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2020-2021學(xué)年新教材人教A版必修第二冊(cè)7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和
復(fù)數(shù)的概念作業(yè)
一、選擇題
1、已知復(fù)數(shù)二滿足—2(i是虛數(shù)單位),則Izl的最大值為()
A.2B.3C.4D.5
2、在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=sin2+icos2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
3、已知復(fù)數(shù)zi,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為(1.1).(0.1),則5=()
A.1+iB.-l+iC.-1-iD.l-i
4、歐拉公式/=cos6+isin夕(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),i是虛數(shù)單位)是由瑞士著名
數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的,它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的
關(guān)系,它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位,當(dāng)。=乃時(shí),就有0加+1=°,根據(jù)上
述背景知識(shí)試判斷表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
5、已知復(fù)數(shù)2=5抽2019。+8$2019。,.,則復(fù)平面表示z的點(diǎn)位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
6、已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)二滿足以一2-刈=1,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限
為()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
7、設(shè)非零復(fù)數(shù)Z。為復(fù)平面上一定點(diǎn),乙為復(fù)平面上的動(dòng)點(diǎn),其軌跡方程Z-Zo|=|ZJ,
z為復(fù)平面上另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足zz=-i,則Z在復(fù)平面上的軌跡形狀是()
2±_±_±
A.焦距為Z?的雙曲線B.以4)為圓心,4為半徑的圓
C.一條直線D.以上都不對(duì)
8、已知復(fù)數(shù)z=x+M(x,yeR)滿足|Z—2|=G,則7的最大值為()
]_昱昱
A.2B.3c.2D.&
9、設(shè)復(fù)數(shù)二滿足但―’"=2+0則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
10、關(guān)于復(fù)數(shù)3—4i的說法正確的是()
①實(shí)部和虛部分別為3和-4;②復(fù)數(shù)模為5
③在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限;④共鈍復(fù)數(shù)為3+4i
A.①③B.①@④C.①②③④D.①③④
2-i
11、在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于().
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
12、設(shè)復(fù)數(shù)馬=-1+*Z2=3-i(i是虛數(shù)單位),若復(fù)數(shù)z滿足Iz-zJ-|z-Z2l=4,
Z+Z
IZ--lL——2Hi
則2的最小值是()
A.1B.2c.&D.百
二、填空題
13、在復(fù)平面內(nèi),。是原點(diǎn),向量函對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-5+21,點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)
為點(diǎn)B,則向量礪對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.
14、復(fù)數(shù)z=2-3i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第象限.
15、已知復(fù)數(shù)z2)+(/-9)/?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限,則實(shí)數(shù)皿的取
值范圍是.
16、已知實(shí)數(shù)X,〃滿足胃+(1+2》_〃_/.=0,貝產(chǎn)=,P=.
三、解答題
17、(本小題滿分10分)已知“是實(shí)數(shù),〃是純虛數(shù),且滿足5一人=3+初,求/+〃
的值.
18、(本小題滿分12分)如圖所示,平行四邊形的頂點(diǎn)0,A,C對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)分別
為0,3+2i,-2+4i,試求
①行所表示的復(fù)數(shù),1所表示的復(fù)數(shù);
②對(duì)角線瓦所表示的復(fù)數(shù);
③對(duì)角線麗所表示的復(fù)數(shù)及礪的長(zhǎng)度.
19、(本小題滿分12分)已知下列復(fù)數(shù):2+,、-3/\-3+4/\4.
(1)在復(fù)平面上作出表示這些復(fù)數(shù)的向量;
(2)在復(fù)平面上作出表示這些復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn).
20、(本小題滿分12分)當(dāng)加為何值時(shí),復(fù)數(shù)2=(〃"2"2)+(2加+3?(加6/?)在復(fù)平
面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn):
(1)在第一象限?
⑵在直線X一)'-9=0上?
(3)在直線%=8右側(cè)?
參考答案
1、答案B
由復(fù)數(shù)的幾何意義可知Z對(duì)應(yīng)的軌跡,從而得到?z?的最大值.
詳解:由復(fù)數(shù)的模的幾何意義可知,
復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡為:以(°,D為圓心,以2為半徑的圓的內(nèi)部(包括
圓周).
而?z?表示點(diǎn)Z到點(diǎn)(°,°)的距離,
所以當(dāng)點(diǎn)Z為(℃)時(shí),|z|最大,
故Izl的最大值是3.
故選:B.
2、答案D
由復(fù)數(shù)的幾何意義作出相應(yīng)判斷.
解:'/sin2>0,cos2<0,.'.z=sin2+icos2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,故選D.
3、答案D
勺
由已知條件可得4/2,然后代入云,再利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.
詳解
?.?復(fù)數(shù)Z14在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為(1,1),(0,1),
/.zi=l+i,4=i.
Zj1+i-i(l+i)
故選:D.
4、答案D
根據(jù)歐拉公式及復(fù)數(shù)的幾何意義,即可求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而判斷在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)
所在象限.
詳解:歐拉公式e'"=cos6+isin。,
173.
=------1
22
fl㈤
2’2
對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為1人所以在第四象限,
故選:D.
5、答案C
由誘導(dǎo)公式分別判斷sin2019°<0,cos2019°<0,由復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.
詳解由sin2019°=sin(2019—1800)°=sin2190<0
cos2019°=cos(2019-1800)°=cos2190<0
所以z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(Sin219°,cos219。),在第三象限.
故選:C.
6、答案A
由復(fù)數(shù)的幾何意義可得,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在以(2,3)為圓心,1為半徑
的圓上,根據(jù)圖像即可得答案.
詳解:設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi,則z-2-3i=a-2+(b-3)i,所以
22
|z-2-3;|=7(?-2)+(/?-3)=1;即-2)2+S-3尸=1,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)
的點(diǎn)Z在以(2,3)為圓心,1為半徑的圓上,所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.
故選A.
7、答案B
由Z-z0|=|zJ,知點(diǎn)Z1的軌跡為連接原點(diǎn)。和定點(diǎn)z°的線段的垂直平分線,
因?yàn)閆Z=T,所以'Z,將此式整體代入點(diǎn)Z1的方程,化簡(jiǎn)即可得解.
詳解
由|4-z0|=|zj,知點(diǎn)4的軌跡為連接原點(diǎn)°和定點(diǎn)Z。的線段的垂直平分線,
z=-
因?yàn)閆|Z=7,所以'Z,
--Z=
將此式整體代入點(diǎn)4的方程,得Z°|||
即兩邊同時(shí)乘以Z。,得z°Z。,
1_J_
所以Z在復(fù)平面上的軌跡是以Z。為圓心,Z。為半徑的圓,
故選:B.
8、答案D
£
根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出復(fù)數(shù)z=x+yi的軌跡方程再根據(jù)X的幾何意義求解即可.
詳解
y
因?yàn)閨z-2|=百,故|(x-2)+M=G,即(x-2)-+y2=3,又X的幾何意義為(x,y)
到(°'°)的斜率.故當(dāng)過原點(diǎn)的直線與(”—2)2+V=3切于第一象限時(shí)x取得最大值.
sin^=—0^——tan—=V3
此時(shí)設(shè)切線的傾斜角為6則2,易得3.故X的最大值為3.
故選:D
9、答案A
利用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn),根據(jù)幾何意義確定z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限.
2+z(2+z)(2+i)3+4/34.
Z----------------------------------——+—I
2-i(2-z)(2+z)555
則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第一象限.
故選:A.
10、答案C
根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,復(fù)數(shù)的幾何意義,共朝復(fù)數(shù)的概念判斷①②③④均正確.
詳解:復(fù)數(shù)3—4i的實(shí)部和虛部分別為3和-4,①正確;
復(fù)數(shù)模為5,②正確;
在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為3Y)在第四象限,③正確;
復(fù)數(shù)3—4i的共軌復(fù)數(shù)為3+4i,④正確.
故選:C.
11、答案c
2-i
根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則,求出i的實(shí)部和虛部,即可得出結(jié)論.
2-i_(2-/)(-/)_,
詳解:i—~i2一,
2-i
i對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(一1,一2),位于第三象限.
故選:C.
12、答案B
由題意可得復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)z的軌跡為以Z|,Z2為焦點(diǎn),實(shí)半軸長(zhǎng)為2,半焦
Z|+Z2
距為c=石的雙曲線,求出2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(1,°),然后利用雙曲線的性質(zhì)可得答案.
詳解
設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z,
因?yàn)?=-1+,,4=3",
所以4,Z2在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z|、Z2之間的距離為26>4,
由|z-zj-|z-Z2l=4,可得z的軌跡是以Z「Z2為焦點(diǎn),,實(shí)半軸長(zhǎng)。=2,半焦距
c=右的雙曲線的右支,
Z[+z)—l+i+3—i1
_!_____——_______________—1
而22,且點(diǎn)(1,°)在直線Z/2上,
Z+Z
|zl2|
所以2的最小值等于C,T)與(1,°)之間的距離減去9一。),
22
即-\/(3—I)+(-l—0)-(^5-2)=2
故選8.
13、答案-5-2i
由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可得點(diǎn)“(一5,2),進(jìn)而可得點(diǎn)8(-5,-2),再由復(fù)數(shù)的幾何
意義即可得解.
詳解::在復(fù)平面內(nèi),。是原點(diǎn),向量方對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是一5+21,
:?點(diǎn)”(-5,2)
又點(diǎn)A、點(diǎn)3關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱,.?.點(diǎn)8(-5,-2),
向量礪對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-5-2i.
故答案為:-5-2i.
14、答案四
求出復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可得出結(jié)論.
詳解:復(fù)數(shù)2=2-3,在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-3),該點(diǎn)位于第四象限.
故答案為:四.
15、答案(一3,2)
加一2<0
<
復(fù)數(shù)z=s-2)+(.-9)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限,可得“-9<0,解得即
可.
詳解:解:.??復(fù)數(shù)z=('”-2)+(〃--9)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限,
m-2<0
.一9<0,解得一3cx<2.
,實(shí)數(shù)用的取值范圍是(一二2).
故答案為:(-32).
13
16、答案g4
24
尤2+1-p=0
由爐+(l+2i)x-p-i=0可得、+%-P+(2xT)i=0,然后卜一1=0,解出
即可.
詳解:由%2+(1+2,)1_〃_'=0可得廠+*一夕+(2》-1k=0
[1
I2
x2+x-p=0I3
<P=-
所以121=。,解得14
J_3
故答案為:萬,4
17、答案0
詳解:設(shè)Z?=x,,xwR,則由一xi=3+A7’2,即(a—x)i=3—九,
Q-X=O4=3
.解方程組,得
3-x=0x=3
那么/+/=32+(3i)2=o
18、答案①—3—2i,-3—2,②5-27③l+6i,而
②由m=函一正計(jì)算可得;
③由麗=礪+詼可得對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù),再由模的運(yùn)算計(jì)算出模.
詳解:①A0=—Q4,;?A0所表本的復(fù)數(shù)為—3—2i.
:配=而,,比所表示的復(fù)數(shù)為-3-2i.
@'-'CA=OA-OC>
二及所表示的復(fù)數(shù)為(3+2/1-(-2+4i)=5-2i.
③對(duì)角線礪=礪+反,它所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z
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