（新教材人教A版2019）高中數(shù)學(xué)選修（共3冊8章）分章節(jié)基礎(chǔ)知識

第1章空間向量與立體幾何

§1.1空間向量及其運(yùn)算

1.空間向量基本概念

空間向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫作空間向量.

長度(模)：空間向量的大小叫作空間向量的長度或模，記為問或I而卜

零向量：長度為o的向量叫作零向量，記為0.

單位向量：模為1的向量叫作單位向量.

相反向量：與向量a長度相等而方向相反的向量，叫作a的相反向量，記為-a.

共線向量(平行向量)：如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫作

共線向量或平行向量.規(guī)定：零向量與任意向量平行.

相等向量：方向相同且模相等的向量叫作相等向量.

2.空間向量的線性運(yùn)算

空間向量的線性運(yùn)算包括加法、減法和數(shù)乘，其定義、畫法、運(yùn)算律等均與平面向量相同.

3.共線、共面向量基本定理

(1)直線2的方向向量：在直線/上取非零向量與向量3平行的非零向量稱為直線/的方向向量.

(2)共線向量基本定理：

對任意兩個空間向量入好(AH。)，allb的充要條件是存在實(shí)數(shù)X,使

(3)共面向量：

如果表示向量￡的有向線段。4所在的直線。4與直線/平行或重合，那么稱向量［平行于直線/.

如果直線0A平行于平面a或在平面a內(nèi)，那么稱向量。平行于平面a.

平行于同一個平面的向量，叫作共面向量.

(4)共面向量基本定理:如果兩個向量￡,b不共線，那么向量,與向量3,石共面的充要條件是存在唯一的

有序?qū)崝?shù)對使p=xa+)心.

4.空間向量的數(shù)量積

(1)向量的夾角：已知兩個非零向量在空間任取一點(diǎn)。，作=￡，礪=6,則NA05叫作向量

〃的夾角，記作<>.如果<。/〉=—，那么向量出匕互相垂直，記作aA-b.

2

(2)數(shù)量積定義：已知兩個非零向量。,5,則,帆cosv>叫作的數(shù)量積,記作。4.

即a,B二|tz||^|cos<a,^>.

(3)數(shù)量積的性質(zhì):

aab=O

a-a=aacos<a,a>=|?|.

(4)空間向量的數(shù)量積滿足如下的運(yùn)算律：

(匈石=電/)

ab=ba(交換律)：

^a+b^-c=a-c+b-c(分配律).

推論：僅+僅+,伍—4=同-

(5)向量的投影向量：

向量〃在向量B上的投影向量c：c=L|cos<a,b>X

11w

向量2在平面a內(nèi)的投影向量與向量［的夾角就是向量￡所在直線與平面a所成的角.

§1.2空間向量基本定理

1.空間向量基本定理

如果三個向量a,Ac不共面，那么對空間任意一個空間向量p.存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z).使得

p=xa+yb+zc.

2.基底與正交分解

(1)基底:如果三個向量a,B,c不共面，那么我們把｛a,反c)叫作空間的一個基底，。,瓦c都叫作基向量.

⑵正交分解：

如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直.且長度都為1.那么這個基底叫作單位正交基底，常用

｛/；/次｝表示.把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫作把空間向量進(jìn)行正交分解.

§1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1.空間直角坐標(biāo)系

在空間選定點(diǎn)0和一個單位正交基底｛；，1，目.

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较?、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸.y軸、Z軸，它

們都叫作坐標(biāo)軸.這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz,0叫作原點(diǎn)，i,都叫作坐標(biāo)向量，通過

每兩個坐標(biāo)軸的平面叫作坐標(biāo)平面.

空間直角坐標(biāo)系通常使用的都是右手直角坐標(biāo)系.

2.空間向量的坐標(biāo)

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中i,E為坐標(biāo)向量.給定任一向量。4,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(％,y,z),使

OA=xa+yh-\-zc.有序?qū)崝?shù)組(無,y,z)叫作向量0A在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo).記作

Q4=(x,y,z).(x,y,z)也叫點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo).記作A(x,y,z).

3.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

設(shè)。二(玉，%，4)石二(工2，%，22)，則：

(1)Q+B=(M+%,弘+%,Z]+Z2),

(2)a-b=(x[-y2,Zj-z2),

(3)Aa=(A%),Ayl,).

4.空間向量平行、垂直、模長、夾角的坐標(biāo)表示

(1)a!!b<=>a=2b<=>\=Ax2,yt=Ay2,Zj=Az2,

(2)a<=>a?b=0<^>xlx2-hyly2+zlz2=0,

+Y+4

a-h_x}x1-^y{y2+z]z2

同W&+y「+z「k+

5.空間兩點(diǎn)間的距離公式

設(shè)4&,y,zj,g(w,%，z?)，則《6=-X|)~+(%-X)-+)2-Z])~?

§1.4空間向量的應(yīng)用

1.平面的法向量：直線/J_a,取直線/的方向向量。，稱。為平面的法向量.

2.空間中直線、平面的平行

(1)線線平行：若晨%分別為直線44的方向向量，則

4/〃2<=>%//〃2<=>3AeR,使得%=4%.

(2)線面平行：設(shè)〃直線7的方向向量，〃是平面a的法向量，/aa,則

l//a<^>u-Lnou-n=0.

法2：在平面a內(nèi)取一個非零向量。，若存在實(shí)數(shù)工，使得〃=不。，且/a二，則///a.

法3：在平面a內(nèi)取兩個不共線向量ah若存在實(shí)數(shù)x,y,使得〃=xa+yB,且/(Za,則///a.

(3)面面平行：設(shè)勺，%分別是平面a,分的法向量，則

aI//30nJn03入GR,使得“=幾巧.

3.空間中直線、平面的垂直

(1)線線垂直：若用,的分別為直線/”乙的方向向量，則，=0.

(2)線面垂直：設(shè)4直線/的方向向量，幾是平面a的法向量，則/J_ao〃//〃<=>m4ER,使得

u=An.

法2：在平面a內(nèi)取兩個不共線向量。,力，若則/_Lcz.

(3)面面垂直：設(shè)〃],%分別是平面a,，的法向量，則。_L巧。勺?叼=0.

4.用空間向量研究距離、夾角問題

(1)點(diǎn)到直線的距離：已知是直線/上任意兩點(diǎn)，P是I外一點(diǎn)、,PQA.I,則點(diǎn)P到直線/的距

離為啥舸祠=配雷P

(2)求點(diǎn)到平面的距離

已知平面a的法向量為〃,A是平面a內(nèi)的任一點(diǎn)，P是平面a外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作則平面a的垂線/,

/4jp>7

交平面a于點(diǎn)Q,則點(diǎn)P到平面a的距離為PQ=—曰一.

H

(3)直線與直線的夾角

若勺,％分別為直線41,的方向向量，。為直線4,4的夾痢，則cos。=卜05<々，巧〉|=]^心:

'阿|?2

(4)直線與平面的夾角

設(shè)力是直線/的方向向量，n2是平面a的法向量，直線與平面的夾角為。.則

sind=|cos<nt,n2>|=TAA

(5)平面與平面的夾角

平面與平面的夾角：兩個平面相交形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90’的二面角稱為這

兩個平面的夾角.

若勺,％分別為平面。,尸的法向量，夕為平面a,/的夾角，則cosO=|cosv々，4>|=患

第2章直線和圓的方程

§2.1直線的傾斜角與斜率

1.傾斜角與斜率：

傾斜角：當(dāng)直線/與X軸相交時，以X軸為基準(zhǔn)，X軸正向和直線/向上的方向之間所成的

角a叫直線的傾斜角，取值范圍為0°<a<180°.

斜率：直線的傾斜甬a(chǎn)的正切值叫做這條直線的斜率.斜率通常用攵來表示.

斜率左公式：如果直線經(jīng)過兩點(diǎn)。工2），則k=tana=—~~-.

X2一否

直線的方向向量：斜率為攵的直線的一個方向向量是若斜率為上的直線的一個方向向

量的坐標(biāo)為（x,y）,則攵=）.

x

2.兩條直線平行和垂直的判定

斜率分別為kp42的兩條不重合的直線/|」2，有/]/〃2==&2.

斜率分別為給&2的兩條直線/1，4，有4JL，2=匕&2=一1?

§2.2直線的方程

1.直線方程：

⑴點(diǎn)斜式：y-y0=k{x-x0）（不能表示斜率不存在的直線）

⑵斜截式：y-kx+h（不能表示斜率不存在的直線，/?是直線與y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)（即y

軸上的截距））

⑶兩點(diǎn)式：——兌二.為一（西工y工%）

W一%

⑷截距式：—+-=1（是直線在軸上的截距，且QWO/WO）

ab

⑸一般式：Ax+By+C=O（A,3不同時為0）

2.給定直線方程判斷直線的位置關(guān)系：

(一)對于直線4:y=+:y=k?x+b?有:

k、—k，2

⑴/"〃2=<

h}A%

(2)/j和4相交。W&；

k-k

⑶/］和4重合=12;

［仇?=b2

(4)ZjJ_Z9o——1-

(二)對于直線/:Ac+3y+C=0：

(1)與直線/:Ar+8y+C=0垂直的一個向量為(A,B),平行的一個向量為(8,-A).

It:Ax+3］y+Ci=0,

(2)對于直線1,口?有：

12:A2X+B2y+C2=0

=

7//7JA^242為

U.C2#B2C,

ZI和，2相交=4B2w；

Z]_Ll2<=>A]A2+B]B2=0.

§2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

(1)兩點(diǎn)間距離公式:

已知6（芭,X）,￡（%2,%），則內(nèi)刃=J（尤2一尤1）2+（丁2一%）2?

（2）點(diǎn)到直線距離公式：

,|Ax0+Byn+Cl

P（Xo，%）到直線八Ax+8_y+C=。的距離d為：d=---/-

VA2+B2

(3)兩平行線間的距離公式:

/,：而+為+。1=0與/2：Ar+By+C?=0間的距離d為：d

§2.4圓與方程

1.圓的方程：

⑴標(biāo)準(zhǔn)方程：(x—a)2+(y-Z?)2=/(其中圓心為(。,/?),半徑為r.)

⑵一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.(D2+￡2-4F>0).

§2.5直線與圓、圓與圓的住置關(guān)系

1.直線Ax+8y+C=0與圓(x—a『+(y—份2=/的位置關(guān)系：(［表示圓心到直線的

距離)

d>r=相離oA<0；

d—ru>相切oA=0；

d<ro相交oA>0.

2.直線和圓相交弦長公式：/=2，戶一屋(”表示圓心到直線的距離)

3.兩圓位置關(guān)系：d=|aO21

(1)外離：d>R+r；

(2)外切：d=R-\-r；

(3)相交：R-r<d<R+r；

(4)內(nèi)切：d=R-r(/?>r)；

(5)內(nèi)含：d<R—r(/?>r.

第3章圓錐曲線的方程

§3.1橢圓

平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)耳、尸2的距離的和等于常數(shù)2a（大于|「g|=2c）的點(diǎn)的

定義

軌跡叫橢圓，兩個定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

不&

圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程號+a=1（。＞6＞。）

范圍-aKx〈〃且一匕<yWb匕且一

4（-么0）、A（a,O）4（0,-。）、4（0M）

頂點(diǎn)

、用（仇

4（0,_"B2（O,b）B卜b,0）、0）

軸長長軸的長=2。短軸的長=2b

對稱性關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱

焦點(diǎn)月（一c,0）、鳥（c,0）耳（0,-c、）、6（0,c）

焦距國居|=2c

a,b,c關(guān)系c2=a2-b2

笳-小笳（。

離心率VCVD

=z?2tan

焦點(diǎn)三南形面積W22（e=4M）

7,2

通徑過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通徑："”'=一

弦長公式4（）,8（尤2,〉2），|鉆|=J1+-九21=J1+二J。一々A-

§3.2雙曲線

平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)耳、鳥的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)2a（小于|耳工|=2c）的

定義

點(diǎn)的軌跡叫雙曲線，兩個定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

§3.3拋物線

y2-2Pxy2=-2px無2=2pyx1=~^-py

標(biāo)準(zhǔn)方程

（〃>。）（〃>。）（〃>。）（0>。）

頂點(diǎn)（0,0）

離心率e=l

對稱軸X軸y軸

范圍x>0x<0y>0y<0

焦點(diǎn)”。）「，。）《。圖戶（。，苦）

準(zhǔn)線方程X=——x=—

22

通徑過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦稱為通徑：|””[=2p

焦點(diǎn)弦長

|AB|=X+M+p

公式1

參數(shù)P的

參數(shù)〃表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，”越大，開口越闊

幾何意義

第4章數(shù)列

§4.1數(shù)列的概念

1.定義：我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的

項(xiàng).第一項(xiàng)叫首項(xiàng)，常用生表示.

2.通項(xiàng)公式：如果數(shù)列｛4｝的第〃項(xiàng)％與它的序號之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示,

那這個式子叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式.

3.遞推公式：如果一個數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個

式子叫做這個數(shù)列的遞推公式.

4.數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和：把數(shù)列｛q｝從第1項(xiàng)起到第〃項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列｛4｝的

前〃項(xiàng)和.記作S“，即S“=4+4+…+a”?

_￡,n=l

5.通項(xiàng)a“與S”之間的關(guān)系:

S“一S"T，”N2.

§4.2等差數(shù)列

1.等差數(shù)列定義：如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，那

么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用d表示.

2.等差中項(xiàng)：有三個數(shù)a,A,/?組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列，此時A叫做a

與力的等差中項(xiàng).可知2A=a+8.

3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a｝+（n-l）J.

d-Q

引申式：an=am+(n-m)d,an-am=(n-m)d,d=———現(xiàn)

n-m

4.等差數(shù)列的前”項(xiàng)和公式:

"（"T）d一〃（4+可）

S”=叫+

22

5.等差數(shù)列常用性質(zhì):

①若/"+〃=p+q（in,n,p,qe/V+）,則am+an=ap+aq；

②下標(biāo)為等差數(shù)列的項(xiàng)（ak,ak+m,ak+2m,-??）,仍組成等差數(shù)列:

③數(shù)列｛2%+b｝（2力為常數(shù)）仍為等差數(shù)列；

④若｛%｝、｛〃｝是等差數(shù)列，則｛3｝、伙+（k、，是非零常數(shù)）、

｛與”｝（P應(yīng)eM）,…也成等差數(shù)列.

⑤單調(diào)性：｛%｝的公差為。，則：

i）d>0。｛a“｝為遞增數(shù)列：

ii）d<0<=>｛a“｝為遞減數(shù)列；

iii）d=0。｛a“｝為常數(shù)列；

⑥數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列u>=p〃+q（p,q是常數(shù)）

⑦若等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和S“，則臬、S2k-Sk.S31t—S2*…是等差數(shù)列.

§4.3等比數(shù)列

1.等比數(shù)列定義：如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù)，那

么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫等比數(shù)列的公比，常用q來表示（°力0）.

2.等比中項(xiàng)：若三數(shù)〃、G、Z7成等比數(shù)列，那么G叫做。與/?的等比中項(xiàng).此時G2=aO.

nx

3.通項(xiàng)公式：an=axq~

n

引申式：an=amq-\?個"

4.等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式：s?=磯-q、=/fq（g力i）

]-g\-q

5.等比數(shù)列常用性質(zhì)：

①若根+〃=p+q（m,n,p,qsN）,則amq=?！?/；

②QA，4+m，44+2/W，???為等比數(shù)列，公比為（下標(biāo)成等差數(shù)列，則對應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列）

③數(shù)列｛幾％｝（4為不等于零的常數(shù)）仍是公比為q的等比數(shù)列；

對于正項(xiàng)等比數(shù)列｛q｝,則｛1g是公差為1gq的等差數(shù)列；

④若｛4｝是等比數(shù)列，則｛ca“｝,｛aj｝,<'-，｛*｝（reZ）是等比數(shù)列，公比依次是

q,,」，q「.

q

⑤單調(diào)性：

q>0,4>1或4<0,0<4<1=>｛〃〃｝為遞增數(shù)列；q>0,0<q<l^a]<O,q>l=｛a〃｝

為遞減數(shù)列；

q=ln｛?！ǎ秊槌?shù)列；

夕<0=｛?！ǎ秊閿[動數(shù)列；

⑥既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列.

⑦若等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S“，則果、S2k-Sk.S32-S2A…是等比數(shù)列.

第5章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

§5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義

1.導(dǎo)數(shù)定義：對于函數(shù)y=把比值*="/+弋—/(/)叫做函數(shù)y=/(x)從

/到/+Ax的平均變化率，如果當(dāng)AxfO時，平均變化率竺無限趨近于一個確定的值，

Ax

即受有極限，則稱y=/(x)在工=尤0處可導(dǎo)，并把這個確定的值叫做y=/(%)在%=%

處的導(dǎo)數(shù)(也稱瞬時變化率)，記作r(x0)或y|,即

lx=x0

r(x0)=lim"=lin/Q+祠—

-Ax-Ax

2.函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)玉)處的導(dǎo)數(shù)/'(%())的幾何意義：

(1)切線：在曲線上任取一點(diǎn)尸(%,/(尢))，如果當(dāng)點(diǎn)P(x,.f(x))沿著曲線y=/(x)無限

趨近于點(diǎn)兄(%,/(%0))時，割線4P無限趨近于一個確定的位置，這個確定的位置的直線

4T稱為曲線y=f(x)在點(diǎn)Po處的切線.

(2)/'(%)的幾何意義：/'(4)是曲線y=/(x)在「(々，/(王)))處的切線4T的斜率.

3.導(dǎo)函數(shù)：當(dāng)x=x()時，/'(/)是一個唯一確定的數(shù)，這樣當(dāng)x變化時，y=/'(x)就是x的

函數(shù)，我們稱它為y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù).有時記作y’.

§5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

?C=0；②(彳")'=。/7；③(sin尤)，=cosx；@(cosx)=-sinx；

⑤(優(yōu))=優(yōu)Ina；⑥(/)=e'；⑦(log“x)=—-—:⑧(Inx)=—

xlnax

2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

(1)(/(%)±g(x))'=/'(x)+g'(x).

⑵(/(x)g(x))'=/'(x)g(x)±/(x)g'(x).特別地：[c/(x)]=d(x)

⑶留)(小°)

4.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

由函數(shù)y=f(u),u=g(x)復(fù)合而成的的函數(shù)y=/(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)

y=/(〃),"=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y；=yj■ux?即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對〃的導(dǎo)數(shù)與

〃對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

§5.2導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

(1)在某個區(qū)間上，如果/則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間上為單調(diào)遞

增：

在某個區(qū)間(〃⑼上，如果f\x<0,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間上為單調(diào)遞

減.

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，

若/(x)為增函數(shù)，則八%)20(八x)在(久。)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零);

若〃x)為減函數(shù)，則/'(x)<0(/'(X)在(。力)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于

零).

2.函數(shù)的極值

(1)極值定義：

函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x=。的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=。附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，

八4)二0,而且在點(diǎn)x=〃附近的左側(cè)/'(x)<0,右側(cè)r(x)>0,我們把。叫做函數(shù)的極

小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值；

函數(shù)y=fM在點(diǎn)、x=b的函數(shù)值比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，

S)=0,而且在點(diǎn)x=〃附近的左側(cè)/'(%)>0,右側(cè)(幻<0,我們把b叫做函數(shù)的極

大值點(diǎn)，/e)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.

極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.

第6章計數(shù)原理

§6.1分類加法與分步乘法計數(shù)原理

1.分類加法計數(shù)原理：

完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有加種不同的方法，在第2類方案中有“種

不同的方法，那么完成這件事情共有N=〃?+〃種不同的方法.

2.分步乘法計數(shù)原理：

完成一件事有兩個步驟，做第1步有，”種不同的方法，做第2步有〃種不同的方法，那么

完成這件事情共有N=mxn種不同的方法.

§6.2排列與組合

1.排列定義：從幾個不同的元素中任取加(〃，<〃)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫

做從〃個不同的元素中取出m個元素的一個排列.

全排列：把幾個不同的元素全部取出的一個排列，叫做幾個元素的一個全排列.

2.排列數(shù)：從〃個不同的元素中任取〃?(加4〃)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從〃個

不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記作A"'.

3.排列數(shù)公式：

(1)A,"'=n(n-1X?-2)?-?(n-/n+1)；

(2)A：=〃!，規(guī)定0!=l.

"(z?-in).，

4.組合定義：從幾個不同的元素中取出，個元素作為一組，叫做從〃個不同的元素

中取出加個元素的一個組合.

5.組合數(shù)：從〃個不同的元素中取出加(加<〃)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從"個

不同元素中取出加個元素的組合數(shù)，記作C：.

6.組合數(shù)公式：

⑴:戔心"_"(〃一從一2%一(〃一，〃+1),“_〃！.

"一不"m\或"一加(〃-加廠

(2)C；；,=C；；-,\規(guī)定端=1；

(3)1=-

§6.3二項(xiàng)式定理

1.二項(xiàng)式定理

(1)二項(xiàng)式定理：

(a+b)n=*+C\a"'lb+C^an-2b2+…+《小好+…+C?"(〃e乂).

右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)"的二項(xiàng)展開式.

kk

(2)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：第k+1項(xiàng)：7；+|=C^a"-h(0<k<n,k^N,keN+).

(3)二項(xiàng)式系數(shù)：C*

2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：

(1)若令a=1力=%則有:(1+x)"=C%"+C、"T+C；x"-2+…+C>°,

若令x=1,則有(1+1)'=2"=C：+C：+C；+…+￡；.

奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和.即

C；+C"-Y+C,：+…=2")

(2)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C：=C7";

(3)增減性與最大值：

M1%_1_|

當(dāng)時，二項(xiàng)式系數(shù)C的值逐漸增大，當(dāng)女＞丁時，c：的值逐漸減小;

n

當(dāng)〃為偶數(shù)時，中間的一項(xiàng)C,取得最大值；

〃-1n+l

當(dāng)〃為奇數(shù)時，中間的兩項(xiàng)(?3和=。7相等，且同時取最大值.

第7章隨機(jī)變量及其分布

§7.1條件概率與全概率公式

1.條件概率：設(shè)4,8為兩個隨機(jī)事件，且P（A）＞0,稱尸（同A）=籌?為在事件4發(fā)

生的條件下，事件8發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.

2.乘法公式：對任意兩個事件A與8,若尸（A）＞0,則P（AB）=P（A）P（8|A）.

3.全概率公式：設(shè)4,4,..A,是一組兩兩互斥的事件，4U4U....UA“=。，且

P（4）＞（）,i=l,2,...,n,則對任意的事件6=有P（B）='P（a）P（B|Aj.

/=1

§7.2離散型隨機(jī)變量及其分布列

1.隨機(jī)變量：對于隨機(jī)試臉樣本空間中的每個樣本點(diǎn)①，都有唯一的實(shí)數(shù)X（＜y）與之對應(yīng)，

我們稱X為隨機(jī)變量，可能取值為有限個或可以——列舉的隨機(jī)變量，我們稱為離散型隨

機(jī)變量.隨機(jī)變量常用大寫英文字母表示，例X,Y,Z.

2.概率分布列：

（1）定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為％,與，…,X”，我們稱X取每一個值七

的概率：P（X=xj=Pj,i=T,2,…,n,為X的概率分布列，簡稱分布列.常用表格表示:

??????

Xx2XiX.

PPlP2???Pi???Pn

（2）性質(zhì):①YNO,i=1,2,3…〃;②P[+°2+...+p“=1.

3.兩點(diǎn)分布：

若X的分布列如表所示

X01

P1-pp

我們稱X服從兩點(diǎn)分布或0-1分布.

§7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1.離散型隨機(jī)變量的均值

期望（簡稱期望）.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.

（2）性質(zhì)：E（aX+b）=aE（X）+b.

2.離散型隨機(jī)變量的方差

（1）定義：若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

??????

XX2X,X”

.??.??

pPiPlPiPn

則稱。（X）=Za-E（X））2p,為離散型隨機(jī)變量X的方差，也記為血「（X）,并稱

/=|

Jo（x）為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.記為cr（x）.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的離散程度.

O(x)越小，取值越集中；D(x)越大，取值越分散.

(2)性質(zhì):D(aX+b)=a2D(X).

§7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布

1.二項(xiàng)分布

我們只包含兩個可能結(jié)果的試驗(yàn)■叫做伯努利試驗(yàn)，將一個伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行〃次所

組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為〃重伯努利試驗(yàn)，〃重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率

為"(O<p<l),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則A的分布列為

p(x=k)=C>\1-p)i,p=0,1,2,..

隨機(jī)變量X的具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X~B(〃,p).

2.超幾何分布

在含有"件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件(不放回)，用X表示抽取的〃件產(chǎn)品中的

次品數(shù)，則X的分布列為p(x=z)=上匹9?（左=0,1,2,…，㈤

其中m-rmn[M,n^,n,M,NGN?,nWN,MMN,m-max{0,n—N+M],

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

§7.5正態(tài)分布

1.正態(tài)分布定義：

1

若連續(xù)性隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為/(x)=---i=e2，,xeR,〃wR,cr〉0,

^72兀

則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為記作X?N(〃,b2).它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱

正態(tài)曲線.

當(dāng)〃=0,cr=l時，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

2.正態(tài)曲線的特點(diǎn)：

曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱；

曲線在x=〃處達(dá)到峰值——;

當(dāng)國無限增大時，曲線無限接近x軸；

當(dāng)o■較小時，峰值高，正態(tài)曲線瘦高，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；

當(dāng)c較大時，峰值低，正態(tài)曲線矮胖；表示隨機(jī)變量X的分布比較分散.

3.正態(tài)分布的期望、方差

若X?,KjlE(x)=u,D(x)=cr2.

4.3cr原則

若X?N(〃,cr2),P(M-3crWXW"+3b)a0.9973,由此看到一次試驗(yàn)中，X的取值

幾乎總是落在區(qū)間［〃-3b,〃+3b］內(nèi)，在此區(qū)間外的概率大約只有0.0027,通常認(rèn)為服從

正態(tài)分布的隨機(jī)變量X只?。邸?3b，4+3cr］中的值，這在統(tǒng)計學(xué)中稱為3cr原則.

第8章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

§8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性

1.相關(guān)關(guān)系：兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程

度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.

2.相關(guān)關(guān)系分類：

正相關(guān)：當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，就稱這兩個

變量正相關(guān)；

負(fù)相關(guān)：當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)減小的趨勢，就稱這兩個

變量負(fù)相關(guān).

3.線性相關(guān)：如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，就

稱這兩個變量線性相關(guān).

4.樣本相關(guān)系數(shù)廠：

___

Z(