高中數(shù)學 3.4生活中的優(yōu)化問題舉例活頁訓練 湘教版選修1-1

【創(chuàng)新設(shè)計】-學年高中數(shù)學3.4生活中的優(yōu)化問題舉例活頁訓練湘教版選修1-1eq\a\vs4\al\co1(基礎(chǔ)達標限時20分鐘)1．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為 ()．A．13萬件 B．11萬件C．9萬件 D．7萬件解析令y′＝－x2＋81＝0，得x1＝－9(舍去)，x2＝9.注意當x∈(－9,9)時，y′>0，函數(shù)單調(diào)遞增，當x∈(9，＋∞)時，y′<0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以x＝9是函數(shù)的極大值點，故選C.答案C2．已知一矩形內(nèi)接于半徑為R的半圓，則矩形周長最大時的邊長為 ()．A.eq\f(R,2)和eq\f(3R,2) B.eq\f(\r(5)R,5)和eq\f(4\r(5)R,5)C.eq\f(4R,5)和eq\f(7R,5) D.eq\f(4R,5)和eq\f(4\r(5)R,5)解析如圖，設(shè)∠COB＝α，其中α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則矩形的邊長分別為Rsinα和2Rcosα，則周長l＝2(Rsinα＋2Rcosα)＝2R(sinα＋2cosα)．由l′＝2R(cosα－2sinα)＝0，得cosα＝2sinα，解得cosα＝eq\f(2,\r(5))，sinα＝eq\f(1,\r(5)).又函數(shù)l＝2R(sinα＋2cosα)為單峰函數(shù)，故邊長分別為eq\f(\r(5)R,5)和eq\f(4\r(5)R,5)，故選B.答案B3．制作一個母線長為20cm的圓錐形漏斗，要使其體積最大，則其高應(yīng)為 ()．A.eq\f(20\r(3),3)cm B．100cmC．20cm D.eq\f(20,3)cm解析設(shè)高為hcm(0<h<20)，圓錐的底面半徑為r，則r2＝400－h(huán)2，則V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π(400－h(huán)2)h＝eq\f(1,3)π(400h－h(huán)3)，所以V′＝eq\f(1,3)π(400－3h2)＝0，解得h＝eq\f(20\r(3),3)，故選A.答案A4．將正數(shù)a分解為兩個正數(shù)的和，使這兩個正數(shù)的立方和為最小，則這兩個正數(shù)分別為________和________．解析設(shè)所分成的兩個整數(shù)為x和a－x(0<x<a)，則它們的立方和為y＝x3＋(a－x)3.令y′＝3x2－3(a－x)2＝0得x＝eq\f(a,2).又函數(shù)y＝x3＋(a－x)3為單峰函數(shù)，故兩個正數(shù)的立方和為最小時，這兩個正數(shù)都等于eq\f(a,2).答案eq\f(a,2)eq\f(a,2)5．設(shè)氣球以每秒36πcm3的常速注入氣體，假設(shè)氣體壓力不變，那么在8秒末氣球半徑的增加速度為________．解析設(shè)在t時刻氣球的半徑為r(t)，體積為V，則V＝eq\f(4,3)πr3(t)＝36πt，所以，把t＝8代入，得r′(t)＝eq\f(1,4).答案eq\f(1,4)cm/s6．用總長14.8m的鋼條做一個長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m，那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積．解設(shè)容器底面短邊長為xm，則另一邊長為(x＋0.5)m，高為eq\f(14.8－4x－4x＋0.5,4)＝(3.2－2x)(m)．由3.2－2x>0和x>0，得0<x<1.6.設(shè)容器的容積為ym3，則有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0<x<1.6)．整理，得y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x.∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.令y′＝0，有－6x2＋4.4x＋1.6＝0，即15x2－11x－4＝0.解得x1＝1或x2＝－eq\f(4,15)(不合題意，舍去)．從而在定義域(0,1.6)內(nèi)，只有在x＝1處使得y′＝0.因此，當x＝1時，y取得最大值且ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m3)，這時高為3.2－2×1＝1.2(m)．eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時25分鐘)7．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋400x，0≤x≤390，,90090，x>390，))則當總利潤最大時，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是 ()．A．150 B．200C．250 D．300解析總利潤P(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390，,90090－100x－20000，x>390，))由P′(x)＝0，得x＝300，故選D.答案D8．如圖，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器．當這個正六棱柱容器的容積最大時底面邊長為 ()．A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C．1 D.eq\f(4,3)解析設(shè)切去四邊形后正六邊形的邊長為x，則正六棱柱的高為eq\f(\r(3),2)(1－x)，體積V＝eq\f(9,4)x2(1－x)，V′＝eq\f(9,4)(2x－3x2)＝eq\f(9,4)x(2－3x)，當x＝eq\f(2,3)時，Vmax＝eq\f(1,3).故選B.答案B9．建造一個總體積一定的圓柱形鍋爐，若兩個底面的材料每單位面積的造價為a元，側(cè)面的材料每單位面積的造價為b元，當造價最低時，鍋爐的直徑與高的比值為________．解析設(shè)鍋爐的底面半徑為r，高為h，則體積為V＝πr2h.總造價P＝2πr2·a＋2πrh·b＝2πar2＋eq\f(2bV,r)(r>0)．令P′＝4πar－eq\f(2bV,r2)＝0，得r3＝eq\f(bV,2πa)，又V＝πr2h，所以r3＝eq\f(bπr2h,2πa)＝eq\f(br2h,2a)，所以eq\f(2r,h)＝eq\f(b,a).故填eq\f(b,a).答案eq\f(b,a)10．將邊長為1的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S＝eq\f(梯形的周長2,梯形的面積)，則S的最小值是________．解析設(shè)剪成的小正三角形的邊長為x，則S(x)＝eq\f(3－x2,\f(1,2)·\f(\r(3),2)·1－x2)＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(3－x2,1－x2)(0<x<1)．所以S′(x)＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(2x－6·1－x2－3－x2·－2x,1－x22)＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(－23x－1x－3,1－x22).令S′(x)＝0(0<x<1)，得x＝eq\f(1,3).當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))時，S′(x)<0，遞減；當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))時，S′(x)>0，遞增，故當x＝eq\f(1,3)時，S的最小值是eq\f(32\r(3),3).答案eq\f(32\r(3),3)11．請你設(shè)計一個包裝盒．如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒．E，F(xiàn)在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點．設(shè)AE＝FB＝x(cm)．(1)某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應(yīng)取何值？(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．解設(shè)包裝盒的高為hcm，底面邊長為acm.則a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0<x<30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，∴當x＝15時，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)，V′(x)＝6eq\r(2)x(20－x)．由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.當x∈(0,20)時，V′(x)>0，當x∈(20,30)時，V′(x)<0.所以當x＝20時，V取得極大值，也是最大值．此時eq\f(h,a)＝eq\f(1,2).即包裝盒的高與底面邊長之比為eq\f(1,2).12．(創(chuàng)新拓展)某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形按照設(shè)計要求容器的容積為eq\f(80π,3)立方米，且l≥2r.假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)，已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半圓形部分每平方米建造費用為c(c>3)千元．該容器的建造費用為y千元．(1)寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；(2)求該容器的建造費用最小時的r.解(1)設(shè)容器的容積為V.則V＝πr2l＋eq\f(4,3)πr3，又V＝eq\f(80,3)π，∴l(xiāng)＝eq\f(V－\f(4,3)πr3,πr2)＝eq\f(80,3r2)－eq\f(4,3)r＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,r2)－r)).由于l≥2r，∴0<r≤2.所以建造費用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πreq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,r2)－r))×3＋4πr2c.即y＝4π(c－2)r2＋eq\f(160π,r)，該函數(shù)定義域為{r|0＜r≤2}．(2)由(1)知y′＝8π(c－2)r－eq\f(160π,r2)＝eq\f(8πc－2,r2)(r3－eq\f(20,c－2))，0<r≤2.由于c>3，所以c－2>0，當r3－eq\f(20,c－2)＝0時，r＝3eq\r(\f(20,c－2)).當0<3eq\r(\f(20,c－2))<2，即c>eq\f(9,2)時，時，y′<0，r∈eq\b\lc\(\rc\)