2023-2024學(xué)年天津一中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年天津一中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知全集U=R，集合A={x|x2?x?6≤0}，B={x|4?xx+1A.[?2,4) B.(?1,3] C.[?2,?1] D.[?1,3]2.命題“?x0>0，x0A.?x0>0，x02+sinx0?4≥0 B.?x0≤03.已知函數(shù)f(x)=sinx+f′(0)e2x，則f(0)=(

)A.1 B.?12 C.2 4.“1x>1”是“ex?1<1A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件

C.充要條件 D.既非充分也非必要條件5.函數(shù)f(x)=(x2+1)A. B.

C. D.6.已知函數(shù)g(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(0,+∞)上單調(diào)遞減，a=g(log20.2)，b=g(20.2)，c=g(0.20.3)，則A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a7.已知a>0，若關(guān)于x的不等式x+ax+1≥3在x∈(?1,+∞)上恒成立，則a的最小值為A.1 B.2 C.4 D.88.甲辰龍年春節(jié)哈爾濱火爆出圈，成為春節(jié)假期旅游城市中的“頂流”.甲、乙等6名網(wǎng)紅主播在哈爾濱的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亞教堂、音樂長(zhǎng)廊4個(gè)景點(diǎn)中選擇一個(gè)打卡游玩，若每個(gè)景點(diǎn)至少有一個(gè)主播去打卡游玩，每位主播都會(huì)選擇一個(gè)景點(diǎn)打卡游玩，且甲、乙都單獨(dú)1人去某一個(gè)景點(diǎn)打卡游玩，則不同游玩方法有(

)A.96種 B.132種 C.168種 D.204種9.已知函數(shù)f(x)=alnx+12x2，若對(duì)任意正數(shù)x1，x2(xA.(0,14] B.(0,14)10.函數(shù)f(x)=x2?2x,x≤02xex,x>0，若關(guān)于x的方程A.[1,e+2e) B.(1,e2+2二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11.已知函數(shù)f(x)=(12)x,x?012.已知(2x?ax)6關(guān)于x的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為?160，則a=13.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=?f(x)，且當(dāng)x∈[?1,0]時(shí)，f(x)=(12)x，則14.已知函數(shù)f(x)=2sinx?ex+e?x，則關(guān)于x15.我們比較熟悉的網(wǎng)絡(luò)新詞，有“yyds”、“內(nèi)卷”、“躺平”等，定義方程f(x)=f′(x)的實(shí)數(shù)根x叫做函數(shù)f(x)的“躺平點(diǎn)”.若函數(shù)g(x)=ex?x，?(x)=lnx，φ(x)=2023x+2023的“躺平點(diǎn)”分別為a，b，c，則a，b，c16.已知函數(shù)f(x)=2sinx?xcosx?x，g(x)=x2?2x+a(a∈R)，若對(duì)任意x1∈[0,π]，均存在x2∈[1,2]三、解答題：本題共4小題，共46分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知函數(shù)f(x)=1?x2x2+a．

(1)若a=0，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(2)若函數(shù)f(x)在x=?118.(本小題12分)

我市擬建立一個(gè)博物館，采取競(jìng)標(biāo)的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經(jīng)過層層師選，甲、乙兩家建筑公司進(jìn)入最后的招標(biāo).現(xiàn)從建筑設(shè)計(jì)院聘請(qǐng)專家設(shè)計(jì)了一個(gè)招標(biāo)方案：兩家公司從6個(gè)招標(biāo)問題中隨機(jī)抽取3個(gè)問題，已知這6個(gè)招標(biāo)問題中，甲公司能正確回答其中4道題目，而乙公司能正確回答每道題目的概率均為23，甲、乙兩家公司對(duì)每題的回答都是相互獨(dú)立，互不影響的．

(1)求甲公司至少答對(duì)2道題目的概率；

(2)分別求甲、乙兩家公司答對(duì)題數(shù)的分布列，請(qǐng)從期望和方差的角度分析，甲、乙兩家哪家公司競(jìng)標(biāo)成功的可能性更大？19.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=alnx+x?1(a∈R)．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)?x∈[1,+∞)，f(x)≥?2lnx+(lnx)2，求a20.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=x?1x+alnx，其中a∈R．

(1)當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí)，f(x)≥0，求a的取值范圍．

(2)若a<?2，證明：f(x)有三個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3(x1<x2<參考答案1.B

2.C

3.D

4.A

5.B

6.A

7.C

8.C

9.C

10.D

11.212.1

13.2

14.{x|x<?4或x>1}

15.b>a>c

16.(?∞,1)

17.解：(1)已知f(x)=1?x2x2+a，函數(shù)定義域?yàn)镽，

當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=1?x2x2，

可得f′(x)=x?22x3，

所以f′(1)=?12，

又f(1)=0，

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y?0=?12(x?1)，

即x+2y?1=0；

(2)易知f′(x)=2x2?4x?a(2x2+a)2，

若函數(shù)f(x)在x=?1處取得極值，

此時(shí)f′(?1)=0，

即6?a(2+a)2=0，

解得a=6，

此時(shí)f(x)=1?x2x2+6，f′(x)=2(x+1)(x?3)(2x2+6)2，

當(dāng)x<?118.解：(1)由題意可知甲公司至少答對(duì)2道題目可分為答對(duì)2題和答對(duì)3題，

所求概率P=C42C21C63+C43C63=45；

(2)設(shè)甲公司正確完成面試的題數(shù)為X，則XX123P131所以E(X)=1×15+2×35+3×15=2，D(X)=(1?2)2×15+(2?2)2×35+(3?2)2×15=25，Y0123P1248所以E(Y)=0×127+1×29+2×49+3×82719.解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，

則f′(x)=ax+1=a+xx，

當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a<0時(shí)，當(dāng)x∈(0,?a)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈(?a,+∞)時(shí)，f′(x)>0，

所以f(x)在(0,?a)上單調(diào)遞減，在(?a,+∞)上單調(diào)遞增；

(2)當(dāng)x=1時(shí)，f(x)≥?2lnx+(lnx)2顯然成立，此時(shí)a可為任意實(shí)數(shù)，

當(dāng)x>1時(shí)，由lnx>0，f(x)≥?2lnx+(lnx)2在(1,+∞)上恒成立，得a≥1?xlnx+lnx?2，

令g(x)=1?xlnx+lnx?2，x∈(1,+∞)，

則g′(x)=?lnx+1?1x(lnx)2+1x=x(1?lnx)+(lnx)2?1x(lnx)2=(1?lnx)(x?lnx?1)x(lnx)2，

設(shè)?(x)=x?lnx?1(x>1)，

由(1)可知，?(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，20.解：(1)由題意可知f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，

f′(x)=1+1x2+ax=x2+ax+1x2(x>0)，

設(shè)g(x)=x2+ax+1(x>0)，其中g(shù)(0)=1，

①當(dāng)?a2≤0，即a≥0時(shí)，g(x)>0，所以f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí)，f(x)≥f(1)=0，

故a≥0滿足題意，

②當(dāng)?a2>0，且Δ=a2?4≤0，即?2≤a<0時(shí)，g(x)≥0，

所以f′(x)≥0，f(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí)，f(x)≥f(1)=0，

故?2≤a<0滿足題意，

③當(dāng)?a2>0，且Δ=a2?4>0，即a<?2時(shí)，

設(shè)g(x)=0的兩根為p，q，

解得p=?a?a2?42(0<p<1)，q=?a+a2?42(q>1)，

則當(dāng)x∈(1,q)時(shí)，g(x)<0，所以f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

則f(x)<f(1)=0，

故a<?2不滿足題意，

綜上，a的取值范圍是[?2,+∞)；

(2)由(1)可知，當(dāng)a<?2時(shí)，f(x)在(0,