得。avaa,連接口a,即可得出4a0a為等邊三角形，從而得出所求角的大小為eo°.

［詳解］如下圖所示，連接ao

*：口口舊口,DUHDy□、,：.□□舊］d

則異面直線a。與。。所成角為n4口a

???口、口「口、口=口、口即4口為等邊三角形

:.乙口1口1口=60.

故選:C.

【變式2-2］1.（2023?高一單元測(cè)試）在正四面體。-□□徜,D為。中）中點(diǎn)，則直線口。與0次斤

成角的余弦值為（）

【答案】C

【分析】作出直線口口與口。所成角,并利用余弦定理求得其余弦值.

【詳解】取。。的中點(diǎn)為E,連接￡70,口口，則Z7OII,

所以為。。與。。所成的角（或其補(bǔ)角）.

設(shè)正四面體的棱長為20,則￡7,口口=心口,口口=瓜口,

所以在△口口8,口￡□□□=("+V?=圣

ZXVoL_/1￡_/O

故選：C

【變式2-2】2.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）空間四邊形Z7SG）兩對(duì)邊￡7口=口口=3.口、口分別是￡70、

□□甘氤，目口口=小，□□:口口=□□.□口=1:2,觀\□□與口所睚大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，作□□“□□^口方口,蘸口口，可礴口□”口口，得乙口口口是□□與口所

成的角或其補(bǔ)角，由平行線性質(zhì)求得。a。口，由余弦定理求得NODD,從而得。。與。。所成的角.

作。?！?U交口O于￡7,如圖，翅妾口口,

則攜=攜，蜷=需，所以卷=程，所以口口/口口，

所以n。。。是oa與。。所成的角或其補(bǔ)角，

口口=口口=3,?？诳?，所以攜=攜|,口口=2,

歷

□口攜=J所以00=1

玩二

口仔+口曰-口仃_22+F_(V7)2

△UUU^,cos乙□□口=2

-2□口□口一_2x2x1-2

是三角形內(nèi)角,所以乙口口口=120。，

所以。。與。。所成的角是60。，

故選：C.

【變式2-2]3.（2023?高一單元測(cè)試）已知。。是圓錐的一條母線,。。是底面圓。的一條直徑，

△口口口為正三角形”口口口=30°,則?！ㄅcOO所成角的余弦值為（）

A]B.lC.lD.I

【答案】A

【分析】延長。融圓土FO,連接。O,取的中點(diǎn)O,翅妾口口，令析可知乙□□?？诳谂c口行

成的角,利用余弦定理可求得然后利用余弦定理可求得/0口重余弦值，即為所求.

【詳解】如圖，延長O融圓O于。，連接口口,取￡70的中點(diǎn)。，連接?？?，她口口1口口,

則為。。與￡70所成的角，

不妨設(shè)圓二勺半徑為1,則口□=□□=2,□□=、]口=1,

因?yàn)閍為。。的中點(diǎn)，則四邊形oooa為平行四邊形，

?:乙□□□=30：：,乙□□匚!=60°,則ZZ7ZZ7=□□—1,

口仃+口d-必_22+22-12_7

在4，CO"□□□=-2￡70￡70-2x2x2-8

由余弦定理可得口爐=口仃+口仃-2DCJ-□□/乙□口□=22+12-2x2x1=5

o2

221

口仔+口仔-口仔1+1-|

-

所以,coszZZ7ZZ7ZZ7=4

2口口口□~2x1x1

故選：A.

【變式2-2］4.（2023?高一單元測(cè)試）如圖，在直三棱柱口□］口］口曲山叨。是等邊三角形，

□□「□□,口,口，a分別是棱。4,,o■中點(diǎn)，則異面直線oa與a。所成角的余弦值

是（）

B

A.B.C.D.W

35105

【答案】c

【分析】在棱上取一點(diǎn)O,使得。&=4S,取Z74的中點(diǎn)。，連接。O即可得

到00/0。，則/￡7。?；蚱溲a(bǔ)角是異面直線。。與&5斤成的角，求出￡70,口□，□口,再利用余

弦定理計(jì)算可得.

【詳解】解：如圖，在棱。&上取一點(diǎn)〃,使得口4=400,取O4的中點(diǎn)￡7,連接口。

由于a。分別是棱。a,的中點(diǎn)，所以0口,□□1口、n，故四邊形公平行四邊形，

又因?yàn)閍口是口□,口中）中點(diǎn)，耐以口□“口□，所以。。/4口，則皈其補(bǔ)角是異面直線0o與

口。所成的角.

設(shè)_□□=4,則。￡7=2,□□=1,□口=2,

從而Z7O=J口^+[JLf=V5,□□=J口仔+DD)2=V17

□□=J丁-￡7仃=2V3,UD=d口仃+皿=4

故COSN□□□=16+5-1=西

口入2x4xV510'

故異面直線OZ7與4。所成角的余弦值是尋

B

故選：C

【變式2-2]5.（2023?全國?高一專題練習(xí)）在正方體口□、中,a儂別是面&5口&和口D

的中心，則。OF口口二所成的角是.

【答案】45。%

【分析】連接口a口口，則點(diǎn)班&。0勺中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)可得出口從而可知。3口

口所成的角為4口口口，即為所求.

【詳解】連接4。、口口則點(diǎn)a為4中）中點(diǎn)，如下圖所示:

易知點(diǎn)a為04的中點(diǎn)，又因?yàn)閍為a粥中點(diǎn)，所以，

所以，口匚和口匚斯或捌能為乙□□□1=45°.

故答案為：45°.

【變式2-2]6.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）直三棱柱心口口一口1口1口1中,乙□□口=90°,□□=口□=

□口、="則與所成角大小為.

【答案】60°

【分析】作出。&與O&所成角，并判斷出角的大小.

【詳解】設(shè)口口1n□、口=口,設(shè)O是口蜜勺中點(diǎn)，連接oa口口,

則,所以與oa所成角是/。口強(qiáng)其補(bǔ)角.

根據(jù)直棱柱的性質(zhì)以及N000=90?？芍诳赸=□□]=□□3,

所以?！?=□□=,

所以三角形?！?2是等邊三角形，所以4口口口=60°,

所以0口1與□口、所成角大小為60。.

故答案為：60°

【變式2-2]7.(2023春?全國?高一專題練習(xí))如圖所示，圓錐SO的底面圓半徑0氏1,母線口□=3.

(1)求此圓錐的體積和側(cè)面展開圖扇形的面積；

(2)過點(diǎn)0在圓錐底面作0A的垂線交底面圓圓弧于點(diǎn)P,設(shè)線段SO中點(diǎn)為M,求異面直線AM與PS所

成角的余弦值

【答案】(1)。=竽；〃=3n

⑵誓

【分析】(1)根據(jù)圓錐的體積和側(cè)面積公式即可；

(2)異面直線所成角，平移其中一條線，然后放到三角形中用余弦定理即可.

【詳解】(1)圓錐SO的底面圓半徑061,母線口□:3,所以圓錐的高為力=V32-1=2V2,

所以圓錐的體積O=gxnx儼x2夜=雪

圓錐的側(cè)面展開圖扇形的面積。=nX1X3=3n

(2)在圓錐中,交口方口,則異面直線AM與PS所成角為4口口口,

□d+ad-ucf_3+衿_4V3

所以COSN□□□=

-2?□口□口-=2xV3x1=V

所以異面直線AM與PS所成角的余弦值為子.

【變式2-2]8.（2023?高一單元測(cè)試）如圖所示，在四面體。中，E、F分別是線段AD、BC上的

（1）求證：直線。。與。〃是異面直線；

口若口口=口口=3,□□=小，球□□、。。所成角的大小.

【答案】Q）證明見解析

(2)60°

【分析】（1）a為上靠近2勺三等分點(diǎn)，易證a口,口,。四點(diǎn)共面ooo￡7（面□□□、,結(jié)合異面

直線的定義判斷。口與口。是否異面;

（2）aa分別為oa□on近口,中）三等分點(diǎn)，易知口以。。所成角為/?？凇銎溲a(bǔ)角，進(jìn)而求其

大小.

【詳解】（1）若。為DO上靠近。的三等分點(diǎn)，則需=翟=]故口口,

所以以口,D,。四點(diǎn)共面?！?口。，顯然a口,D不共線，故面與面?！?0%同一個(gè)平面，

而口遹□□□,□強(qiáng)□□□,即口口。面□□口=□,□□口,□先□□,

所以直線oo與。a是異面直線；

（2）若a為別為口□,女薄近aBJ三等分點(diǎn)，則等=|g=券=gg=]

怩以,￡70〃￡70//￡70,故￡7。?？跒槠叫兴倪呅危靠凇?、口匚麻成羯為乙口口獨(dú)

其補(bǔ)角，

19

又EJU--UU=1,ULJ=-DLJ-2,則cosz￡7Z7/27=cos（n-z￡7ZZ7Z7）=-cosz￡7￡7Z7=

口日+口4-口曰__2

-2口□?口口——Q，

由乙口口口2（0,180°）,故乙□□□=120°,則￡7。、O方成角為60°.

?類型3補(bǔ)全長方體

【例題3]（2023春?全國?高一專題練習(xí)）在長方體口口?？谝豢?口1□]口[（平面a口、口1a為下底面）

中，2/70=3口口=6,4,點(diǎn)班線段&&的中點(diǎn)，則異面直線aa與口。所成角的余弦值為

【答案】察##券國

【分析】在長方悻□□□□-&&&&的上方補(bǔ)一個(gè)全等的長方體口口。。一口2口2口2口2,進(jìn)而在

△利用余弦定理求解即可.

【詳解】解：在長方體。?？诳?4aoi4的上方補(bǔ)一個(gè)全等的長方體0/70/7-口2口2口2口2，

所以，由長方體的性質(zhì)可知：直線&nil口口2,

因?yàn)?3口口=6,□□=4,點(diǎn)。為線段&&的中點(diǎn)

所以ZZ7ZZ7=VT7,=VT3,口口2=V40,

所以C°SNR74=名需/=5V221

221

所以，異面直線0口與BF所成角的余弦值為咨.

故答案為：察

題型3由異面直線所成的角求其他量

?類型1線段條數(shù)問題

【方法總結(jié)】一般地，如果兩條異面直線所成的角為o(o＜口內(nèi),過空間一點(diǎn)。作直線口與aD

所成的均為。，即直線d勺條數(shù)為口，則

(1)若0＜。＜當(dāng)，則口=0；

(2)若。，則。=1;

(3)若年＜〃(竽，則0=2;

(4)若。=竽，則。=3;

⑸若竽＜□吟,則口=4

(6)若。=微，則Z7=1.

【例題3-1*2022春?江蘇揚(yáng)州?高一?？茧A段練習(xí)而正方悻口□□□-￡71dUy4的所有面對(duì)角線中，

所在直線與直線口?；楫惷嬷本€且所成角為60°的面對(duì)角線的條數(shù)為()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】作圖，直接觀察可得.

【詳解】如圖，易知△□[為等邊三角形，所以NO&&=60°,又□[□、,所以異面直線s

與aO的夾角為60°,符合題設(shè).

同理，面對(duì)角線a口,□、□「也滿足題意，所以滿足條件的面對(duì)角線共4條，

故選：B.

【變式3-1]1.(2021秋?陜西西安?高一陜西師大附中校考階段練習(xí))若過正方體ABCD-A1B1C1D1

的頂點(diǎn)A作直線I,使得直線I與三條棱AB,AD,AA1所在直線的夾角均相等，則這樣的直線I的條數(shù)為

A.0B.1C.3D.4

【答案】D

【分析】將小正方體擴(kuò)展成4個(gè)小正方體，根據(jù)直線夾角的定義即可判斷出符合條件的條數(shù).

設(shè)ABCD-A1B1C1D1邊長為1.

第一條：AC1是滿足條件的直線；

第二條：延長C1D1到C2且D1C2=1,AC2是滿足條件的直線；

第三條：延長C1B1到C3且B1C3=1,AC3是滿足條件的直線；

第四條：找C1關(guān)于A1的對(duì)稱點(diǎn)C4,AC4是滿足條件的直線.

綜上，滿足題意的直線I的條數(shù)為4條.

故選：D

【變式3-1]2.（2021春?高一課時(shí)練習(xí)）在正方體。?？诳?口口[&各個(gè)表面的對(duì)角線中，與

所成角為60°的有

A.4條B.6條C.8條D.10條

【答案】C

【分析】首先確定與。&共面的面對(duì)角線中成60°角的共有4條，再通過平行關(guān)系確定異面的面對(duì)角線中也

有4條，共8條.

以oa為一邊的面對(duì)角線構(gòu)成的等邊三角形如上圖為：□□□]口、和口

可知與O4夾角為60°的面對(duì)角線有：□1口1,口口

根據(jù)平行關(guān)系可知。a□、D,口1口,口、0也與O&成60°角

可知滿足題意的面對(duì)角線共有8條

本題正確選項(xiàng)：D

【點(diǎn)睛】本題考查兩條直線夾角的問題，關(guān)鍵是在考慮共面的直線的同時(shí)，也需要考慮異面直線的情況.

【變式3-1]3.（2019秋?江西上饒?高一上饒中學(xué)校考階段練習(xí)）已知兩異面直線口，。所成的角為80°,

過空間一點(diǎn)O作直線，使得口與口,。的夾角均為50°,那么這樣的直線有條

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【詳解】分析：如圖所示，把a(bǔ)。平移到點(diǎn)儂，則與a。所成的角都為50。的直線有3條.

詳解：過g乍與a?行的直線。,口,

如圖，乙□□□=&）：

直線口匚冠點(diǎn)、口^/口口口=乙□口□=50°,這樣的直線有兩條.

又乙□□□=100°,直線口口^為乙□□匚蝌平令線,貝（k00/27=4□口□=50°,

綜上，滿足條件的直線的條數(shù)為3.

【變式3-1】4.（多選）（2021春?重慶沙坪壩?高一重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知空間中兩條直線O,

。所成的角為50。，。為空間中給定的一個(gè)定點(diǎn)，直線血點(diǎn)O且與直線貨口直線O所成的角都是

<□<90°）,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.當(dāng)□=15°時(shí)，滿足題意的直線&F存在B.當(dāng)。=25°時(shí)，滿足題意的直線砥且僅有1條

C.當(dāng)口=40。時(shí)，滿足題意的直線。有且僅有2條D.當(dāng)口=60。時(shí),滿足題意的直線O有且僅有3條

【答案】ABC

【分析】為了討論：過點(diǎn)□與口、。所成的角都是。（0°（90°）的直線。育且僅有幾條，先將涉及到的

線放置在同一個(gè)平面內(nèi)觀察,只須考慮過點(diǎn)。與直線&所成的角都是。（0°4□490。）的直線。有且

僅有幾條即可，再利用cos。=cos4?cos4.進(jìn)行角之間的大小比較即得.

【詳解】過點(diǎn)Of乍&〃。，&〃0則相交直線&、&確定一個(gè)平面與&之間形成的角為50?；?30。，

設(shè)直線0A與4、&均為。角，

作■□口1面/_>十點(diǎn)。,UU10于點(diǎn)Z7,ZZ7ZZ71于點(diǎn)Z7,

記上□□□=□、,乙□□□=口2（口2-25°或65°）,則有cos￡7=cos&?cos/Z^.

因?yàn)?°《490°,所以0<cosZZ7<cosQ.

當(dāng)4=25°時(shí),由0<cos￡7<cos250,得25。<￡7<90°;

當(dāng)口2=65。時(shí),由0<cos￡7<8s650,得65。<□<90°.

故當(dāng)O<25。時(shí),直線。不存在；

當(dāng)口=25°時(shí)，直線怎且僅有1條；

當(dāng)25°<。<65°時(shí)，直線U有且僅有2條；

當(dāng)口=65°時(shí)，直線二有且僅有3條；

當(dāng)65°<￡7<90°時(shí)，直線。有且僅有4條;

當(dāng)。=90。時(shí)，直線O有且僅有1條.

故O,口均正確，Z3錯(cuò)誤.

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查線面角大小的判斷，處理技巧上，將直線口2專化成共面直線非常關(guān)鍵，考

查了數(shù)形結(jié)合，分類討論的數(shù)學(xué)思想.

?類型2線段長度問題

【例題3-2]（2023春?全國?高一專題練習(xí)）在空間四邊形Z7OO乙中，口口口,2分別是￡70,口口,

￡70,勺中點(diǎn).若0。=00=2,且。若口麗成的角為60。，則￡7中）長為（）

A.1B.V2C.1或V3D.g或6

【答案】C

【分析】趣妾口口，口口,可得4口口口=60?；?20。，求解三角形即可求出.

【詳解】如圖，連接oa□□,在4口￡7。中，因?yàn)閍e為中點(diǎn)，即以,□□=1,

在^□口田,因?yàn)閍孕中點(diǎn)，所以=1,

因?yàn)椤?。與Z7O所成的角為60°,而以乙□□口=60°或120°,

當(dāng)乙□□□=60。時(shí)，△口口。為等邊三角形，所以口口=1,

當(dāng)乙□□□=120°,由余弦定理可得=1+1-2x1x1x（一；）=3,即Z7Z7=V5,

所以口方長為1或百.

故選：C.

【變式3-2]1.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）圓柱的高為4厘米，底面半徑為3厘米，已知上底面一條半徑S

所在直線與下底面的一條半徑方方所在直線的夾角為60°,求：

Q）直線與圓柱的軸。方所成角的正切值；

⑵線段。方的長.

【答案】（年或苧

（2）ZZ7Z7-5cm或V？5cm.

【分析】⑴利用異面直線所成角的定義作平行線，再利用幾何知識(shí)求角即可；

⑵利用勾股定理求心方即可.

(1)

已知上底面一條半徑OO所在直線與下底面的一條半徑Oo'所在直線的夾角為60。，則N方方方=60?；?/p>

120°,則￡7’的位置可能有如圖兩種情形：方與位置可能有如圖兩種情形：口與口.

由口仃\\口已，直線Z7。'與圓柱的軸。/7'所成角為方或其補(bǔ)角，在兩種情況下，已已=3cm或

375cm,tanzO￡7n=?或苧,所以直線O方與圓柱的軸￡7方所成角的正切值為;或苧.

（2）

,,,I2~2

由（1）知，在兩種情況下，仃仃=3cm或3vsem,口仃=-JZ7Z7+Z7￡7=5cm或"5cm.

【變式3-2]2.（2020春?遼寧沈陽?高一沈陽二中?？计谀┮阎浩矫婵趎□=□,口€□,□€口,

□□=4,口€□,□□>口,口□=3,DEU,口口?LJ,口口=3.直線AC與BD的夾角是60。，則

線段CD的長為.

【答案】5或聞

I令析、作□□//□□目□□=□□幅妾口口,□□,□□□（或其補(bǔ)角）為異面直線口所成

的角，所以乙口□口=60。或4口□口=120°,證明口0_L□口,先求出￡70,再得口O.

【詳解】如圖族□□"□近口口=□□曲□口,□□網(wǎng)乙□□□（或其補(bǔ)角）為異面直線。2口口

所成的角，所以4口□口=60?；蛞摇蹩凇?120°,

因?yàn)椤酢酢翱?口□=口□,所以是平行四邊形，所以,□□=00=4,

因?yàn)?口□,口□1口口,所以口口1口口口□1口口,￡7/7n□口=D,所以0口1平面￡700,

口口U平面□□□,所以￡7口1口口,

□口=□口=3,若乙□口□=60°,則口口=3,□□=V32+42=5,

若乙口口口=120°,則口￡7=2x3sin60°=3V3,口口=<27+16=V43.

故答案為：5或聞.

【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的應(yīng)用，都可空間兩點(diǎn)間的距離.解題關(guān)鍵是作出異面直線所成的角.構(gòu)

造三角形，在三角形中求線段長.

【變式3-2]3.（2020秋?全國?高一專題練習(xí)）如圖，在底面邊長為1的正四棱柱口Z7S-口口&a

中，點(diǎn)E為04的中點(diǎn)，異面直線口。與口a所成的角的正弦值為噂,則側(cè)棱口a的長度為.

【答案】1或2

【分析】連aa由知異面直線與口乜所成角的平面角為故過點(diǎn)t忤

□1K點(diǎn)、□，設(shè)口□=及即可表示出oaoa又由。az?。?？傻闷鋵?duì)應(yīng)線段成比例,列出等

式代入數(shù)據(jù)后即可得解.

【詳解】連&&由題可知&。/。&,

可得異面直線?？谂c口口所成角的平面角為N4□口,

過點(diǎn)E作口。J.口方彘口設(shè)□□=h.

有□口=—4=Vw/i,□口=SIDEF-nd-=

sM/口、口口關(guān)

又□□、□□s□□、口□有程=器

得:=尸二，解得」=1^1

1285

JI+4（104-1）

所以口口=；或1

所以O(shè)4=1或2.

【點(diǎn)睛】本題考查空間中棱長的求法，需要學(xué)生有一定的空間思維和計(jì)算能力，解題關(guān)鍵是將異面直線所成角

轉(zhuǎn)化為平面角求解.

【變式3-2J4.（2022?全國?高一假期作業(yè)）如圖，在△口口*,￡7/7=1,□□:2^2,□=亨，將△□□□

繞邊口。1組轉(zhuǎn)至△口口口，行面□□□L平面口□□，口是口曲中息，設(shè)。是線段口。的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)?？?/p>

與口。所成角取得最小值時(shí)，線段。中于（）

A由n3V52V5275

M-2e-5ec,5UD-3

【答案】C

【分析】由題意可將三棱錐D-DOGft在棱長為2的正方體中如圖所示，當(dāng)口口11口匚鴕,□□與口所

成的角取得最小值，利用相似計(jì)算得到答案.

【詳解】由題意可將三棱錐口一口口。放在棱長為2的正方體中如圖所示,

延長。依正方體的棱于點(diǎn)。，連接則ao均為其所在正方體棱上的中點(diǎn)，

過點(diǎn)0（乍05勺垂線￡7口，垂足為點(diǎn)O,她平□□□,所以。口1口口,

又因?yàn)樨吾?,口口,口口門口口=n,而以口口上平面□□□□,

則。。為。口在平面。?？?。內(nèi)的投影,

則當(dāng)OB/OOB寸，O,口斤斤成的角取得最小值，

此時(shí)由oo//oa口源x□□□"□□□,則攜=攜

在口口2口口收,易得口口=V，所以□□=寫?zhàn)B=孝=等，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角的最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力，將三棱錐放在棱長

為2的正方體中是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2】5（2019春?湖北?高一校聯(lián)考期中班圖在底面為正方形側(cè)棱垂直于底面的四棱柱

□通口口曲，□口=】，若異面直線&。與所成角的余弦值為k,則第的值為（）

A.3C.2D.|

【答案】A

【分析】連結(jié),可得異面直線與所成角為N0O0.利用余弦定理可求出,

最后可求出案的值.

連結(jié)44,

???異面直線&￡片57所成角為/&04.

令□□、=口,則a￡7=□□、=/力+1,aa=夜.

COSNZZ7I￡7Z7I

「?行=9,￡7=3.即=3.

???第=3.故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查兩條異面直線所成角的大小的求法，是中檔題.求異面直線所成的角主要方法有兩種：

一是向量法，根據(jù)幾何體的特殊性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向

量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用

平面幾何性質(zhì)求解.

?類型3面積問題

【例題3-3]（2023春?全國?高一專題練習(xí)）如圖，已知空間四邊形OOOO兩對(duì)角線口二口口。的長分別

為8和10,所成的角為60°,依次連接各邊中點(diǎn)所得四邊形。?？?。的面積是_______；

【答案】10V3

【分析】根據(jù)口，口,。分別為OO,口口，口口,DO中點(diǎn)得到四邊形0/7。/7為平行四邊形，且

口口=口口=三口口=5,□□:□□=；□□=4,根據(jù)口。與口。所成角為60。得到平行四邊形

0002勺一個(gè)內(nèi)角為60°,然后求面積即可.

【詳解】因?yàn)镺,口,□,已分別為口口，□口，□口,口口^彘,

所以O(shè)Z7IIZZ7OII□口,□□,且□□=口口=；口口=5'=□□=；□口=&,

所以四邊形。。?？跒槠叫兴倪呅?，

因?yàn)镺D與口。所成角為60。，所以平行四邊形口口口量勺一個(gè)內(nèi)角為60。，

所以□□口口口=2x；x4x5xsin60°=10V3.

故答案為：10V3.

【變式3-3]（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知長方體OOOO-aaaa的體積為9,UD>LJIJ,

□□一旦異面直線AC與口&所成的角為60。，則該長方體的表面積為.

【答