數(shù)學(xué)必修一 第三章 3.1.1 函數(shù)的概念(一) 課件

3.1.1函數(shù)的概念(一)第三章

§3.1函數(shù)的概念及其表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念.2.體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.3.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域、值域.導(dǎo)語請同學(xué)們閱讀課本75頁《閱讀與思考》(大約3分鐘)，大家通過閱讀函數(shù)概念的發(fā)展歷程可以發(fā)現(xiàn)：函數(shù)概念的發(fā)展與生產(chǎn)、生活以及科學(xué)技術(shù)的實際需要緊密相關(guān)，而且隨著研究的深入，函數(shù)概念不斷得到嚴謹化、精確化的表達，這與我們學(xué)習(xí)函數(shù)的過程是一樣的.也就是說函數(shù)并不是很神秘、很可怕的東西，它只是一個名稱，它就在我們身邊，比如路程隨時間的變化而變化；一天中溫度隨時間的變化而變化；天宮二號在發(fā)射過程中，上升的高度隨時間的變化而變化，可以說這種變量關(guān)系無處不在，而我們要做的就是用心去體驗、去感受它的美.課時對點練一、函數(shù)的概念二、函數(shù)的三要素三、構(gòu)建問題情境隨堂演練內(nèi)容索引函數(shù)的概念

一問題1

閱讀課本60頁的問題1和問題2，并思考它們有什么異同點？提示它們有相同的解析式，也就是對應(yīng)關(guān)系.但它們有不同的實際背景，變量的取值范圍也不同.問題2

請同學(xué)們繼續(xù)閱讀課本上的問題3和問題4，它們分別是函數(shù)嗎？如果是，請指出它們與問題1和問題2中的函數(shù)的區(qū)別.提示

是函數(shù).由圖象和表格呈現(xiàn)出來的變量間的對應(yīng)關(guān)系比解析式更直觀、形象.問題3

通過對課本中的4個問題的分析，你能說出它們有什么不同點和共同點嗎？提示不同點：課本中的問題1,2是用解析式刻畫兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，問題3是用圖象刻畫兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，問題4是用表格刻畫兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.共同點：①都包含兩個非空的實數(shù)集，分別用A，B來表示；②兩個實數(shù)集之間都有一種確定的對應(yīng)關(guān)系；③對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x，按照對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng).知識梳理函數(shù)的概念概念一般地，設(shè)A，B是非空的

，如果對于集合A中的

，按照某種

的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有

的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)三要素對應(yīng)關(guān)系y＝f(x)，x∈A定義域

的取值范圍A值域與x的值相對應(yīng)的

的值的集合{f(x)|x∈A}實數(shù)集任意一個數(shù)x確定唯一確定xy(1)A，B是非空的實數(shù)集.(2)定義域是非空的實數(shù)集A，但函數(shù)的值域不一定是非空實數(shù)集B，而是集合B的子集.(3)函數(shù)定義中強調(diào)“三性”：任意性、存在性、唯一性，即對于非空實數(shù)集A中的任意一個(任意性)元素x，在非空實數(shù)集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y與之對應(yīng).(4)函數(shù)符號“y＝f(x)”是數(shù)學(xué)符號之一，不表示y等于f與x的乘積，f(x)也不一定是解析式，還可以是圖象或表格，或其他的對應(yīng)關(guān)系.(5)除f(x)外，有時還用g(x)，u(x)，F(xiàn)(x)，G(x)等符號表示函數(shù).注意點：

(1)(多選)下列集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)的是A.A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的數(shù)平方B.A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的數(shù)開方C.A＝Z，B＝Q，f：A中的數(shù)取倒數(shù)D.A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的數(shù)取絕對值例1√√按照函數(shù)定義，選項B中，集合A中的元素1對應(yīng)集合B中的元素±1，不符合函數(shù)定義中一個自變量的值對應(yīng)唯一的函數(shù)值的條件；選項C中，集合A中的元素0取倒數(shù)沒有意義，也不符合函數(shù)定義中集合A中任意元素都對應(yīng)著唯一的函數(shù)值的要求；選項A和D符合函數(shù)的定義.(2)設(shè)M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列五個圖形：其中，能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的個數(shù)是A.0

B.1

C.2

D.3√①中，因為在集合M中當(dāng)1<x≤2時，在N中無元素與之對應(yīng)，所以①不能表示；②中，對于集合M中的任意一個數(shù)x，在N中都有唯一的數(shù)與之對應(yīng)，所以②可以表示；③中，x＝2對應(yīng)元素y＝3?N，所以③不能表示；④中，當(dāng)x＝1時，在N中有兩個元素與之對應(yīng)，所以④不能表示；⑤中，對于集合M中的任意一個數(shù)x，在N中都有唯一的數(shù)與之對應(yīng)，所以⑤可以表示.(1)判斷一個對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法反思感悟(2)根據(jù)圖形判斷對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法①任取一條垂直于x軸的直線l；②在定義域內(nèi)平行移動直線l；③若直線l與圖形有且只有一個交點，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數(shù).跟蹤訓(xùn)練1

已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，給出下列四個對應(yīng)關(guān)系，其中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)的是A.y＝x2

B.y＝x＋1C.y＝x－1 D.y＝|x|.只有y＝|x|是符合題意的對應(yīng)關(guān)系.√函數(shù)的三要素

二問題4

初中我們學(xué)習(xí)過哪些函數(shù)？提示一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù).問題5

你能說一說問題4中的幾個函數(shù)的定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域分別是什么嗎？例2

(1)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的定義域為

_______________________，值域為_____________.{x|－2≤{y|－4≤y≤3}x≤4或5≤x≤8}根據(jù)y＝f(x)的函數(shù)圖象可看出，f(x)的定義域為{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}，值域為{y|－4≤y≤3}.(2)若已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈{－1,0,1}，則函數(shù)的值域為______.由x∈{－1,0,1}，代入f(x)＝x2，解得f(－1)＝1，f(0)＝0，f(1)＝1，根據(jù)集合的互異性，函數(shù)的值域為{0,1}.{0,1}關(guān)于函數(shù)的三要素(1)函數(shù)的定義域即集合A，在坐標(biāo)系中是橫坐標(biāo)x的取值范圍.(2)函數(shù)的值域并不是集合B，是函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}，在坐標(biāo)系中是縱坐標(biāo)的取值范圍.(3)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系f反映了自變量x的運算、對應(yīng)方法，通過這種運算，對應(yīng)得到唯一的函數(shù)值y.反思感悟跟蹤訓(xùn)練2A.R

B.{y|－1≤y≤1}C.{－1,1} D.{－1,0,1}√構(gòu)建問題情境

三

已知矩形的面積為10，如圖所示，試借助該圖形構(gòu)建問題情境描述下列變量關(guān)系.例3設(shè)矩形的長為x，寬為f(x)，那么f(x)＝

.其中x的取值范圍A＝{x|x>0}，f(x)的取值范圍B＝{f(x)|f(x)>0}，對應(yīng)關(guān)系f把每一個矩形的長x，對應(yīng)到唯一確定的寬

.設(shè)矩形的長為x，周長為f(x)，那么f(x)＝2x＋

.其中x的取值范圍A＝{x|x>0}，f(x)的取值范圍B＝{f(x)|f(x)>0}，對應(yīng)關(guān)系f把每一個矩形的長x，對應(yīng)到唯一確定的周長2x＋

.設(shè)矩形的長為x，對角線長為f(x)，那么f(x)＝

.其中x的取值范圍A＝{x|x>0}，f(x)的取值范圍B＝{f(x)|f(x)≥}，對應(yīng)關(guān)系f把每一個矩形的長x，對應(yīng)到唯一確定的對角線長

.構(gòu)建問題情境的步驟(1)綜合考慮構(gòu)建具體的實際問題；(2)賦予每個變量具體的實際意義；(3)根據(jù)變量關(guān)系，設(shè)計出所求的實際問題.反思感悟

構(gòu)建一個問題情境，使其中的變量關(guān)系能用解析式y(tǒng)＝

來描述.跟蹤訓(xùn)練3某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品的利潤是投資額的算術(shù)平方根的2倍，設(shè)投資額為x，利潤為y，那么y＝

.其中x的取值范圍A＝{x|x≥0}，y的取值范圍B＝{y|y≥0}，對應(yīng)關(guān)系f把每一筆投資對應(yīng)到唯一確定的利潤

.課堂小結(jié)1.知識清單：(1)函數(shù)的概念.(2)函數(shù)的三要素.(3)構(gòu)建問題情境.2.方法歸納：定義法、圖象法.3.常見誤區(qū)：函數(shù)概念的理解.隨堂演練

1.已知f(x)＝|x|是集合A到集合B的函數(shù)，如果集合B＝{2}，那么集合A不可能是A.{－2,2} B.{－2}C.{－1,2} D.{2}√1234若集合A＝{－1,2}，則－1∈A，但|－1|＝1?B，故選C.2.下列對應(yīng)或關(guān)系式中是A到B的函數(shù)的是A.A∈R，B∈R，x2＋y2＝1B.A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，對應(yīng)關(guān)系如圖：√12341234B正確，符合函數(shù)的定義；C錯誤，2∈A，在B中找不到與之相對應(yīng)的數(shù)；D錯誤，－1∈A，在B中找不到與之相對應(yīng)的數(shù).3.函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝2022的公共點有A.0個

B.1個C.0個或1個 D.以上答案都不對√12344.若函數(shù)y＝x2－3x的定義域為{－1,0,2,3}，則其值域為_________.1234{－2,0,4}課時對點練

12345678910111213141516基礎(chǔ)鞏固1.(多選)對于函數(shù)y＝f(x)，以下說法正確的有A.y是x的函數(shù)B.對于不同的x值，y值也不同C.函數(shù)是一種對應(yīng)，是多對一或一對一D.函數(shù)可以是一對多√√12345678910111213141516由函數(shù)的定義知，y是x的函數(shù)，故A正確；對于不同的x值，y值可以相同，例如y＝|x|，當(dāng)x＝1，－1時，y值均是1，故B錯誤；由函數(shù)的定義知，函數(shù)是一種對應(yīng)，是多對一或一對一，不是一對多，故C正確，D錯誤.123456789101112131415162.下列圖形中不是函數(shù)圖象的是A中至少存在一處如x＝0，一個橫坐標(biāo)對應(yīng)兩個縱坐標(biāo)，這相當(dāng)于集合A中至少有一個元素在集合B中對應(yīng)的元素不唯一，故A不是函數(shù)圖象，B，C，D均符合函數(shù)定義.√123456789101112131415163.(多選)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{y|0≤y≤4}，則下列對應(yīng)關(guān)系中，可看作是從A到B的函數(shù)關(guān)系的是根據(jù)函數(shù)的定義，對于D，在集合A中的部分元素，在集合B中沒有元素與它對應(yīng)，故不正確.√√√123456789101112131415164.托馬斯說：“函數(shù)是近代數(shù)學(xué)的思想之花.”根據(jù)函數(shù)的概念判斷：下列對應(yīng)關(guān)系是集合M＝{－1,1,2}到集合N＝{1,2,4}的函數(shù)的是A.y＝2x B.y＝x＋1C.y＝|x| D.y＝x2＋1√根據(jù)題意，可知函數(shù)的定義域為M＝{－1,1,2}，對于A選項，按照對應(yīng)的x→2x，函數(shù)的值域為E＝{－2,2,4}?N，A選項錯誤；對于B選項，按照對應(yīng)的x→x＋1，函數(shù)的值域為E＝{0,2,3}?N，B選項錯誤；對于C選項，按照對應(yīng)的x→|x|，函數(shù)的值域為E＝{1,2}?N，C選項正確；對于D選項，按照對應(yīng)的x→x2＋1，函數(shù)的值域為E＝{2,5}?N，D選項錯誤.12345678910111213141516123456789101112131415165.設(shè)f：x→x2是集合A到集合B的函數(shù)，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是A.{1} B.{－1}C.{－1,1} D.{－1,0}√若集合A＝{－1,0}，則0∈A，但02?B.123456789101112131415166.(多選)下列四種說法中，正確的有A.函數(shù)值域中的每一個數(shù)，在定義域中都至少有一個數(shù)與之對應(yīng)B.函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合C.定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就確定了D.若函數(shù)的定義域中只含有一個元素，則值域中也只含有一個元素√由函數(shù)定義知，A，C，D正確，B不正確.√√123456789101112131415167.在一個展現(xiàn)人腦智力的綜藝節(jié)目中，一位參加節(jié)目的少年能將圓周率π準(zhǔn)確地記憶到小數(shù)點后面200位，更神奇的是，當(dāng)主持人說出小數(shù)點后面的位數(shù)時，這位少年都能準(zhǔn)確地說出該數(shù)位上的數(shù)字.如果記圓周率小數(shù)點后第n位上的數(shù)字為y，那么你認為：y_____(填“是”或“不是”)n的函數(shù)，理由是____________________________________.根據(jù)函數(shù)的定義可知，每一個圓周率上的數(shù)字n都對應(yīng)唯一的y，所以y是n的函數(shù).是每一個圓周率上的數(shù)字n都對應(yīng)唯一的y123456789101112131415168.如圖，表示函數(shù)關(guān)系的是________.(填序號)由于③中的2與1和3同時對應(yīng)，故③不是函數(shù)關(guān)系.①②④123456789101112131415169.根據(jù)圖中的函數(shù)圖象，求出函數(shù)的定義域和值域.圖(1)，定義域為{x|0≤x<3}，值域為{y|0≤y≤1或y＝2}；圖(2)，定義域為{x|x≥－2}，值域為{y|y≥0}；圖(3)，定義域為R，值域為{y|－1≤y≤1}.1234567891011121314151610.判斷下列對應(yīng)關(guān)系是否為從A到B的函數(shù)：A＝B＝N*，對任意的x∈A，x→|x－3|.考慮輸入值為3時，即當(dāng)x＝3時輸出值y由y＝|x－3|給出，得y＝0.這個輸入值沒有輸出值與之對應(yīng)，所以x→|x－3|(y＝|x－3|)不是從A到B的函數(shù).12345678910111213141516綜合運用11.已知集合A＝{1,2，k}，B＝{4,7,10}，x∈A，y∈B，使B中元素y和A中元素x一一對應(yīng)，對應(yīng)關(guān)系為y＝3x＋1，則k的值為A.5

B.4

C.3

D.2√根據(jù)對應(yīng)關(guān)系為y＝3x＋1,3×1＋1＝4,3×2＋1＝7，由題意可得3×k＋1＝3k＋1＝10，所以k＝3.1234567891011121314151612.若兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系相同，值域也相同，但定義域不同，則稱這兩個函數(shù)為同族函數(shù)，那么與函數(shù)y＝x2，x∈{－1,0,1,2}為同族函數(shù)的有A.5個

B.6個

C.7個

D.8個√由題意知同族函數(shù)是只有定義域不同的函數(shù)，函數(shù)解析式為y＝x2，值域為{0,1,4}，定義域中0是肯定有的，正、負1至少含有一個，正、負2至少含有一個，它的定義域可以是{0,1,2}，{0,1，－2}，{0，－1,2}，{0，－1，－2}，{0,1，－2,2}，{0，－1，－2,2}，{0,1，－1，－2}，{0,1，－1,2，－2}，共有8種不同的情況.1234567891011121314151613.下列構(gòu)建的問題情境中的變量關(guān)系不可以用同一個解析式來描述的是A.某商品的售價為2(單位：元/件)，銷量為x(單位：件)，銷售額為y(單位：元)，那么

y＝2x.其中，x的取值范圍是A＝N，y的取值范圍是B＝

.對應(yīng)關(guān)系f把商品的每一

個銷量x，對應(yīng)到唯一確定的銷售額2xB.把y＝2x(x∈N)看成是一次函數(shù)，那么它的定義域是N，值域是B＝

.對應(yīng)關(guān)系f把

定義域中的任意一個數(shù)x，對應(yīng)到B中唯一確定的數(shù)2xC.某物體做勻速運動，速度為2(單位：米/秒)，運動時間為x(單位：秒)，路程為y(單位：米)，

那么y＝2x.其中，x的取值范圍是A＝{x|x≥0}，y的取值范圍是B＝{y|y≥0}.對應(yīng)關(guān)系f把物

體的每個運動時間x，對應(yīng)到唯一確定的路程2xD.某品牌汽車的裝貨量為2(單位：噸/臺)，汽車數(shù)量為t(單位：臺)，運載量為z(單位：噸)，

那么z＝2t，其中，t的取值范圍是A＝N，z的取值范圍是B＝

.對應(yīng)關(guān)系f把每一

個汽車數(shù)量t，對應(yīng)到唯一確定的運載量2t√1