2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第三章 第四節(jié) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)含答案

1版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第三章第四節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)第四節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解指數(shù)冪的拓展過程,掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì).2.了解指數(shù)函數(shù)的實際意義,理解指數(shù)函數(shù)的概念.3.會畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.考情分析考點考法:高考命題以考查指數(shù)冪的運算性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點、指數(shù)冪的大小比較為主,常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算.【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.指數(shù)與指數(shù)運算(1)根式的性質(zhì)①(na)n=a(a使na②當(dāng)n是奇數(shù)時,nan=a;當(dāng)n是偶數(shù)時,nan=|a(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義①amn=(a>0,m,n∈N*,且n②a-mn=1amn=(a>0,m,n∈N③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.(3)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì):ar·as=ar+s,(ar)s=ars(其中a>0,r,s∈Q),(ab)r=arbr(其中a>0,b>0,r∈Q).【微點撥】化簡nan時,一定要注意區(qū)分n是奇數(shù)還是偶數(shù)2.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)項目0<a<1a>1圖象性質(zhì)定義域:R值域:(0,+∞)過定點(0,1)當(dāng)x>0時,0<y<1;當(dāng)x<0時,y>1當(dāng)x>0時,y>1;當(dāng)x<0時,0<y<1在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)【微點撥】(1)畫指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象,應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點(0,1),(1,a),(-1,1a).(2)討論指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時,要注意分底數(shù)a>1和0<a<1兩種情況.【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯題號123,41.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論錯誤的是 ()A.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪amn可以理解為mnB.函數(shù)y=2xC.若am<an(a>0,且a≠1),則m<nD.函數(shù)y=ax2+1(a>1)的值域是【解析】選ABC.A當(dāng)mn<1時,不可以×B由于指數(shù)函數(shù)解析式為y=ax(a>0,且a≠1),故y=2x-1不是指數(shù)函數(shù).×Cm與n的大小關(guān)系與a的取值有關(guān).×D由于x2+1≥1,又a>1,所以ax2+1≥a.故y=ax2+1(√2.(人A必修第一冊P119T6·變形式)已知a=0.750.1,b=1.012.7,c=1.013.5,則 ()A.a>b>c B.a>c>bC.c>b>a D.c>a>b【解析】選C.因為函數(shù)y=1.01x在(-∞,+∞)上是增函數(shù),且3.5>2.7,故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1,即c>b>a.3.(忽視函數(shù)的定義域)函數(shù)f(x)=21x【解析】因為f(x)的定義域為{x|x≠1},所以1x-1≠0,故f(x)>0且f(x)≠1,即函數(shù)的值域為(0,1)∪答案:(0,1)∪(1,+∞)4.(忽視底數(shù)的取值)若函數(shù)f(x)=ax在[-1,1]上的最大值為2,則a=________.

【解析】若a>1,則f(x)max=f(1)=a=2;若0<a<1,則函數(shù)f(x)max=f(-1)=a-1=2,得a=12答案:2或1【巧記結(jié)論·速算】1.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象恒過點(0,1),(1,a),(-1,1a)2.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的圖象,底數(shù)a,b,c,d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b>0.由此我們可得到以下規(guī)律:在第一象限內(nèi),指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象越高,底數(shù)越大.【即時練】1.若a>0且a≠1,則函數(shù)f(x)=ax-4+3的圖象恒過的定點的坐標(biāo)為________.

【解析】令x-4=0,得x=4,所以f(4)=a0+3=4,所以函數(shù)f(x)=ax-4+3的圖象恒過定點(4,4).答案:(4,4)2.已知y1=(13)x,y2=3x,y3=10-x,y4=10x,則在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi),為 ()【解析】選A.y2=3x與y4=10x在R上單調(diào)遞增;y1=(13)x與y3=10-x=(110)x在R上單調(diào)遞減,在第一象限內(nèi)作直線x=1(圖略),由結(jié)論可得選項A【核心考點·分類突破】考點一指數(shù)冪的運算[例1](1)已知x<0,y>0,化簡:49x8y4A.-3x2y B.3x2yC.-3x2y D.3x2y【解析】選B.由題意得49x8y4=914(x8)(2)計算:(-1.8)0+(32)-2·3(338)

【解析】(-1.8)0+(32)-2·3(338=1+232·27=1+(23)2·(32)2=1+1-10+27=19.答案:19(3)已知a2x=5,則a【解析】a3x=a2x+1+a-2x=5+1+15答案:31【解題技法】指數(shù)冪運算的一般原則(1)有括號的先算括號里的,無括號的先做指數(shù)運算.(2)先乘除后加減,負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).(3)底數(shù)是字母,先確定符號;底數(shù)是小數(shù),先化成分?jǐn)?shù);底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的,先化成假分?jǐn)?shù).(4)若是根式,應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,盡可能用冪的形式表示,運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來計算.【對點訓(xùn)練】1.已知3a+2b=1,則9a·【解析】因為3a+2b=1,所以32a+b=1所以原式=(32)a·3b(3答案:32.計算:(14)

-12·(4ab-1)【解析】原式=2·432答案:83.若a,b,c為正實數(shù),ax=by=cz,1x+1y+1z=0,則【解析】設(shè)ax=by=cz=k,則k>0,a=k1x,b=k1y,因此abc=k1xk1yk1答案:1考點二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用[例2](1)函數(shù)f(x)=(12)|x+1|的圖象大致為 (【解析】選B.作出函數(shù)y=(12)|x|的圖象,如圖所示,將y=(12)|x|的圖象向左平移1個單位得到f(x)=(12)|x(2)(多選題)(2023·福州調(diào)研)已知實數(shù)a,b滿足等式2023a=2024b,下列等式可以成立的是 ()A.a=b=0 B.a<b<0C.0<a<b D.0<b<a【解析】選ABD.如圖,觀察易知,a<b<0或0<b<a或a=b=0,故選ABD.(3)(一題多變)若函數(shù)y=|3x-1|在(-∞,k]上單調(diào)遞減,則實數(shù)k的取值范圍為________.

【解析】函數(shù)y=|3x-1|的圖象是由函數(shù)y=3x的圖象向下平移一個單位長度后,再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的,函數(shù)圖象如圖所示.由圖象知,其在(-∞,0]上單調(diào)遞減,所以實數(shù)k的取值范圍為(-∞,0].答案:(-∞,0](變條件、變設(shè)問)若本例(3)的條件變?yōu)?函數(shù)y=|3x-1|與直線y=m有兩個不同交點,則實數(shù)m的取值范圍是________.

【解析】曲線y=|3x-1|的圖象是由函數(shù)y=3x的圖象向下平移一個單位長度后,再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的.作出直線y=m和曲線y的圖象如圖所示,由圖象可得,如果曲線y=|3x-1|與直線y=m有兩個公共點,則m的取值范圍是(0,1).答案:(0,1)【解題技法】有關(guān)指數(shù)函數(shù)圖象問題的解題思路(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象,一般是取特殊點,判斷選項中的圖象是否過這些點,若不滿足則排除;(2)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題,一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手,通過平移、伸縮、對稱變換而得到.特別地,當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論;(3)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象,數(shù)形結(jié)合求解;(4)根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的問題,可以通過直線x=1與圖象的交點進(jìn)行判斷.【對點訓(xùn)練】1.(多選題)已知非零實數(shù)a,b滿足3a=2b,則下列不等關(guān)系中正確的是 ()A.a<bB.若a<0,則b<a<0C.|a|<|b| D.若0<a<log32,則ab<ba【解析】選BCD.如圖,由指數(shù)函數(shù)的圖象可知,0<a<b或者b<a<0,所以A錯誤,B,C正確;D選項中,0<a<log32?0<a<b<1,則有ab<aa<ba,所以D正確.2.(2023·哈爾濱模擬)若存在正數(shù)x使ex(x+a)<1成立,則a的取值范圍是 ()A.(-∞,+∞) B.(-∞,1)C.(-∞,1e-1) D.【解析】選B.由題設(shè)知,?x>0,使x+a<e-x成立,令y=x+a,y1=e-x,所以當(dāng)x>0時有y1=e-x∈(0,1),而y=x+a∈(a,+∞),所以當(dāng)a<1時,?x>0,使得ex(x+a)<1成立.3.若函數(shù)f(x)=|2x-2|-b有兩個零點,則實數(shù)b的取值范圍是__________.

【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y=|2x-2|與y=b的圖象,如圖所示.所以當(dāng)0<b<2時,兩函數(shù)圖象有兩個交點,從而函數(shù)f(x)=|2x-2|-b有兩個零點.所以b的取值范圍是(0,2).答案:(0,2)考點三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用【考情提示】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用是高考的命題熱點,多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn),重點考查比較大小、解方程或不等式、求值域等問題,難度中檔或以下.角度1比較指數(shù)冪大小[例3]已知a=0.30.6,b=0.30.5,c=0.40.5,則 ()A.a>b>c B.a>c>bC.b>c>a D.c>b>a【解析】選D.方法一:由指數(shù)函數(shù)y=0.3x在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,得a<b,由冪函數(shù)y=x0.5在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,得c>b.方法二:因為ab=0.365<1,且bc=(34)0.5<1,又a,b,c都為正數(shù),所以角度2解簡單的指數(shù)方程或不等式[例4](1)若x滿足不等式2x2+1≤(14)x-2,則函數(shù)y=2x的值域是A.[18,2) B.[18C.(-∞,18] D.【解析】選B.將2x2+1≤(14)x-2化為x2+1≤-2(x-2),即x2+2x-3≤0,解得x∈[-3,1],所以2-3≤2x≤21,所以函數(shù)y=2x的值域是[(2)已知實數(shù)a≠1,函數(shù)f(x)=4x,x≥0,2a-x,x<0,若f【解析】①當(dāng)a<1時,由f(1-a)=f(a-1)得41-a=2a-(a-1),即22-2a=2,所以2-2a=1,解得②當(dāng)a>1時,由f(1-a)=f(a-1)得2a-(1-a)即22a-1=22a-2,所以2a-1=2a-2,無解.綜上可知,a=12答案:1角度3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用[例5](1)(多選題)(2023·廣州模擬)已知函數(shù)y=(12)是()A.定義域為RB.值域為(0,2]C.在[-2,+∞)上單調(diào)遞增D.在[-2,+∞)上單調(diào)遞減【解析】選ABD.函數(shù)y=(12)

x2因為x2+4x+3=(x+2)2-1≥-1,所以0<(12故函數(shù)y=(12)

x因為y=(12)u在R上是減函數(shù),u=x2+4x+3在(-∞,-2]上是減函數(shù),在[-2,+∞)上是增函數(shù)所以函數(shù)y=(12)

x2+4x+3(2)(多選題)(2023·杭州模擬)已知函數(shù)f(x)=3x-13x+1,A.f(x)的圖象關(guān)于原點對稱B.f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱C.f(x)的值域為(-1,1)D.?x1,x2∈R,且x1≠x2,f(【解析】選AC.對于A,由f(-x)=3-x-13-x+1=-3x-13x+1=-f(x),可得函數(shù)f(x)為奇函數(shù),函數(shù)f(對于C,設(shè)y=3x-13x+1,可得3x=1+y1-y,所以1+y1-y>0,即1+yy-1<0,解得對于D,對?x1,x2∈R,且x1≠x2,f(x1)-f(x2而f(x)=3x-13x+1=1-23【解題技法】有關(guān)指數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的常考題型及求解策略題型求解策略比較冪值的大小(1)能化成同底數(shù)冪的先化成同底數(shù)冪再利用單調(diào)性比較大小(2)不能化成同底數(shù)冪的,一般引入“1”等中間量比較大小解簡單指數(shù)不等式先利用冪的運算性質(zhì)化為同底數(shù)冪,再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解探究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)與研究一般函數(shù)的定義域、單調(diào)性(區(qū)間)、奇偶性、最值(值域)等性質(zhì)的方法一致【對點訓(xùn)練】1.(2023·河南名校聯(lián)考)若a=21.9,b=21.5,c=31.9,則 ()A.c>a>b B.b>a>cC.a>c>b D.a>b>c【解析】選A.因為指數(shù)函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增,且1.9>1.5,所以21.9>21.5,即a>b.因為冪函數(shù)y=x1.9在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且3>2,所以31.9>21.9,即c>a,所以c>a>b.2.(2023·青島模擬)已知y=4x-3·2x+3的值域為[1,7],則x的取值范圍可以是 ()A.[2,4] B.(-∞,0)C.(0,1)∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2]【解析】選D.因為y=4x-3·2x+3的值域為[1,7],所以1≤4x-3·2x+3≤7.所以0<2x≤1或2≤2x≤4.所以x≤0或1≤x≤2.3.(多選題)已知函數(shù)f(x)=ex+e-xeA.f(x)的定義域為RB.f(x)是奇函數(shù)C.f(x)在定義域上是減函數(shù)D.f(x)無最小值,無最大值【解析】選BD.對于A,由ex-e-x≠0,解得x≠0,故f(x)的定義域為{x|x≠0},故A錯誤;對于B,函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱,且f(-x)=e-x+ex故f(x)是奇函數(shù),故B正確;對于C,f(x)=ex+e-x故函數(shù)f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上分別單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(-∞,0)時,f(x)<0,當(dāng)x∈(0,+∞)時,f(x)>0,所以f(x)在定義域上不是減函數(shù),故C錯誤;對于D,由選項C的分析可知,函數(shù)f(x)的值域為(-∞,-1)∪(1,+∞),無最小值,無最大值,故D正確.4.已知函數(shù)f(x)=2|2x-m|(m為常數(shù)),若f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù),則m的取值范圍是________.

【解析】令t=|2x-m|,則t=|2x-m|在區(qū)間(m2,+∞)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(-∞,m2而y=2t為R上的增函數(shù),所以要使函數(shù)f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上單調(diào)遞增,則有m2≤2,即m所以m的取值范圍是(-∞,4].答案:(-∞,4]第五節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì),會用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).2.了解對數(shù)函數(shù)的概念.能畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象,了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.3.知道對數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)互為反函數(shù).考情分析考點考法:高考命題常以考查對數(shù)的運算性質(zhì)為主,考查學(xué)生的運算能力;對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用是考查熱點,常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算.【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.對數(shù)的概念一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù),記作x=logaN,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù),記為lgN.

以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù),記為lnN.

2.對數(shù)的性質(zhì)與運算性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì):loga1=0,logaa=1,alogaN=N(a>0,且a≠1,(2)對數(shù)的運算性質(zhì)如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:①loga(MN)=logaM+logaN;②logaMN=logaM-logaN③logaMn=nlogaM(n∈R).(3)換底公式:logab=logcblogca(a>0,且a≠1,【微點撥】(1)換底公式的變形①logab·logba=1,即logab=1logba(a②logambn=nmlogab(a,b均大于0且不等于1,m≠0,n∈③logNM=logaMlogaN=logbM(2)換底公式的推廣logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d>0).3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=logaxa>10<a<1圖象定義域(0,+∞)值域R性質(zhì)過定點(1,0),即x=1時,y=0當(dāng)x>1時,y>0;當(dāng)0<x<1時,y<0當(dāng)x>1時,y<0;當(dāng)0<x<1時,y>0在(0,+∞)上是增函數(shù)在(0,+∞)上是減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù),它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱.【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯高考題號12431.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論錯誤的是 ()A.log2x2=2log2xB.若MN>0,則loga(MN)=logaM+logaNC.函數(shù)y=ln1+x1-x與y=ln(1+D.當(dāng)x>1時,若logax>logbx,則a<b【解析】選ABD.Alog2x2=2log2|x|×B當(dāng)M<0,N<0時,雖然MN>0,但loga(MN)=logaM+logaN不成立×D若0<b<1<a,則當(dāng)x>1時,logax>logbx×2.(人A必修第一冊P141T13(1)·變形式)設(shè)a=log0.26,b=log0.36,c=log0.46,則 ()A.a>b>c B.a>c>bC.b>c>a D.c>b>a【解析】選A.方法一:如圖,作出函數(shù)y1=log0.2x,y2=log0.3x,y3=log0.4x的圖象,由圖可知,當(dāng)x=6時,log0.26>log0.36>log0.46,即a>b>c.方法二:易知0>log60.4>log60.3>log60.2,所以1log60.即log0.46<log0.36<log0.26,即a>b>c.3.(2022·浙江高考)已知2a=5,log83=b,則4a-3b= ()A.25 B.5 C.259 D.【解析】選C.由2a=5兩邊取以2為底的對數(shù),得a=log25.又b=log83=log23log28=13log23,所以a-3b=log25-log23=log253=log453log42=2log44.(忽視對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)在[2,4]上的最大值與最小值的差是1,則a的值為________.

【解析】當(dāng)a>1時,依題意得loga4-loga2=1,解得a=2;當(dāng)0<a<1時,依題意得loga2-loga4=1,解得a=12答案:2或1【巧記結(jié)論·速算】1.對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的圖象恒過點(1,0),(a,1),(1a,-1)2.如圖給出4個對數(shù)函數(shù)的圖象,則b>a>1>d>c>0,即在第一象限,不同的對數(shù)函數(shù)圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.【即時練】1.函數(shù)y=loga(x-2)+2(a>0且a≠1)的圖象恒過定點__________.

【解析】因為loga1=0,令x-2=1,所以x=3,所以y=loga1+2=2,所以原函數(shù)的圖象恒過定點(3,2).答案:(3,2)2.已知圖中曲線C1,C2,C3,C4是函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象,則曲線C1,C2,C3,C4對應(yīng)的a的值依次為 ()A.3,2,13,12 B.2,3,1C.2,3,12,13 D.3,2,1【解析】選B.方法一:可用結(jié)論2,畫直線y=1,交點的位置自左向右,底數(shù)由小到大.方法二:因為C1,C2為增函數(shù),所以它們的底數(shù)都大于1,又當(dāng)x>1時,圖象越靠近x軸,其底數(shù)越大,故C1,C2對應(yīng)的a值分別為2,3.又因為C3,C4為減函數(shù),所以它們的底數(shù)都大于0小于1,此時當(dāng)x>1時,圖象越靠近x軸,其底數(shù)越小,所以C3,C4對應(yīng)的a分別為13,12.綜上可得C1,C2,C3,C4對應(yīng)的a值依次為2,3,13【核心考點·分類突破】考點一對數(shù)的運算[例1](1)下列運算正確的是 ()A.2log1510+log1B.log427×log258×log95=8C.lg2+lg50=10D.log(2+3)(2-3)-(log22【解析】選D.對于A,2log1510+log150.25=log15(102×0.25)=log1552=-2,A錯誤;對于B,log427×log258×log95=lglg100=2,C錯誤;對于D,log(2+3)(2-3)-(log22)2=-1-(12)(2)計算:(1-lo【解析】原式=1=1=2(1-log6答案:1(3)已知a=log26,3b=36,則1a+2b=__________,2a【解析】a=log26,3b=36,則b=log336=2log36,則1a+2b=log62+log63=logab=log262log36=lg6lg22lg6則2ab=2lo答案:13【解題技法】對數(shù)運算的一般思路(1)拆:首先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形,化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,使冪的底數(shù)最簡,然后再用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡合并.(2)合:將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算,然后逆用對數(shù)的運算性質(zhì),轉(zhuǎn)化為同底數(shù)對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運算.【加練備選】1.已知a=lg2,10b=3,則log56= ()A.a+b1+a B.a+b1-【解析】選B.因為a=lg2,10b=3,所以b=lg3,log56=lg6lg5=lg2+lg31-2.(2023·豫北名校聯(lián)考)已知2a=7b=k,若2a+1b=1,則k的值為 (A.28 B.114 C.14 D.【解析】選A.因為2a=7b=k,所以a=log2k,b=log7k,所以1a=logk2,1b=logk7,所以2a+1b=2logk2+logk7=logk3.計算:(827)

-23+eln3+log1【解析】原式=(23)

3×(-23)+3-12log2(21答案:3考點二對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用[例2](1)函數(shù)f(x)=2log4(1-x)的大致圖象是 ()【解析】選C.方法一:函數(shù)f(x)=2log4(1-x)的定義域為(-∞,1),排除A,B;函數(shù)f(x)=2log4(1-x)在定義域上單調(diào)遞減,排除D.方法二(特值法):分別取x=12及x=-1驗證即可(2)金榜原創(chuàng)·易錯對對碰①當(dāng)x∈(0,14]時,x<logax,則實數(shù)a的取值范圍為________②當(dāng)x∈(0,14]時,方程x=logax有解,則實數(shù)a的取值范圍為________【解析】①若x<logax在x∈(0,14]時成立,則0<a<1,且y=x的圖象在y=logax則14<loga1所以0<a<1,a12即實數(shù)a的取值范圍是(116,1)答案:(116②構(gòu)造函數(shù)f(x)=x和g(x)=logax,當(dāng)a>1時,不滿足條件;當(dāng)0<a<1時,由①可知,只需兩圖象在(0,14]上有交點即可則f(14)≥g(14),即14≥loga14,得所以a的取值范圍為(0,116]答案:(0,116【解題技法】對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用方法(1)在識別函數(shù)圖象時,要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標(biāo)軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題,利用數(shù)形結(jié)合法求解.【對點訓(xùn)練】1.(2023·東城區(qū)質(zhì)檢)函數(shù)y=logax與y=-x+a在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是 ()【解析】選A.當(dāng)a>1時,函數(shù)y=logax的圖象為選項B,D中過點(1,0)的曲線,此時函數(shù)y=-x+a的圖象與y軸的交點的縱坐標(biāo)a應(yīng)滿足a>1,選項B,D中的圖象都不符合要求;當(dāng)0<a<1時,函數(shù)y=logax的圖象為選項A,C中過點(1,0)的曲線,此時函數(shù)y=-x+a的圖象與y軸的交點的縱坐標(biāo)a應(yīng)滿足0<a<1,只有選項A中的圖象符合要求.2.已知函數(shù)f(x)=|log2x|,實數(shù)a,b滿足0<a<b,且f(a)=f(b),若f(x)在[a2,b]上的最大值為2,則1a+b=__________【解析】因為f(x)=|log2x|,所以f(x)的圖象如圖所示,又f(a)=f(b)且0<a<b,所以0<a<1,b>1且ab=1,所以a2<a,由圖知,f(x)max=f(a2)=|log2a2|=-2log2a=2,所以a=12,所以b=2,所以1a+b答案:4考點三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【考情提示】對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用是高考命題的熱點,多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn),重點考查比較大小、解不等式等問題,難度中檔.角度1比較大小[例3](1)設(shè)a=20.1,b=ln52,c=log3910,則a,b,c的大小關(guān)系是 (A.b>c>a B.a>c>bC.b>a>c D.a>b>c【解析】選D.因為a=20.1>20=1,0=ln1<b=ln52<lne=1,c=log3910<log31=0,所以a>b(2)設(shè)a,b,c均為正數(shù),且2a=log12a,12b=log12b,12cA.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c【解析】選A.因為a,b,c均為正數(shù),將a,b,c分別看成是函數(shù)圖象的交點的橫坐標(biāo).在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出y=2x,y=12x,y=log2x,y=log1由圖可知a<b<c.角度2解對數(shù)不等式[例4]設(shè)函數(shù)f(x)=log2x,x>0,log12(-x),xA.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)【解析】選C.由題意可得a>0,log2a>-角度3對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用[例5](1)(2023·鄭州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=ln|x+3|+ln|x-3|,則f(x) ()A.是偶函數(shù),且在(-∞,-3)上單調(diào)遞減B.是奇函數(shù),且在(-3,3)上單調(diào)遞減C.是奇函數(shù),且在(3,+∞)上單調(diào)遞增D.是偶函數(shù),且在(-3,3)上單調(diào)遞增【解析】選A.函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠±3},f(x)=ln|x+3|+ln|x-3|=ln|x2-9|,令g(x)=|x2-9|,則f(x)=lng(x),函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間由圖象(圖略)可知,當(dāng)x∈(-∞,-3),x∈(0,3)時,g(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(-3,0),x∈(3,+∞)時,g(x)單調(diào)遞增,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同