2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第三章 第一節(jié) 函數(shù)的概念及其表示含答案

1版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第三章第一節(jié)函數(shù)的概念及其表示第三章函數(shù)及其應(yīng)用第一節(jié)函數(shù)的概念及其表示課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素,能求簡單函數(shù)的定義域.2.在實(shí)際情境中,會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù),理解函數(shù)圖象的應(yīng)用.3.了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應(yīng)用.考情分析考點(diǎn)考法:高考命題常以基本初等函數(shù)為載體,考查函數(shù)的表示法、定義域、值域.分段函數(shù)是高考熱點(diǎn),常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.【必備知識·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識梳理·歸納】1.函數(shù)及其要素非空性兩個(gè)__非空實(shí)數(shù)集__A,B

唯一性對于集合A中的__任意__一個(gè)數(shù)x,按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,在集合B中都有__唯一確定__的數(shù)y和它對應(yīng),即f:A→B

記法y=f(x),x∈A定義域自變量x的__取值范圍__,即x∈A

值域函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A},其中與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值2.函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、列表法、圖象法.【微點(diǎn)撥】①在函數(shù)定義中,集合B不一定是函數(shù)的值域,它包含了函數(shù)的值域,即值域是集合B的子集.②兩個(gè)函數(shù)的值域與對應(yīng)關(guān)系相同,但兩個(gè)函數(shù)不一定相同,如y=x2(x≥0)與y=x2.3.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上,因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示,這種函數(shù)稱為分段函數(shù).【微點(diǎn)撥】分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù),分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集,值域等于各段函數(shù)的值域的并集.【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯高考題號12431.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論錯誤的是 ()A.f(x)=2-x+1B.已知f(x)=a(x∈R),則f(a3)=a3C.y=lnx2與y=2lnx表示同一個(gè)函數(shù)D.f(x)=x2+1,-1≤x【解析】選ABC.A定義域是空集,不滿足函數(shù)的概念×Bf(x)是常數(shù)函數(shù),f(a3)=a×C兩個(gè)函數(shù)的定義域不同,不是同一個(gè)函數(shù)×D結(jié)合分段函數(shù)代入求解√2.(必修第一冊P65例2·變形式)函數(shù)f(x)=x+3+1x+2,若f(a)=133,則【解析】由a+3+1a+2=133,化簡得,3a2+2a-5=0,解得a=1或a答案:1或-53.(2022·北京高考)函數(shù)f(x)=1x+1-x【解析】由已知x≠0,且1-x≥0,解得x≤1且x≠0.答案:(-∞,0)∪(0,1]4.(忽視新元的范圍致誤)若函數(shù)f(2x)=4x-2x,則f(x)=____________.

【解析】由題意,f(2x)=4x-2x=(2x)設(shè)t=2x,則f(t)=t2-t,t>0,所以f(x)=x2-x,x>0.答案:x2-x(x>0)【巧記結(jié)論·速算】1.與x軸垂直的直線和一個(gè)函數(shù)的圖象至多有一個(gè)公共點(diǎn).2.定義域與對應(yīng)關(guān)系完全一致的兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).【即時(shí)練】1.(多選題)下列能表示函數(shù)圖象的有 ()【解析】選ABC.根據(jù)函數(shù)的定義知,若y是x的函數(shù),x確定一個(gè)值,y就隨之確定一個(gè)值,對于選項(xiàng)D,當(dāng)x取一個(gè)值時(shí),可能有兩個(gè)y值與之對應(yīng).2.(必修第一冊P66例3·變條件)下列函數(shù)中與函數(shù)y=x+1是同一個(gè)函數(shù)的是 ()A.y=(x+1)2 B.y=3C.y=x2x+1 D.y=【解析】選B.函數(shù)y=x+1的定義域?yàn)镽,而函數(shù)y=(x+1)2(x≥-1)與y=x2x+1(x≠0)的定義域不是R,故A,C選項(xiàng)不符合題意;y=x2+1=|x|+1對于選項(xiàng)B,函數(shù)y=3x3+1與y=x+1【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一函數(shù)的定義域[例1](1)函數(shù)f(x)=ln(4x-x2)+1x-2的定義域?yàn)?(A.(0,4) B.[0,2)∪(2,4]C.(0,2)∪(2,4) D.(-∞,0)∪(4,+∞)【解析】選C.使函數(shù)有意義,需滿足4x-x2>0,x-2≠0,解得0<(2)已知函數(shù)f(x)=ln(ax2+x+1)的定義域?yàn)镽,則a的取值范圍為________.

【解析】由條件知,ax2+x+1>0在R上恒成立,當(dāng)a=0時(shí),x+1>0,x>-1,不滿足條件,故a>0,Δ<0,即a答案:(14(3)金榜原創(chuàng)·易錯對對碰①若函數(shù)y=f(x)的定義域是[0,2025],則函數(shù)g(x)=f(x②若函數(shù)f(x-1)的定義域?yàn)閇0,2025],則函數(shù)g(x)=f(x【解析】①使函數(shù)f(x+1)有意義,則0≤x+1≤2025,解得-1≤x≤2024,故函數(shù)f(x+1)的定義域?yàn)閇-1,2024],所以函數(shù)g(x)有意義的條件是-1≤x≤2024x-1≠0,解得-1≤x<1或1<x≤2024.故函數(shù)g(x)的定義域?yàn)棰谟珊瘮?shù)f(x-1)的定義域?yàn)閇0,2025],得函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇-1,2024],則-1≤x+1≤2024x-1≠0,解得-2≤x≤2023所以函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閇-2,1)∪(1,2023].答案:①[-1,1)∪(1,2024]②[-2,1)∪(1,2023]【解題技法】1.由函數(shù)解析式求定義域已知函數(shù)的解析式,其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合,求解時(shí)只要根據(jù)函數(shù)解析式列出自變量滿足的不等式(組),得出不等式(組)的解集即可.2.求抽象函數(shù)的定義域的策略(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a,b],則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出;(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a,b],則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a,b]上的值域.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.如果函數(shù)f(x)=ln(-2x+a)的定義域?yàn)?-∞,1),那么實(shí)數(shù)a的值為 ()A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】選D.由題意得,a-2x>0,解得x<a2,所以a2=1,解得a2.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇211,985],則函數(shù)g(x)=f(2022x)+f(2024x)的定義域?yàn)開_______.

【解析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法,列出不等式組211≤2022x≤985,211≤2024x≤985解得211答案:2113.y=lg(2-x)12+x-x【解析】由2-x>0,所以-3<x<2且x≠1,故所求函數(shù)的定義域?yàn)閧x|-3<x<2,且x≠1}.答案:{x|-3<x<2,且x≠1}考點(diǎn)二函數(shù)的解析式[例2](1)(一題多法)已知f(2x+1)=4x2-6x+5,則f(x)=______________.

【解析】方法一(換元法)令2x+1=t(t∈R),則x=t-12,所以f(t)=4(t-12)2-6·t-12+5=t2-5t+9(t∈R),所以f(x)=x2-5x方法二(配湊法)因?yàn)閒(2x+1)=4x2-6x+5=(2x+1)2-10x+4=(2x+1)2-5(2x+1)+9,所以f(x)=x2-5x+9(x∈R).方法三(待定系數(shù)法)因?yàn)閒(x)是二次函數(shù),所以設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f(2x+1)=a(2x+1)2+b(2x+1)+c=4ax2+(4a+2b)x+a+b+c.因?yàn)閒(2x+1)=4x2-6x+5,所以4a=4,所以f(x)=x2-5x+9(x∈R).答案:x2-5x+9(x∈R)(2)已知f(x+1)=x+2x,則f(x)=________.

【解析】方法一:設(shè)t=x+1,則x=(t-1)2,t≥1,代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.故f(x)=x2-1,x≥1.方法二:因?yàn)閤+2x=(x)2+2x+1-1=(x+1)2-1,所以f(x+1)=(x+1)2-1,x+1≥1,即f(x)=x2-1,x≥1.答案:x2-1(x≥1)(3)f(x)滿足2f(x)+f(1x)=3x-1,則f(x)=【解析】已知2f(x)+f(1x)=3x-1,以1x代替①中的x(x≠0),得2f(1x)+f(x)=3①×2-②,得3f(x)=6x-3x故f(x)=2x-1x-13(x答案:2x-1x-13(【解題技法】求函數(shù)解析式的四種方法提醒:由于函數(shù)解析式相同,定義域不同,則為不同的函數(shù),因此求函數(shù)解析式時(shí),如果定義域不是R,一定要注明函數(shù)的定義域.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知f(4x+1)=2x2-3x,則f(2)= (A.-1 B.1 C.2 D.3【解析】選A.令4x+1=2,則所以f(2)=2-3=-1.2.(創(chuàng)新題)已知函數(shù)f(x)滿足f(cosx-1)=cos2x-1,則f(x)的解析式為 ()A.f(x)=2x2+4x(-2≤x≤0)B.f(x)=2x2+4x(x∈R)C.f(x)=2x-1(-2≤x≤0)D.f(x)=2x-1(x∈R)【解析】選A.函數(shù)f(x)滿足f(cosx-1)=cos2x-1=2cos2x-1-1=2cos2x-2,設(shè)cosx-1=t,則cosx=t+1.由cosx∈[-1,1],得t∈[-2,0],所以原函數(shù)可轉(zhuǎn)化為f(t)=2(t+1)2-2=2t2+4t,t∈[-2,0],則f(x)的解析式為f(x)=2x2+4x(-2≤x≤0).3.已知f(x)是一次函數(shù),且滿足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,則f(x)=________.

【解析】因?yàn)閒(x)是一次函數(shù),可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),所以3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17,即ax+5a+b=2x+17,所以a=2,5所以f(x)的解析式是f(x)=2x+7.答案:2x+74.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且f(x)=2f(1x)·x-1,則f(x)=【解析】在f(x)=2f(1x)·x-1中,將x換成1則得f(1x)=2f(x)·1x由f解得f(x)=23x+答案:23x考點(diǎn)三分段函數(shù)及其應(yīng)用【考情提示】分段函數(shù)作為考查函數(shù)知識的載體,因其考查函數(shù)知識較全面而成為高考命題的熱點(diǎn),重點(diǎn)考查求值、解方程與不等式,涉及函數(shù)的零點(diǎn)、圖象及性質(zhì)等.角度1分段函數(shù)求值[例3](1)(2023·成都模擬)已知函數(shù)f(x)=log2(2-x),x<1,A.2 B.4 C.6 D.8【解析】選C.因?yàn)閒(x)=lo且-2<1,ln4>1,所以f(-2)=log24=2,f(ln4)=eln4=4,所以f(-2)+f(ln4)=2+4=6.(2)已知f(x)=f(x-1),x【解析】因?yàn)閒(x)=f所以f(2024)=f(2023)=f(2022)=…=f(1),又f(1)=f(1-1)=f(0),f(0)=-ln(0+e)+2=-1+2=1,所以f(2024)=1.答案:1角度2分段函數(shù)與方程、不等式問題[例4](1)設(shè)函數(shù)f(x)=2x,x≤0,|log2x|,x【解析】由題意知,若x≤0,則2x=12,解得x若x>0,則|log2x|=12,解得x=212=2或x=2故所求x的集合為{-1,2,22}答案:{-1,2,22(2)(一題多法)設(shè)函數(shù)f(x)=x+1,x≤0,2x,x>0,則滿足f(x)+f(【解析】方法一:當(dāng)x>12時(shí),2x+2x-12>1恒成立,當(dāng)0<x≤12時(shí),2x+x-12+1>1,即2x+x>12恒成立,所以0<x當(dāng)x≤0時(shí),x+1+x-12+1>1,解得-14<x綜上,x的取值范圍是(-14,+∞)方法二:將不等式f(x)+f(x-12)>1變形為f(x-12)>1-f(令y1=f(x-12),y2=1-f(x),作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示由圖象可知,f(x-12)>1-f(x)的x的取值范圍是(-14答案:(-14角度3分段函數(shù)的值域、最值問題[例5](1)(2023·上海高考)已知函數(shù)f(x)=2x,x>01,x≤0,【解析】當(dāng)x>0時(shí),f(x)=2x>1,當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=1,所以f(x)的值域?yàn)閇1,+∞).答案:[1,+∞)(2)(2022·浙江高考)已知函數(shù)f(x)=-x2+2,x≤1,x+1x若當(dāng)x∈[a,b]時(shí),1≤f(x)≤3,則b-a的最大值是__________.

【解析】因?yàn)閒(12)=-(12)2+2=所以f(f(12))=f(74)=74+4當(dāng)x≤1時(shí),由1≤-x2+2≤3,解得-1≤x≤1;當(dāng)x>1時(shí),由1≤x+1x解得1<x≤2+3.綜上所述,1≤f(x)≤3的解集為[-1,2+3].所以[a,b]?[-1,2+3],所以(b-a)max=2+3-(-1)=3+3.答案:37283+【解題技法】1.求分段函數(shù)的函數(shù)值先確定要求值的自變量的取值屬于哪一段區(qū)間,再代入該段解析式求值,當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí),應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.2.解分段函數(shù)的方程、不等式當(dāng)自變量取值不確定時(shí),往往要分類討論求解;當(dāng)自變量取值確定,但分段函數(shù)中含有參數(shù)時(shí),只需依據(jù)自變量的情況,直接代入相應(yīng)解析式求解.提醒:求解與分段函數(shù)有關(guān)的方程(不等式)的問題時(shí),要依據(jù)不同范圍對應(yīng)的不同解析式分別求解,最后將各段所求結(jié)果并起來.3.求函數(shù)值域、最值(1)先求每一段的最值、值域,再比較大小;(2)分段函數(shù)需分段處理、分類討論.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.設(shè)函數(shù)f(x)=3x-b,x<1,2x,x≥1.若f(A.1 B.78 C.34 D【解析】選D.f(56)=3×56-b=52若52-b<1,即b>32則f(f(56))=f(52-b)=3(52-b解得b=78,不合題意舍去若52-b≥1,即b≤32則2(52-b)=4,解得b=12.(多選題)(2023·衡水模擬)已知函數(shù)f(x)=x+2,x<1-x2A.f(f(3))=3B.若f(x)=-1,則x=2或x=-3C.f(x)<2的解集為(-∞,0)∪(1,+∞)D.?x∈R,a>f(x),則a≥3【解析】選BCD.對于A,f(3)=-(3所以f(f(3))=f(0)=2,則A錯誤.對于B,當(dāng)x<1時(shí),由f(x)=-1,得x+2=-1,得x=-3;當(dāng)x≥1時(shí),由f(x)=-1,得-x2+3=-1,得x2=4,解得x=2或x=-2(舍去).綜上得x=2或x=-3,所以B正確.對于C,當(dāng)x<1時(shí),由f(x)<2,得x+2<2,得x<0;當(dāng)x≥1時(shí),由f(x)<2,得-x2+3<2,得x>1.綜上f(x)<2的解集為(-∞,0)∪(1,+∞),所以C正確.對于D,當(dāng)x<1時(shí),x+2<3,當(dāng)x≥1時(shí),-x2+3≤2,所以f(x)的值域?yàn)?-∞,3).因?yàn)?x∈R,a>f(x),所以a≥3,故D正確.3.已知函數(shù)f(x)=(1-2a)x+3a(x【解析】由題意知f(x)=lnx(x≥1)的值域?yàn)閇0,+∞),要使f(x)的值域?yàn)镽,則必有f(x)=(1-2a)x+3a(x<1)為增函數(shù),且1-2a+3a≥0,所以1-2a>0,且a≥-1,解得-1≤a<12答案:[-1,124.(2022·北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)=-ax+1,x<a,(x-2)2,x≥a【解析】由題意知,函數(shù)最值與函數(shù)單調(diào)性相關(guān),故可考慮以0,2為分界點(diǎn)研究函數(shù)f(x)的性質(zhì).當(dāng)a<0時(shí),f(x)=-ax+1,x<a,該段的值域?yàn)?-∞,-a2+1),故整個(gè)函數(shù)沒有最小值;當(dāng)a=0時(shí),f(x)=1,x<a,該段值域?yàn)閧1},而f(x)=(x-2)2,x≥a的值域?yàn)閇0,+∞),故此時(shí)f(x)的值域?yàn)閇0,+∞),即存在最小值為0;當(dāng)0<a≤2時(shí),f(x)=-ax+1,x<a,該段的值域?yàn)?-a2+1,+∞),而f(x)=(x-2)2,x≥a的值域?yàn)閇0,+∞),若存在最小值,則需滿足-a2+1≥0,于是可得0<a≤1;當(dāng)a>2時(shí),f(x)=-ax+1,x<a,該段的值域?yàn)?-a2+1,+∞),而f(x)=(x-2)2,x≥a的值域?yàn)閇(a-2)2,+∞),若存在最小值,則需滿足-a2+1≥(a-2)2,此不等式無解.綜上,a的取值范圍是[0,1],故a的最大值為1.答案:0(答案不唯一)1第二節(jié)二項(xiàng)式定理【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2.會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.【考情分析】考點(diǎn)考法:高考命題常以二項(xiàng)式為載體,考查二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)式系數(shù)、某一項(xiàng)的系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì);二項(xiàng)式定理是高考熱點(diǎn),常以選擇題的形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算【必備知識·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識梳理·歸納】二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理:(a+b)n=

Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnnbn__((2)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng):Tk+1=Cnk__an-kbk__,它表示通項(xiàng)為展開式的第__(3)二項(xiàng)式系數(shù):二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)Cn0,Cn1,【微點(diǎn)撥】1.二項(xiàng)展開式的三個(gè)重要特征(1)字母a的指數(shù)按降冪排列由n到0.(2)字母b的指數(shù)按升冪排列由0到n.(3)每一項(xiàng)字母a的指數(shù)與字母b的指數(shù)的和等于n.2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性:與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等.(2)最大值:當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),中間的一項(xiàng)Cnn2取得最大值;當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),中間的兩項(xiàng)Cn【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯高考題號12431.(多維辨析)(多選題)下列說法正確的有 ()A.Cnkan-kbk是(a+b)n的展開式中的第B.(a+b)n的展開式中每一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a,b無關(guān)C.通項(xiàng)公式Tk+1=Cnkan-kbk中的D.二項(xiàng)式的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是相同的【解析】選BC.由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可知,Cnkan-kbk是(a+b)n的展開式中的第因?yàn)?a+b)n的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Cn0,Cn1,由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可知,通項(xiàng)公式Tk+1=Cnkan-kbk中的由二項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)與某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的定義可知,選項(xiàng)D錯誤.2.(選修第三冊P31練習(xí)T4)(x-y)n的二項(xiàng)展開式中,第m項(xiàng)的系數(shù)是 ()A.Cnm BC.Cnm-1 D.【解析】選D.(x-y)n的展開式中,第m項(xiàng)為Tm=Cnm-1xn-m+1·(-y(-1)m-1·Cnm-1xn-m+1·ym-1,所以第m項(xiàng)的系數(shù)為(-1)3.(2023·北京高考)(2x-1x)5的展開式中,A.-40 B.40 C.-80 D.80【解析】選D.由二項(xiàng)式定理可知(2x-1x)5展開式的第r+1項(xiàng)Tr+1=C5(-1)r25-rC5rx5-2r(r=0,1,令5-2r=1,可得r=2,即含x的項(xiàng)為第3項(xiàng),所以T3=80x,故x的系數(shù)為80.4.(混淆二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù))(1-2x)8展開式中x項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為 ()A.28 B.-28 C.112 D.-112【解析】選A.(1-2x)8展開式的通項(xiàng)公式為Tk+1=C8k(-2x)k=(-2)k要求x項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),只需k2=1,解得k所以x項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C82=8×7【巧記結(jié)論·速算】1.Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+C2.Cn+1m=C【即時(shí)練】若二項(xiàng)式(x-2x2)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為8,則該展開式每一項(xiàng)的系數(shù)之和為 (A.-1 B.1 C.27 D.-27【解析】選A.由題意,得Cn0+Cn1+…+Cnn=2n=8,即n=3,所以(x-2【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一通項(xiàng)公式的應(yīng)用角度1形如(a+b)n(n∈N*)的展開式的特定項(xiàng)[例1](1)(1x-x)10的展開式中x2的系數(shù)等于 (A.45 B.20 C.-30 D.-90【解析】選A.因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為Tk+1=(-1)kC10kxk2·x令-10+32k=2,得k所以展開式中x2的系數(shù)為(-1)8×C108(2)(多選題)若(x2+1ax)6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為1516,則實(shí)數(shù)a的值可能為 (A.2 B.12 C.-2 D.-【解析】選AC.(x2+1ax)6的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C6k(x2)6-k·(1ax)k=C6k(1令12-3k=0,得k=4,故C64·(1a)4=1516,即(1a)4【解題技法】形如(a+b)n(n∈N*)的展開式的特定項(xiàng)的求解策略(1)寫出并化簡通項(xiàng);(2)令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí),指數(shù)為零;求有理項(xiàng)時(shí),指數(shù)為整數(shù)等),解出項(xiàng)數(shù)k+1;(3)代入通項(xiàng)即可得出結(jié)論.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2024·揚(yáng)州模擬)(xlog43+【解析】(xTr+1=C=(log43)4-r·(log32令4-2r=0,解得r=2,則T3=(12log23)2·所以(xlog4答案:32.在二項(xiàng)式(2+x)9的展開式中,常數(shù)項(xiàng)是______;系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是________.

【解析】由題意得,(2+x)9的通項(xiàng)為Tk+1=C9k(2)9-k·xk(k=0,1,2,…,9).當(dāng)k=0時(shí),可得常數(shù)項(xiàng)為T1=C90(2)9=162.若展開式的系數(shù)為有理數(shù),則k=1,3,5,7,9,有T2,T4,T6,T答案:1625【加練備選】(x2-2x)5的展開式中x4的系數(shù)為 (A.10 B.20 C.40 D.80【解析】選C.由題意可得Tk+1=C5k·(x2)5-k·(-2x)k=(-1)kC5k·2k·x所以所求系數(shù)為(-1)2C52·22角度2形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的展開式問題[例2](2022·新高考Ⅰ卷)(1-yx)(x+y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為__________(用數(shù)字作答)【解析】因?yàn)?-yx(x+y)8=(x+y)8-yx(x+所以1-yx(x+y)8的展開式中含x2y6的項(xiàng)為C86x2y6-yxC85x3y5=-28x2y6,故(1-yx)(x+答案:-28【解題技法】形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的展開式問題的求解策略(1)若m,n中有一個(gè)比較小,可先考慮將其展開,再結(jié)合題設(shè)要求逐項(xiàng)求出,求其代數(shù)和即可得出結(jié)論;(2)觀察(a+b)(c+d)是否可以化成兩項(xiàng)或三項(xiàng)代數(shù)和,進(jìn)而求解.【對點(diǎn)訓(xùn)練】在(x-12x)6(x+3)的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為 (A.-152 B.152 C.-52 【解析】選A.原式=x(x-12x)6+3(x-12x)而(x-12x)6的通項(xiàng)為Tk+1=(-12)k當(dāng)6-2k=-1時(shí),k=72?Z,故①式中的前一項(xiàng)不會出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng);當(dāng)6-2k=0,即k=3時(shí),可得①此時(shí)原式常數(shù)項(xiàng)為3×(-12)3×C63角度3形如(a+b+c)n(n∈N*)的展開式問題[例3](x2-x+1)10的展開式中x3的系數(shù)為 ()A.-210 B.210 C.30 D.-30【解析】選A.方法一:(x2-x+1)10的展開式中含x3項(xiàng)的構(gòu)成有以下幾種可能:①1個(gè)x2,1個(gè)(-x),8個(gè)1,所得項(xiàng)為C101x2·C91(-x)·C88②3個(gè)(-x),7個(gè)1,所得項(xiàng)為C103(-x)3·C7717=-120x3.所以方法二:(x2-x+1)10=[1+(x2-x)]10,展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C10k(x2-x)k(k=0,1,2,3,…,10),要使(x2-x+1)10的展開式中含x3,則需要(x2-x)k的展開式中出現(xiàn)x3,而(x2-x)k展開式的通項(xiàng)為Tr+1=Ckrx2(k-r)(-x)r=(-1)rCkrx2k-r(r=0,1,2,3,…,k),令2k-r=3可知當(dāng)k=2,r=1或k=3,r=3【解題技法】求形如(a+b+c)n展開式中特定項(xiàng)的方法【對點(diǎn)訓(xùn)練】(x+y-2z)5的展開式中,xy2z2的系數(shù)是 ()A.120 B.-120 C.60 D.30【解析】選A.由題意知(x+y-2z)5=[(x+y)-2z]5,展開式的第k+1項(xiàng)為C5k(x+y)5-k(-2z)令k=2,可得第3項(xiàng)為(-2)2C52(x+y)3z(x+y)3的展開式的第m+1項(xiàng)為C3mx令m=2,可得第3項(xiàng)為C32xy2,所以(x+y-2z)5的展開式中,xy2z2的系數(shù)是(-2)2C【加練備選】(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為()A.10 B.20 C.30 D.60【解析】選C.方法一:由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)易知Tk+1=C5k(x2+x)5-kyk,令k=2,則T3=C52(x2+x)3y2,對于二項(xiàng)式(x2+x)3,展開式的通項(xiàng)為Tt+1=C3t(x2)3-txt=方法二:因?yàn)?x2+x+y)5=(x2+x+y)(x2+x+y)·…·(x2+x+y),即共有5個(gè)括號相乘,所以展開式中要得到含x5y2的項(xiàng),只需5個(gè)括號中有2個(gè)括號里出y,同時(shí)剩余的3個(gè)括號中2個(gè)括號里出x2,另一個(gè)括號里出x便可,故含x5y2的項(xiàng)為C52y2C32(x2)2x=C52C32x5y2考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)問題角度1二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和[例4]若(1+x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,則a2+a6+a8=________;a1+2a2+3a3+…+10a10=________.

【解析】由已知得(1+x)10展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C10kxk,所以展開式中每一項(xiàng)的系數(shù)即為其二項(xiàng)式系數(shù),故a2+a6+a8=C102對原式兩邊求導(dǎo)得,10(1+x)9=a1+2a2x+3a3x2+…+10a10x9,令x=1,得a1+2a2+3a3+…+10a10=10×29=5120.答案:3005120【解題技法】賦值法的應(yīng)用(1)對于多項(xiàng)式(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n,則(a+bx)n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為g(1).(2)(a+bx)n的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為12[g(1)+g(-1)](3)(a+bx)n的展開式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為12[g(1)-g(-1)]【對點(diǎn)訓(xùn)練】在二項(xiàng)式(1-2x)n的展開式中,偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128,則展開式的中間項(xiàng)的系數(shù)為 ()A.-960 B.960 C.1120 D.1680【解析】選C.根據(jù)題意,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和也為128,所以在(1-2x)n的展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,即2n=256,得n=8,則(1-2x)8的展開式的中間項(xiàng)為第5項(xiàng),且T5=C84(-2)4x4=1120x4【加練備選】若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5,則a1=________,a1+a2+…+a5=________.

【解析】因?yàn)閤5=[2+(x-2)]5,則a1=C51·24令x=3,得a0+a1+a2+…+a5=35=243;令x=2,得a0=25=32,故a1+a2+…+a5=243-32=211.答案:80211角度2系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題[例5](多選題)(2023·唐山模擬)下列關(guān)于(1x-2x)6是 ()A.常數(shù)項(xiàng)為-160B.第4項(xiàng)的系數(shù)最大C.第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D.所有項(xiàng)的系數(shù)和為1【解析】選ACD.(1x-2x)6Tk+1=C6k·(1x)6-k·(-2x)k=(-2)kC6對于A,令2k-6=0,解得k=3,所以常數(shù)項(xiàng)為(-2)3C6對于B,由通項(xiàng)公式知,若要系數(shù)最大,k所有可能的取值為0,2,4,6,所以T1=x-6,T3=4C62x-2=60xT5=(-2)4C64x2=240x2,T7=(-2)6x6=64x所以展開式第5項(xiàng)的系數(shù)最大,B錯誤;對于C,展開式共有7項(xiàng),得第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,C正確;對于D,令x=1,則所有項(xiàng)的系數(shù)和為(1-2)6=1,D正確.【解題技法】1.二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法(1)如果n是偶數(shù),那么中間一項(xiàng)(第n2+1項(xiàng))(2)如果n是奇數(shù),那么中間兩項(xiàng)(第n+12與第n+122.展開式系數(shù)最大值的兩種求解思路(1)由于展開式系數(shù)是離散的,因此求最大值可通過不等式組ak≥(2)由于二項(xiàng)展開式中的系數(shù)是關(guān)于正整數(shù)n的式子,可以看作關(guān)于n的數(shù)列,通過判斷數(shù)列單調(diào)性從而判斷系數(shù)的增減性,并根據(jù)系數(shù)的單調(diào)性求出系數(shù)的最值.【對點(diǎn)訓(xùn)練】(2024·廈門模擬)已知(x-2【解析】因?yàn)?x-2x)n的二項(xiàng)展開式為所以它的第二項(xiàng)的系數(shù)為T2=Cn1(-2),該二項(xiàng)式的展開式中第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為由(x所以Cn1-Cn1(-2)=18?展開式通項(xiàng)為Tr+1=C6r(x)6-r(-2x所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T3=C62·(-2)2答案:60【加練備選】設(shè)m為正整數(shù),(x+y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1