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第七章平行線的證明1為什么要證明數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版課前預(yù)習(xí)典例講練目錄CONTENTS數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版01課前預(yù)習(xí)
1.
實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納得到的結(jié)論可能正確,也可能不正確.因
此,要判斷一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確,僅僅依靠實(shí)驗(yàn)、觀察、歸
納是不夠的,必須進(jìn)行
?.有根有據(jù)的證明
2.
檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論常用的三種方法.(1)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證法:常用于檢驗(yàn)一些比較直觀、簡(jiǎn)單的結(jié)論;(2)舉反例法:多用于說(shuō)明某結(jié)論不正確;(3)推理論證法:既可以驗(yàn)證某結(jié)論是正確的,也可以驗(yàn)證某
結(jié)論是不正確的.注:實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證是最基本的方法;在推理的依據(jù)正確的前提下,
推理論證是最可靠、最科學(xué)的方法.數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版02典例講練
(1)當(dāng)
n
=0,1,2,3,4,5時(shí),
n2-
n
+11的值是質(zhì)數(shù)
嗎?能否得出結(jié)論:對(duì)于所有的自然數(shù)
n
,
n2-
n
+11的值
都是質(zhì)數(shù)?【思路導(dǎo)航】先計(jì)算,再對(duì)結(jié)論進(jìn)行判斷.解:當(dāng)
n
=0,1,2,3,4,5時(shí),
n2-
n
+11的值分別是11,
11,13,17,23,31,它們都是質(zhì)數(shù).當(dāng)
n
=11時(shí),
n2-
n
+11=121=11×11,不是質(zhì)數(shù).所以不能得出題目中的結(jié)論,即對(duì)于所有的自然數(shù)
n
,
n2-
n
+11并非都是質(zhì)數(shù).【點(diǎn)撥】觀察、歸納以及對(duì)少數(shù)具體的例子進(jìn)行計(jì)算得出的結(jié)
論不一定正確,只有通過(guò)推理論證的方法研究問(wèn)題,才能解釋
問(wèn)題的本質(zhì).(2)若有一條線段
AB
的長(zhǎng)為3
cm,另一條線段
BC
的長(zhǎng)為2
cm,則
AC
的長(zhǎng)一定是5
cm嗎?【思路導(dǎo)航】先畫(huà)出所有可能的圖形,再進(jìn)行判斷即可.解:不一定.如圖所示,此時(shí)
AC
=
AB
-
BC
=3-2=1(cm).【點(diǎn)撥】說(shuō)明一個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤,只需舉出一個(gè)例子,該例子不適
合這個(gè)結(jié)論即可,例子的選取一定要滿足所給的條件,而不能
滿足結(jié)論.
1.
已知騎自行車(chē)的速度是15
km/h,騎摩托車(chē)的速度是40
km/h,則下列結(jié)論一定正確的是(
D
)A.
從A地到B地,騎摩托車(chē)的人比騎自行車(chē)的人一定先到達(dá)B.
從A地到B地,騎自行車(chē)的人比騎摩托車(chē)的人后到達(dá)C.
從A地到B地,騎自行車(chē)和騎摩托車(chē)的人不可能同時(shí)到達(dá)D.
從A地到B地,騎自行車(chē)的人有可能比騎摩托車(chē)的人先到達(dá)D2.
在一次測(cè)試中,老師出了如下題目:比較
nn+1與(
n
+1)
n
的大小.有些同學(xué)經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn):當(dāng)
n
=1時(shí),
nn+1
(
n
+1)
n
(填“>”“<”或
“=”);當(dāng)
n
=2時(shí),
nn+1
(
n
+1)
n
(填“>”“<”或
“=”);所以他們得出一個(gè)結(jié)論:若
n
為任意自然數(shù),則
nn+1<(
n
+
1)
n
.<
<
這些同學(xué)的結(jié)論是
的(填“正確”或“錯(cuò)誤”).錯(cuò)誤
【解析】當(dāng)
n
=1時(shí),
nn+1=1,(
n
+1)
n
=2,此時(shí)
nn+1<(
n
+1)
n
;當(dāng)
n
=2時(shí),
nn+1=8,(
n
+1)
n
=9,此時(shí)
nn+1<(
n
+1)
n
;當(dāng)
n
=3時(shí),
nn+1=81,(
n
+1)
n
=64,此時(shí)
nn+1>
(
n
+1)
n
.所以,若
n
為任意自然數(shù),
nn+1<(
n
+1)
n
不成
立,即這些同學(xué)的結(jié)論是錯(cuò)誤的.故答案為<,<,錯(cuò)誤.
觀察下列等式:第一個(gè)等式:22-21=4-2=2=21;第二個(gè)等式:23-22=8-4=4=22;第三個(gè)等式:24-23=16-8=8=23;……(1)請(qǐng)按這個(gè)順序仿照前面的等式寫(xiě)出第四個(gè)等式;(2)根據(jù)你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,用含字母
n
的式子表示第
n
個(gè)等式,并說(shuō)明等式成立.【思路導(dǎo)航】(1)根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出第四個(gè)等式即可;(2)由
(1)歸納出第
n
個(gè)等式,再利用等式的性質(zhì)說(shuō)明.(2)第
n
個(gè)等式:2
n+1-2
n
=2
n
.理由如下:因?yàn)?
n+1=2×2
n
=2
n
+2
n
,所以2
n+1-2
n
=2
n
+2
n
-2
n
=2
n
,即等式成立.【點(diǎn)撥】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律,關(guān)鍵是找出其中的“變”
與“不變”.如:此題中“變”的是指數(shù),“不變”的是底數(shù)
“2”,并用
n
表示“變”的部分,得出一般式子.同時(shí)根據(jù)規(guī)
律推理得出一般式子后,必須進(jìn)行有根有據(jù)的說(shuō)明.解:(1)第四個(gè)等式:25-24=32-16=16=24.
觀察下列等式:第一個(gè)等式:32-4×12=5;第二個(gè)等式:52-4×22=9;第三個(gè)等式:72-4×32=13;……根據(jù)上述等式反映出的規(guī)律,解答下列問(wèn)題:(1)寫(xiě)出第五個(gè)等式:
?;112-4×52=21
(1)【解析】因?yàn)榈谝粋€(gè)等式:32-4×12=5;第二個(gè)等式:52-4×22=9;第三個(gè)等式:72-4×32=13;……所以第五個(gè)等式:112-4×52=21.故答案為112-4×52=21.(2)解:猜想第
n
個(gè)等式:(2
n
+1)2-4
n2=4
n
+1.驗(yàn)證如下:因?yàn)椋?
n
+1)2-4
n2=4
n2+4
n
+1-4
n2=4
n
+1,所以猜想的等式正確.(2)猜想第
n
個(gè)等式(用含
n
的代數(shù)式表示),并驗(yàn)證你猜想
的等式是否正確.
警方抓獲一個(gè)由甲、乙、丙、丁四人組成的盜竊團(tuán)伙,其中只
有一個(gè)人是主謀.經(jīng)過(guò)審訊,A,B,C三名警察各自得出結(jié)
論.A:主謀是甲或乙;B:甲不是主謀;C:乙和丙都不是主
謀.已知三名警察中只有一個(gè)人的推測(cè)正確,則主謀是
?.【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意,分只有警察A或警察B或警察C推測(cè)正
確三種情況進(jìn)行分析、推理、判斷,便可得到結(jié)果.丙
①由A正確,得主謀是甲或乙;②由B錯(cuò)誤,得甲是主謀;③由C錯(cuò)誤,得乙和丙中有一個(gè)是主謀.由②③和“其中只有一個(gè)人是主謀”得出矛盾,故假設(shè)不成立.【解析】(1)假設(shè)A的推測(cè)正確,則③由C錯(cuò)誤,得主謀是乙或丙.綜上所述,得到主謀是丙,符合題意,故假設(shè)成立.(2)假設(shè)B的推測(cè)正確,則①由A錯(cuò)誤,得主謀是丙或??;②由B正確,得主謀是乙、丙或丁;②由B錯(cuò)誤,得主謀是甲.由①②即可得出矛盾,故假設(shè)不成立.綜上所述,只有B的推測(cè)正確,且主謀是丙.故答案為丙.(3)假設(shè)C的推測(cè)正確,則①由A錯(cuò)誤,得主謀是丙或??;【點(diǎn)撥】在進(jìn)行推理時(shí),可以先假設(shè),然后看有沒(méi)有矛盾:若
沒(méi)有矛盾,則假設(shè)就是正確的;若有矛盾,則假設(shè)就是錯(cuò)誤的.
即先假設(shè)某種情形成立,再通過(guò)邏輯逐步推理,得出特殊事實(shí)
應(yīng)遵循的規(guī)律,進(jìn)而觀察是否與事實(shí)相符或相矛盾,從而作出
判斷.
甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在操場(chǎng)上踢足球,一個(gè)人不小心打碎
了玻璃窗.老師問(wèn)他們時(shí),他們這樣說(shuō).甲說(shuō):“玻璃是丙或丁
打碎的.”乙說(shuō):“肯定是丁打碎的.”丙說(shuō):“我沒(méi)有打碎玻
璃.”丁說(shuō):“我沒(méi)有干這種事.”他們的老師聽(tīng)了之后說(shuō):
“他們中有三位都不會(huì)說(shuō)謊.”由此我們知道,打碎玻璃的
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