2023-2024學(xué)年寧夏銀川九中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年寧夏銀川九中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足(1?i)z=3+i(i為虛數(shù)單位)，則z?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說(shuō)法正確的是(

)A.若m//α，n//α，則m//n B.若m⊥α，n?α，則m⊥n

C.若m3.一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面的半徑為1和4，母線為5，則該圓臺(tái)的體積為(

)A.14π B.21π C.28π D.35π4.已知向量a，b不共線，且向量λa+b與a+(2λ?1)b方向相同，則實(shí)數(shù)A.1 B.?12 C.1或?12 5.如圖，△O′A′B′是△OAB在斜二測(cè)畫(huà)法下的直觀圖，其中O′B′=2O′A′=4，則△OAB的面積是(

)A.22

B.4

C.8

6.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若acosB?bcosA=c，且C=2π5，則∠B=(

)A.π5 B.π10 C.3π107.設(shè){e1,eA.2e1+e2和e1?e2 B.3e1?8.已知平面向量a=(1,0),b=(?1,2)，則a在b上的投影向量為A.(15,?25) B.(?二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2+bx+c=0的兩根，其中b，c∈R.若x1=?3+2i(iA.x1+x2=?6 B.b+c=19

10.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列說(shuō)法中正確的有(

)A.若A=45°，a=23，b=4，則△ABC有兩解

B.若a2+b2>c2，則△ABC為銳角三角形

C.若ccosB=b11.如圖，三棱錐P?ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，PA=2PB=2PC=2，則(

)A.BC⊥PA

B.三棱錐P?ABC的體積為23

C.點(diǎn)P到平面ABC的距離為23

D.三棱錐P?ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.正三棱柱ABC?A′B′C′中，AB=1，AA′=2，則直線BC′與平面ABB′A′所成角的正弦值為_(kāi)_____．13.已知直線l外一點(diǎn)A(?1,0,2)，直線l過(guò)原點(diǎn)O，且平行于向量m=(0,4,2)，則點(diǎn)A到直線l的距離為_(kāi)_____．14.如圖，已知ABCD?A′B′C′D′是長(zhǎng)方體.設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCC′B′對(duì)角線BC′上的點(diǎn)，且BN=3NC′.設(shè)MN=αAB+βAD+γAA′四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知3cosC(acosB+bcosA)=c．

(1)求cosC的值；

(2)若c=22，△ABC的面積為2，求16.(本小題15分)

已知z=m2?12m+32+(m2?4m)i，其中m∈R．

(1)若z為純虛數(shù)，求z的共軛復(fù)數(shù)；

(2)17.(本小題15分)

某校開(kāi)展數(shù)學(xué)專題實(shí)踐活動(dòng)，要求就學(xué)校新建的體育館進(jìn)行研究，為了提高研究效率，小王和小李打算分工調(diào)查測(cè)量并繪圖，完成兩個(gè)任務(wù)的研究．

(1)小王獲得了以下信息：

a.教學(xué)樓AB和體育館CD之間有一條筆直的步道BD；

b.在步道BD上有一點(diǎn)M，測(cè)得M到教學(xué)樓頂A的仰角是45°，到體育館樓頂C的仰角是30°；

c.從體育館樓頂C測(cè)教學(xué)樓頂A的仰角是15°；

d.教學(xué)樓AB的高度是20米．

請(qǐng)幫助小王完成任務(wù)一：求體育館的高度CD．

(2)小李獲得了以下信息：

a.體育館外墻大屏幕的最低處到地面的距離是4米

b.大屏幕的高度PQ是2米

c.當(dāng)觀眾所站的位置N到屏幕上下兩端P，Q所張的角∠PNQ最大時(shí)，觀看屏幕的效果最佳．

請(qǐng)幫助小李完成任務(wù)二：求步道BD上觀看屏幕效果最佳地點(diǎn)N的位置．18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=12CD=AD=1，M為棱PC的中點(diǎn)．

(1)證明：BM//平面PAD；

(2)若PC=5，PD=1，

(i)求二面角P?DM?B的余弦值；

(ii)在線段PA上是否存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到平面BDM的距離是219.(本小題17分)

n個(gè)有次序的實(shí)數(shù)a1，a2，…，an所組成的有序數(shù)組(a1,a2,?,an)稱為一個(gè)n維向量，其中ai(i=1,2?,n)稱為該向量的第i個(gè)分量.特別地，對(duì)一個(gè)n維向量a=(a1,a2,?,an)，若|ai|=1(i=1,2,?,n)，稱a為n維信號(hào)向量.設(shè)a=(a1,a2,?,an)，b=(b1,b2,?,參考答案1.D

2.B

3.C

4.A

5.C

6.B

7.B

8.A

9.AB

10.AD

11.AC

12.1513.10514.3215.解：(1)已知3cosC(acosB+bcosA)=c，

代入正弦定理得3cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC，

即3cosCsin(A+B)=sinC，又sin(A+B)=sinC>0，則cosC=13．

(2)由于cosC=13，則sinC=1?cos2C=223，

△ABC的面積為2，則12ab?sinC=2，所以ab=316.解：(1)z=m2?12m+32+(m2?4m)i，

則m2?12m+32=0m2?4m≠0，解得m=8，

z=32i，

所以z的共軛復(fù)數(shù)為?32i．

(2)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，

則17.解：(1)由題意知AB=AM=20?AM=202，

且可知∠AMC=180°?45°?30°=105°，

∠ACM=15°+30°=45°，?∠CAM=180°?105°?45°=30°，

由正弦定理可得202sin45°=MCsin30°?MC=20?CD=20sin30°=10，

則體育館的高度CD為10米；

(2)設(shè)ND=x，則tan∠PND=4x，tan18.(1)證明：取PD的中點(diǎn)N，連接AN，MN，如圖所示：

∵M(jìn)為棱PC的中點(diǎn)，

∴MN/?/CD，MN=12CD，

∵AB/?/CD，AB=12CD，

∴AB/?/MN，AB=MN，

∴四邊形ABMN是平行四邊形，∴BM/?/AN，

又BM?平面PAD，AN?平面PAD，

∴BM//平面PAD；

(2)解：∵PC=5，PD=1，CD=2，

∴PC2=PD2+CD2，∴PD⊥DC，

∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，

PD?平面PDC，

∴PD⊥平面ABCD，

又AD?平面ABCD，∴PD⊥AD，又AD⊥DC，

∴以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

則P(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，

∵M(jìn)為棱PC的中點(diǎn)，

∴M(0,1,12)，B(1,1,0)，

(i)DM=(0,1,12)，DB=(1,1,0)

設(shè)平面BDM的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，

則n?DM=y+12z=0n?DB=x+y=0，令z=2，則y=?1，x=1，

∴n=(1,?1,2)，

平面PDM的一個(gè)法向量為DA=(1,0,0)，

∴cos<n，DA>=n?DA|n||DA|=11×6=619.解：(1)兩兩垂直的4維信號(hào)向量可以為：(1,1,1,1)，(?1,?1,1,1)，(?1,1,?1,1)，(?1,1,1,?1)．

證明：(2)假設(shè)存在10個(gè)兩兩垂直的10維信號(hào)向量y1，y2，…，y10，

因?yàn)閷⑦@10個(gè)向量的某個(gè)分量同時(shí)變號(hào)或?qū)⒛硟蓚€(gè)位置的分量同時(shí)互換位置，任意兩個(gè)向量的內(nèi)積不變，

所以不妨設(shè)y1=(1,1,?,1)，y2=(1,1,1,1,1,?1,?1,?1,?1,?1)，

因?yàn)閥1?y3=