湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第2章平面解析幾何初步2-3-2兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)課件

1.求兩相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo),其關(guān)鍵是解方程組,解二元一次方程組的常用方法有

代入消元法和加減消元法.(1)若一條直線的方程是斜截式,則常應(yīng)用代入消元法解方程組.(2)若直線的方程都是一般式,則常應(yīng)用加減消元法解方程組.2.設(shè)直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全為0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全為0),則過l1,l2交

點(diǎn)的直線方程可設(shè)為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ為參數(shù)),然后根據(jù)條件求待定系數(shù).2.3.2兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)1|

兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)1.利用方程組解的個數(shù)可以判斷兩直線的位置關(guān)系,但是由于運(yùn)算量較大,一般較

少使用.2.兩條直線相交的判定方法:①聯(lián)立直線方程組成方程組,并解方程組,若有一組解,

則兩直線相交.②兩直線斜率都存在且斜率不相等.③若兩條直線的方程分別

是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則l1與l2相交?A1B2-A2B1≠0.2

|兩條直線的位置關(guān)系與相應(yīng)方程組的解1.若兩直線的方程組成的方程組無解,則兩直線一定平行嗎?一定.2.若兩直線的方程組成的方程組有解,則兩直線一定相交嗎?不一定.兩直線的方程組成的方程組有無數(shù)組解時,兩直線重合.3.m為何值時,x-y+1=0與x-2my+3=0相交?m≠

.4.對于直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全為0)與直線l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全為0),當(dāng)

A1B2=A2B1時,直線l1與l2一定沒有交點(diǎn)嗎?不一定.當(dāng)A1B2=A2B1,且B1C2=B2C1時,方程組

有無數(shù)組解,從而直線l1與l2重合.知識辨析1.常規(guī)解法(方程組法):一般是先解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo),再結(jié)合其他條件求出直

線方程.2.特殊解法(直線系法):先設(shè)出過兩直線交點(diǎn)的直線方程,再結(jié)合條件利用待定系

數(shù)法求出參數(shù),最后確定直線方程.1求過兩條直線交點(diǎn)的直線方程的方法

典例經(jīng)過直線l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交點(diǎn),且經(jīng)過原點(diǎn)的直線方程是

.3x+19y=0解析

解法一:聯(lián)立

解得x=-

,y=

.所以直線l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為

.故過點(diǎn)

和原點(diǎn)的直線方程為y=-

x,即3x+19y=0.解法二:設(shè)直線方程為x-3y+4+λ(2x+y+5)=0(λ∈R),因?yàn)橹本€過原點(diǎn),所以將(0,0)代入,得4+5λ=0,解得λ=-

,所以所求直線方程為y=-

x,即3x+19y=0.1.將直線方程轉(zhuǎn)化為y-y0=k(x-x0)的形式,則直線必過定點(diǎn)(x0,y0).2.應(yīng)用分離參數(shù)的方法,將直線方程轉(zhuǎn)化為a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0(λ∈R),由

求出定點(diǎn)坐標(biāo).3.應(yīng)用特殊值法,給方程中的參數(shù)賦兩個特殊值,可得關(guān)于x,y的兩個方程,聯(lián)立方

程解出x,y的值即得定點(diǎn)的坐標(biāo).2求解直線過定點(diǎn)問題的方法

典例已知(k+1)x-(k-1)y-2k=0為直線l的方程,求證:無論k取何實(shí)數(shù),直線l過定點(diǎn),并求出這個定點(diǎn)坐標(biāo).思路點(diǎn)撥可用特殊值法,分別令k=0,1,將得到的直線方程聯(lián)立求得交點(diǎn)坐標(biāo),代

入驗(yàn)證即可;也可以利用共點(diǎn)直線系方程來求解.解析

解法一:對于方程(k+1)x-(k-1)·y-2k=0,令k=0,得x+y=0;令k=1,得2x-2=0.解方程組

得

所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1).將(1,-1)代入已知直線方程的左邊,得(k+1)-(k-1)·(-1)-2k=0.這表明無論k取何實(shí)數(shù),直線l過定點(diǎn)(1,-1).解法二:整理直線l的方程,得(x+y)+k(x-y-2)=0,無論k取何實(shí)數(shù),直線l的方程為直線

系l1+λl2=0的形式,因此直線l過定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組

的解,解方程組得

∴無論k取何實(shí)數(shù),直線l過定點(diǎn)(1,-1).解法三:由直線l的方程得(k+1)x=(k-1)y+2k,變形為(k+1)x-(k+1)=(k-1)y+(k-1),即(k+

1)(x-1)+(1-k)(y+1)=0.直線l的方程為過定點(diǎn)(x0,y0)的直線系方程A(x-x0)+B(y-y0)=0的形式,所以直線l必過定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為方程組

的解,解方程組得

∴無論k取何實(shí)數(shù),直線l過定點(diǎn)(1,-1).1.對稱點(diǎn)的求法(1)求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)若點(diǎn)M(x1,y1)關(guān)于點(diǎn)P(a,b)的對稱點(diǎn)為N(x,y),則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得

(2)求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)M(x0,y0)關(guān)于直線l:Ax+By+C=0(A,B不同時為0)的對稱點(diǎn)為N(x,y),則點(diǎn)N

的坐標(biāo)可由方程組

求得.3常見的對稱問題及應(yīng)用2.在直線l上求一點(diǎn)P,使P到兩個定點(diǎn)的距離之和最小的方法(1)若兩個定點(diǎn)A,B在直線l的異側(cè),則當(dāng)點(diǎn)P為直線AB與l的交點(diǎn)時,點(diǎn)P到兩個定點(diǎn)

的距離之和最小,最小值為|AB|.如圖①,在直線l上任取一點(diǎn)P',則|P'A|+|P'B|≥|AB|=

|PA|+|PB|.(2)若兩個定點(diǎn)A,B在直線l的同側(cè),如圖②,則作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A',連接A'B

交直線l于點(diǎn)P,此時點(diǎn)P到兩個定點(diǎn)A,B的距離之和最小.

典例已知直線l:x-2y+8=0和兩點(diǎn)A(2,0),B(-2,-4),且點(diǎn)P在直線l上.(1)當(dāng)|PA|+|PB|最小時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為

;(2)當(dāng)||PB|-|PA||最大時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為

.思路點(diǎn)撥

(1)易知A,B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè),利用對稱性將同側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩

點(diǎn),利用兩點(diǎn)之間線段最短求最小值,進(jìn)而得出點(diǎn)P的坐標(biāo).(2)根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊,得出當(dāng)A,B,P三點(diǎn)共線時,||PB|-|PA||取得最大

值,進(jìn)而得出點(diǎn)P的坐標(biāo).(-2,3)(12,10)解析

(1)易知A,B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè).設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為A'(m,n),則

解得

故A'(-2,8).因?yàn)镻為直線l上一點(diǎn),所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,當(dāng)且僅當(dāng)B,P,A'三點(diǎn)共線

時,|PA|+|PB|取得最小值,最小值為|A'B|,此時點(diǎn)P為直線A'B與直線l的交點(diǎn).又直線

A'B的方程為x=-2,所以

所以

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,3).(2)易知A,B