《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第3節(jié)　全稱量詞與存在量詞-教師復(fù)習(xí)驗(yàn)收卷

《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第3節(jié)全稱量詞與存在量詞-教師復(fù)習(xí)驗(yàn)收卷《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第3節(jié)全稱量詞與存在量詞-教師復(fù)習(xí)驗(yàn)收卷/《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第3節(jié)全稱量詞與存在量詞-教師復(fù)習(xí)驗(yàn)收卷第3節(jié)全稱量詞與存在量詞知識梳理1.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：短語"所有的”、"任意一個(gè)”等在邏輯中通常叫做全稱量詞,用符號"?”表示.(2)存在量詞：短語"存在一個(gè)”、"至少有一個(gè)”等在邏輯中通常叫做存在量詞,用符號"?”表示.2.全稱命題和特稱命題名稱全稱命題特稱命題結(jié)構(gòu)對M中的任意一個(gè)x,有p(x)成立存在M中的一個(gè)x0,使p(x0)成立簡記?x∈M,p(x)?x0∈M,p(x0)否定?x0∈M,綈p(x0)?x∈M,綈p(x)1.含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律是"改量詞,否結(jié)論”.2.對省略了全稱量詞的命題否定時(shí),要對原命題先加上全稱量詞再對其否定.3.命題p和綈p的真假性相反,若判斷一個(gè)命題的真假有困難時(shí),可判斷此命題的否定的真假.診斷自測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打"√”或"×”)(1)至少有一個(gè)三角形的內(nèi)角和為π是全稱命題.()(2)"全等三角形的面積相等”是特稱命題.()(3)寫特稱命題的否定時(shí),存在量詞變?yōu)槿Q量詞.()(4)"長方形的對角線相等”是特稱命題.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2.命題："?x0∈R,xeq\o\al(2,0)－ax0＋1<0”的否定為________.答案?x∈R,x2－ax＋1≥03.命題"對于函數(shù)f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(a∈R),存在a∈R,使得f(x)是偶函數(shù)”為________命題(填"真”或"假”).答案真解析當(dāng)a＝0時(shí),f(x)＝x2(x≠0)為偶函數(shù).4.(多選題)(2021·濟(jì)南調(diào)研)下列命題的否定中,是全稱命題且為真命題的有()A.?x0∈R,xeq\o\al(2,0)－x0＋eq\f(1,4)＜0B.所有的正方形都是矩形C.?x0∈R,xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2＝0D.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x3＋1＝0答案AC解析由條件可知：原命題應(yīng)為特稱命題且為假命題,所以排除BD;又因?yàn)閤2－x＋eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)≥0,x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0,所以AC均為特稱命題且為假命題,故選AC.5.(2020·合肥調(diào)研)能說明命題"?x∈R且x≠0,x＋eq\f(1,x)≥2”是假命題的x的值可以是________(寫出一個(gè)即可).答案－1(任意負(fù)數(shù))解析當(dāng)x>0時(shí),x＋eq\f(1,x)≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號,當(dāng)x<0時(shí),x＋eq\f(1,x)≤－2,當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時(shí)取等號,∴x的取值為負(fù)數(shù)即可,例如x＝－1.6.若命題"?t0∈R,teq\o\al(2,0)－2t0－a＜0”是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.答案(－∞,－1]解析命題"?t0∈R,teq\o\al(2,0)－2t0－a＜0”是假命題,等價(jià)于?t∈R,t2－2t－a≥0是真命題,∴Δ＝4＋4a≤0,解得a≤－1.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞,－1].考點(diǎn)一含有一個(gè)量詞的命題的否定1.已知命題p："?x0∈R,ex0－x0－1≤0”,則綈p為()A.?x0∈R,ex0－x0－1≥0B.?x0∈R,ex0－x0－1＞0C.?x∈R,ex－x－1＞0D.?x∈R,ex－x－1≥0答案C解析根據(jù)全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系,可得綈p為"?x∈R,ex－x－1＞0”,故選C.2.(2021·青島模擬)設(shè)命題p：所有正方形都是平行四邊形,則綈p為()A.所有正方形都不是平行四邊形B.有的平行四邊形不是正方形C.有的正方形不是平行四邊形D.不是正方形的四邊形不是平行四邊形答案C解析"所有”改為"存在”(或"有的”),"都是”改為"不都是”(或"不是”),即綈p為有的正方形不是平行四邊形.3.(2021·山東重點(diǎn)高中聯(lián)考)已知集合A是奇函數(shù)集,B是偶函數(shù)集.若命題p：?f(x)∈A,|f(x)|∈B,則綈p為()A.?f(x)∈A,|f(x)|?B B.?f(x)?A,|f(x)|?BC.?f(x)∈A,|f(x)|?B D.?f(x)?A,|f(x)|?B答案C解析全稱命題的否定為特稱命題：改寫量詞,否定結(jié)論.∴綈p：?f(x)∈A,|f(x)|?B.4.若命題p的否定是"對所有正數(shù)x,eq\r(x)＞x＋1”,則命題p是________________.答案?x0∈(0,＋∞),eq\r(x0)≤x0＋1感悟升華否定全稱命題和特稱命題時(shí),一是要改寫量詞,全稱量詞改寫為存在量詞,存在量詞改寫為全稱量詞;二是要否定結(jié)論,而一般命題的否定只需直接否定結(jié)論.考點(diǎn)二全稱命題、特稱命題的真假判斷【例1】(1)(多選題)(2021·德州模擬)下列四個(gè)命題中為真命題的是()A.?x0∈(0,＋∞),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x0)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x0)B.?x0∈(0,1),logeq\s\do9(\f(1,2))x0＞logeq\s\do9(\f(1,3))x0C.?x∈(0,＋∞),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＞logeq\s\do9(\f(1,2))xD.?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,3))),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＜logeq\s\do9(\f(1,3))x(2)以下四個(gè)命題既是特稱命題又是真命題的是()A.銳角三角形有一個(gè)內(nèi)角是鈍角B.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x2≤0C.兩個(gè)無理數(shù)的和必是無理數(shù)D.存在一個(gè)負(fù)數(shù)x,使eq\f(1,x)＞2答案(1)BD(2)B解析(1)對于A,當(dāng)x∈(0,＋∞)時(shí),總有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)成立,故A是假命題;對于B,當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí),有1＝logeq\s\do9(\f(1,2))eq\f(1,2)＝logeq\s\do9(\f(1,3))eq\f(1,3)＞logeq\s\do9(\f(1,3))eq\f(1,2)成立,故B是真命題;對于C,當(dāng)0＜x＜eq\f(1,2)時(shí),logeq\s\do9(\f(1,2))x＞1＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x),故C是假命題;對于D,?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,3))),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＜1＜logeq\s\do9(\f(1,3))x,故D是真命題.(2)A中銳角三角形的內(nèi)角都是銳角,所以A是假命題;B中當(dāng)x＝0時(shí),x2＝0,滿足x2≤0,所以B既是特稱命題又是真命題;C中因?yàn)閑q\r(2)＋(－eq\r(2))＝0不是無理數(shù),所以C是假命題;D中對于任意一個(gè)負(fù)數(shù)x,都有eq\f(1,x)＜0,不滿足eq\f(1,x)＞2,所以D是假命題.感悟升華判定全稱命題"?x∈M,p(x)”是真命題,需要對集合M中的每一個(gè)元素x,證明p(x)成立;要判斷特稱命題是真命題,只要在限定集合內(nèi)找到一個(gè)x＝x0,使p(x0)成立即可.【訓(xùn)練1】(1)(多選題)下列命題中是真命題的有()A.?x∈R,2x－1＞0B.?x∈N*,(x－1)2＞0C.?x0∈R,lgx0＜1D.?x0∈R,tanx0＝2(2)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù),則下列命題一定為真命題的是()A.?x∈R,f(－x)≠f(x)B.?x∈R,f(－x)≠－f(x)C.?x0∈R,f(－x0)≠f(x0)D.?x0∈R,f(－x0)≠－f(x0)答案(1)ACD(2)C解析(1)當(dāng)x＝1時(shí),(x－1)2＝0,故B為假命題,其余都是真命題,故選ACD.(2)∵定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù),∴?x∈R,f(－x)＝f(x)為假命題,∴?x0∈R,f(－x0)≠f(x0)為真命題.考點(diǎn)三由命題的真假求參數(shù)的取值范圍【例2】(1)已知命題p：?x∈R,x2－a≥0;命題q：?x∈R,x2＋2ax＋2－a＝0.若命題p,q都是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.(2)已知f(x)＝ln(x2＋1),g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－m,若對?x1∈[0,3],?x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________________.答案(1)(－∞,－2](2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4),＋∞))解析(1)由命題p為真,得a≤0,由命題q為真,得Δ＝4a2－4(2－a)≥0,即a≤－2或a≥1,所以a≤－2.(2)當(dāng)x∈[0,3]時(shí),f(x)min＝f(0)＝0,當(dāng)x∈[1,2]時(shí),g(x)min＝g(2)＝eq\f(1,4)－m,由f(x)min≥g(x)min,得0≥eq\f(1,4)－m,所以m≥eq\f(1,4).感悟升華(1)已知命題的真假,可根據(jù)每個(gè)命題的真假利用集合的運(yùn)算求解參數(shù)的取值范圍.(2)對于含量詞的命題中求參數(shù)的取值范圍的問題,可根據(jù)命題的含義,利用函數(shù)值域(或最值)解決.【訓(xùn)練2】(1)若"?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4),\f(π,3))),m≤tanx＋2”為真命題,則實(shí)數(shù)m的最大值為________.(2)(2020·濰坊調(diào)研)若f(x)＝x2－2x,g(x)＝ax＋2(a＞0),?x1∈[－1,2],?x0∈[－1,2],使g(x1)＝f(x0),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.答案(1)1(2)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))解析(1)由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4),\f(π,3))),得1≤tanx＋2≤2＋eq\r(3).∵"?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4),\f(π,3))),m≤tanx＋2”為真命題,則m≤1.∴實(shí)數(shù)m的最大值為1.(2)由于函數(shù)g(x)在定義域[－1,2]內(nèi)是任意取值的,且必存在x0∈[－1,2],使得g(x1)＝f(x0),因此問題等價(jià)于函數(shù)g(x)的值域是函數(shù)f(x)值域的子集.函數(shù)f(x)的值域是[－1,3],因?yàn)閍＞0,所以函數(shù)g(x)的值域是[2－a,2＋2a],則有2－a≥－1且2＋2a≤3,即a≤eq\f(1,2).故a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2))).A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.命題p："?x>1,x2－1>0”,則綈p為()A.?x>1,x2－1≤0 B.?x≤1,x2－1≤0C.?x0>1,xeq\o\al(2,0)－1≤0 D.?x0≤1,xeq\o\al(2,0)－1≤0答案C解析命題p："?x>1,x2－1>0”,則綈p為：?x0>1,xeq\o\al(2,0)－1≤0.2.(多選題)(2020·重慶質(zhì)檢)下列命題中是真命題的有()A.?x0∈R,log2x0＝0 B.?x0∈R,cosx0＝1C.?x∈R,x2＞0 D.?x∈R,2x＞0答案ABD解析因?yàn)閘og21＝0,cos0＝1,所以選項(xiàng)A,B均為真命題;02＝0,選項(xiàng)C為假命題;2x＞0,選項(xiàng)D為真命題.3.下列命題是真命題的為()A.所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)B.?x∈R,x2＋1≥0C.對于每一個(gè)無理數(shù)x,x2是有理數(shù)D.?x∈Z,eq\f(1,x)?Z答案B解析對于A,2是素?cái)?shù),但2不是奇數(shù),A假;對于B,?x∈R,總有x2≥0,則x2＋1≥0恒成立,B真;對于C,eq\r(π)是無理數(shù),(eq\r(π))2＝π還是無理數(shù),C假;對于D,1∈Z,但eq\f(1,1)＝1∈Z,D假,故選B.4.已知命題p：?x1,x2∈R,[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0,則綈p是()A.?x1,x2∈R,[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B.?x1,x2∈R,[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C.?x1,x2∈R,[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0D.?x1,x2∈R,[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0答案C解析已知全稱命題p：?x1,x2∈R,[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0,則綈p：?x1,x2∈R,[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0,故選C.5.(多選題)(2021·煙臺調(diào)研)下列四個(gè)命題中是真命題的有()A.任意x∈R,3x>0B.存在x∈R,x2＋x＋1≤0C.任意x∈R,sinx<2xD.存在x∈R,cosx>x2＋x＋1答案AD解析?x∈R,3x>0恒成立,A是真命題.又x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0,∴B是假命題.由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)π))＝1>2－eq\f(3,2)π,知C是假命題.取x＝－eq\f(1,2)時(shí),coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))>coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2),但x2＋x＋1＝eq\f(3,4)<eq\f(\r(3),2),則D為真.6.已知命題"?x∈R,4x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)≤0”是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(－∞,0) B.[0,4]C.[4,＋∞) D.(0,4)答案D解析因?yàn)槊}"?x∈R,4x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)≤0”是假命題,所以其否定為"?x∈R,4x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)>0”是真命題.則Δ＝(a－2)2－4×4×eq\f(1,4)＝a2－4a<0,解得0<a<4.7.已知函數(shù)f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2)),則()A.?x0∈R,f(x0)＜0B.?x∈(0,＋∞),f(x)≥0C.?x1,x2∈[0,＋∞),eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)＜0D.?x1∈[0,＋∞),?x2∈[0,＋∞),f(x1)＞f(x2)答案B解析冪函數(shù)f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2))的值域?yàn)閇0,＋∞),且在定義域上單調(diào)遞增,故A錯(cuò)誤,B正確,C錯(cuò)誤;D選項(xiàng)中當(dāng)x1＝0,結(jié)論不成立.8.(2020·江南十校聯(lián)考)已知f(x)＝sinx－tanx,命題p：?x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),f(x0)<0,則()A.p是假命題,綈p：?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),f(x)≥0B.p是假命題,綈p：?x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),f(x0)≥0C.p是真命題,綈p：?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),f(x)≥0D.p是真命題,綈p：?x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),f(x0)≥0答案C解析當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4),\f(π,2)))時(shí),sinx<1,tanx>1.此時(shí)sinx－tanx<0,故命題p為真命題.由于命題p為特稱命題,所以命題p的否定為全稱命題,則綈p為：?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),f(x)≥0.二、填空題9.命題"?x∈R,x2＋x＋1＞0”的否定是________.答案?x0∈R,xeq\o\al(2,0)＋x0＋1≤010.下列命題中的假命題是________(填序號).①?x0∈R,lgx0＝1;②?x0∈R,sinx0＝0;③?x∈R,x3＞0;④?x1＞x2,2x1＞2x2.答案③解析當(dāng)x＝10時(shí),lg10＝1,則①為真命題;當(dāng)x＝0時(shí),sin0＝0,則②為真命題;當(dāng)x＜0時(shí),x3＜0,則③為假命題;由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知,?x1＞x2,2x1＞2x2,則④為真命題.11.若"?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,4))),tanx≤m”是真命題,則實(shí)數(shù)m的最小值為________.答案1解析∵函數(shù)y＝tanx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,4)))上是增函數(shù),∴ymax＝taneq\f(π,4)＝1,依題意,m≥ymax,即m≥1.∴m的最小值為1.12.能說明"若f(x)>f(0)對任意的x∈(0,2]都成立,則f(x)在[0,2]上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是________.答案f(x)＝sinx,x∈[0,2](答案不唯一,再如f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0,x＝0,,\f(1,x),0<x≤2)))解析根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的概念,只要找到一個(gè)定義域?yàn)閇0,2]的不單調(diào)函數(shù),滿足在定義域內(nèi)有唯一的最小值點(diǎn),且f(x)min＝f(0).B級能力提升13.命題"?n0∈N*,f(n0)∈N*,且f(n0)≤n0”的否定形式是()A.?n∈N*,f(n)?N*且f(n)>nB.?n∈N*,f(n)?N*或f(n)>nC.?n0∈N*,f(n0)?N*且f(n0)>n0D.?n0∈N*,f(n0)?N*或f(n0)>n0答案B解析因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題,所以命題"?n0∈N*,f(n0)∈N*且f(n0)≤n0”的否定形式是"?n∈N*,f(n)?N*或f(n)>n”.14.(多選題)(2021·青島質(zhì)檢)下列說法正確的是()A."x＝eq\f(π,4)”是"tanx＝1”的充分不必要條件B.定義在[a,b]上的偶函數(shù)f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最大值為30C.命題"?x0∈R,x0＋eq\f(1,x0)≥2”的否定是"?x∈R,x＋eq\f(1,x)＞2”D."所有的分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)”的否定是"有的分?jǐn)?shù)不是有理數(shù)”答案ABD解析由x＝eq\f(π,4),得tanx＝1,但由tanx＝1不一定推出x＝eq\f(π,4),可知"x＝eq\f(π,4)”是"tanx＝1”的充分不必要條件,所以A正確;若定義在[a,b]上的函數(shù)f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b是偶函數(shù),則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋5＝0,,a＋b＝0,))解得eq\b\lc\{(\a\v