高中物理競賽和高考力學(xué)習(xí)題解答

第二章高中物理競賽和高考力學(xué)習(xí)題解答

2.1一個(gè)重量為P的質(zhì)點(diǎn)，在光滑的固定斜面(傾角為a)上以初速度環(huán)運(yùn)

動(dòng)，"。的方向與斜面底邊的水平約平行，如圖所示，求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道.

［解答］質(zhì)點(diǎn)在斜上運(yùn)動(dòng)的加速度為a=gsina,方向與初速度方向垂直.其運(yùn)

動(dòng)方程為

1,1.2

y=-ar=-2sina-t

X-Vol,22

將f=x/v(),代入后一方程得質(zhì)點(diǎn)的軌道方程為

gsina2

y=2二—/

這是拋物線方程.

2.2桌上有一質(zhì)量M=1kg的平板，板上放一質(zhì)量機(jī)=2kg的另一物體，設(shè)

物體與板、板與桌面之間的滑動(dòng)摩擦因素均為供=0.25,靜摩擦因素為內(nèi)=

0.30.求:

(1)今以水平力戶拉板，使兩者一起以a=lm$2的加速度運(yùn)動(dòng)，試計(jì)算物

體與板、與桌面間的相互作用力；

(2)要將板從物體下面抽出，至少需要多大的力？

［解答］(1)物體與板之間有正壓力和摩擦力的作用.

板對(duì)物體的支持大小等于物體的重力：Nm=mg

19.6(N),

這也是板受物體的壓力的大小，但壓力方向相反.

物體受板摩擦力做加速運(yùn)動(dòng)，摩擦力的大小為:=ma=

2(N),

這也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反.

板受桌子的支持力大小等于其重力：NM=(，"+M)g=29.4(N),

這也是桌子受板的壓力的大小，但方向相反.

板在桌子上滑動(dòng)，所受摩擦力的大小為：為=/〃NM=7.35(N).

這也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反.

(2)設(shè)物體在最大靜摩擦力作用下和板一起做加速度為。、的運(yùn)動(dòng)，物體的

運(yùn)動(dòng)方程為

f=/2smg=ma',

可得a'="sg.

板的運(yùn)動(dòng)方程為

F-于―Rk(m+M)g=Ma',

即F=/+Ma'+機(jī)+M)g

=依++M)g,

算得F=16.17(N).

因此要將板從物體下面抽出，至少需要16.17N的力.

2.3如圖所示：已知尸=4N,皿=0.3kg,加2=0.2kg,兩物體與水平面的

的摩擦因素勻?yàn)?.2.求質(zhì)量為〃?2的物體的加速度及繩子對(duì)它的拉力.(繩子和

滑輪質(zhì)量均不計(jì))

［解答］利用幾何關(guān)系得兩物體的加速度之間的關(guān)系為Z=20,而力的關(guān)系為

Ti=272.

對(duì)兩物體列運(yùn)動(dòng)方程得

Ti-2g=miai,

F-T\-〃加ig=m\a\.

可以解得〃22的加速度為

；F〃(見+2加2必圖2.3

2

'""2+2加2=4.78(m-s-),

繩對(duì)它的拉力為

T=(產(chǎn)-〃gg/2)

/2+2m21.35(N).

2.4兩根彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)分別為片和％2.求證：

111

—=-----1-----

(1)它們串聯(lián)起來時(shí)，總倔強(qiáng)系數(shù)Z與M和k.滿足關(guān)系關(guān)系式《匕網(wǎng)；

(2)它們并聯(lián)起來時(shí)，總倔強(qiáng)系數(shù)4=M+應(yīng).

［解答］當(dāng)力/將彈簧共拉長尤時(shí)，有尸="，其中左為總倔

強(qiáng)系數(shù).

兩個(gè)彈簧分別拉長XI和尤2,產(chǎn)生的彈力分別為(a)

F\-k\x\,Fi=kvci.ki

F

(1)由于彈簧串聯(lián)，所以尸二尸1=尸2,X=X\+X2，

FF.F.111(b)

——=—L-|—=-----1-----ki

因此人左］&,即：kkx&.圖2.4

(2)由于彈簧并聯(lián)，所以尸二*+正2,x=x\-X1，

因此kx-k\x\+即：k=k\+k?.

2.5如圖所示，質(zhì)量為加的擺懸于架上，架固定于小車上，在下述各種情

況中，求擺線的方向(即擺線與豎直線的夾角。)及線中的張力T.

(1)小車沿水平線作勻速運(yùn)動(dòng);

(2)小車以加速度4沿水平方向運(yùn)動(dòng)；

(3)小車自由地從傾斜平面上滑下，斜面與水平面成s角;

(4)用與斜面平行的加速度后把小車沿斜面往上推(設(shè)勿=8)；

(5)以同樣大小的加速度瓦("=。)，將小車從斜面上推下來.

［解答］(1)小車沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺在水平方向沒

有受到力的作用，擺線偏角為零，線中張力為T=mg.

(2)小車在水平方向做加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，重力和拉力的合力就是合外

力.由于

tan。=ma/mg,所以0-arctan(皈)；

繩子張力等于擺所受的拉力：T=&may+(mg)-=mja2+g-

(3)小車沿斜面自由滑下時(shí)，擺仍然受到重力

和拉力，

(3)

合力沿斜面向下，所以。=8;

T=mgcos(p.

(4)根據(jù)題意作力的矢量圖，將豎直虛線延長,

與水平輔助線相交，可得一直角三角形，。角的對(duì)邊

是，"bcoss，鄰邊是mg+"gsin",由此可得：

tan—'泌cos*

mg+mbsin(p,

因此角度為

八Z?COS69

0-arctan-----1一

g-^-bsin(p.

而張力為

T=J(/就『+("?g)2-2(〃力)(/Hg)COS(7T/2+°)

=myjb2+g2+2bgsin(p

(5)與上一問相比，加速度的

方向反向，只要將上一結(jié)果中的〃改為功就行了.

2.6如圖所示，一半徑為R的金屬光滑圓環(huán)可繞其豎直直徑轉(zhuǎn)動(dòng).在環(huán)上套

有一珠子.今逐漸增大圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度e試求在不同轉(zhuǎn)動(dòng)速度下珠子能靜止

在環(huán)上的位置.以珠子所停處的半徑與豎直直徑的夾角。表示.

［解答］珠子受到重力和環(huán)的壓力，其合力指向豎直直徑，作為

珠子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，其大小為：F=mgtg3.

珠子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r=Rsin。.

根據(jù)向心力公式得F=mgtgd=ma>2Rsir\9,

可得

mgn2

——=R(o~

COS0,

0=±arccos6.

解得Reo2.

2.7設(shè)某行星繞中心天體以公轉(zhuǎn)周期T沿圓軌道運(yùn)行.試用開普勒第三定律證明:

tT

一個(gè)物體由此軌道自靜止而自由下落至中心天體所需的時(shí)間為-4&.

[解答]

T3*_4^-2

中

171,GMT?T

=]GM中t2,]GM中t2

4萬2八一6兀

2.8土星質(zhì)量為57x1026kg,太陽質(zhì)量為2.0xl()30kg,二者的平均距離是

1.4xl(y2m.(1)太陽對(duì)土星的引力有多大？(2)設(shè)土星沿圓軌道運(yùn)行，求它的

軌道速度.

［解答］

GM太M上

F==1.5xlO23N

(1),2

GM*v2GM*GM*,

Ma=F,a=—A，—=—v=J——=9.76xlO3(m/s)

(2)rrrVr

2.9(1)一個(gè)球形物體以角速度。旋轉(zhuǎn).如果僅有引力阻礙球的離心分解，此

物體的最小密度是多少？由此估算巨蟹座中轉(zhuǎn)速為每秒30轉(zhuǎn)的脈沖星的最小密

度.這脈沖星是我國在1054年就觀察到的超新星爆的結(jié)果.(2)如果脈沖星的質(zhì)

量與太陽的質(zhì)量相當(dāng)(~2*1。3。1卷或~3*1()51^,Me為地球質(zhì)量)，此脈沖星的

最大可能半徑是多少？(3)若脈沖星的密度與核物質(zhì)的相當(dāng)，它的半徑是多少?

核密度約為IZxlOAg/nr'

［解答］

(1)以最外層任一質(zhì)元計(jì)算：-a

43

G-------------=Amiy2r\J

p==J。=2萬」一=1.3x1O*kg/n?)

-TTG3萬x6.6xl(T"

33

3M

M=-7rr3p,r==1.5xl05(m)

(2)3V44兀71PP

4

Mw=3核

(3)可求。

2.10某彗星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)，遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度為10km/s,近日點(diǎn)的速度為80km/s若

地球在半徑為ISxlO'km的圓周軌道繞日運(yùn)動(dòng)，速度為30km/s.求此彗星的遠(yuǎn)日

點(diǎn)距離.

［解答］

2

GM^M地v2

『也正四太二"

R2

GM太M地=

GM太=i＞近y近

r近

Ry2

5京

8Rv2

%=8r近

又

2.11考慮一轉(zhuǎn)動(dòng)的球形行星，赤道上各點(diǎn)的速度為V,赤道上的加速度是極點(diǎn)

上的一半.求此行星極點(diǎn)處的粒子的逃逸速度.

［解答］

設(shè)粒子在極點(diǎn)處的逃逸速度為L由能量關(guān)系

GMm

-mv2+(-)=0

2R

22GM

v=--------

(1)

根據(jù)重力的概念：W+R+E=0其中W為重力，F(xiàn)為萬有引力，E為慣

性離心力

GMmmv2

=ma赤⑵

在赤道：R2R

GMm

——z—=mat),

在極點(diǎn)：R2⑶

⑶式比(2)式得:

,2

GM“GMv

—5~/(—3--------)=2

R2R2R

GM.2

------=2v

即：R(4)

(4)式代入(1)式得：

v=2v

2.12.已知地球表面的重力加速度為9.8m/s2,圍繞地球的大圓周長為

4xl07m,月球與地球的直徑及質(zhì)量之比分別為是/［=0.27和

M.n/M。=0.0123.試計(jì)算從月球表面逃離月球引力場所必需的最小速度.

［解答］

設(shè)月球的逃逸速度為L無窮遠(yuǎn)處，引力勢(shì)能為零。

地球大圓周長為"2萬尺

由能量關(guān)系，月球的逃逸速度滿足:

12GMm

-m/=——m2—

2L(m為逃逸質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量)

Rm(1)

地球表面的重力加速度滿足：

GMm

d"=mg

Re(忽略地球自轉(zhuǎn)影響)

G=^-^

Me(2)

(2)式代入(1)式有：

產(chǎn);2R；gMn,

MeRm(3)

R.=—

又有：271(4)

(4)式代入⑶式

v=2.38xlO3m/s

2.13用棒打擊質(zhì)量0.3kg,速率等于20m-s」的水平飛來的球，球飛到豎直

上方10m的高度.求棒給予球的沖量多大？設(shè)球與棒的接觸時(shí)間為0.02s,求球

受到的平均沖力？

［解答］球上升初速度為。=強(qiáng)以=14(m-s-'),

其速度的增量為“八斤*=24.4(ms)

棒給球沖量為/=mAv=7.3(N-s),

對(duì)球的作用力為(不計(jì)重力)：F=〃/=366.2(N).

2.14如圖所示，三個(gè)物體A、B、C,每個(gè)質(zhì)量都為M,8和。靠在一起,

放在光滑水平桌面上，兩者連有一段長度為0.4m的細(xì)繩，首先放松.8的另一

側(cè)則連有另一細(xì)繩跨過桌邊的定滑輪而與A相連.已知滑輪軸上的摩擦也可忽

略，繩子長度一定.問A和3起動(dòng)后，經(jīng)多長時(shí)間C也開始運(yùn)動(dòng)？C開始運(yùn)動(dòng)

時(shí)的速度是多少？(取g=10m$2)

［解答］物體A受到重力和細(xì)繩的拉力，可列方程

Mg-T=Ma,

物體B在沒有拉物體。之前在拉力T作用下做加速運(yùn)動(dòng)，

加速度大小為“，可列方程：T=Ma,

聯(lián)立方程可得：a=g/2=5(m-s-2).

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：s=vof+aP/2,

可得8拉C之前的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；，=0^%=O.4(s).

此時(shí)8的速度大小為：v=a/=2(m-sl).

物體A跨過動(dòng)滑輪向下運(yùn)動(dòng)，如同以相同的加速度和速度向右運(yùn)動(dòng).A和B

拉動(dòng)。運(yùn)動(dòng)是一個(gè)碰撞過程，它們的動(dòng)量守恒，可得：2Mu=3Mu',

因此C開始運(yùn)動(dòng)的速度為：v'=2VB=1.33(m-s-').

2.15一炮彈以速率w沿仰角8的方向發(fā)射出去后，在軌道的最高點(diǎn)爆炸為

質(zhì)量相等的兩塊，一塊沿此45。仰角上飛，一塊沿45。俯角下沖，求剛爆炸的這

兩塊碎片的速率各為多少？

［解答］炮彈在最高點(diǎn)的速度大小為

V=VOCOS0,方向沿水平方向.

根據(jù)動(dòng)量守恒定律，可知碎片的總動(dòng)量等于炮彈爆炸前的廿y5：＞y

總動(dòng)量，可作矢量三角形，列方程得ZV

mv/2=—v'cos45°

2,

所以v'=v/cos45°=0%cos9.

2.16如圖所示，一匹馬拉著雪撬沿著冰雪覆蓋的弧形路面極緩慢地勻速移

動(dòng)，這圓弧路面的半徑為R.設(shè)馬對(duì)雪橇的拉力總是平行于路面.雪橇的質(zhì)量為

m,它與路面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為國.當(dāng)把雪橇由底端拉上45。圓弧時(shí)，馬對(duì)雪橇

做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？

［解答］取弧長增加的方向?yàn)檎较颍∥灰泼娴拇笮?/p>

ds=Rd。.

重力G的大小為：G=mg,

方向豎直向下，與位移元的夾角為兀+仇所做的功元為

d^=G-dv=Gcos(0+n/2)d.y

=-mgRsin0d0

積分得重力所做的功為‘

「45。45。

叫=F(-mgRsin6)d6=mgRcos3

Jo

0

=_Q_^~)mgR

摩擦力’的大小為：/=〃*N=〃即geos。，

方向與弧位移的方向相反，所做的功元為

d嗎=/-ds-fcositdv

--ukmgcos0Rd0

積分得摩擦力所做的功為

「45。

W2=J()(-jUkmgRcos^)d^

45。0

=一從內(nèi)3sin6=---5mgR

o*2.

要使雪橇緩慢地勻速移動(dòng)，雪橇受的重力自、摩擦力『和馬的拉力戶就是平

衡力，即戶+6+3=(),

或者￡=-((5+7).

拉力的功元為：dW=kd§=-(G-df+了.而)=-(d叱+d弘)，

拉力所做的功為

V2V2

W=-(叱+叱)=(1-3+34加g,

由此可見，重力和摩擦力都做負(fù)功，拉力做正功.

2.17如圖所示，物體A的質(zhì)量加=0.5kg,靜止于光滑斜面上.它與固定在

斜面底8端的彈簧M相距s=3m.彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)A=400N.m\斜面傾角為

45°.求當(dāng)物體A由靜止下滑時(shí)，能使彈簧長度產(chǎn)生的最大壓縮量是多大？

［解答］取彈簧自然伸長處為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能的零勢(shì)點(diǎn)，由于物體A和彈

簧組成的系統(tǒng)只有保守力做功，所以機(jī)械能守恒，當(dāng)彈簧壓縮量最大時(shí)，可得方

程

1

mgssin0--mgxsm，+—kx~7

2,

整理和一元二次方程

1

—kx"-mgxsin0+mgssin=0

2,

解得

mgsin6±J(mgsin0)2+2kmgsin0

x-

k=0.24(m)(取正根).

2.18一個(gè)小球與另一質(zhì)量相等的靜止小球發(fā)生彈性碰撞.如果碰撞不是對(duì)

心的，試證明：碰撞后兩小球的運(yùn)動(dòng)方向彼此垂直.

［證明］設(shè)一個(gè)小球碰撞前后的速度大小分別為w和vi，另一小球的在碰撞后

的速度大小為V2,根據(jù)機(jī)械能守恒得

即說=片+試;

po

根據(jù)動(dòng)量守恒得：Po=Pt+P2,

其中各動(dòng)量的大小為:po=mvo>pi=和P2=mV2,

對(duì)矢量式兩邊同時(shí)平方并利用認(rèn)心=〃叫根嶺cos。

得：=P；+P；+2p/2Cos。，

222

g|j.mv^=mv^+/u；+2mvlv2cos。

化簡得：vo=v；+v2+2叩2cose,

結(jié)合機(jī)械能守恒公式得：2Vly2cos。=0,

由于刈和也不為零，所以：。=兀/2,即碰撞后兩小球的運(yùn)動(dòng)方向彼此垂直.

2.19如圖所示，質(zhì)量為1.0kg的鋼球mi系在長為0.8m的繩的一端，繩的

另一端。固定.把繩拉到水平位置后，再把它由靜止釋放，球在最低點(diǎn)處與質(zhì)

量為5.0kg的鋼塊加2作完全彈性碰撞，求碰撞后鋼球繼續(xù)運(yùn)動(dòng)能達(dá)到的最大高

度.

［解答］鋼球下落后、碰撞前的速率為：v產(chǎn)向.

鋼球與鋼塊碰撞之后的速率分別為以和也、,根據(jù)機(jī)械能守恒和動(dòng)量守恒得方程

121<2,1、2

Hz/=網(wǎng)片+m2v2

整理得叫5-吸）=代武

班（匕一匕）=加2V2.

將上式除以下式得：也+力'=吸',圖2.21

代入整理的下式得

mAvx—m［v}=m^vx+機(jī)，匕

、4（叫一用2）匕

解得1網(wǎng)+m2.

碰撞后鋼球繼續(xù)運(yùn)動(dòng)能達(dá)到的最大高度為

〃=止=-L（強(qiáng)*）2y：=（吐也）2/

2g2gmi+/m,+m2=o,36（m）.

［討論］如果兩個(gè)物體的初速率都不為零，發(fā)生對(duì)心彈性碰撞時(shí)，同樣可列出

機(jī)械能和動(dòng)量守恒方程

町匕+m2V2=g匕+加2%,同理可得K+片=%+彩.

_（班叫）匕+2色彩_2（m1K%4）

從而解得'叫+〃?2,或者'叫+”

將下標(biāo)1和2對(duì)調(diào)得

、_（m2-zn1）v2+2叫匕_2（班匕+/n2v2）

町十外,或者2班］

機(jī)圈+m2v2

后一公式很好記憶，其中g(shù)+%代表質(zhì)心速度.

2.20質(zhì)量為m=0.5kg的木塊可在水平光滑直桿上滑動(dòng)。木塊與一不可伸長

的輕繩相連。繩跨過一固定的光滑小環(huán)。繩端作用著大小不變的力T=50N.木塊

在A點(diǎn)時(shí)具有向右的速率％=6m/s

0求力T將木塊自A拉至B點(diǎn)的速度。

[解答]

N、mg做功為零

由動(dòng)能定理：

22

|myB-|myA=JABT.dr

式中

f-f4:44-X

AT=[Tdr=|Tcosadr=[T.dx

JabJ。JO7（4-X）2+32

利用積分公式：

AT=R50X-（1）d（4-x）

則上式°J（4T『+32

=-50x7（4-X）2+32J；=100（J）

注：關(guān)于T做功還有一種解法：

fTxdr=T[A/42+32-3]=2T=100(J)

JAB

其中T為常量，其受力點(diǎn)的位移可利用三角形求。

2.21質(zhì)量為1.2kg的木塊套在光滑鉛直桿上。不可伸長的輕繩跨過固定的

光滑小環(huán)，孔的直徑遠(yuǎn)小于它到桿的距離。繩端作用以恒力F,F=60N.木塊在處

有向上的速度%=2m/s,求木塊被拉至B時(shí)的速度。

4=￡filVxdr=-WxAB=—5.88(J)

%=60x(0x0.5-0.5)=12.43(J)

~~mVA=M=Zl+Ap

,A總+md=3

Vm方向向上

2.22質(zhì)量為m的物體與輕彈簧相連，最初，m處于使彈簧既未壓縮也為伸

長的位置，并以速度.向右運(yùn)動(dòng)。彈簧的勁度系數(shù)為k,物體與支撐面之間的滑

2=4

動(dòng)摩擦系數(shù)為〃。求證物體能達(dá)到的最遠(yuǎn)距離e為k

［解答］

m?m；

〃ox

1)

A=0--mvj

A=-〃mgx+J。-kxdr

=-//mgx-^kx2

—mVo=//mgx+—kx2

所以：2°2

解一元二次方程：

由

-b+\/b2-Aac

x=-------------------

2a

二22+端\

.km%

-//mg+x/mg1+-%

V(〃mg)

X-

舍去負(fù)號(hào):

2.23。'坐標(biāo)系與。坐標(biāo)系各對(duì)應(yīng)軸平行。0'相對(duì)于。沿x軸以，作勻速

FAx=—m-—mv.2

直線運(yùn)動(dòng)。對(duì)于。系，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理為2221,匕，/沿x軸。根

據(jù)伽利略變換證明：相對(duì)于0'系，動(dòng)能定理也取這種形式。

［解答］

r

?.?x=x-v0At

Ax'=Ax-v0At,v'=v-v0

?FAx'=FAx-Fv0At

FAx=FAx'+Fv0At

=；m%2_gmi/T+%(mK-mi/；)

z

FAr4-Fv0At=—mv2——mv^+y0(m-mq')

1?22

由動(dòng)能定理得：

FAt=m吐；一m片

.Fv0At=v0v［)

最后可得:

說明相對(duì)于O'系，動(dòng)能定理的形式不變。

2.24輕且不可伸長的線懸掛質(zhì)量為500g的圓柱體。圓柱體又套在可沿水平

方向移動(dòng)的框架內(nèi)，框架槽沿鉛直方向。框架質(zhì)量為200g。自懸線靜止于鉛直

位置開始，框架在水平力F=20.ON作用下移至圖中位置，球圓柱體的速度，線長

20cm,不計(jì)摩擦。

［解答］

-1~

以輕繩，圓柱體和框架組成的質(zhì)點(diǎn)組所受外力有：圓柱體重力黑=m4,框

架重力電，輕繩拉力亍和作用在框架上的水平力巨。其中輕繩的拉力亍和電不

做功。質(zhì)點(diǎn)組所受內(nèi)力：框架槽和小球的相互作用力R、R',由于光滑，所以R、

R'做功之和為零。質(zhì)點(diǎn)組所力情況如圖：

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能定理：

gmi/J+=-mg^(1-cos30)+Ff-sin30°

匕為圓柱體的絕對(duì)速度

%為框架的絕對(duì)速度。

由于匕=乙+%對(duì)(見下圖)

將此式投影到圖中所示的沿水平方向的。x軸上，得：

v2=Vj-cos30°

帶入(1)式中

gm+gm(匕?cos30°了=m.g^cos30°-1)+F6sin30°

解得：匕=2.4(m/s)

2.25二僅可壓縮的彈簧組成一可變勁度系數(shù)的彈簧組，彈簧1和2的勁度

系數(shù)分別各為號(hào)和《。它們自由伸長的長度相差，。坐標(biāo)原點(diǎn)置于彈簧2自由伸

展處。求彈簧組在。和尤時(shí)彈性勢(shì)能的表示式。

［解答］

外力為F=-K("x)

當(dāng)0WxW￡時(shí)，卜?無勢(shì)能，只有K有勢(shì)能。外界壓縮彈簧卜2做功使k2勢(shì)能

增加。設(shè)原點(diǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)，則：

2

Ep-(-lv)=f'-kl(^-x)dx

2"

Ep=fk](￡-x)d([—x)—kj

〃2

17

Ep=-kjX"-k^x

x<0時(shí)：原點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)

iA=[kxdr=—kx2

對(duì)于卜2：外力做功一9J。922o

A,J-k,(^-x)dx=—k]X2+—k^2-k.dx

對(duì)于v飛：外力做功

Ep-（一gk/）=+gk］X~+gkZ一匕仇

1,

2

Ep=—（k,+k2）x-k,^x

2.25滑雪運(yùn)動(dòng)員自A自由下滑，經(jīng)B越過寬為d的橫溝到達(dá)平臺(tái)C時(shí)，其

速度剛好在水平方向，已知兩點(diǎn)的垂直高度為25m。坡道在B點(diǎn)的切線方向與水

平面成30°角，不計(jì)摩擦。求（1）運(yùn)動(dòng)員離開B處的速率為0，（2）B,C的垂直

高度差h及溝寬d,（

［解答］

A

（Z動(dòng)員在A到B的滑動(dòng)過程機(jī)受到T重若嘉和地面支持力N作用。

（忽略摩擦）。單空保守力，支持力,當(dāng)痂所將械能守恒。

以B點(diǎn)為的贏型比d=?.堂速率：

mgAh=gm吟

vB=750g=22.14（m/s）

（2）運(yùn)動(dòng)員從B到C做拋物線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)竭_(dá)C點(diǎn)時(shí)，由題意知：17c沿水平

方向，說明正好到達(dá)拋物線的最高點(diǎn)。所以B、C的垂直高度

,sin230、

h=-S------=上=6.25（m）

2g8g

（3）因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)員做拋物運(yùn)動(dòng)時(shí)在水平方向不受力，所以水平方向的動(dòng)量守

恒:

mvc=mvBcos30

vc=cos30=19.17(m/s)

2.26裝置如圖所示：球的質(zhì)量為5kg,桿AB長1cm,AC長0.Im,A點(diǎn)距0

點(diǎn)0.5m,彈簧的勁度系數(shù)為800N/m,桿AB在水平位置時(shí)恰為彈簧自由狀態(tài)，此

時(shí)釋放小球，小球由靜止開始運(yùn)動(dòng)。球小球到鉛垂位置時(shí)的速度。不及彈簧質(zhì)量

及桿的質(zhì)量，不計(jì)摩擦。

［解答］

包含球桿彈簧的質(zhì)點(diǎn)組受力如圖

所示：

N不做功。

重力和彈性力為保守力（不計(jì)摩

擦）

系統(tǒng)機(jī)械能守恒

設(shè)桿水平時(shí)勢(shì)能為零

1,1,

0=-mr2-mg(AB)+-k(AZ?)

...冊(cè)=VOA2+AC2=Vo.52+O.l2=0.5099(m)(水平位置)

△C=(OA+AC)To=66-0.5099=0.09(m)

將(2)式代入(1)式

1,-1,

-mv2-mg(AB)+-k(0.09)2=0

22

mv2-2mg(AB)+k(0.09)2=0

_/2mg(AB)-k(0.09)2

Vm

=j2g(AB)--(0.09)2

Vm

=4.278(m/s)

2.27物體Q與一勁度系數(shù)為24N/m的橡

皮筋連結(jié)，并在一水平圓環(huán)軌道上運(yùn)動(dòng)，物

體Q在A處的速度為1.0m/s,已知圓環(huán)的半

徑為0.24m,物體Q的質(zhì)量為5kg,由橡皮筋

固定端至B為0.16m,恰等于橡皮筋的自由長

度。求（1）物體Q的最大速度；（2）物體Q

能否達(dá)到D點(diǎn)，并求出在此點(diǎn)的速度。

［解答］

（1）取物體Q為隔離體

在豎直方向上Q所受的力的矢量和為零。

而在水平方向只受到彈力■和光滑圓弧的水平方向的作用力R作用，下為保

守力，不做功。所以機(jī)械能守恒。

設(shè)彈簧勢(shì)能零點(diǎn)為彈簧原點(diǎn)處：

（B點(diǎn)速度最大）

Vm

Af=OA-OB=7(OB+R)2+R2-OB=0.3065(m)

vB=1.2(m/s)

(2)在D點(diǎn)彈性勢(shì)能為：

EpD=gk(2R)2=2.76(J)

v-JVy--0.58（m/s）

所以n'm

2.28盧瑟福在一篇文章中寫道：可以預(yù)言，當(dāng)。粒子與氫原子相碰時(shí)，可

使之迅速運(yùn)動(dòng)起來。按正碰撞考慮很容易證明，氫原子速度可達(dá)a粒子碰撞前速

度的1.6倍，即占入射粒子能量的64隊(duì)試證明此結(jié)論（碰撞是完全彈性的，且

a粒子質(zhì)量接近氫原子質(zhì)量的四倍）。

［解答］

設(shè)。粒子的質(zhì)量為4m,氫原子的質(zhì)量為m；a粒子的初速度為匕。，氫原

子的初速度為％。=°;

正碰后，a粒子的速度為匕，氫原子的速度為七。

vJm?-mp、+2mM0

2

由公式：mi+m2

將以上數(shù)據(jù)代入：

_3my20+8mv,0

V

口一上。匕

2~~5m0

-（4m）v^）

入射a粒子的能量：2

2

,-m(1.6v.n)

氫原子碰后的能量：2

2

1m(1.6vl0)

---------=0.64

萬(4m)%

則:

2.29m為靜止車廂的質(zhì)量，質(zhì)量為M的機(jī)車在水平軌道上自右方以速率u滑

行并與m碰撞掛鉤。掛鉤后前進(jìn)了距離s然后靜止。求軌道作用于車的阻力。

［解答］

選取機(jī)車和車廂為質(zhì)點(diǎn)組

掛鉤時(shí)為完全非彈性碰撞。因?yàn)闆_擊力大于阻力，可視為動(dòng)量守恒。

M

V---------v

m+M

0--(M+m)V2=-/-s

撞后：由動(dòng)能定理2、

(M+m)V2(M+m)M2i/2M2V2

2s2s(M+m)22s(M+m)

2.30兩球具有相同的質(zhì)量和半徑，懸掛于同一高度。靜止時(shí)，兩球恰能接

觸且懸線平行。碰撞的恢復(fù)系數(shù)為e。若球A自高度用釋放，求該球彈回后能達(dá)

到的高度。又問若兩球發(fā)生完全彈性碰撞，會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象，試描述之。

［解答］

(1)A球碰前的速度，由機(jī)械能守恒：

；m%=mg%

%=7^甌(1)

A與B發(fā)生非彈性碰撞

mvA0=-mvA+mvB(2)

c—一

又知：唳。一噓oVAO

由(1)(2)(3)式得：

1—e1-err-.-

^AO=-V2ghI

(4)

A球上升高度：機(jī)械能守恒

^mv^0=mgh2

丫：1(1-e)2(1-e)2

h2=^-=^---------2ghi=---h,

2g2g44

(2)若兩球發(fā)生完全彈性碰撞e=l

由(4)式VA=°

再由(2)式腺=%

即A球靜止，B球以A球碰前的速度開始運(yùn)動(dòng)。當(dāng)B球上升后(％高度)又

落下與A球再次發(fā)生完全彈性碰撞。腺=°唳=-唳。，A球以速度一唳。開始向

上運(yùn)動(dòng)。如此往復(fù)。

2.31質(zhì)量為2g的子彈以500m/s的速度射向質(zhì)量為1kg、用1m長的繩子

懸掛著的擺。子彈穿過擺后仍然有100m/s的速度。問擺沿鉛直方向升起若干。

［解答］

第一階段，動(dòng)量守恒

mv0=MV+mv

V_m(vo-v)

，M

第二階段，機(jī)械能守恒

1,

-MV2=Mgh

222

,_V_1m(v0-v)

/=瓦M(jìn)?

0.0022X(500-100)2

2x9.8xl2

=0.03(m)

2.31一質(zhì)量為200g的框架，用一彈簧懸掛起來使彈簧伸長10cm。今有

一質(zhì)量為200g的鉛塊在高30cm處從靜止開始落入框架。秋此框架向下移動(dòng)的最

大距離。彈簧質(zhì)量不計(jì)?？諝庾枇Σ挥?jì)。

［解答］

鉛塊下落到框底速度為

y=V2gh

|0(1)

接下來，鉛塊與框架底發(fā)生完全非彈性碰

撞。由于沖擊力大于重力、彈性力，可視為動(dòng)量

守恒。

mv10=2mv

v=ho=:同

2(2)

(由于碰撞時(shí)間短，下降距離為零)個(gè)

以后以共同速度下降：機(jī)械能守恒

設(shè)彈簧自由伸長處框架底板的位置為重力、彈性勢(shì)能零點(diǎn)。碰撞前彈簧伸長為

’。，碰撞后質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)的最大距離為心

--2mv-+—-2mgf=—k(^+^)2-2mg(f+4)

NN0N0Qo/

k=^

依題意‘。(4)

(2)(4)式代入(3)式：

-^()h-0

2=0±業(yè)+他=0.1±JO.F+O.IXCB=0.1±0.2

舍去負(fù)號(hào)項(xiàng)，6=0.3m=30cm

2.32質(zhì)量為〃L=0.790kg和〃?2=0.800kg的物體以勁度系數(shù)為10N/m的輕彈

簧相連，置于光滑水平桌面上。最初彈簧自由伸張。質(zhì)量為0.01kg的子彈以速

率-=100m/s沿水平方向射于叫內(nèi)，問彈簧最多壓縮了多少？

［解答］

第一階段：完全非彈性碰撞一

，一環(huán)

movo=(ml+mo)v(1)畫…色

第二階段：彈簧被壓縮最甚，動(dòng)量守恒。

(m,+m0)v=(m1+m2+m0)V(2)

(V為共同速度)

再由機(jī)械能守恒：

2

1M+m。)/=Jg+m2+m0)V+1k(^)L、

有(1)(2)(3)式解出:

0)=a25(m)

△〈maxm。%V^-^h；

2.33一10g的子彈沿水平方向以速率110m/s擊中并嵌入質(zhì)量為100g小鳥

體內(nèi)。小鳥原來站在離地面4.9m高的樹枝上，求小鳥落地處與樹枝的水平距離。

［解答］

第一階段是子彈擊中小鳥，兩者發(fā)生完全非彈性碰撞

水平方向動(dòng)量守恒：

mMo=g+m2）i/（u為子彈、小鳥共同速度）

m,

八而寸。

第二階段是子彈和小鳥一起做平拋運(yùn)動(dòng)

小鳥落地時(shí)間:

0.01

水平距離:0.01+0.1

2.34在一鉛直面內(nèi)有一個(gè)光滑軌道，左面是一個(gè)上升的曲線，右邊是足夠

長的水平直線，二者平滑連接，現(xiàn)有A、B兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，B在水平軌道上靜止，A

在曲線部分高h(yuǎn)處由靜止滑下，與B發(fā)生完全彈性碰撞。碰后仍可返回上升到曲

線軌道某處，并再度下滑，已知A、B兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為明和加2。求至少發(fā)生

兩次碰撞的條件。

［解答］

分三個(gè)階段：

第一階段，A第一次與B完全彈性碰撞。W

設(shè)，A撞前速度為匕。，撞后速度為“”；?———--------------

OX

B撞前速度為零，撞后速度為4。

_(ml-m2)v10+2m2v20

v\一:

由公式：

匕.mz-mL+ZmMo

m>+m2得:

mx+%+m2

要使質(zhì)點(diǎn)返回，必須乙即叫〈丐

第二階段，A返回上升到軌道某處，并再度下滑到平面軌道。

由機(jī)械能守恒：

12,,12

—m.v：x=—m.vn

22（匕2是再度下滑到平面軌道的速度）

?2

得匕"|=匕2，匕2=一匕1

第三階段，A,B再次碰撞。

要求匕2>向,即一匕1>4將上面的匕I,一代入此式

ni-m

J2oK匕。

即m2>3町

這是A,B至少發(fā)生兩次碰撞的條件。

2.35一鋼球靜止地放在鐵箱的光滑底面上，如圖示。CD長2。鐵箱與地面

間無摩擦。鐵箱被加速至?時(shí)開始做勻速直線運(yùn)動(dòng)。后來，鋼球與箱壁發(fā)生完

全彈性碰撞。問碰后再經(jīng)過多長時(shí)間鋼球與BD壁相碰？

［解答］

選號(hào)鐵箱和鋼球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)組，以地面為參考

系，坐標(biāo)系。X。

第一階段，鋼球與AC發(fā)生完全彈性碰撞。

設(shè)匕。，匕為鐵箱碰撞前后速度，

匕。，匕為小球碰撞前后速度。

由完全彈性碰撞：

v-v,

e=-=2----—,e=1

匕0—“20

匕。一乙。二乙一匕

???vl0=v0,y20=0,.-.y2-v1=v0

即碰撞前后鋼球相對(duì)鐵箱的速度為乙。

第二階段，是鋼球在箱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，直至與BD相碰。

取鋼球?yàn)檠芯繉?duì)象，選取鐵箱為參照系，由于鐵箱表面光滑，所以小球

△，=—

在箱內(nèi)作勻速直線運(yùn)動(dòng)?？傻娩撉蚺龊笤倥c壁相碰的時(shí)間間隔為％

2.36兩車廂質(zhì)量均為M。左邊車廂與其地板上質(zhì)量為M的貨箱共同向右以％

運(yùn)動(dòng)。另一車廂以2。從相反方向向左運(yùn)動(dòng)并與左車廂碰撞掛鉤，貨箱在地板上

滑行的最大距離為2。求：

（1）貨箱與地板間的摩擦系數(shù)〃;

（2）車廂在掛鉤后走過的距離，不計(jì)車地間摩擦。

［解答］

（1）第一步：兩車廂完全非彈性碰撞,

Mv-2Mv=2MV7---------——

00M而M

O

第二步：內(nèi)力作功，使體系動(dòng)能改變,由動(dòng)能定理以地面為參照系;

0-&。=-〃

%=*+2x；噂）2=2：

3,

?〃

4g0

（2）碰撞后系統(tǒng)在水平方向的動(dòng)能守恒。

系統(tǒng)的動(dòng)量：（寸）=0

系統(tǒng)總動(dòng)量為零，質(zhì)心不動(dòng)。

Mxx+_

』一="(常量)(1)

Mx}+2MX2=3Mxc(2)

A/(%+￡+AX2)+2m(x2+△/)=(3)

=_L

解(2)(3)式得：3

2.37質(zhì)量為m的笊核的速率u與靜止的質(zhì)量為2m的?粒子發(fā)生完全彈性碰

撞，氣核以與原方向成90°角散射。（1）求a粒子的運(yùn)動(dòng)方向，（2）用u表示a粒

子的末速度，（3）百分之幾的能量由笊核傳給a粒子？

［解答］

（1）由動(dòng)量守恒：

x:mu=2mvacosa

，y:0=mu-asina

u=2vcosa-------(1)

Va

即：［“'=2%sina-------(2)

由e=l(完全彈性碰撞)

在心方向上有關(guān)系式：

v-(—usina)匕，+/sin2,

e=------------=----------=1

"cosa"cosa

ucosa=%+〃'sina（3）

（1）（2）式代入（3）式得:2cos2a=l+2sin2a,a=30。

Uy/3

v=-------二—

（2）由（1）式2cos30。3

—x2m（—w）22

12=3

-mu

（3）動(dòng)能比：2

2.38參考3.8.7題圖。桑塔娜空車質(zhì)量為叫=l06xl0kg,載質(zhì)量為70kg

一人，向北行駛。另一質(zhì)量為152x10kg的切諾基汽車向東行駛。而車相撞后連

成一體，沿東偏北。=30°滑出d=16m而停止。路面摩擦系數(shù)為〃=。8。該地段

規(guī)定車速不得超過80km/。問那輛車違背交通規(guī)則？又問因相撞損失多少動(dòng)能？

［解答］

碰后的共同速度V

〃(叫+，巧)gd=—(///)+nt1)V'

V=[2/jgd⑴

m2v2O=(7/+叫)Vcosa(2)

=(町+m2)Vsina