6.6直線與圓的方程應用舉例（同步練習）（解析版）

6.6直線與圓的方程應用舉例同步練習基礎鞏固基礎鞏固1．一輛貨車寬1.6米，要經(jīng)過一個半徑為3.6米的半圓形單行隧道，則這輛貨車的平頂車篷的篷頂距離地面高度最高約為（）A．2.4米 B．3.5米C．3.6米 D．2.0米【答案】B【分析】當貨車恰好在隧道中間行走時車篷最高，可建系求解.【詳解】以半圓所在直徑為x軸，過圓心且與x軸垂直的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．易知半圓所在的圓的方程為（），由圖可知，當貨車恰好在隧道中間行走時車篷最高，此時x＝0.8或x＝－0.8，代入，得（負值舍去）．故選：B2．如圖，某個圓拱橋的水面跨度是20米，拱頂離水面4米；當水面下降1米后，橋在水面的跨度為（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】以圓拱橋的頂點為坐標原點，建立平面直角坐標系，設圓拱所在圓的圓心為，，得到圓的方程，記水面下降前與圓的兩交點為，；記水面下降米后與圓的兩交點為，；由題中條件，得到點坐標，代入圓的方程求出，再求出點橫坐標，即可得出結果.【詳解】以圓拱橋的頂點為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則圓拱所在圓的圓心位于軸負半軸上，設該圓的圓心為，，則該圓的方程為，記水面下降前與圓的兩交點為，；記水面下降米后與圓的兩交點為，；由題意可得，，則，解得，所以圓的方程為，水面位下降米后，可知點縱坐標為，所以，解得，則此時的橋在水面的跨度為米.故選：C.3．已知入射光線經(jīng)過點被軸反射后，反射光線經(jīng)過點，則反射光線所在直線方程為.【答案】【分析】求得點關于軸的對稱點的坐標，再用兩點式求得反射光線所在的直線的方程．【詳解】由題意利用反射定律可得，點關于軸的對稱點在反射光線所在的直線上，故反射光線所在直線的方程為，化簡可得.故答案為：．4．臺風中心從地以每小時的速度向西北方向移動，離臺風中心內的地區(qū)為危險地區(qū)，城市在地正西方向處，則城市處于危險區(qū)內的時長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立直角坐標系，數(shù)形結合求直線與圓相交的弦長，進而可得城市處于危險區(qū)內的時長.【詳解】如圖所示，以點為坐標原點建立直角坐標系，則，以為圓心，為半徑作圓，則圓的方程為，當臺風進入圓內，則城市處于危險區(qū)，又臺風的運動軌跡為，設直線與圓的交點為，，圓心到直線的距離，則，所以時間，故選：C.5．一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內．已知小島中心位于輪船正西處，輪船航向為北偏西，若輪船沿直線航行．

(1)求出輪航線所在直線方程；(2)輪船是否會有觸礁風險？說明理由．【答案】(1)(2)沒有，理由見解析【分析】（1）分析可知，輪航線所在直線過點，輪航線所在直線的傾斜角為，利用點斜式可得出所求直線的方程；（2）計算出圓心到輪航線所在直線的距離，判斷直線與圓的位置關系，即可得出結論.【詳解】（1）解：以小島中心為原點，正東方向為軸的正方向，正北方向為軸的正方向建立平面直角坐標系，

由題意可知，輪航線所在直線過點，輪航線所在直線的傾斜角為，斜率為，所以，輪航線所在直線方程為，即.（2）解：原點到輪航線所在直線的距離為，所以，輪船沒有觸礁風險.6．圓拱橋的一孔圓拱如圖所示，該圓拱是一段圓弧，其跨度米，拱高米，在建造時每隔4米需用一根支柱支撐．(1)建立適當?shù)淖鴺讼担瑢懗鰣A弧的方程；(2)求支柱的長度（精確到0.01米）．【答案】(1)，()；(2)米.【分析】（1）以O為原點，為x、y軸，確定的點坐標，設圓弧方程為且，將點坐標代入求參數(shù)，即可得方程.（2）由（1）及題設有，且在圓弧上，代入圓弧所在方程求y，即可知的長度【詳解】（1）構建如下直角坐標系，則，，，設所在圓弧方程為且，，解得，所以圓弧的方程，.（2）由題設知：，則，且在圓弧上，所以，可得，故的長度為米.能力進階能力進階1．一座圓拱橋，當水面在如圖所示位置時，拱頂離水面2米，水面寬12米，當水面下降2米后，水面寬是（

）A．13米 B．14米 C．15米 D．16米【答案】D【分析】沿拱頂建立如圖所示的平面直角坐標系，求出圓的方程后可得水面下降2米后的水面寬.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，設圓的方程為：，代入，則有，故圓的方程為：，令，則，故，故選：D.2．某考點配備的信號檢測設備的監(jiān)測范圍是半徑為100米的圓形區(qū)域，一名工作人員持手機以每分鐘50米的速度從設備正東方向米的處出發(fā)，沿處西北方向走向位于設備正北方向的處，則這名工作人員被持續(xù)監(jiān)測的時長為（

）A．1分鐘 B．分鐘C．2分鐘 D．分鐘【答案】C【分析】以設備的位置為坐標原點，其正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立平面直角坐標系，求得直線和圓的方程，利用點到直線的距離公式和圓的弦長公式，求得的長，進而求得持續(xù)監(jiān)測的時長.【詳解】以設備的位置為坐標原點，其正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，可得，圓．記從處開始被監(jiān)測，到處監(jiān)測結束，因為到的距離為米，所以米，故監(jiān)測時長為分鐘．故選：C.3．一輛寬的卡車，要經(jīng)過一個半徑為的半圓形隧道，則這輛卡車的高度不得超過（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出半圓的寬為1.6m的內接矩形的高，即為所求．可建立直角坐標系求解．【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，，則，所以卡車的高度不得超過.故選：B．4．一條光線從點射出，經(jīng)直線y軸反射后過點，則反射光線所在的直線方程為．【答案】【分析】關于y軸的對稱點為，反射光線所在的直線即為經(jīng)過的直線，求的直線方程即可.【詳解】關于y軸的對稱點為，根據(jù)光線反射的性質知，反射光線所在的直線即為經(jīng)過的直線，由兩點式得直線的方程為：，即.故答案為：5．某圓拱橋的水面跨度16m，拱高4m，現(xiàn)有一船，寬10m，水面以上高3m，問這條船能否通過?【答案】這條船不能通過.【分析】根據(jù)題設，建立以水面作為軸的坐標系，并求出圓拱所在圓的方程，判斷時水面上方點值與的大小關系即可.【詳解】以水面作為軸建立直角坐標系如下，且，令圓拱的半徑為，則，可得，故圓心為，所以圓拱所在圓為，則時，如下圖，要使寬10m，水面以上高3m的船能通過，只需即可，則，即，顯然不成立，故這條船不能通過.

6．如圖，已知一艘海監(jiān)船上配有雷達，其監(jiān)測范圍是半徑為的圓形區(qū)域，一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東的處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北的處島嶼，速度為.(1)求外籍船航行路徑所在的直線方程；(2)這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測到？若能，持續(xù)時間多長？【答案】(1)；(2)能，小時.【分析】（1）首先以為原點，東西方向為軸，南北方程為軸，建立平面直角坐標系，再利用截距式求解直線方程即可；（2）利用直線與圓的位置關系和弦長公式即可得到答案.【詳解】（1）以為原點，東西方向為軸，南北方程為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示:則，則直線，即，外籍船航行路徑所在的直線方程為:;（2）點到直線的距離，所以外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測到；檢測路線的長度，則檢測時間，所以外籍輪船被監(jiān)測到的持續(xù)時間為小時.故選：D素養(yǎng)提升素養(yǎng)提升1．一輛卡車寬1.6米,要經(jīng)過一個半徑為3.6米的半圓形隧道,則這輛卡車的平頂車蓬蓬頂距地面的高度不得超過A．1.4米 B．3.5米 C．3.6米 D．2米【答案】B【分析】以圓心作為原點建立平面直角坐標系，求出半圓的方程，由車的寬度一半作為橫坐標，求出此橫坐標時圓上點的縱坐標，即為車的最大高度.【詳解】由題意，以圓心作為原點建立如圖平面直角坐標系：

易知半圓的方程為：，令，解得.故選B.2．光線從點射到軸上，經(jīng)反射后經(jīng)過點，則反射光線所在直線的方程為，光線從到的路線長度為.【答案】【分析】由題設，反射光線過和，應用點斜式寫出方程，再由從到的路線長度為與的距離，兩點式求路線長度.【詳解】由題設，反射光線過和，故斜率為，所以反射光線為，整理得，光線從到的路線長度，即為與的距離，所以路線長度為.故答案為：，3．河道上有一座圓拱橋，在正常水位時，拱圈最高點距水面9m，拱圈內水面寬22m．一條船在水面以上部分高6.5m，船頂部寬4m，可以通行無阻．近日水位暴漲了2.7m，為此，必須加重船載，降低船身，才能通過橋洞．試問：船身應該降低多少？（精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)）

【答案】0.4m【分析】建立坐標系，確定圓的方程，再令，即可求得通過橋洞，船身至少應該降低多少．【詳解】以正常水位時河道中央為原點，過點垂直于水面的直線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，如圖所示，則，，三點的坐標分別為，，，

又圓心在軸上，故可設，因為，所以，解得，則所以圓拱橋所在圓的方程為，當時，，，因為水位暴漲了，所以船身要降低，才能順利地通過橋洞．4．一艘科考船在點O處監(jiān)測到北偏東30°方向40海里處有一個小島A，距離小島10海里范圍內可能存在暗礁．(1)若以點O為原點，正東、正北方向分別為x軸、y軸正方向建立平面直角坐標系，寫出暗礁所在區(qū)域邊界的⊙A方程．(2)科考船先向東行駛了50海里到達B島后，再以北偏西30°方向行駛的過程中，是否有觸礁的風險？【答案】(1)（x－20）2＋（y－）2＝100(2)有觸礁的風險【分析】（1）過A作y軸垂線，垂足為B，求出圓心（20，），進而求出圓的標準方程.（2）求出航行的直線方程：，根據(jù)直線與圓的位置關系即可求解.【詳解】（1）如圖，過A作y軸垂線，垂足為B，且OA＝40∴AB＝20，，圓心（20，）設圓方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2∴（x－20）2＋（y－）2＝100（2）當船向東行駛50海里進B（50，0）則北偏西30°，直線的傾斜角則直線方程：圓心到直線距離，有觸礁的風險．5．在2020年北京舉辦的國際自主智能AI大賽中，主辦方設計了一個矩形場地（如圖），在邊上距離點6米的處有一只電子狗，在距離點3米處放置一個機器人.電子狗的運動速度是機器人速度的兩倍.如果同時出發(fā)，機器人比電子狗早到達或同時到達某點，那么機器狗將被機器人捕獲，電子狗失敗，這點叫失敗點.（1）求在這個矩形場地內電子狗失敗的區(qū)域；（2）若為矩形場地邊上的一點，若電子狗在線段上都能逃脫，問：點應在何處？【答案】（1）以為圓心，2