正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象課件-2024-2025學年高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象第五章三角函數(shù)人教A版

數(shù)學

必修第一冊基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標學習單元4

三角函數(shù)的圖象與性質圖象是函數(shù)的直觀表示,也是函數(shù)性質的集中體現(xiàn).本單元系統(tǒng)學習正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質,也為后面進一步學習三角恒等變換打基礎.本學習單元的最終目標是掌握三角函數(shù)的圖象與性質,具體掌握“五點法”畫出正、余弦函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象研究三角函數(shù)的性質,培養(yǎng)數(shù)學抽象、數(shù)學運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).本單元的研究路徑為:正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象——正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質——正切函數(shù)的圖象性質.這是我們學習本單元的知識明線,具體內容結構如圖所示:學習目標1.了解利用單位圓正弦函數(shù)的概念畫正弦曲線的方法.(數(shù)學抽象)2.掌握“五點法”畫正弦曲線和余弦曲線的步驟與方法,能利用“五點法”畫出簡單的正弦、余弦函數(shù)圖象.(直觀想象)3.理解正弦曲線與余弦曲線之間的聯(lián)系.(邏輯推理)基礎落實·必備知識一遍過知識點一:正弦函數(shù)的圖象1.正弦曲線正弦函數(shù)y=sin

x,x∈R的圖象叫做正弦曲線.2.正弦函數(shù)圖象的畫法(1)幾何法:①利用正弦線畫出y=sin

x,x∈[0,2π]的圖象;②將圖象向左、向右平行移動(每次平移2π個單位長度).(2)“五點法”:①畫出正弦曲線在[0,2π]上的圖象的五個關鍵點(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0),用光滑的曲線連接;②將所得圖象向左、向右平行移動(每次平移2π個單位長度).微思考用五點法畫正弦函數(shù)圖象,是用哪五個點?為什么用這五個點?知識點二:余弦函數(shù)的圖象1.余弦曲線余弦函數(shù)y=cosx,x∈R的圖象叫做余弦曲線.2.余弦函數(shù)圖象的畫法

名師點睛對于正弦、余弦函數(shù)的圖象問題,要畫出正確的正弦曲線、余弦曲線,掌握兩者的形狀相同,只是在坐標系中的位置不同,可以通過相互平移得到.微思考由于余弦函數(shù)圖象可以看成是正弦函數(shù)圖象向左平移

個單位之后形成,所以類比正弦函數(shù),用五點法畫圖時,應取哪五個點?重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1函數(shù)的研究思路之一是根據(jù)定義畫出函數(shù)圖象,再結合圖象研究性質.對于正弦函數(shù)來講,可否根據(jù)其定義畫出圖象?問題2三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的重要函數(shù)模型,借此,可否直觀想象三角函數(shù)圖象的整體特征,從而簡化三角函數(shù)的作圖過程?探究點一用“五點法”作三角函數(shù)的圖象問題3作圖的基本方式是列表、描點、連線.如何快速畫出三角函數(shù)的圖象?圖象中的哪些點具有代表性?【例1】

用“五點法”作出下列函數(shù)的圖象:(1)y=sin

x-1,x∈[0,2π];(2)y=1-cosx,x∈[-2π,2π].解(1)列表:描點、連線,如圖.(2)列表:描點、連線,得到函數(shù)y=1-cos

x在區(qū)間[0,2π]上的圖象,再將該圖象向左平移2π個單位長度即可得到函數(shù)在區(qū)間[-2π,2π]上的圖象,如圖.規(guī)律方法

用“五點法”畫函數(shù)y=Asin

x+b(A≠0)或y=Acosx+b(A≠0)在[0,2π]上的簡圖的步驟(1)列表:x0π2πsinx(或cosx)0(或1)1(或0)0(或-1)-1(或0)0(或1)yb(或A+b)A+b(或b)b(或-A+b)-A+b(或b)b(或A+b)(2)描點:在平面直角坐標系中描出下列五個點:

,這里的yi(i=1,2,3,4,5)值是通過函數(shù)解析式計算得到的.(3)連線:用光滑的曲線將描出的五個點連接起來,就得到正(余)弦函數(shù)y=Asin

x+b(y=Acos

x+b)(A≠0)的圖象.作圖象時,函數(shù)自變量要用弧度制,x軸、y軸上盡量統(tǒng)一單位長度.探究點二利用“圖象變換法”作三角函數(shù)的圖象問題4正弦、余弦函數(shù)的圖象能通過描點畫出,但對于正、余弦型的函數(shù),仍這樣畫就顯得非常麻煩,可否借助于基本的正、余弦函數(shù)圖象通過變換得到?【例2】

利用圖象變換法作出下列函數(shù)的圖象:(1)y=1-cosx,x∈[0,2π];解

(1)作出函數(shù)y=cos

x的圖象,再將該圖象關于x軸對稱,得到函數(shù)y=-cos

x的圖象,最后將該圖象向上平移1個單位長度,即得函數(shù)y=1-cos

x的圖象(如圖1).圖1(2)y=|cos(x+)|=|sin

x|,先作出函數(shù)y=sin

x在區(qū)間[0,4π]上的圖象,再將該圖象在x軸上方的圖象保持不動,下方的圖象以x軸為對稱軸翻折到上方,即得函數(shù)y=|sin

x|的圖象(如圖2實線部分).圖2延伸探究在本例中,如何利用圖象變換作出函數(shù)y=sin|x|,x∈[-2π,2π]的簡圖?解

y=sin|x|=為偶函數(shù),首先作出函數(shù)y=sin

x,x∈[0,2π]的圖象,再將x∈[0,2π]的圖象作出關于y軸對稱的圖象,即得x∈[-2π,0]的部分.如圖所示即為所求圖象.規(guī)律方法

圖象變換的規(guī)律(1)平移變換①函數(shù)y=f(x+a)的圖象是由函數(shù)y=f(x)的圖象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個單位長度得到的;②函數(shù)y=f(x)+b的圖象是由函數(shù)y=f(x)的圖象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個單位長度得到的.(2)對稱變換①函數(shù)y=|f(x)|的圖象是將函數(shù)y=f(x)的圖象在x軸上方的部分不動,下方的部分關于x軸為對稱軸翻折到x軸上方得到;②函數(shù)y=f(|x|)的圖象是將函數(shù)y=f(x)的圖象在y軸右邊的部分不動,并將其關于y軸為對稱軸翻折到y(tǒng)軸左側得到;③函數(shù)y=-f(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關于x軸對稱;④函數(shù)y=f(-x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關于y軸對稱;⑤函數(shù)y=-f(-x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關于原點對稱.探究點三正弦(余弦)函數(shù)圖象的應用問題5如何利用正、余弦函數(shù)的圖象研究函數(shù)的定義域、值域,函數(shù)的性質等?問題6對于正、余弦函數(shù)的值域,試著從代數(shù)與幾何兩個角度思考,可以應用解決哪些問題?【例3】(1)函數(shù)

的定義域為

.

(2)在同一平面直角坐標系中,作函數(shù)y=sin

x和y=lg

x的圖象,根據(jù)圖象判斷出方程sin

x=lg

x的解的個數(shù).解

用五點法作出函數(shù)y=sin

x,x∈R的圖象.描出點(1,0),(10,1),并用光滑曲線連接得到y(tǒng)=lg

x的圖象,如圖所示.由圖象可知方程sin

x=lg

x的解有3個.規(guī)律方法

1.用三角函數(shù)圖象解sin

x>a(或cos

x>a)的方法(1)作出y=a,y=sin

x(或y=cos

x)的圖象.(2)確定sin

x=a(或cos

x=a)的x值.(3)確定sin

x>a(或cos

x>a)的解集.2.利用三角函數(shù)圖象解sin

x>a(或cos

x>a)的方法(1)找出使sin

x=a(或cos

x=a)的兩個x值的終邊所在的位置.(2)根據(jù)變化趨勢,確定不等式的解集.學以致用·隨堂檢測促達標12345678910A級必備知識基礎練1.用“五點法”畫函數(shù)y=1+sinx的圖象時,首先應描出五點的橫坐標是(

)B12345678910A.與g(x)的圖象相同B.與g(x)的圖象關于y軸對稱C.向左平移

個單位長度,得g(x)的圖象D.向右平移

個單位長度,得g(x)的圖象D123456789103.若sinx=2m+1且x∈R,則m的取值范圍是

.

[-1,0]解析

因為sin

x∈[-1,1],所以-1≤2m+1≤1,故-1≤m≤0.123456789104.函數(shù)

的定義域是

.

123456789105.利用正弦曲線,寫出函數(shù)

的值域是

.

[1,2]123456789106.利用“五點法”畫出函數(shù)y=2-sinx,x∈[0,2π]的簡圖.解

(1)取值列表如下:(2)描點連線,圖象如圖所示:123456789107.在(0,2π)內,使sinx>cosx成立的x的取值范圍為(

)C12345678910解析

作出函數(shù)y=sin

x和y=cos

x在(0,2π)內的圖象,∵sin

x>cos

x,∴函數(shù)y=sin

x的圖象在函數(shù)y=cos

x的圖象上方的區(qū)間就是sin

x>cos

x的解集,即為

.故選C.12345678910C1234567891012345678910B級關鍵能力提升練9.(多選題)下列說法正確的是(

)A.y=sin|x|的圖象與y=sinx的圖象關于y軸對稱B.y=cos(-x)的圖象與y=cos|x|的圖象相同C.y=sin|x|的圖象與y=sin(-x)的圖象關于x軸對稱D.y=cosx的圖象與y=cos(-x)的圖象相同BD解析

對于A,y=sin|x|是偶函數(shù),而y=sin

x為奇函數(shù),故y=sin|x|與y=sin

x的圖象不關于y軸對稱,故A錯誤;對于B,y=cos(-x)=cos

x,y=cos|x|=cos

x,故兩圖象相同,故B正確;