2020-2021學(xué)年新教材人教A版必修第二冊(cè) 711 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念 作業(yè)

2020-2021學(xué)年新教材人教A版必修第二冊(cè)7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和

復(fù)數(shù)的概念作業(yè)

一、選擇題

1、已知復(fù)數(shù)二滿足—2（i是虛數(shù)單位），則Izl的最大值為（）

A.2B.3C.4D.5

2、在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=sin2+icos2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3、已知復(fù)數(shù)zi，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為（1.1）.（0.1）,則5=（）

A.1+iB.-l+iC.-1-iD.l-i

4、歐拉公式/=cos6+isin夕（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位）是由瑞士著名

數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的

關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，當(dāng)。=乃時(shí)，就有0加+1=°,根據(jù)上

述背景知識(shí)試判斷表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5、已知復(fù)數(shù)2=5抽2019。+8$2019。，.，則復(fù)平面表示z的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6、已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)二滿足以一2-刈=1,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限

為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

7、設(shè)非零復(fù)數(shù)Z。為復(fù)平面上一定點(diǎn)，乙為復(fù)平面上的動(dòng)點(diǎn)，其軌跡方程Z-Zo|=|ZJ,

z為復(fù)平面上另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足zz=-i,則Z在復(fù)平面上的軌跡形狀是（）

2±_±_±

A.焦距為Z?的雙曲線B.以4）為圓心，4為半徑的圓

C.一條直線D.以上都不對(duì)

8、已知復(fù)數(shù)z=x+M（x,yeR）滿足|Z—2|=G,則7的最大值為（）

]_昱昱

A.2B.3c.2D.&

9、設(shè)復(fù)數(shù)二滿足但―’"=2+0則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

10、關(guān)于復(fù)數(shù)3—4i的說法正確的是（）

①實(shí)部和虛部分別為3和-4；②復(fù)數(shù)模為5

③在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限；④共鈍復(fù)數(shù)為3+4i

A.①③B.①@④C.①②③④D.①③④

2-i

11、在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

12、設(shè)復(fù)數(shù)馬=-1+*Z2=3-i（i是虛數(shù)單位），若復(fù)數(shù)z滿足Iz-zJ-|z-Z2l=4,

Z+Z

IZ--lL——2Hi

則2的最小值是（）

A.1B.2c.&D.百

二、填空題

13、在復(fù)平面內(nèi)，。是原點(diǎn)，向量函對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-5+21,點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)

為點(diǎn)B,則向量礪對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.

14、復(fù)數(shù)z=2-3i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第象限.

15、已知復(fù)數(shù)z2）+（/-9）/?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，則實(shí)數(shù)皿的取

值范圍是.

16、已知實(shí)數(shù)X,〃滿足胃+（1+2》_〃_/.=0,貝產(chǎn)=,P=.

三、解答題

17、（本小題滿分10分）已知“是實(shí)數(shù)，〃是純虛數(shù)，且滿足5一人=3+初，求/+〃

的值.

18、（本小題滿分12分）如圖所示，平行四邊形的頂點(diǎn)0,A,C對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)分別

為0,3+2i,-2+4i,試求

①行所表示的復(fù)數(shù)，1所表示的復(fù)數(shù)；

②對(duì)角線瓦所表示的復(fù)數(shù)；

③對(duì)角線麗所表示的復(fù)數(shù)及礪的長(zhǎng)度.

19、（本小題滿分12分）已知下列復(fù)數(shù)：2+，、-3/\-3+4/\4.

（1）在復(fù)平面上作出表示這些復(fù)數(shù)的向量；

（2）在復(fù)平面上作出表示這些復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn).

20、（本小題滿分12分）當(dāng)加為何值時(shí)，復(fù)數(shù)2=（〃"2"2）+（2加+3?（加6/?）在復(fù)平

面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)：

（1）在第一象限？

⑵在直線X一）'-9=0上？

（3）在直線％=8右側(cè)？

參考答案

1、答案B

由復(fù)數(shù)的幾何意義可知Z對(duì)應(yīng)的軌跡，從而得到?z?的最大值.

詳解：由復(fù)數(shù)的模的幾何意義可知，

復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡為：以（°，D為圓心，以2為半徑的圓的內(nèi)部（包括

圓周）.

而?z?表示點(diǎn)Z到點(diǎn)（°，°）的距離，

所以當(dāng)點(diǎn)Z為（℃）時(shí)，|z|最大，

故Izl的最大值是3.

故選：B.

2、答案D

由復(fù)數(shù)的幾何意義作出相應(yīng)判斷.

解：'/sin2>0,cos2<0,.'.z=sin2+icos2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，故選D.

3、答案D

勺

由已知條件可得4/2,然后代入云，再利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

詳解

?.?復(fù)數(shù)Z14在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為（1,1）,（0,1）,

/.zi=l+i,4=i.

Zj1+i-i（l+i）

故選：D.

4、答案D

根據(jù)歐拉公式及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而判斷在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

所在象限.

詳解：歐拉公式e'"=cos6+isin。,

173.

=------1

22

fl㈤

2’2

對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為1人所以在第四象限，

故選：D.

5、答案C

由誘導(dǎo)公式分別判斷sin2019°<0,cos2019°<0,由復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.

詳解由sin2019°=sin(2019—1800)°=sin2190<0

cos2019°=cos(2019-1800)°=cos2190<0

所以z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(Sin219°,cos219。)，在第三象限.

故選：C.

6、答案A

由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在以(2,3)為圓心，1為半徑

的圓上，根據(jù)圖像即可得答案.

詳解：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi,則z-2-3i=a-2+(b-3)i,所以

22

|z-2-3;|=7(?-2)+(/?-3)=1；即-2)2+S-3尸=1,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)Z在以(2,3)為圓心，1為半徑的圓上，所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.

故選A.

7、答案B

由Z-z0|=|zJ,知點(diǎn)Z1的軌跡為連接原點(diǎn)。和定點(diǎn)z°的線段的垂直平分線，

因?yàn)閆Z=T,所以'Z,將此式整體代入點(diǎn)Z1的方程，化簡(jiǎn)即可得解.

詳解

由|4-z0|=|zj,知點(diǎn)4的軌跡為連接原點(diǎn)°和定點(diǎn)Z。的線段的垂直平分線，

z=-

因?yàn)閆|Z=7,所以'Z,

--Z=

將此式整體代入點(diǎn)4的方程，得Z°|||

即兩邊同時(shí)乘以Z。，得z°Z。，

1_J_

所以Z在復(fù)平面上的軌跡是以Z。為圓心，Z。為半徑的圓，

故選:B.

8、答案D

￡

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出復(fù)數(shù)z=x+yi的軌跡方程再根據(jù)X的幾何意義求解即可.

詳解

y

因?yàn)閨z-2|=百，故|(x-2)+M=G,即(x-2)-+y2=3,又X的幾何意義為(x,y)

到(°'°)的斜率.故當(dāng)過原點(diǎn)的直線與(”—2)2+V=3切于第一象限時(shí)x取得最大值.

sin^=—0^——tan—=V3

此時(shí)設(shè)切線的傾斜角為6則2,易得3.故X的最大值為3.

故選：D

9、答案A

利用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，根據(jù)幾何意義確定z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限.

2+z(2+z)(2+i)3+4/34.

Z----------------------------------——+—I

2-i(2-z)(2+z)555

則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第一象限.

故選：A.

10、答案C

根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，復(fù)數(shù)的幾何意義，共朝復(fù)數(shù)的概念判斷①②③④均正確.

詳解：復(fù)數(shù)3—4i的實(shí)部和虛部分別為3和-4,①正確；

復(fù)數(shù)模為5,②正確；

在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為3Y)在第四象限，③正確;

復(fù)數(shù)3—4i的共軌復(fù)數(shù)為3+4i,④正確.

故選：C.

11、答案c

2-i

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則，求出i的實(shí)部和虛部，即可得出結(jié)論.

2-i_（2-/）（-/）_,

詳解：i—~i2一,

2-i

i對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（一1，一2）,位于第三象限.

故選：C.

12、答案B

由題意可得復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)z的軌跡為以Z|，Z2為焦點(diǎn),實(shí)半軸長(zhǎng)為2,半焦

Z|+Z2

距為c=石的雙曲線，求出2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（1，°）,然后利用雙曲線的性質(zhì)可得答案.

詳解

設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z,

因?yàn)?=-1+,，4=3",

所以4，Z2在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z|、Z2之間的距離為26>4,

由|z-zj-|z-Z2l=4,可得z的軌跡是以Z「Z2為焦點(diǎn)，，實(shí)半軸長(zhǎng)。=2,半焦距

c=右的雙曲線的右支，

Z[+z）—l+i+3—i1

_!_____——_______________—1

而22，且點(diǎn)（1，°）在直線Z/2上，

Z+Z

|zl2|

所以2的最小值等于C，T）與（1，°）之間的距離減去9一。），

22

即-\/（3—I）+（-l—0）-（^5-2）=2

故選8.

13、答案-5-2i

由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可得點(diǎn)“（一5,2）,進(jìn)而可得點(diǎn)8（-5,-2）,再由復(fù)數(shù)的幾何

意義即可得解.

詳解：：在復(fù)平面內(nèi)，。是原點(diǎn)，向量方對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是一5+21,

：?點(diǎn)”（-5,2）

又點(diǎn)A、點(diǎn)3關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，.?.點(diǎn)8（-5,-2）,

向量礪對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-5-2i.

故答案為：-5-2i.

14、答案四

求出復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出結(jié)論.

詳解：復(fù)數(shù)2=2-3，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-3）,該點(diǎn)位于第四象限.

故答案為：四.

15、答案（一3,2）

加一2<0

<

復(fù)數(shù)z=s-2）+（.-9）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，可得“-9<0,解得即

可.

詳解：解：.??復(fù)數(shù)z=（'”-2）+（〃--9）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，

m-2<0

.一9<0,解得一3cx<2.

,實(shí)數(shù)用的取值范圍是（一二2）.

故答案為：（-32）.

13

16、答案g4

24

尤2+1-p=0

由爐+（l+2i）x-p-i=0可得、+%-P+（2xT）i=0,然后卜一1=0,解出

即可.

詳解：由％2+（1+2，）1_〃_'=0可得廠+*一夕+（2》-1k=0

[1

I2

x2+x-p=0I3

<P=-

所以121=。，解得14

J_3

故答案為：萬，4

17、答案0

詳解：設(shè)Z?=x，，xwR,則由一xi=3+A7’2,即（a—x）i=3—九,

Q-X=O4=3

.解方程組,得

3-x=0x=3

那么/+/=32+（3i）2=o

18、答案①—3—2i,-3—2，②5-27③l+6i,而

②由m=函一正計(jì)算可得；

③由麗=礪+詼可得對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，再由模的運(yùn)算計(jì)算出模.

詳解：①A0=—Q4，；?A0所表本的復(fù)數(shù)為—3—2i.

:配=而，，比所表示的復(fù)數(shù)為-3-2i.

@'-'CA=OA-OC＞

二及所表示的復(fù)數(shù)為（3+2/1-（-2+4i）=5-2i.

③對(duì)角線礪=礪+反，它所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z