離散數(shù)學(xué)課程教改的研究與實(shí)踐

離散數(shù)學(xué)課程教改的研究與實(shí)踐

離散數(shù)學(xué)課程教改的研究與實(shí)踐離散數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的理論基礎(chǔ)，它以研究離散量的結(jié)構(gòu)及相互間的關(guān)系為主要目標(biāo)，其研究對(duì)象一般是有限個(gè)元素或可數(shù)個(gè)元素，因此它充分描述了計(jì)算機(jī)科學(xué)離散性的特點(diǎn)。

離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)各專業(yè)的核心、骨干課程，它不僅為后續(xù)課，如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、編譯原理、操作系統(tǒng)、數(shù)據(jù)庫原理和人工智能等，提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；也是組合數(shù)學(xué)、遺傳算法、數(shù)據(jù)挖掘等計(jì)算機(jī)碩士研究生階段相關(guān)課程的重要基礎(chǔ)。無論從計(jì)算機(jī)學(xué)科發(fā)展的過去、現(xiàn)在和未來看，《離散數(shù)學(xué)》都是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)不可缺少的重要組成部分。這門課程有著其它課程不可替代的地位和作用，是一門承前啟后的課程，既是基礎(chǔ)，又有發(fā)展。而且通過學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)，可以培養(yǎng)和提高學(xué)生的抽象思維與邏輯推理能力，為學(xué)生今后繼續(xù)學(xué)習(xí)和科研工作，打下必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。但是，在長期教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生普遍認(rèn)為該課程是一門很難學(xué)的課程。主要的困難是概念多、理論性強(qiáng)、高度抽象、不易理解，學(xué)生更看不到本課程的應(yīng)用前景，沒有學(xué)習(xí)興趣。因此，本文結(jié)合筆者近年來從事離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)的實(shí)踐，從如何提高離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平，激發(fā)學(xué)生對(duì)本課程的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)本課程的積極性出發(fā)，就教學(xué)觀念、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)手段等方面的改革進(jìn)行了一些探討。

一、轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，樹立理論應(yīng)用意識(shí)

在以往的教學(xué)中，離散數(shù)學(xué)總是按純數(shù)學(xué)的形式來講授，把一個(gè)個(gè)概念、定理和證明很生硬的講給學(xué)生，學(xué)生聽起來覺得枯燥無味，更看不到它在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的具體應(yīng)用，總有學(xué)生問學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)有什么用處。因此，有些學(xué)生不重視本課程的學(xué)習(xí)，只注重實(shí)際編程能力的訓(xùn)練，認(rèn)為只要有較強(qiáng)的編程能力，以后就可以找到好的工作。這主要是教師沒有起到很好的引導(dǎo)作用，不能與計(jì)算機(jī)學(xué)科很好地結(jié)合起來，使學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)這門課沒有一個(gè)真正的認(rèn)識(shí)，不能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。因此，首要任務(wù)是要求教師改變教學(xué)觀念。

在教學(xué)中，要注重應(yīng)用型人才的培養(yǎng)，注重理論和實(shí)際相結(jié)合，遵循“以教師為主導(dǎo)、以學(xué)生為主體”的原則，以提高學(xué)生素質(zhì)為根本宗旨，把握學(xué)科教育本質(zhì)和目的，以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和學(xué)習(xí)能力、實(shí)踐能力為重點(diǎn)，這也是由計(jì)算機(jī)科學(xué)知識(shí)發(fā)展更新快、學(xué)科交叉程度高、應(yīng)用面廣的特點(diǎn)所決定的[1]。這就要求教師積極引導(dǎo)學(xué)生注重基礎(chǔ)理論的學(xué)習(xí)，在上第一堂課時(shí)，就要強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的重要性，告訴學(xué)生什么是離散數(shù)學(xué)，實(shí)際上它就是將計(jì)算機(jī)科學(xué)中所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)抽象出來形成的一門理論。要給學(xué)生強(qiáng)調(diào)它的每一章內(nèi)容與相關(guān)的哪一門后繼課程有聯(lián)系，如謂詞邏輯在人工智能知識(shí)表示中的應(yīng)用，關(guān)系數(shù)據(jù)庫中要用到二元關(guān)系的相關(guān)理論，代數(shù)系統(tǒng)中的域在網(wǎng)絡(luò)安全密鑰加密中的應(yīng)用，以及在數(shù)據(jù)挖掘中用到的格的知識(shí)，還有圖論的相關(guān)理論在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用等。還可以舉一些實(shí)際的例子，比如學(xué)生熟悉的圖靈機(jī)就用到離散數(shù)學(xué)中的知識(shí)。這樣可以使學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)首先有一個(gè)感性認(rèn)識(shí)，引起他們思想上的重視，讓他們認(rèn)識(shí)到學(xué)好這門課是非常有用的。此外，在后續(xù)的教學(xué)過程中，應(yīng)穿插介紹一些在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)，將之與離散數(shù)學(xué)理論結(jié)合介紹給學(xué)生，使學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)中逐漸體會(huì)到這一課程的重要性，產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣，主動(dòng)地進(jìn)行學(xué)習(xí)。

二、教學(xué)內(nèi)容的整合與優(yōu)化

目前，教學(xué)內(nèi)容改革常見的形式為對(duì)課程教學(xué)內(nèi)容刪減、壓縮或整合，但要對(duì)傳統(tǒng)的比較完善的離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理的改革“手術(shù)”，使之具有較強(qiáng)的可操作性，從而，達(dá)到理想的效果有一定的困難。因此，保持離散數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容和特色，在概念描述、定理形式以及相互關(guān)系上進(jìn)行提煉、凝結(jié)，既可以給常規(guī)教學(xué)結(jié)構(gòu)的改革提供一個(gè)可行的時(shí)間空間，又可以使學(xué)生以精煉而有用的工具去進(jìn)行創(chuàng)造性學(xué)習(xí)活動(dòng)[2]。

傳統(tǒng)的離散數(shù)學(xué)包括四個(gè)知識(shí)模塊：數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)系統(tǒng)和圖論。有個(gè)別書加上一章或每一章加上一節(jié)離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用，也有個(gè)別書加上一些組合數(shù)學(xué)和形式語言與自動(dòng)機(jī)的內(nèi)容，但核心內(nèi)容還是四大塊。這四大塊實(shí)際上可以分別對(duì)應(yīng)一門獨(dú)立的課程，但如果分開來講，容易造成教學(xué)內(nèi)容繁多與教學(xué)課時(shí)數(shù)偏少相矛盾的問題，使教學(xué)過程具有很大的難度，同時(shí)為兼顧計(jì)算機(jī)科學(xué)和計(jì)算機(jī)應(yīng)用所涉及的兩個(gè)方面的離散結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型，對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行篩選、組合是必要的?？蛇m當(dāng)增加組合論和計(jì)算理論的基礎(chǔ)知識(shí)，適度限制部分傳統(tǒng)內(nèi)容的深度，精簡數(shù)理邏輯和集合論的部分內(nèi)容，較大幅度地改革教學(xué)內(nèi)容。同時(shí)對(duì)教學(xué)內(nèi)容編排進(jìn)行優(yōu)化，把教學(xué)過程設(shè)計(jì)為精講、略講、討論和自學(xué)四個(gè)層次。

此外，在講每一部分時(shí)，可以先介紹相關(guān)的背景和歷史發(fā)展，講一些輕松的故事，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，比如著名的蘇哥拉底三段論、哥尼斯堡七橋問題、周游世界問題、一筆畫問題等等，但對(duì)于這些問題的介紹不能停留在故事的趣味性上，應(yīng)當(dāng)從故事入手，提出有思考性的問題，再促進(jìn)和啟發(fā)學(xué)生思維的積極性，這樣就能達(dá)到較好的效果[3]。另外，在每一章后面還應(yīng)增加一些編程的練習(xí)，比如上機(jī)實(shí)現(xiàn)通過求真值表判斷公式的類型，利用矩陣判斷關(guān)系的對(duì)稱性、根據(jù)輸入的代數(shù)系統(tǒng)運(yùn)算表，求出幺元和零元，指出是否滿足交換律等等，不僅能使學(xué)生提高動(dòng)手能力，還能使學(xué)生對(duì)相關(guān)的知識(shí)有更好的理解。三、教學(xué)方法與教學(xué)手段的改革

本課程教學(xué)致力于培養(yǎng)理論基礎(chǔ)扎實(shí)、學(xué)習(xí)研究興趣濃厚、具備計(jì)算機(jī)知識(shí)背景和研究能力的創(chuàng)新型人才。為此，在教學(xué)方法與教學(xué)手段上非常重視以多樣化的教學(xué)方式提升學(xué)生的學(xué)習(xí)研究興趣、鼓勵(lì)學(xué)生開放式、自主學(xué)習(xí)，注重經(jīng)典理論與計(jì)算機(jī)科學(xué)中具體應(yīng)用的有機(jī)融合，真正使教師的引導(dǎo)、傳授與學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和研究緊密結(jié)合，使受教育者的知識(shí)學(xué)習(xí)與能力提高互動(dòng)發(fā)展。

在課程設(shè)計(jì)上，結(jié)合課程特點(diǎn)突出離散數(shù)學(xué)的理論應(yīng)用特色，將抽象的理論與相應(yīng)層面上具體的、感性的問題結(jié)合起來，既可加深學(xué)生對(duì)理論的認(rèn)識(shí)，又通過對(duì)具體問題的處理，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用理論分析解決具體問題的能力，有益于學(xué)生創(chuàng)造思維能力的訓(xùn)練和培養(yǎng)[2]。

在具體操作上，主要從以下幾方面著手實(shí)施：

（一）基礎(chǔ)理論與學(xué)科應(yīng)用相結(jié)合

在離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)過程中，應(yīng)該在講解分析理論基礎(chǔ)上結(jié)合學(xué)科應(yīng)用，這無論從學(xué)科的本質(zhì)特點(diǎn)，還是利于學(xué)生的學(xué)習(xí)掌握考慮，是均必須注意到的一點(diǎn)[1]。為此，我們結(jié)合當(dāng)今計(jì)算機(jī)技術(shù)的最新發(fā)展動(dòng)態(tài)，適當(dāng)增加離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用的內(nèi)容，如謂詞邏輯在人工智能知識(shí)表示中的應(yīng)用，代數(shù)系統(tǒng)中的域在網(wǎng)絡(luò)安全密鑰加密中的應(yīng)用等。并且在課堂上還引入了近年來在國內(nèi)剛剛興起的，備受大學(xué)生關(guān)注和歡迎的大學(xué)生程序設(shè)計(jì)大賽以及數(shù)學(xué)建模競賽中的經(jīng)典題目分析與實(shí)際案例，使得算法理論的證明和演算能和大學(xué)生程序設(shè)計(jì)大賽、數(shù)學(xué)建模競賽相結(jié)合，使學(xué)生能較好地理解和掌握各種離散結(jié)構(gòu)和離散數(shù)學(xué)模型，更好地解決實(shí)際問題。

（二）采用多媒體教學(xué)和網(wǎng)絡(luò)輔助教學(xué)系統(tǒng)

我們自主開發(fā)的高水平多媒體課件和電子教案為課堂教學(xué)起到了很好的輔助作用。根據(jù)課程特點(diǎn)，采用行之有效的多媒體教學(xué)，通過文字、圖像、動(dòng)畫、視頻，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，不僅增加課堂信息量，還提高學(xué)生的形象思維及創(chuàng)新思維能力。當(dāng)然，對(duì)于推理證明以及演算的部分，還是應(yīng)該用板書的形式，只有將傳統(tǒng)與現(xiàn)代手段有機(jī)的結(jié)合，才能更好地為教學(xué)服務(wù)。此外，已經(jīng)建立的以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的自主學(xué)習(xí)的交互式網(wǎng)絡(luò)教學(xué)環(huán)境，通過網(wǎng)絡(luò)提供的大量資源，如教學(xué)大綱、電子教案、習(xí)題庫、試卷庫、實(shí)踐指導(dǎo)、多媒體課件、教學(xué)錄像、參考文獻(xiàn)目錄等，有效地拓展了理論課的教學(xué)空間，使離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容更豐富，教學(xué)方式更靈活，教學(xué)手段更先進(jìn)，更有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣及學(xué)生個(gè)性化發(fā)展。另外，網(wǎng)站設(shè)有師生論壇，可以促進(jìn)學(xué)生通過網(wǎng)絡(luò)環(huán)節(jié)交流學(xué)習(xí)心得，上傳資料共享，并與老師進(jìn)行網(wǎng)上討論，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性及學(xué)習(xí)的實(shí)效性。

（三）改革考試方式，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性和主動(dòng)性

為了更好地檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，課程組通過長期對(duì)考試方式的探索和研究，采用理論知識(shí)考核、實(shí)踐項(xiàng)目考核和創(chuàng)新能力考核相結(jié)合的方式，不斷地引導(dǎo)學(xué)生改進(jìn)學(xué)習(xí)方法。為避免學(xué)生考前臨時(shí)突擊，放松平時(shí)的學(xué)習(xí)的情形出現(xiàn)，我們采用閉卷考試、平時(shí)成績和實(shí)驗(yàn)成績相結(jié)合的方式進(jìn)行考核，卷面成績占總成績70%，平時(shí)作業(yè)成績占10%，實(shí)踐和學(xué)生創(chuàng)新能力考核占20%。上述考核評(píng)價(jià)方式使學(xué)生成績考核遍布整個(gè)教學(xué)過程，促使學(xué)生重視每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程變成循序漸進(jìn)的過程避免了學(xué)生突擊應(yīng)付考試的現(xiàn)象，同時(shí)提高了學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)的自覺性和主動(dòng)性。并且在學(xué)完每一部分后還增加了課堂小競賽，采用分組搶答的形式，既能使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)及時(shí)復(fù)習(xí)，又培養(yǎng)了團(tuán)隊(duì)合作精神，學(xué)生興趣很高。

（四）增加實(shí)踐環(huán)節(jié)

1997年之前，我們開設(shè)了離散數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，設(shè)計(jì)了數(shù)理邏輯推演系統(tǒng)，輔助數(shù)理邏輯部分的學(xué)習(xí)。簡單結(jié)合離散數(shù)學(xué)與其他計(jì)算機(jī)學(xué)科，通過學(xué)生的課程實(shí)踐，能夠培養(yǎng)學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)課程的興趣和動(dòng)手能力，經(jīng)過一段時(shí)間的觀察，我們發(fā)現(xiàn)這類傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)并沒有很好地鍛煉學(xué)生的抽象思維能力，而主要是鍛煉了學(xué)生的動(dòng)手編程能力，為此我們對(duì)離散數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容不斷建設(shè)、完善和更新，精心設(shè)計(jì)實(shí)踐環(huán)節(jié)，將創(chuàng)新性綜合實(shí)驗(yàn)、研究性大作業(yè)納入該課程考核之中，這是離散數(shù)學(xué)教學(xué)中的創(chuàng)新性工作，是將枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為興趣學(xué)習(xí)的創(chuàng)造性工作。

近年來，我們注重培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際動(dòng)手能力，在課堂上引入ACM、ITAT和大學(xué)生數(shù)學(xué)建模等樣例，比如最短路徑算法：dijstra實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用習(xí)題，floyd實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用，最小生成樹算法：prim實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用習(xí)題，kruscal實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用習(xí)題（樸素實(shí)現(xiàn)及堆優(yōu)化）等。根據(jù)學(xué)生自己的興趣、愛好，知識(shí)結(jié)構(gòu)的等自由結(jié)合為3人為一個(gè)小組，根據(jù)具體問題，利用相關(guān)理論知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，構(gòu)思可求解問題的算法流程，再將算法編寫成相應(yīng)的可執(zhí)行的程序，再編寫一定的測試用例中來精確地評(píng)價(jià)程序的可運(yùn)行性。教師主要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，注重綜合知識(shí)的靈活運(yùn)用和邊界條件的發(fā)掘，以及實(shí)踐項(xiàng)目過程中引導(dǎo)學(xué)生能夠?qū)ψ约航⒌哪Ｐ唾|(zhì)疑、解答和優(yōu)化問題。通過這些實(shí)踐項(xiàng)目的開設(shè)，讓學(xué)生了解了離散數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的具體應(yīng)用和重要性，充分體會(huì)到離散數(shù)學(xué)這門課程的無限魅力和應(yīng)用價(jià)值，幫助學(xué)生提高了學(xué)習(xí)興趣和研究興趣。

（五）開設(shè)離散數(shù)學(xué)系列專題講座

根據(jù)離散數(shù)學(xué)課程內(nèi)容及在今后學(xué)科中的應(yīng)用，可以邀