高中數(shù)學(xué)高效作業(yè)15單調(diào)性的概念與證明含解析新人教A版必修第一冊(cè)

單調(diào)性的概念與證明

［A級(jí)新教材落實(shí)與鞏固］

一、選擇題

1.若函數(shù)f(x)=(3a+2)x—5在R上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(D)

D-V+8)

2

【解析】依題意得3a+2>0,所以a>一鼻.

2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間［—1,2］上單調(diào)遞減，則下列關(guān)系正確的是(B)

A.f(0)>f(3)

B.f(-l)>f(l)

C.f(0)<f(2)

D.f(-l)<f(2)

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間［-1,2］上單調(diào)遞減，所以f(-l)>f(l).

3.函數(shù)y=|x-2］在區(qū)間［一2,3］±(C)

A.單調(diào)遞減

B.單調(diào)遞增

C.先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增

D.先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減

—2x>2

【解析】y=|x—2|=x:1'作出圖象(圖略)可知，函數(shù)在區(qū)間［—2,2)上

單調(diào)遞減，在區(qū)間［2,3］上單調(diào)遞增.

4.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增的是(C)

A.y=-x+1

B.y=x2-4x+5

C.y=y[x

1

D.y=-

x

【解析】y=-x+1,y=x2—4x+5,y=：在區(qū)間(0，2)上單調(diào)遞減；y=y[x在區(qū)

間(0,2)上單調(diào)遞增.故選C.

5.若函數(shù)f(x)=-x2+2(a+5)x+2的單調(diào)遞減區(qū)間為[4,+8),則a的值是(A)

A.-1B.-2

C.1D.2

9_|_C)

【解析】函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線X=一；Y：二;=a+5.因?yàn)閒(x)=-x'+2(a+

5)x+2的單調(diào)遞減區(qū)間為[4,+8),所以a+5=4,得a=-l.

6.已知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,若a+b>0,則有(A)

A.f(a)+f(b)>f(―a)+f(―b)

B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)

C.f(a)-f(b)>f(-a)-f(-b)

D.f(a)-f(b)<f(-a)-f(-b)

【解析】Va+b>0,/.a>-b,b>-a,

/.f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),

.,.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),故選A.

二、填空題

2x+1,x2l,

7.已知函數(shù)f(x)=,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,1)；單調(diào)遞

5—x,x<l,

增區(qū)間是［1,+8).

【解析】當(dāng)x》l時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［1,+8)；當(dāng)X。

時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,1).

8.設(shè)山，xC［a,b］,若二⑷)〉o,貝X)在區(qū)間5b］上單調(diào)遞_r(填

21m

“增”或“減”).

,f(XI)—f(x2)

【解析】由---------->-0--知--，f(x)—f(x2)與x1一X2同號(hào),即若XKX2,則

Xi-X2

f(x.)<f(x2),反之亦然.故f(x)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞增.

9.已知二次函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，則f(0),

f(2),f(-3)的大小關(guān)系為f(0)〈f(2)<f(-3).

【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以f(-3)=f(3).又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)

在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，所以f(0)<f(2)〈f(一3).

10.已知f(x)在定義域(0,+8)上單調(diào)遞減，若f(x)<f(2x-3),則x的取值范圍是

x>0,

【解析】由已知得<2x—3>0,解得|<x<3.

、x>2x—3,

11.若f(x)在R上單調(diào)遞增，f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=l,則不等式f(x)+f(―2)>1

的解集為_*|x<~||

【解析】由條件可得f(x)+f(—2)=f(—2x),

又f(3)=1,/.f(-2x)>f(3).

3

(x)在R上單調(diào)遞增，「.-2x>3,解得x<—5.

故不等式f(x)+f(-2)>1的解集為1X<-1}.

三、解答題

—x-3x<］

12.作出函數(shù)f(x)=,二2二’、的圖象，并指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

(X—2)+3,x>l

—x—3,xWl,

解:f(X)='的圖象

(x-2)2+3,x>l

如圖所示.

—x13xW1

‘二2二’、的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,1]和(1，2],單

{(x-2)z+3,x>l

調(diào)遞增區(qū)間為［2,+8).

⑶設(shè)函數(shù)f（x）=祟（a>b>0）,求f（x）的單調(diào)區(qū)間'并說(shuō)明f（x）在其單調(diào)區(qū)間上的

單調(diào)性.

解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ㄒ?,-b）U（-b,+8）.在定義域內(nèi)任取X1,X2,且使X〈X2,

xz+a_xi+a

則f（X2）—f（X1）

xz+bxi+b

(xz+a)(x】+b)—(xz+b)(xi+a)

(xi+b)(xz+b)

(b—a)(XLXi)

(xi+b)(x2+b).

—

Va>b>0,Xi<x2,.*.b—a<0,x2Xi>0.

只有當(dāng)xi<x2<—b或一b<x〈X2時(shí)，函數(shù)才單調(diào).

當(dāng)Xi<X2<-b或一b〈Xi<X2時(shí)，f（X2）—f（xi）<0.

.,.y=f（x）在（-8,—b）上單調(diào)遞減，在（-b,+8）上也單調(diào)遞減.

???y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（一8,—b）和（一b,+8）,無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間.

[B級(jí)素養(yǎng)養(yǎng)成與評(píng)價(jià)]

14.已知函數(shù)f（x）=g,若?！此悺盺,匚戶,務(wù)的大小

關(guān)系是（C）

cf(X!)f(X)f(X3)

B,-----------<-------2----<z-----------

XlX2X3

f(X3)f(x2)f(X1)

?X3X2Xl

nf(x)f(x)f(Xl)

D.-------2----<-------3----<-----------

X2XsXl

【解析】由題意可得0<XI<X2<X3^2,

都有

――-----------<0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Xi—x2

&力.f(X1)-f(X)…L4-

解：由--------------2-<0怛成立，

Xi—X2

a—3<0,

得f(x)在R上單調(diào)遞減=<a>0,=0<a<2.??.a的取值范圍是(0,2].

a+222a

16.已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的a,b￡R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)—L且當(dāng)x>0時(shí),

f(x)>l.

(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù)；

(2)若fg)=f(x)-f(y),f(2)=l,