2010年初一奧賽培訓09“設而不求”的未知數(shù)

2010年初一奧賽培訓09：“設而不求”的未知數(shù)一、解答題1．（10分）（2013秋?江油市校級月考）一個直角三角形的周長為，斜邊上的中線長是1．求這個三角形的面積．2．（10分）已知：，求證．3．（10分）已知，，都是5的倍數(shù)，，且，試求的值．4．（10分）若使為可約分數(shù)，則自然數(shù)的最小值應是多少？5．（10分）甲、乙、丙、丁四人，每三個人的平均年齡加上余下一人的年齡分別為29，23，21和17，這四人中最大年齡與最小年齡的差是多少？6．（10分）設自然數(shù)為99的倍數(shù)，試求，．7．（10分）我手中的卡片上寫有一個三位數(shù)，并且個位數(shù)不為零，現(xiàn)將個位與百位數(shù)字對調，取兩數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)），將所得差的三位數(shù)與此差的個位、百位數(shù)字對調后的三位數(shù)相加，最后的和是多少？8．（10分）從兩個重量分別為12千克和8千克，且含銅的百分數(shù)不同的合金上切下重量相等的兩塊，把所切下的每塊和另一塊剩余的合金放在一起，熔煉后兩個合金含銅的百分數(shù)相等．求所切下的合金的重量是多少千克？9．（10分）某隊伍長1998米，在行進中排尾的一個戰(zhàn)士因事趕到排頭，然后立即返回，當這個戰(zhàn)士回到排尾時，全隊已前進1998米，如果隊伍和這個戰(zhàn)士行進的速度都不改變，求這個戰(zhàn)士走過的路程．10．（10分）設，求證11．（10分）已知，且．求證：．12．（10分）設六位數(shù)（其中，分別表示十萬位及個位上的數(shù)字），又是4的倍數(shù)，且被11除余5，那么等于多少？13．（10分）五個人要完成某項工作，如果甲、乙、丙三人同時工作需6小時；甲、丙、戊三人同時工作需小時；甲、丙、丁三人同時工作需7.5小時；乙、丙、戊同時工作，需用5小時，問五個人同時工作需用多少小時完成？14．（10分）公共汽車每隔分鐘發(fā)車一次，小紅在大街上行走，發(fā)現(xiàn)從背后每隔6分鐘開過來一輛公共汽車，而每隔分鐘迎面駛來一輛公共汽車，如果公共汽車與小紅行進的速度都是勻速的，則為多少？

2010年初一奧賽培訓09：“設而不求”的未知數(shù)參考答案與試題解析一、解答題1．（10分）（2013秋?江油市校級月考）一個直角三角形的周長為，斜邊上的中線長是1．求這個三角形的面積．【考點】直角三角形斜邊上的中線；勾股定理【專題】幾何圖形問題【分析】利用直角三角形斜邊上的中線性質求得斜邊長；設出兩條直角邊，再結合三角形的周長、勾股定理、三角形的面積聯(lián)立方程即可解決問題．【解答】解：因為直角三角形斜邊上的中線長是1，所以斜邊長2；設兩條直角邊的長度是，，面積是，由此聯(lián)立方程得，，由①得，兩邊平方得，④把②，③代入④式得，解得；答：這個三角形的面積是．【點評】在這個題目中，只要求出未知數(shù)的值，而我們卻設了三個未知數(shù)：，，，并且在解題過程中，我們也根本沒求，的值．但是由于增設了，后，給我們利用等量關系列方程及方程組求的值，帶來了很大的便利，像這種未知數(shù)（如，就是本講所要介紹的“設而不求”的未知數(shù)．所謂“設而不求”的未知數(shù)，又叫輔助元素，它是我們?yōu)榻鉀Q問題增設的一些參數(shù)，它能起到溝通數(shù)量關系，架起連接已知量和未知量的橋梁作用．2．（10分）已知：，求證．【考點】分式的基本性質【專題】證明題【分析】設恒等式等于一個常數(shù)，求出，，與這個常數(shù)的關系式，再進行證明．【解答】解：設，則，，，，．【點評】設出恒等式等于一個常數(shù)，求出，，與這個常數(shù)的關系式是解答本題的關鍵．3．（10分）已知，，都是5的倍數(shù)，，且，試求的值．【考點】數(shù)的整除性【專題】計算題【分析】因為，，都是5的倍數(shù)，因此可設，，因為，所以．又因為，以，，所以，所以，代入代數(shù)式求值．【解答】解：不妨設，，，由題意可知，，，都是整數(shù)．因為，所以．又因為，所以，，①所以，所以．②將①，②代入所求的代數(shù)式得【點評】本題考查數(shù)的整除性的問題，關鍵設出，，，是“設而不求”的未知數(shù)．根據(jù)條件消去未知數(shù)得到結果．4．（10分）若使為可約分數(shù)，則自然數(shù)的最小值應是多少？【考點】約分【專題】計算題【分析】要使可約分，分子與分母有公因數(shù)，設分子：，①；分母：，②；整理得到．從而求得的最小值．【解答】解：要使可約分，不妨設分子與分母有公因數(shù)，顯然應用，并且設分子：，①分母：．②其中，為自然數(shù)．由①得，將之代入②得，即，所以．由于71是質數(shù)，且，所以，所以．故最小為84．【點評】本題考查了約分，找到分子與分母的最大公約數(shù)是解此題的關鍵．5．（10分）甲、乙、丙、丁四人，每三個人的平均年齡加上余下一人的年齡分別為29，23，21和17，這四人中最大年齡與最小年齡的差是多少？【考點】二元一次方程組的應用【專題】年齡問題【分析】可設四個人的年齡分別記為，，，，根據(jù)題中敘述可列出四個方程，通過方程變形可以判斷哪個數(shù)最大哪個數(shù)最小，再計算最大年齡與最小年齡的差即可．【解答】解：設四個人的年齡分別記為，，，，根據(jù)題意有，①，②，③，④由上述四式可知，⑤，⑥，⑦，⑧比較⑤，⑥，⑦，⑧知，最大，最小，所以⑤⑧得，所以，即這四個人中最大年齡與最小年齡的差為18．答：最大年齡與最小年齡的差是18．【點評】本題考查了二元一次方程的變形應用．此題設的未知數(shù)較多，但此題不必求出，，，的值，只須比較一下，找出最大者與最小者是誰，作差即可求解．6．（10分）設自然數(shù)為99的倍數(shù)，試求，．【考點】數(shù)的整除性【專題】計算題【分析】由題意得能被整除，根據(jù)一個數(shù)能被9整除的特征有：，可求得及的范圍，再由（可得的可能值，進而討論即可得出及值的可能組合．【解答】解：自然數(shù)為99的倍數(shù)，可得能被整除，根據(jù)一個數(shù)能被9整除的特征有：為自然數(shù)），即為自然數(shù)），又由于，，則有，從而有或①，同理，按照一個數(shù)被11整除的特征有：或②，①與②相結合，并考慮，，故只有，．所以原自然數(shù)為6224427．【點評】本題考查了數(shù)的整除性的知識，難度較大，關鍵是根據(jù)整除的知識得到的可能值，然后分類討論可能性．7．（10分）我手中的卡片上寫有一個三位數(shù)，并且個位數(shù)不為零，現(xiàn)將個位與百位數(shù)字對調，取兩數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)），將所得差的三位數(shù)與此差的個位、百位數(shù)字對調后的三位數(shù)相加，最后的和是多少？【考點】列代數(shù)式；代數(shù)式求值【專題】數(shù)字問題【分析】該題是個位，百位上數(shù)的調換，即兩位數(shù)上數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)一樣的，那么相加得到解決．【解答】解：不妨設原數(shù)為，對調后的差為，所以．因是三位數(shù)，所以，．所以．差對調后為，所以．故所求為1089．【點評】本題是一個排列問題，難易適宜．8．（10分）從兩個重量分別為12千克和8千克，且含銅的百分數(shù)不同的合金上切下重量相等的兩塊，把所切下的每塊和另一塊剩余的合金放在一起，熔煉后兩個合金含銅的百分數(shù)相等．求所切下的合金的重量是多少千克？【考點】三元一次方程組的應用【專題】應用題【分析】關鍵描述語為：“熔煉后兩個合金含銅的百分數(shù)相等”；等量關系為：千克合金里切后純銅的質量千克合金切下純銅的質量）千克合金里切后純銅的質量千克合金切下純銅的質量），把相關數(shù)值代入即可求解．【解答】解：設所切下的合金的重量為千克，重12千克的合金的含銅百分數(shù)為，重8千克的合金的含銅百分數(shù)為，于是有，整理得．因為，所以，因此，即所切下的合金重4.8千克．【點評】本題考查了用多個未知數(shù)解決含銅百分比問題；注意在解含參數(shù)的方程時，一般情況下可以把參數(shù)消去，轉化成只含有待求未知數(shù)的一般方程，也就是說應用題的解答與參數(shù)的數(shù)值無關．9．（10分）某隊伍長1998米，在行進中排尾的一個戰(zhàn)士因事趕到排頭，然后立即返回，當這個戰(zhàn)士回到排尾時，全隊已前進1998米，如果隊伍和這個戰(zhàn)士行進的速度都不改變，求這個戰(zhàn)士走過的路程．【考點】分式方程的應用【專題】應用題【分析】此題利用行程問題中的追及問題（路程速度差追及時間）與相遇問題（路程速度和相遇時間），設出隊伍行進的速度和戰(zhàn)士的行進速度，利用前面基本數(shù)量關系列出方程解答即可．【解答】解：設這個戰(zhàn)士的行進速度為米小時，隊伍行進的速度為米小時，這個戰(zhàn)士從排尾趕到排頭所需時間為小時，戰(zhàn)士從排頭趕到排尾所需時間為小時，隊伍行進1998米所需時間為小時，根據(jù)題意列方程得：，整理得，解得（舍去負值），所以這個戰(zhàn)士所走距離為米；答：戰(zhàn)士走過的路程為米．【點評】此題考查行程問題中的追及問題（路程速度差追及時間）與相遇問題（路程速度和相遇時間），解決這一問題時，可以從不同角度考慮問題，增設不同參數(shù)也會有不同解法．10．（10分）設，求證【考點】分式的加減法【分析】設（參數(shù)），則，，分別代入等式的左右兩邊化簡，證明左邊右邊．【解答】證明：設，則，，左邊，右邊，左邊右邊，得證．【點評】本題考查了分式等式的證明方法，根據(jù)已知等式的特點，設參數(shù)，能使運算簡便．11．（10分）已知，且．求證：．【考點】分式的等式證明【專題】證明題【分析】由于條件中有一個連等式，故可利用設參數(shù)的方法把待證式兩邊都變形為與參數(shù)相同的同一個代數(shù)式，即設，代入所求代數(shù)式即可．【解答】證明：設，則，，，因為，又因為．所以原式成立．【點評】本題考查的是分式的等式證明，解答此類題目時要注意條件中有一個連等式，恰當引入?yún)?shù)，把待證式兩邊都變形為與參數(shù)相同的同一個代數(shù)式，通過設參數(shù)解答此類題目是一種常用的方法．12．（10分）設六位數(shù)（其中，分別表示十萬位及個位上的數(shù)字），又是4的倍數(shù)，且被11除余5，那么等于多少？【考點】帶余除法【專題】探究型【分析】先根據(jù)是4的倍數(shù)可得出的可能值，再根據(jù)及時，所得的數(shù)被11除余5得出減去5的數(shù)，再由被11整除的數(shù)的特點即可求出的值．【解答】解：從是4的倍數(shù)可知被4整除，所以或6，當時，被11整除，所以是11的倍數(shù)，由于是一位數(shù)字，所以無解．當時，被11整除，所以是11的位數(shù)，因此，此時．故答案為：9．【點評】本題考查的是帶余數(shù)的除法，根據(jù)是4的倍數(shù)求出的可能值是解答此題的關鍵．13．（10分）五個人要完成某項工作，如果甲、乙、丙三人同時工作需6小時；甲、丙、戊三人同時工作需小時；甲、丙、丁三人同時工作需7.5小時；乙、丙、戊同時工作，需用5小時，問五個人同時工作需用多少小時完成？【考點】三元一次方程組的應用【專題】工程問題【分析】等量關系為：6（甲的工作效率乙的工作效率丙的工作效率）；（甲的工作效率丙的工作效率戊的工作效率）；（甲的工作效率丙的工作效率丁的工作效率）；（戊的工作效率乙的工作效率丙的工作效率），把相關數(shù)值代入求得5個人的工作效率之和，讓1除以5個人的工作效率之和即可得到五個人同時工作需用多少小時完成．【解答】解：設甲的工作效率為，乙的工作效率為，丙的工作效率為，丁的工作效率為，戊的工作效率為．（2）（3）得①，（1）（3）得②，③，④，把③④代入（4）得，，，，，，．答：3小時才能完成．【點評】考查多元方程的求法；得到4個關于工作效率和的等量關系是解決本題的關鍵；采用特殊消元法求解是解決本題的難點．14．（10分）公共汽車每隔分鐘發(fā)車一次，小紅在大街上行走，發(fā)現(xiàn)從背后每隔6分鐘開過來一輛公共汽車，而每隔分鐘迎面駛來一輛公共汽車，如果公共汽車與小紅行進的速度都是勻速的，則為多少？【考點】一元一次方程的應用【專題】應用題【分析】分析：想要求出的值，必須找出題目中所給的等量關系，列出方程，求解作答．【解答】解：假設小紅的速度為，汽車的速度為，由于小紅汽車均為勻速，所以時時刻刻，向相同方向行駛的汽車，任意相鄰兩輛間的距離都是相同的．則由題目可得出：，即：，相鄰兩輛汽車間的距離為：，所以有：（分鐘），答：汽車每5分鐘發(fā)車一次．故為5分鐘．【點評】解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解．

考點卡片1．列代數(shù)式（1）定義：把問題中與數(shù)量有關的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點注意：①仔細辨別詞義．列代數(shù)式時，要先認真審題，抓住關鍵詞語，仔細辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關系．③注意運算順序．列代數(shù)式時，一般應在語言敘述的數(shù)量關系中，先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級運算，要把代數(shù)式中代表低級運算的這部分括起來．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分數(shù)形式，帶分數(shù)與字母相乘需把代分數(shù)化為假分數(shù)，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數(shù)式括號的適當運用．⑤正確進行代換．列代數(shù)式時，有時需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換．【規(guī)律方法】列代數(shù)式應該注意的四個問題1．在同一個式子或具體問題中，每一個字母只能代表一個量．2．要注意書寫的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡寫作“?”或者省略不寫．3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個數(shù)若是帶分數(shù)要把它化成假分數(shù)．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號），而是寫成分數(shù)的形式．2．代數(shù)式求值（1）代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結果叫做代數(shù)式的值．（2）代數(shù)式的求值：求代數(shù)式的值可以直接代入、計算．如果給出的代數(shù)式可以化簡，要先化簡再求值．題型簡單總結以下三種：①已知條件不化簡，所給代數(shù)式化簡；②已知條件化簡，所給代數(shù)式不化簡；③已知條件和所給代數(shù)式都要化簡．3．分式的基本性質（1）分式的基本性質：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．（2）分式中的符號法則：分子、分母、分式本身同時改變兩處的符號，分式的值不變．【方法技巧】利用分式的基本性質可解決的問題1．分式中的系數(shù)化整問題：當分子、分母的系數(shù)為分數(shù)或小數(shù)時，應用分數(shù)的性質將分式的分子、分母中的系數(shù)化為整數(shù)．2．解決分式中的變號問題：分式的分子、分母及分式本身的三個符號，改變其中的任何兩個，分式的值不變，注意分子、分母是多項式時，分子、分母應為一個整體，改變符號是指改變分子、分母中各項的符號．3．處理分式中的恒等變形問題：分式的約分、通分都是利用分式的基本性質變形的．4．約分（1）約分的定義：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分．（2）確定公因式要分為系數(shù)、字母、字母的指數(shù)來分別確定．①分式約分的結果可能是最簡分式，也可能是整式．②當分子與分母含有負號時，一般把負號提到分式本身的前面．③約分時，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項式的，必須先分解因式．（3）規(guī)律方法總結：由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉化為乘積的形式，再找出分子、分母的最大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分．5．分式的加減法（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉化為同分母分式的加減．說明：①分式的通分必須注意整個分子和整個分母，分母是多項式時，必須先分解因式，分子是多項式時，要把分母所乘的相同式子與這個多項式相乘，而不能只同其中某一項相乘．②通分是和約分是相反的一種變換．約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為較簡單的形式；通分是分別把每一個分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個較簡單的分式變成分母相同的較復雜的形式．約分是對一個分式而言的；通分則是對兩個或兩個以上的分式來說的．6．一元一次方程的應用（一）一元一次方程解應用題的類型有：（1）探索規(guī)律型問題；（2）數(shù)字問題；（3）銷售問題（利潤＝售價﹣進價，利潤率＝×100%）；（4）工程問題（①工作量＝人均效率×人數(shù)×時間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和＝工作總量）；（5）行程問題（路程＝速度×時間）；（6）等值變換問題；（7）和，差，倍，分問題；（8）分配問題；（9）比賽積分問題；（10）水流航行問題（順水速度＝靜水速度+水流速度；逆水速度＝靜水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設要求的未知量或間接設一關鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關的量，找出之間的相等關系列方程、求解、作答，即設、列、解、答．列一元一次方程解應用題的五個步驟1．審：仔細審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關系．2．設：設未知數(shù)（x），根據(jù)實際情況，可設直接未知數(shù)（問什么設什么），也可設間接未知數(shù)．3．列：根據(jù)等量關系列出方程．4．解：解方程，求得未知數(shù)的值．5．答：檢驗未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句．7．二元一次方程組的應用（一）列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關系．（2）設元：找出題中的兩個關鍵的未知量，并用字母表示出來．（3）列方程組：挖掘題目中的關系，找出兩個等量關系，列出方程組．（4）求解．（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答．（二）設元的方法：直接設元與間接設元．當問題較復雜時，有時設與要求的未知量相關的另一些量為未知數(shù)，即為間接設元．無論怎樣設元，設幾個未知數(shù)，就要列幾個方程．8．三元一次方程組的應用在解決實際問題時，若未知量較多，要考慮設三個未知數(shù)，但同時應注意，設幾個未知數(shù)，就要找到幾個等量關系列幾個方程．（1）把求等式中常數(shù)的問題可轉化為解三元一次方程組，為以后待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式奠定基礎．（2）通過設二元與三元的對比，體驗三元一次方程組在解決多個未知數(shù)問題中的優(yōu)越性．9．分式方程的應用1、列分式方程解應用題的一般步驟：設、列、解、驗、答．必須嚴格按照這5步進行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設和答敘述要完整，要寫出單位等．2、要掌握常見問題中的基本關系，如行程問題：速度＝路程時間；工作量問題：工作效率＝工作量工作時間等等．列分式方程解應用題一定要審清題意，找相等關系是著眼點，要學會分析題意，提高理解能力．10．直角三角形斜邊上的中線（1）性質：在直角三