新高考I卷地區(qū)高三數(shù)學(xué)模擬題題型細(xì)分28立體幾何單選填空5外接球中下

2024年全國(guó)一卷新高考題型細(xì)分28——立體幾何單選填空5試卷主要是2024年全國(guó)一卷新高考地區(qū)真題、模擬題，合計(jì)202套。其中全國(guó)高考真題4套，廣東47套，山東22套，江蘇18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。題目設(shè)置有尾注答案，復(fù)制題干的時(shí)候，答案也會(huì)被復(fù)制過(guò)去，顯示在文檔的后面，雙擊尾注編號(hào)可以查看。方便老師備課選題。題型純粹按照個(gè)人經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分類，沒(méi)有固定的標(biāo)準(zhǔn)?！读Ⅲw幾何_——單選填空》主要分類有：多面體體積、表面積，旋轉(zhuǎn)體體積、表面積，線面關(guān)系判斷，截面，線線角、線面角、二面角，點(diǎn)點(diǎn)距離、長(zhǎng)度，點(diǎn)面距離，線線距離，外接球基礎(chǔ)，外接球中下，外接球中檔，內(nèi)切球，球截面，球的體積，表面積，球缺，其他球相關(guān)，點(diǎn)線距離等，軌跡，最短路徑，綜合，拓展，其他，中檔，中上等，大概226道題。外接球——中下：（2024年粵J52燕博園，末）14.已知表面積為的球的內(nèi)接正四棱臺(tái)，動(dòng)點(diǎn)在內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為14.【命題意圖】本題考查了正四棱臺(tái)的基本概念與性質(zhì)?和球體積的計(jì)算方法，考查考生對(duì)直線與直線?直線與平面?平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)的理解與應(yīng)用的能力.【答案】【解析】設(shè)球的半徑為，則.設(shè)分別為正方形與正方形14.【命題意圖】本題考查了正四棱臺(tái)的基本概念與性質(zhì)?和球體積的計(jì)算方法，考查考生對(duì)直線與直線?直線與平面?平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)的理解與應(yīng)用的能力.【答案】【解析】設(shè)球的半徑為，則.設(shè)分別為正方形與正方形的中心，在正方形中，，則與重合，故正方形的中心即為球心.由于，，則面面，則面面.在平面內(nèi)作于，則平面，則就是直線與平面所成角，，當(dāng)取最小值時(shí)，最大.在等腰梯形中，，則為正三角形，，故直線與平面所成角的正弦值的最大值為.（2024年冀J16邯鄲三調(diào)，末）8.已知在四面體中，，二面角的大小為，且點(diǎn)A，B，C，D都在球的球面上，為棱上一點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．若，則（【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意和幾何關(guān)系，并在所在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的位置和坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由題意知與均為等邊三角形，連接，，則，，是二面角的平面角，所以，又易知，所以是等邊三角形．設(shè)為的外心，為的中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意和幾何關(guān)系，并在所在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的位置和坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由題意知與均為等邊三角形，連接，，則，，是二面角的平面角，所以，又易知，所以是等邊三角形．設(shè)為的外心，為的中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)O，P，Q都在平面內(nèi)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖．設(shè)，則，，所以．又，所以，因?yàn)?，易知，則，，從而，．故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是結(jié)合幾何關(guān)系，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題.（2024年湘J30教盟二聯(lián)考）13.已知表面積為的球面上有四點(diǎn)是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，若平面平面，則三棱錐的體積的最大值為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意作出相應(yīng)的圖形，利用外接球的性質(zhì)依次求得與過(guò)平面的截面圓的半徑，從而得到點(diǎn)到平面的最大距離，再利用三棱錐的體積公式即可得解.【詳解】如圖，【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意作出相應(yīng)的圖形，利用外接球的性質(zhì)依次求得與過(guò)平面的截面圓的半徑，從而得到點(diǎn)到平面的最大距離，再利用三棱錐的體積公式即可得解.【詳解】如圖，為的外接球的球心，為正的中心，則平面，因?yàn)榍虻谋砻娣e為，設(shè)球的半徑為，則，故，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，則，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫赃^(guò)平面的截面圓的半徑，點(diǎn)在截面圓的圓周上，所以點(diǎn)到平面的最大距離為，所以的體積的最大值為.故答案為：.（2024年粵J27深圳一調(diào)）15.已知是正四面體的外接球的一條直徑，點(diǎn)在正四面體表面上運(yùn)動(dòng)，正四面體的棱長(zhǎng)是2，則的取值范圍為【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可求得外接球半徑為，利用可得，由幾何關(guān)系求出最值即可求出的取值范圍.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可求得外接球半徑為，利用可得，由幾何關(guān)系求出最值即可求出的取值范圍.【詳解】如下圖所示：設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的攝影為，為的中點(diǎn)，易知在上，且平面；又正四面體的棱長(zhǎng)是2，所以可得，在正中，由勾股定理可得；設(shè)外接球半徑為，則可知，即，解得；易知，又因?yàn)槭峭饨忧虻囊粭l直徑，所以，且；因此，易知，所以，；因此可知的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用極化恒等式將化為，再利用正四面體性質(zhì)求出的最值即可求出的取值范圍.（2024年鄂J10二次T8聯(lián)考）7.已知正方體的棱長(zhǎng)為為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐外接球半徑的取值范圍為（【答案】C【解析】【分析】根據(jù)外接球性質(zhì)找到外接球球心位置，通過(guò)幾何直觀找到外接球半徑與的外接圓半徑的關(guān)系式；設(shè)，在中根據(jù)面積關(guān)系和正弦定理，得到是關(guān)于的函數(shù)；利用導(dǎo)數(shù)求出范圍，進(jìn)而得到范圍.【詳解】如圖，連接，交于點(diǎn)，易得為外心．連接．交于點(diǎn)，易知平面，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)外接球性質(zhì)找到外接球球心位置，通過(guò)幾何直觀找到外接球半徑與的外接圓半徑的關(guān)系式；設(shè)，在中根據(jù)面積關(guān)系和正弦定理，得到是關(guān)于的函數(shù)；利用導(dǎo)數(shù)求出范圍，進(jìn)而得到范圍.【詳解】如圖，連接，交于點(diǎn)，易得為外心．連接．交于點(diǎn)，易知平面，則三棱錐的外接球球心在上．設(shè)的外接圓圓心為平面，由正方體中棱平面,得,又易得分別是中點(diǎn)，所以．設(shè)的外接圓半徑為，三棱錐的外接球半徑為．則，設(shè)，，，又，．設(shè)，則，設(shè)，則，在單調(diào)遞增，又，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，所以．故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第一個(gè)突破口是找出外接球半徑與的外接圓半徑的關(guān)系，第二步是根據(jù)面積關(guān)系和正弦定理，得到是關(guān)于的函數(shù).（2024年冀J12大數(shù)據(jù)應(yīng)用調(diào)研）13.已知四面體中，，過(guò)點(diǎn)的其外接球直徑與、夾角正弦值分別為、，則與夾角正弦值為【答案】##【解析】【分析】由題意，將四面體放在長(zhǎng)方體中，則即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，設(shè)，再結(jié)合已知即可得解.【詳解】由題意，將四面體放在長(zhǎng)方體中，如圖所示，則即為長(zhǎng)方體【答案】##【解析】【分析】由題意，將四面體放在長(zhǎng)方體中，則即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，設(shè)，再結(jié)合已知即可得解.【詳解】由題意，將四面體放在長(zhǎng)方體中，如圖所示，則即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，設(shè)，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)榕c、夾角正弦值分別為、，所以，而，即，所以，即，所以與夾角正弦值為.故答案為：.（2024年蘇J03南通聯(lián)考）5.如圖，已知二面角的平面角為，棱上有不同兩點(diǎn)，，，，．若，則過(guò)四點(diǎn)的球的表面積為（【答案】B【解析】【分析】根據(jù)垂直關(guān)系可得是二面角的一個(gè)平面角，過(guò)作平面的垂線和平面的垂線，得交點(diǎn)為外接球球心，利用勾股定理即可求出,由表面積公式即可求解.【詳解】因?yàn)槎娼堑拇笮?，如圖，所以平面與平面所成角的大小為，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，，為，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)垂直關(guān)系可得是二面角的一個(gè)平面角，過(guò)作平面的垂線和平面的垂線，得交點(diǎn)為外接球球心，利用勾股定理即可求出,由表面積公式即可求解.【詳解】因?yàn)槎娼堑拇笮?，如圖，所以平面與平面所成角的大小為，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，，為，的外心，取的中點(diǎn)，連接，，則，，所以是二面角的一個(gè)平面角，則，過(guò)作平面的垂線和過(guò)作平面的垂線，交于點(diǎn)，即為外接球球心，所以平面，平面，連接，，所以易證得：△與△全等，所以，所以在直角三角形，，則過(guò)、、、四點(diǎn)的球的表面積為，故B正確．故選：B．（2024年湘J01長(zhǎng)郡一模，末）14.如圖是一個(gè)球形圍墻燈，該燈的底座可以近似看作正四棱臺(tái).球形燈與底座剛好相切，切點(diǎn)為正四棱臺(tái)上底面中心，且球形燈內(nèi)切于底座四棱臺(tái)的外接球.若正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為4，下底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，則球形燈半徑與正四棱臺(tái)外接球半徑的比值為【答案】【解析】【分析】設(shè)正四棱臺(tái)上底面與下底面中心分別為，則正四棱臺(tái)的外接球球心為及球形燈的圓心均在直線上.【答案】【解析】【分析】設(shè)正四棱臺(tái)上底面與下底面中心分別為，則正四棱臺(tái)的外接球球心為及球形燈的圓心均在直線上.由幾何關(guān)系，求出，求出R的值，再根據(jù)求出r的值，即可得到比值.【詳解】如圖所示，設(shè)正四棱臺(tái)上底面與下底面中心分別為,作截面，則正四棱臺(tái)外接球球心及球形燈的圓心均在直線上，作于H.因?yàn)檎睦馀_(tái)的上底面邊長(zhǎng)為4，下底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，則有，，.在中，，在中，，所以，整理得.由圖可知，在圓中，有,解得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是作出相關(guān)圖形，利用勾股定理等得到相關(guān)方程，從而解出兩個(gè)半徑長(zhǎng).（2024年蘇J22南通二調(diào)，末）14.若正四棱錐的棱長(zhǎng)均為2，則以所有棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的十面體的體積為________，該十面體的外接球的表面積為【答案】①.##②.【解析】【答案】①.##②.【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用割補(bǔ)法，結(jié)合錐體體積公式計(jì)算體積；建立空間直角坐標(biāo)系，求出外接球半徑即可求出表面積.【詳解】正四棱錐的所有棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是所在棱的中點(diǎn)，如圖，顯然，即有，則正四棱錐的高為，于是，到平面的距離，所以所求十面體的體積為；令，以直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，則，，設(shè)外接球球心，半徑，則，因此，解得，所以十面體的外接球的表面積為.故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求幾何體的體積，將給定的幾何體進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆指?，轉(zhuǎn)化為可求體積的幾何體求解是關(guān)鍵.（2024年湘J08長(zhǎng)沙適應(yīng)，末）16.已知正四棱錐的頂點(diǎn)均在球的表面上.若正四棱錐的體積為1，則球體積的最小值為___【答案】##【解析】【分析】由底面外接圓的半徑、正四棱錐的高以及外接球的半徑的關(guān)系，結(jié)合已知條件可得，故只需求出外接球半徑的最小值即可.【詳解】設(shè)球的半徑為【答案】##【解析】【分析】由底面外接圓的半徑、正四棱錐的高以及外接球的半徑的關(guān)系，結(jié)合已知條件可得，故只需求出外接球半徑的最小值即可.【詳解】設(shè)球的半徑為，正四棱錐的高、底面外接圓的半徑分別為，.如圖，球心在正四棱錐內(nèi)時(shí)，由，可得，即（*）.球心在正四棱錐外時(shí)，亦能得到（*）式.又正四棱錐的體積為，則，代入（*）式可得.通過(guò)對(duì)關(guān)于的函數(shù)求導(dǎo)，即，易得函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則.從而，球的體積的最小值.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是首先得到，從而通過(guò)導(dǎo)數(shù)求得外接球半徑的最小值即可順利得解.（2024年粵J138汕頭金南三模）7．若正四面體的棱長(zhǎng)為，M為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐的外接球的體積最小時(shí)，三棱錐的體積為（7．A【分析】首先根據(jù)幾何性質(zhì)分析外接球的球心位置，再構(gòu)造長(zhǎng)度的等量關(guān)系，即可求解三棱錐的體積.【詳解】如圖，在正四面體中，假設(shè)底面，則點(diǎn)H為外心．在上取一點(diǎn)O，滿足，則O為三棱錐的外接球球心．當(dāng)取得最小值時(shí)，最小，三棱錐的外接球體積最小，此時(shí)點(diǎn)O與點(diǎn)7．A【分析】首先根據(jù)幾何性質(zhì)分析外接球的球心位置，再構(gòu)造長(zhǎng)度的等量關(guān)系，即可求解三棱錐的體積.【詳解】如圖，在正四面體中，假設(shè)底面，則點(diǎn)H為外心．在上取一點(diǎn)O，滿足，則O為三棱錐的外接球球心．當(dāng)取得最小值時(shí)，最小，三棱錐的外接球體積最小，此時(shí)點(diǎn)O與點(diǎn)H重合．作，垂足為N，，為三棱錐的高．由正四面體的棱長(zhǎng)為，易知，所以，，．由，設(shè)，則，．由，得，解得．．．故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是確定外接球的球心位置.（2024年魯J45泰安三模）8．在三棱錐中，為的中點(diǎn)，且直線與平面所成角的余弦值為，則三棱錐的外接球的表面積為（

8．B【分析】由直角三角形性質(zhì)可得為的外心，結(jié)合球體性質(zhì)可知平面，由等腰三角形性質(zhì)可知的外心在上且，進(jìn)而可得直線與平面所成角與互余，結(jié)合正弦定理可得，勾股定理可得，進(jìn)而可得、，結(jié)合球的表面積公式計(jì)算即可.【詳解】如圖，設(shè)球心為，的外接圓圓心為，連接，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，8．B【分析】由直角三角形性質(zhì)可得為的外心，結(jié)合球體性質(zhì)可知平面，由等腰三角形性質(zhì)可知的外心在上且，進(jìn)而可得直線與平面所成角與互余，結(jié)合正弦定理可得，勾股定理可得，進(jìn)而可得、，結(jié)合球的表面積公式計(jì)算即可.【詳解】如圖，設(shè)球心為，的外接圓圓心為，連接，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以為的外心，由為的外心，得三點(diǎn)共線，且.由題意得平面，面，則，故直線與平面所成角為的余角，所以，所以.在中，由題設(shè)可得，由正弦定理得，所以，所以在Rt中，，所以球的表面積.故選：B.（2024年粵J07六校聯(lián)考）5.已知三棱錐，是以為斜邊的直角三角形，為邊長(zhǎng)是2的等邊三角形，且平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（【答案】A【解析】【分析】由條件知，外接球的球心在過(guò)的中點(diǎn)且垂直于平面的直線上，又平面平面，所以可得等邊三角形的中心即為外接球的球心，求出外接圓的半徑即得三棱錐外接球的半徑．【詳解】直角三角形外接圓的圓心是斜邊的中點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作一條垂直于平面的直線．因?yàn)槠矫嫫矫妫运髦本€在平面內(nèi)，且經(jīng)過(guò)等邊三角形的中心，所以等邊三角形【答案】A【解析】【分析】由條件知，外接球的球心在過(guò)的中點(diǎn)且垂直于平面的直線上，又平面平面，所以可得等邊三角形的中心即為外接球的球心，求出外接圓的半徑即得三棱錐外接球的半徑．【詳解】直角三角形外接圓的圓心是斜邊的中點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作一條垂直于平面的直線．因?yàn)槠矫嫫矫妫运髦本€在平面內(nèi)，且經(jīng)過(guò)等邊三角形的中心，所以等邊三角形的中心就是三棱錐外接球的球心，所以外接圓的半徑也是三棱錐外接球的半徑．由正弦定理知，(是的外接圓的半徑)，即，所以，于是三棱錐外接球的半徑為，故三棱錐外接球的表面積為．故選：A．（2024年粵J01）在正三棱臺(tái)中，，其外接球半徑為，則該棱臺(tái)高可以為__【答案】1（或填3）【解析】【分析】求出正棱臺(tái)上下底面的中心到頂點(diǎn)的距離，即可求得外接球球心到上下底面中心的距離，考慮外接球球心在棱臺(tái)內(nèi)還是棱臺(tái)外，即可求得答案.【答案】1（或填3）【解析】【分析】求出正棱臺(tái)上下底面的中心到頂點(diǎn)的距離，即可求得外接球球心到上下底面中心的距離，考慮外接球球心在棱臺(tái)內(nèi)還是棱臺(tái)外，即可求得答案.【詳解】設(shè)為正三棱臺(tái)的上底面的中心，O為下底面的中心，連接，即為棱臺(tái)的高，連接并延長(zhǎng)交BC于D，則D為BC的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，則為的中點(diǎn)，,設(shè)外接球球心為E，則E點(diǎn)位于直線上，則在中，，在中，，故當(dāng)外接球球心在正棱臺(tái)內(nèi)時(shí)，其高為；當(dāng)外接球球心在正棱臺(tái)外時(shí)，其高為；故該棱臺(tái)的高可以為3或1，故答案為：1（或填3）（2024年魯J31威海二模）14．已知圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周都在半徑為3的球面上，當(dāng)該圓錐的側(cè)面積最大時(shí)，它的體積為14．/【分析】將圓錐側(cè)面積用圓錐底面半徑與母線長(zhǎng)的表達(dá)式表示出來(lái)，再利用外接球半徑為3，建立圓錐底面半徑與母線長(zhǎng)的關(guān)系，從而將圓錐側(cè)面積表示為母線長(zhǎng)函數(shù)，利用換元，導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)取最大值時(shí)的母線長(zhǎng)，底面半徑長(zhǎng)，從而求出此時(shí)的圓錐體積.【詳解】如圖，圓錐頂點(diǎn)為P，底面圓心為C14．/【分析】將圓錐側(cè)面積用圓錐底面半徑與母線長(zhǎng)的表達(dá)式表示出來(lái)，再利用外接球半徑為3，建立圓錐底面半徑與母線長(zhǎng)的關(guān)系，從而將圓錐側(cè)面積表示為母線長(zhǎng)函數(shù)，利用換元，導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)取最大值時(shí)的母線長(zhǎng)，底面半徑長(zhǎng)，從而求出此時(shí)的圓錐體積.【詳解】如圖，圓錐頂點(diǎn)為P，底面圓心為C，底面圓周與頂點(diǎn)均在球心為O的球面上，，記則圓錐側(cè)面積為，若相同時(shí)，較大才能取得最大值，由截面圓的對(duì)稱性知，圓錐側(cè)面積最大時(shí)兩點(diǎn)位于球心兩側(cè)，此時(shí)，，而,又，故令，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，最大，圓錐側(cè)面積最大，此時(shí)，此時(shí)圓錐體積，故答案為：.（2024年冀J37滄州三模）7．《幾何補(bǔ)編》是清代梅文鼎撰算書，其中卷一就給出了正四面體，正六面體（立方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體這五種正多面體的體積求法.若正四面體的棱長(zhǎng)為，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐的外接球的體積最小時(shí)，三棱錐的體積為（

7．A【分析】由題意確定三棱錐的外接球的體積最小時(shí)球心的位置，由此可求出三棱錐的高，利用體積公式，即可求得答案.【詳解】如圖，在正四面體中，假設(shè)底面，則點(diǎn)為外心.在上取一點(diǎn)，滿足，則，則為三棱錐的外接球球心，當(dāng)取得最小值時(shí)，最小，三棱錐的外接球體積最小，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合.作7．A【分析】由題意確定三棱錐的外接球的體積最小時(shí)球心的位置，由此可求出三棱錐的高，利用體積公式，即可求得答案.【詳解】如圖，在正四面體中，假設(shè)底面，則點(diǎn)為外心.在上取一點(diǎn)，滿足，則，則為三棱錐的外接球球心，當(dāng)取得最小值時(shí)，最小，三棱錐的外接球體積最小，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合.作，垂足為，，為三棱錐的高.由正四面體的棱長(zhǎng)為，知，，，.設(shè)，則，故，.由，得，解得.，.故選：A.（2024年冀J43名校二聯(lián)考）8．已知正方體的棱長(zhǎng)為為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐外接球半徑的取值范圍為（8．C【分析】根據(jù)外接球性質(zhì)找到外接球球心位置，通過(guò)幾何直觀找到外接球半徑與的外接圓半徑的關(guān)系式；設(shè)，在中根據(jù)面積關(guān)系和正弦定理，得到是關(guān)于的函數(shù)；利用導(dǎo)數(shù)求出范圍，進(jìn)而得到范圍.【詳解】如圖，連接，交于點(diǎn)，易得為的外心．連接．交于點(diǎn)，易知平面，則三棱錐的外接球球心在上．8．C【分析】根據(jù)外接球性質(zhì)找到外接球球心位置，通過(guò)幾何直觀找到外接球半徑與的外接圓半徑的關(guān)系式；設(shè)，在中根據(jù)面積關(guān)系和正弦定理，得到是關(guān)于的函數(shù)；利用導(dǎo)數(shù)求出范圍，進(jìn)而得到范圍.【詳解】如圖，連接，交于點(diǎn)，易得為的外心．連接．交于點(diǎn)，易知平面，則三棱錐的外接球球心在上．設(shè)的外接圓圓心為平面，由正方體中棱平面,得,又易得分別是中點(diǎn)，所以．

設(shè)的外接圓半徑為，三棱錐的外接球半徑為．則，設(shè)，，，又，．設(shè)，則，設(shè)，則，在單調(diào)遞增，又，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，所以．故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第一個(gè)突破口是找出外接球半徑與的外接圓半徑的關(guān)系，第二步是根據(jù)面積關(guān)系和正弦定理，得到是關(guān)于的函數(shù).（2024年鄂J18四月調(diào)）8．在三棱錐中，平面平面，和都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，若為三棱錐外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離的最大值為（

8．D【分析】設(shè)中點(diǎn)為，的外心為，的外心為，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)，則點(diǎn)即為三棱錐外接球的球心，求出三棱錐外接球的半徑，假設(shè)球心到平面的距離得答案．【詳解】解：設(shè)中點(diǎn)為，的外心為，的外心為，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)8．D【分析】設(shè)中點(diǎn)為，的外心為，的外心為，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)，則點(diǎn)即為三棱錐外接球的球心，求出三棱錐外接球的半徑，假設(shè)球心到平面的距離得答案．【詳解】解：設(shè)中點(diǎn)為，的外心為，的外心為，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)，則點(diǎn)即為三棱錐外接球的球心，因?yàn)楹投际沁呴L(zhǎng)為的正三角形，可得，因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，所以四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，所以外接球半徑，所以到平面的距離，即點(diǎn)到平面距離的最大值為.故選：D.（2024年浙J07金麗衢二聯(lián)，末）8.在三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，若為三棱錐的外接球直徑，且與所成角的余弦值為，則該外接球的表面積為（【答案】A【解析】【分析】記球心為，取中點(diǎn)為、中點(diǎn)為，連接，易得，，由，即可求出，由此即可求出答案.【詳解】如圖所示：記球心為，取中點(diǎn)為、中點(diǎn)為，連接，記外接球半徑為，【答案】A【解析】【分析】記球心為，取中點(diǎn)