2021-2021學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊-19.1-變量與函數(shù)教學(xué)設(shè)計-新人教

2019-2020學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊19.1變量與函數(shù)教學(xué)設(shè)計（新版）新人教版教學(xué)設(shè)計思想：本節(jié)一共分為四個課時，第一、二課時主要是對一些概念的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，這也是本節(jié)的難點，要通過結(jié)合一些具體的事例來理解．第三、四課時主要是學(xué)習(xí)函數(shù)的三種表示法、運用函數(shù)知識解決實際問題，要注意“數(shù)形結(jié)合”思想方法的運用．教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：能敘述常量、變量、函數(shù)以及函數(shù)圖像的意義；能敘述函數(shù)的表示法、自變量的取值范圍及函數(shù)值的意義；發(fā)展運用函數(shù)知識解決實際問題的能力．過程與方法：經(jīng)歷畫簡單函數(shù)的圖像的過程提高識圖能力．情感態(tài)度價值觀：感受變量與函數(shù)是刻畫現(xiàn)實生活中許多變化事物的一種重要的數(shù)學(xué)工具．教學(xué)重點：運用函數(shù)知識解決實際問題．教學(xué)難點：常量、變量、函數(shù)以及函數(shù)圖像的意義．教學(xué)安排：4課時．教具：多媒體教學(xué)過程：第一課時（一）問題的提出現(xiàn)請思考下面幾個問題：（1）汽車以60千米／時的速度勻速行駛，行駛里程為s千米，行駛時間為t小時，先填下面的表，再試用含t的式子表示s．t/時12345s/千米

（2）每張電影票的售價為10元，如果早場售出票150張，日場售出票205張，晚場售出票310張，三場電影的票房收入各多少元？設(shè)一場電影售出票x張，票房收入為y元，怎樣用含x的式子表示y？（3）在一根彈簧的下端懸掛重物，改變并記錄重物的質(zhì)量，觀察并記錄彈簧長度的變化，探索它們的變化規(guī)律．如果彈簧原長10cm，每1kg重物使彈簧伸長0.5cm，怎樣用含重物質(zhì)量m（單位：kg）的式子表示受力后的彈簧長度l（單位：cm）？（4）要畫一個面積為10cm2的圓，圓的半徑應(yīng)取多少？圓面積為20cm2呢？怎樣用含圓面積S的式子表示圓半徑r？（5）如圖，用10m長的繩子圍成長方形．試改變長方形的長度，觀察長方形的面積怎樣變化．記錄不同的長方形的長度值，計算相應(yīng)的長方形面積的值，探索它們的變化規(guī)律．設(shè)長方形的長為xm，面積為Sm2，怎樣用含x的式子表示S？這些問題反映了不同的事物的變化過程，其中有些量（例如時間t，里程s；售出票數(shù)x，票房收入y……）的值是按照某種規(guī)律變化的．在一個變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為變量（variable）．有些量的數(shù)值是始終不變的，例如上面問題中的速度60（單位：千米／時），票價10（單位：元）……繩長10（單位：m）以及長方形的長寬之和5（單位：m），我們稱它們?yōu)槌Ａ浚╟onstant）．在日常生活中，工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)實驗中，常量和變量是普遍存在的，但數(shù)學(xué)所要研究的是某一變化過程中的兩個量之間的關(guān)系，即它們是怎樣互相制約、互相聯(lián)系的．提問：一個量變化，具體地說是它的什么在變？什么不變呢？引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)：是量的數(shù)值變與不變．應(yīng)該讓學(xué)生注意到在某一個變化過程中，變量、常量都可能有多個．常量可以是一個實數(shù)，也可以是一個代數(shù)式（數(shù)值始終保持不變）．（二）思考具體指出上面的各問題中，哪些量是變量，哪些量是常量．讓學(xué)生從定義出發(fā)指出問題中的變量與常量．剖析概念常量與變量必須存在于一個變化過程中．判斷一個量是常量還是變量，需著兩個方面：①看它是否在一個變化的過程中，②看它在這個變化過程中的取值情況．（三）練習(xí)舉出一些變化的實例，指出其中的常量與變量．（充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，暢所欲言）．（四）小結(jié)小結(jié)對變量與常量意義的理解．（五）板書設(shè)計變量問題兩個概念：變量、常量思考練習(xí)第二課時（一）問題的討論11.1.1的每個問題中是否各有兩個變量？同一個問題中的變量之間有什么聯(lián)系？在問題（1）中，觀察填出的表格，你會發(fā)現(xiàn)：每當(dāng)行駛時間t取定一個值時，行駛里程s就隨之確定一個值，例如t=1，則s=60；t=2，則s=120……t=5，則s=300．問題（2）中，經(jīng)計算可以發(fā)現(xiàn)：每當(dāng)售票數(shù)量x取定一個值時，票房收入y就隨之確定一個值，例如早場x=150，則y=l500；日場x=205，則y=2050；晚場x=310，則y=3100．問題（3）中，通過試驗可以看出：每當(dāng)重物質(zhì)量m取定一個值時，彈簧長度l就隨之確定一個值．如果彈簧原長10cm，每lkg重物使彈簧伸長0．5cm，那么當(dāng)m=1時，l=10．5．當(dāng)m=10時，l等于多少？問題（4）中，你容易算出：當(dāng)S=10cm2時，r=_______cm；當(dāng)S=20cm2時，r=_______cm．每當(dāng)S取定一個值時，r隨之確定一個值．你能得出：兩者的關(guān)系為r=_______.問題（5）中，我們可以根據(jù)下表中給出的數(shù)值確定長方形一邊的長，得出另一邊的長，計算長方形的面積，填表并探索變量間的關(guān)系．長x/m432.52寬（5－x）/m

面積S/m2

每當(dāng)長方形長x取定一個值時，面積S就隨之確定一個值，S=_________.引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)：對于變量的每一個值，另一變量都有唯一的值與它對應(yīng)．所以兩個變量的關(guān)系又可敘述為：對于一個變量的每一個值，另一個變量都有唯一的值與它對應(yīng)．即一種對應(yīng)關(guān)系．（二）歸納上面每個問題中的兩個變量互相聯(lián)系，當(dāng)其中一個變量取定一個值時，另一個變量就________.在一些用圖或表格表達(dá)的問題中，也能看到兩個變量間上面那樣的關(guān)系．（三）觀察（1）下圖是體檢時的心電圖，其中橫坐標(biāo)x表示時間，縱坐標(biāo)y表示心臟部位的生物電流，它們是兩個變量．在心電圖中，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的對應(yīng)值嗎？（2）在下面的我國人口數(shù)統(tǒng)計表中，年份與人口數(shù)可以記作兩個變量x與y，對于表中每一個確定的年份（x），都對應(yīng)著一個確定的人口數(shù)（y）嗎？中國人口數(shù)統(tǒng)計表年份人口數(shù)/億198410.34198911.06199411.76199912.52一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量（independentvariable），y是x的函數(shù)（function）．如果當(dāng)x=a時y=b，那么b叫做當(dāng)自變量的值為a時的函數(shù)值．剖析概念理解函數(shù)概念把握三點：①一個變化過程，②兩個變量，③一種對應(yīng)關(guān)系．判斷兩個量是否具有函數(shù)關(guān)系也以這三點為依據(jù)．可以認(rèn)為：前面問題（1）中，時間t是自變量，里程s是t的函數(shù)，t=1時的函數(shù)值s=60，t=2時的函數(shù)值s=120，t=2.5時的函數(shù)值s=_____……同樣地，在心電圖中，時間x是自變量，心臟電流y是x的函數(shù)；人口數(shù)統(tǒng)計表中，年份x是自變量，人口數(shù)y是x的函數(shù)，當(dāng)x=1999時，函數(shù)值y=________．提醒學(xué)生注意：判斷兩個變量是否存在函數(shù)關(guān)系，不要只從能否存在（或?qū)懗觯┖瘮?shù)關(guān)系式入手，這只是表示函數(shù)的一種方法（解析法），而應(yīng)嚴(yán)格按其定義來判定．從上面可知，許多問題中的變量之間都存在函數(shù)關(guān)系．（四）探究（1）在計算器上按照下面的程序進(jìn)行操作：填表x13－40101y

顯示的數(shù)y是輸入的數(shù)x的函數(shù)嗎？為什么？（2）在計算器上按照下面的程序進(jìn)行操作：下表中的x與y是輸入的5個數(shù)與相應(yīng)的計算結(jié)果．x1230－1y3571－1所按的第三、四兩個鍵是哪兩個鍵？y是x的函數(shù)嗎？如果是，寫出它的表達(dá)式（用含x的式子表示y）．（五）例題例1

一輛汽車的油箱中現(xiàn)有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛里程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1L／km．（1）寫出表示y與x的函數(shù)關(guān)系的式子．（2）指出白變量x的取值范圍．（3）汽車行駛200km時，油箱中還有多少汽油？解：（1）行駛里程x（單位：km）是自變量，油箱中的油量y（單位：L）是x的函數(shù)，它們的關(guān)系為y=50－0.1x．（2）僅從式子y=50－0.1x看，x可以取任意實數(shù)，但是考慮到x代表的實際意義為行駛里程，所以x不能取負(fù)數(shù)，并且行駛中的耗油量為0.1x，它不能超過油箱中現(xiàn)有汽油量50L，即0.1x≤50．因此，自變量x的取值范圍是0≤x≤500．（3）汽車行駛200km時，油箱中的汽油量是函數(shù)y=50－0.1x在x=200時的函數(shù)值．將x=200代入y=50－0．1x，得y=50－0.1×200=30．汽車行駛200km時，油箱中還有30L汽油．注意確定自變量的取值范圍時，不僅要考慮函數(shù)關(guān)系式有意義，而且還要注意問題的實際意義．（六）練習(xí)下列問題中哪些量是自變量？哪些量是自變量的函數(shù)？試寫出用自變量表示函數(shù)的式子．1．改變正方形的邊長x，正方形的面積S隨之改變．2．秀水村的耕地面積是106m2，這個村人均占有耕地面積y隨這個村人數(shù)n的變化而變化．（七）小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)的主要知識點．（八）板書設(shè)計函數(shù)問題的討論例題練習(xí)第三課時有些問題中的函數(shù)關(guān)系很難列式子表示，但是可以用圖來直觀地反映，例如用心電圖表示心臟生物電流與時間的關(guān)系．即使對于能列式表示的函數(shù)關(guān)系，如也能畫圖表示則會使函數(shù)關(guān)系更清晰．正方形的邊長x與面積S的函數(shù)關(guān)系為S=x2，其中自變量x的取值范圍是x>0．我們還可以利用在坐標(biāo)系中畫圖的方法來表示S與x的關(guān)系．自變量x的一個確定的值與它所對應(yīng)的唯一的函數(shù)值S，是否確定了一個點（x，S）呢？計算并填寫下表：x00.511.522.533.54S

如圖，在直角坐標(biāo)系中，將上面表格中各對數(shù)值所對應(yīng)的點畫出，然后連接這些點，所得曲線上每一個點都代表x的值與S的值的一種對應(yīng)，例如點（2，4）表示x=2時，S=4．一般地，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象（graph）．上圖的曲線即函數(shù)S=x2（x>0）的圖象．我們需要注意的三點是：（1）函數(shù)圖象上的點P（x，y）與函數(shù)自變量x及對應(yīng)函數(shù)值y的關(guān)系：圖象上的每個點的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y一定是這個函數(shù)的自變量x和函數(shù)y的一對對應(yīng)值，反之，以這一對對應(yīng)值為橫、縱坐標(biāo)的點必在函數(shù)的圖象上．（2）函數(shù)圖象上任意一點P（x，y）中的x和y滿足函數(shù)關(guān)系式，反之，滿足函數(shù)關(guān)系式的任意一對x和y的值組成的點（x，y）一定在函數(shù)的圖象上．（3）判斷點P（x，y）是否在函數(shù)圖象上的方法是：將點的坐標(biāo)（x，y）代入函數(shù)關(guān)系式，即自變量等于橫坐標(biāo)x，函數(shù)值等于縱坐標(biāo)y，如果滿足函數(shù)關(guān)系式，則這個點就在函數(shù)圖象上，否則這個點就不在函數(shù)圖象上．（一）觀察下圖是自動測溫儀記錄的圖象，它反映了北京的春季某天氣溫T如何隨時間t的變化而變化．你從圖象中得到了哪些信息？可以認(rèn)為，氣溫T是時間t的函數(shù)，上圖是這個函數(shù)的圖象．由圖象可知：（1）這一天中凌晨4時氣溫最低（－3℃），14時氣溫最高（8℃）；（2）從0時至4時氣溫呈下降狀態(tài)（即溫度隨時間的增長而下降），從4時到14時氣溫呈上升狀態(tài)，從14時至24時氣溫又呈下降狀態(tài)；（3）我們可以從圖象中看出這一天中任一時刻的氣溫大約是多少；（4）如果長期觀察這樣的氣溫圖象，我們就能得到更多信息，掌握更多氣溫的變化規(guī)律．（二）例題例2

下面的圖象（如圖所示）反映的過程是：小明從家去菜地澆水，又去玉米地鋤草，然后回家．其中x表示時間，y表示小明離他家的距離．根據(jù)圖象回答下列問題：（1）菜地離小明家多遠(yuǎn)？小明走到菜地用了多少時間？（2）小明給菜地澆水用了多少時間？（3）菜地離玉米地多遠(yuǎn)？小明從菜地到玉米地用了多少時間？（4）小明給玉米地鋤草用了多少時間？，（5）玉米地離小明家多遠(yuǎn)？小明從玉米地走回家的平均速度是多少？分析：小明離家的距離y是時間x的函數(shù)，從圖象中有兩段是平行于x軸的線段可知，小明離家后有兩段時間內(nèi)先后停留在菜地與玉米地．解：（1）由縱坐標(biāo)看出，菜地離小明家1.1千米；由橫坐標(biāo)看出，小明走到菜地用了15分．（2）由橫坐標(biāo)看出，小明給菜地澆水用了10（即25－15）分．（3）由縱坐標(biāo)看出，菜地離玉米地0.9（即2—1.1）千米；由橫坐標(biāo)看出，小明從菜地到玉米地用了12（即37—25）分．（4）由橫坐標(biāo)看出，小明給玉米地鋤草用了18（即55－37）分．（5）由縱坐標(biāo)看出，玉米地離小明家2千米；由橫坐標(biāo)看出，小明從玉米地走回家用了25（即80—55）分，平均速度是0．08千米／分．例3

在下列式子中，對于x的每一確定的值，y有唯一的對應(yīng)值，即y是x的函數(shù)，畫出這些函數(shù)的圖象：（1）y=x+0.5；

（2）（x>0）．解：（1）y=x+0.5．從上式可以看出，x取任意實數(shù)式子都有意義，所以x的取值范圍是全體實數(shù)．從x的取值范圍中選取一些數(shù)值，算出y的對應(yīng)值，列表（計算并填寫表中空格）：x…－3－2－10123…y…

－0.50.51.52.5

…根據(jù)表中數(shù)值描點（x，y），并用平滑曲線連接這些點（如圖所示）．從函數(shù)圖象可以看出，直線從左向右上升，即當(dāng)x由小變大時，y=x+0.5隨之增大．（2）（x>0）．列表（計算并填寫表中空格）：x…0.511.522.533.5456…y…

6

3

2

1.5

…根據(jù)表中數(shù)值描點（x，y）并用平滑曲線連接這些點（如圖所示）．從函數(shù)圖像可以看出，曲線從左向右下降，即當(dāng)x由小變大時，隨之減?。ㄈw納描點法畫函數(shù)圖象的一般步驟如下：第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值）；第二步：描點（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點）；第三步：連線（按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）．（四）思考（1）下圖是一種古代計時器——“漏壺”的示意圖，在壺內(nèi)盛一定量的水，水從壺下的小孔漏出，壺壁內(nèi)畫出刻度，人們根據(jù)壺中水面的位置計算時間．用x表示時間，y表示壺底到水面的高度，下面的哪個圖象適合表示一小段時間內(nèi)y與x的函數(shù)關(guān)系（暫不考慮水量變化對壓力的影響）？（2）a是自變量x取值范圍內(nèi)的任意一個值，過點（a，0）畫y軸的平行線，與圖中曲線相交．下列哪個圖中的曲線（如圖所示）表示y是x的函數(shù)？為什么？（提示：當(dāng)x=a時，x的函數(shù)y只能有一個函數(shù)值．）（五）練習(xí)1．（1）畫出函數(shù)y=2x－1的圖象；（2）判斷點A（－2．5，－4），B（1，3），C（2．5，4）是否在函數(shù)y=2x－1的圖象上．2．下圖是北京與上海在某一天的氣溫隨時間變化的圖象．（1）這一天內(nèi)，上海與北京何時溫度相同？（2）這一天內(nèi)，上海在哪段時間比北京溫度高？在哪段時間比北京溫度低？3．（1）畫出函數(shù)y=x2的圖象．（2）從圖象中觀察，

當(dāng)x<0時，y隨x的增大而增大，還是y隨x的增大而減小？當(dāng)x>0時呢？（六）小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)的主要知識點．（七）板書設(shè)計函數(shù)的圖像（一）問題的討論例題歸納思考練習(xí)第四課時我們已經(jīng)看到或親自動手用列表格、寫式子和畫圖象的方法表示了一些函數(shù)，這三種表示函數(shù)的方法分別稱為列表法、解析式法和圖象法．（一）思考從前面的例子看，你認(rèn)為三種表示函數(shù)的方法各有什么優(yōu)點？（1）解析法：用含有自變量的代數(shù)式表示函數(shù)的方法叫做解析法．例如：y=x+1，等，其優(yōu)點是簡明扼要，規(guī)范準(zhǔn)確，便于分析推導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)，不足之處就是有些函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示．（2）列表法：把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法．其優(yōu)點是能明顯地呈現(xiàn)出自變量與對應(yīng)的函數(shù)值．不足之處是只能列出部分自變量與函數(shù)的對應(yīng)值，難以從表格中看出自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律．（3）圖象法