高中數(shù)學(xué)圓錐曲線結(jié)論大題總結(jié)

圓錐曲線常見做題方法與步驟

結(jié)論1:直線與橢圓方程聯(lián)立公式化簡步驟(結(jié)果背誦下來，做題效果最佳)

第一步：代入消元

y=kx+m

聯(lián)立/丁

b+F=1

2122

后得到：(/?2+4/2)x+2kmdx+anr-ab-Q

第二步：計(jì)算判別式

A=(2km(iy-4s2+a2k2)(a2m2-a2b2)-4a2b2(.h2+a2k2-nr)>0

可直接利用結(jié)論：A>0=>Z?2+6f2/:2-m2>0(范圍、最值問題)

第三步：根與系數(shù)關(guān)系表達(dá)式

-2kmcra1nr-a2b2

1-b2+a2k2'-b2+a2k2

-2A772(T

第四步：利用％+工2=7；：2；2，計(jì)算M+必

yx+y2=kx}+m+kx1+m=k{xx+x2）+2m=-----

2222

心WE-2km寸am-ah,,_

第五步：利用％+工2=西滔記斗^2=丁+〃2左2計(jì)算y.火

22

y{y2=（依+mXkx2-^m）=kxlx2^mk（xl+x2）+/n=———----------

第六步：利用為+%=*霽y+%=吊計(jì)算弦中點(diǎn)（警，干）

(-kmcrmi/

T）

第七步：利用△=4。％2（。2+〃2女2一加2）計(jì)算弦長|AB|和AOAB的面積

71+A:2VA_2ab^\+k2yj4a2b2(b2+a1k'—nr)_2ab^1+k2h2+a2k2-m2

b1+a2k2b1+crk2b2+a2k2

進(jìn)而計(jì)算原點(diǎn)(0,0)到直線y=kx+b的距離d=J-L.

Jl+公

_1|m|2ab^\+k-y/b2+a2k2-nv_ab\m\y/b2+a2k2-nr

2222222

3—2?71+kb+ak―b+ak

a2m1-a~b~-k2a2b2+m2b2

第八步:利用布2=bya五%%=_從+滔家一計(jì)算xtx2+yty2

，,

有以下題設(shè)可以利用%々+乂必=0進(jìn)而求解，以下。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是圓錐曲線弦4B的

中點(diǎn)

1、以AB為直徑的圓過原點(diǎn)

2、。4_108或者。4_108或者0408=0

3、PO=-AB

2

4、AP=PB,S.|OP\=\AP\=\PB\

BOBAAOA/?

5、AP^AAB,OPAB^O,且IOPI

\BA\AB

有以下結(jié)論可利用X1%2+y，2>0求相應(yīng)的取值范圍

1、NA08為銳角

2、AB|2

2222

_,止hiea2m2—a2b2-ka~b+mbz、/、

第九步：利用=/：）2+a21,2,%=—/+2kl—計(jì)算（％-4）（々一々）+必必

22

例題：(天一大聯(lián)考2020屆高中畢業(yè)班階段性測試)已知橢圓與+木＞=19＞匕〉0)的長

軸長與焦距分別為方程尤2-6x+8=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/過點(diǎn)M(-4,0)且與橢圓相交于A,8兩點(diǎn)，尸是橢圓的左焦點(diǎn)，當(dāng)AA8尸面

積最大是，求直線/的斜率。

結(jié)論2:直線過定點(diǎn)模型總結(jié)

y=kx是過定點(diǎn)0(0,0)的直線系，y^kx+h是過定點(diǎn)(0,。)的直線系，

y=%(%-〃)+人是過定點(diǎn)(a,/?)的直線系。

例題：不論取什么實(shí)數(shù)，直線(2/篦-1)x+Q篦+3)y—Q篦-11)=0,都過一個(gè)定點(diǎn)，求出

這個(gè)定點(diǎn).

結(jié)論3:阿波羅尼斯圓

PA

在平面內(nèi)給定兩個(gè)定點(diǎn)A,B,動(dòng)點(diǎn)P滿足而=4,當(dāng)4＞()且時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是圓,

稱之為阿波羅尼斯圓。(丸=1時(shí)P點(diǎn)的軌跡是線段AB的垂直平分線)

例題：滿足AB=2,AC=&BC的A4BC的面積最大值是

結(jié)論4：橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式

片，鳥為橢圓：■+表■=1(。>。>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則公尸耳乃的面

積為s=C|匕|=〃tan”(a=ZFiPF2)利用余弦定理證明

r22

例1：已知P滿足標(biāo)+￡v=1上的一點(diǎn)，月,工是其焦點(diǎn)，若NFFB=60P,則AP4B

的面積為。

例2：已知P滿足工+工=1上的一點(diǎn)，G，鳥是其焦點(diǎn)，若萼望「=■!■,則△尸片鳥

259'|「用.|呷2

的面積為。

結(jié)論5：雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積公式

22

片，工為橢圓=-與=1(。>〃>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則APE工的面

a~b

b2

積為S=c||=-----(a=ZF}PF2)利用余弦定理證明

tan—

2

例1：已知戶滿足亍-丁=1上的一點(diǎn)，耳瑪是其兩焦點(diǎn)，若△月耳工的面積為1,則

麗?麗的值是

例2:已知P為雙曲線V-y2=i上的一點(diǎn)，月,工是其兩焦點(diǎn)，若N《PE=60P,則

\PF,\-\PF2\的值是。

結(jié)論6:橢圓中的兩大張角

1.耳,工為橢圓江+區(qū)=l(a>b>0)的長軸的兩頂點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P為橢圓

。2b2

短軸的端點(diǎn)時(shí)，NF/每最大。

2.AB為橢圓二-與=1（。＞6＞0）的長軸的兩頂點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P為橢圓

a~b~

短軸的端點(diǎn)時(shí)，最大。

/V2

例1：已知耳，與為橢圓—+J=1上的兩焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P,使尸6=6",

ab~

則橢圓離心率的取值范圍為。

22

例2：已知4,8為橢圓j+4=1為其長軸的兩頂點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使

a"b~

NAPB=120°,則橢圓離心率的取值范圍為。

結(jié)論7:橢圓的第三定義

22

已知橢圓C的方程為0-與=1（。＞方〉0）,過原點(diǎn)的直線/交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)，M

a~b~

b2

為橢圓上異于P,Q的任一點(diǎn)，則%-KMQ=--.

例I：橢圓C：亍+q=1的左右頂點(diǎn)分別為4,4,點(diǎn)P在C上且抬的斜率的取值范

圍為[-2,-1],那么直線P\斜率的取值范圍是o

22

例2：橢圓C：=+4=1的左右頂點(diǎn)分別為A，A,,M,N是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩

a'b~

點(diǎn)，4M,BN的斜率分別為匕M2,且2#270,若|kj+|k2l的最小值為1,則橢圓的

離心率為。

結(jié)論8:點(diǎn)差法快速搞定中點(diǎn)、斜率問題（舍而不求）

若A（M，M）,8（々,％）是橢圓0+"r=Ka>b>°）上不重合的兩點(diǎn)，則

（22

工+竺=1

'"",兩式相減得（F+“2）合!一X?）+（"+”1*%）=0,江1&是直線

2

Ky?。b…2

---T---2--I

AB的斜率k,（七","&）是線段AB的中點(diǎn)（x0,y0）,化簡可得

史包??絲》=—號(hào)="/=一與，此種方法為點(diǎn)差法。

如果題設(shè)中出現(xiàn)弦的中點(diǎn)和弦的斜率問題，首選點(diǎn)差法

22

若A8是橢圓二+與=1（。>匕>0）上不垂直于x軸的兩點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，。為

ah

,2

橢圓的中心，則直線AB與0P的斜率之積為定值-勺。

a~

例題：己知橢圓C:二+丁=1,直線/：y=^+m&工0,機(jī)。0）與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),

4

線段A8的中點(diǎn)為M,點(diǎn)。坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：QM的斜率與直線/的斜率之積為定值。

結(jié)論9：蒙日?qǐng)A及其應(yīng)用

22

（1）過橢圓二+七=Ka>b>0）外一點(diǎn)4島，為），作橢圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為4B,

ah

如果RA_L依，則P的軌跡方程為V+;/=/+h2

（2）過拋物線y2=2pHp>0）外一點(diǎn)為），作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為4B,

如果R4_LPB,則在x=一"|上

例1：已知橢圓三+與=1（〃>〃〉0）的一個(gè)焦點(diǎn)為（石,0）,離心率為好

a-b~3

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）若動(dòng)點(diǎn)P（玉）,％）為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓的兩條切線相互垂直，求P的軌跡方

程。

例2：給定橢圓C：^+^=Ka>b>0）,稱圓心在原點(diǎn)0,半徑為正壽的圓是橢

ab"

圓C的“準(zhǔn)圓”，若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F（V2,0），其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為V3。

（1）求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程

（2）點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的切線人乙，交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)”,N

1）證明：當(dāng)點(diǎn)P為“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸交點(diǎn)時(shí)，/,1/2；

2）求證：線段MN的長為定值。

結(jié)論10:圓錐曲線第二定義解決焦點(diǎn)弦比例問題

設(shè)圓錐曲線C的焦點(diǎn)F在x軸上，過點(diǎn)F且斜率為左的直線/角曲線C于A,B兩點(diǎn)，若

則6=J1+F|金|=Jl+tan2e|金|

2+12+1

22n

例1：已知橢圓力■+方=1（。>。>0）的離心率為修，過右焦點(diǎn)F且斜率為袱>0）的直

線與C交于A,B兩點(diǎn)，若衣=3而，則k=.

22

例2：已知雙曲線j-4=Ka>b>0）的右焦點(diǎn)為F,過F且斜率為6的直線交C于A.B

ab-

兩點(diǎn)，若衣=4FB,則C的離心率為。

例3：已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F,過點(diǎn)F的直線/交拋物線于M,N兩點(diǎn)，且

IMF|=21NF|,則直線/的斜率為。

結(jié)論11:

1、圓的切線方程

（1）圓V+V=R2上一點(diǎn)p（x0,為）處的切線方程是%。

（2）圓，+y2=爐外一點(diǎn)P（毛,%）所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是書）+=R2

2、橢圓的切線方程

22

（1）橢圓=+與=1上一點(diǎn)P（x0,y0）處的切線方程是弋+*=1

ab~ab

22,

（2）橢圓三+與=1外一點(diǎn)P（x0,為）所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是岑+誓=1

ab"ab~

22

例題：已知橢圓：■+方=1（。＞0）和圓：x2+y2-b2,過橢圓上一點(diǎn)P引圓0

的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B

（1）若圓0過橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的離心率

（2）設(shè)直線AB上與x軸y軸分別交于M,N,求證：_匚+/_為定值

|ON|\OM\

3、拋物線

（1）點(diǎn)〃（玉）,為）在拋物線上，過點(diǎn)”（后,為）作拋物線的切線，則切線方程為

%y=p(x+Xo)

（2）點(diǎn)”（玉）,％）在拋物線外，過點(diǎn)M（x°，為）作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A國

則切點(diǎn)弦AB的直線方程為為y=〃（x+Xo）

4、與拋物線相關(guān)的大題?？冀Y(jié)論

點(diǎn)C（Xo，y0）在拋物線V=2px（〃>0）的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)時(shí)（%,為）作拋物線的兩條切線，

切點(diǎn)分別為A,6

結(jié)論1：的斜率為4=3-

y+%

結(jié)論2：若AB的中點(diǎn)為。，則CD〃x軸

結(jié)論3：CFLAB

結(jié)論4：4B過焦點(diǎn)P

結(jié)論5：CA±CB

證明如下：

結(jié)論1：設(shè)A(X1,y),B(x2,y2)

%一.%_必一y_%一必2P

直線的斜率Z"

2

x2-%1%_姬(乂一%乂乂+%)%+y

2P2P2P

結(jié)論2：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（%,%），過AC%%）做與V=2px（p>0）相切的直線/

對(duì)f=2px求導(dǎo)得：2yy'=2p,則y'=￡

y

直線/的斜率為4,所以/的方程為y-％=2（x-占）

2

??yy-yj=px-內(nèi)

又丁px=A

2

2

2Vi

??必'一%=內(nèi)-卞'

2

+〃x=o

2

又因?yàn)橹本€/經(jīng)過C（x0,%）點(diǎn)，所以5~-%乂+PM=0

2

設(shè)6（工2,%），同理可得：修-其）%+〃毛=0

/.yt,y2為方程5-y（）y+p%=0的兩根

X+%

乂+%=2%又；D為AB的中點(diǎn),12'2

，C點(diǎn)的縱坐標(biāo)與D點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等

C￡>〃x軸

結(jié)論3：由結(jié)論2可知C點(diǎn)坐標(biāo)（-4,上士耳）又..1點(diǎn)坐標(biāo)（K,o）

222

X+%

.??CF所在直線的斜率kCF=—2—=五&

_P_P-2p

22

由結(jié)論I可知AB的斜率kAlj=--——所以kAB-kCF-—————=—1

%+y%+M-2P

：.CFLAB

結(jié)論4：因?yàn)镃（-多y”），A（X|,y）,B（x2,y2）

對(duì)y2=2〃x求導(dǎo)得：2yy'=2p,則y'='

y

.?.直線/的斜率為《，所以/的方程為y-M=K（x—xJ

yM

?2

??xy-%=px-PN

又：y『=2pN

y、y—2p%=PX—PN

y\y=px+p\

22

又因?yàn)橹本€AB經(jīng)過C（-5QM）點(diǎn)，/.y}yM=--+px}同理：y2yMn-g+PW

二A（X|,y）,8（七,%）在直線3%/=-￡-+P龍上，二直線AB過（T，0）點(diǎn)

結(jié)論5：設(shè)。（4,加），CA