小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué) 教案：第4章-小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程

第4章小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程教學(xué)目標(biāo)1.理解小學(xué)中數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)結(jié)論的基本特點(diǎn)和兒童的學(xué)習(xí)過程，了解數(shù)學(xué)問題解決的幾種模式，理解問題解決的學(xué)習(xí)過程2.培養(yǎng)基于兒童的思維特點(diǎn)和數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)結(jié)論和問題解決等學(xué)習(xí)心理過程，分析兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的困難，提升基于學(xué)習(xí)路徑的教學(xué)設(shè)計(jì)能力。3.提升關(guān)愛兒童、尊重兒童的育人觀念，確立研究?jī)和?、為了兒童的?shù)學(xué)教育情意，做新時(shí)代高素質(zhì)專業(yè)化創(chuàng)新型人民教師。教學(xué)資源1.認(rèn)識(shí)11-20各數(shù)（教學(xué)視頻）2.小數(shù)除法（教學(xué)視頻）3.三角形內(nèi)角和（教學(xué)視頻）教學(xué)內(nèi)容情境導(dǎo)入在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義之后，學(xué)生常常出現(xiàn)率和量不分的錯(cuò)誤。例如，把有一根8米的長(zhǎng)繩平均分成5份，每份占全長(zhǎng)的幾分之幾？每份長(zhǎng)幾分之幾米？學(xué)生的回答有時(shí)兩問都是。對(duì)此，作為新時(shí)代的高素質(zhì)專業(yè)化創(chuàng)新型教師，我們要問自己：兒童是怎么建構(gòu)分?jǐn)?shù)概念的？更一般的，小學(xué)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程是怎樣的？小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)習(xí)過程是怎樣的？小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)論的學(xué)習(xí)過程是怎樣的？小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決的過程是怎樣的？4.1小學(xué)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程小學(xué)數(shù)學(xué)中有很多概念，這些概念是構(gòu)成小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，是學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)知識(shí)（定律、性質(zhì)、法則、公式等）的基礎(chǔ)。4.1.1數(shù)學(xué)概念的含義數(shù)學(xué)概念是人們對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，是一種非?；A(chǔ)又極其重要的數(shù)學(xué)思維形式。也可以這樣說，如果數(shù)學(xué)是一個(gè)生物有機(jī)體，那么數(shù)學(xué)概念則是構(gòu)成這個(gè)有機(jī)體的細(xì)胞。在一定程度上可以說，數(shù)學(xué)概念是每一個(gè)數(shù)學(xué)新知識(shí)的起點(diǎn)。我們常說的定理、推論、性質(zhì)、公式等，在某種程度上是數(shù)學(xué)概念的特征和之間關(guān)系的描述。例如，“三角形”的內(nèi)涵是“由三條線段圍成”“每相鄰兩條線段的端點(diǎn)相連”“圖形”，外延是所有的鈍角三角形、銳角三角形和直角三角形。正偶數(shù)概念的內(nèi)涵是“能被2整除”“正整數(shù)”，外延是{2，4，6，8，……}。數(shù)學(xué)概念的科學(xué)理解就是要明確概念的內(nèi)涵和外延兩個(gè)方面。4.1.2小學(xué)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程由于小學(xué)生的思維以具體形象思維為主，逐步向抽象邏輯思維過渡，但是邏輯思維又是初步的。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性和抽象性處于比較初級(jí)的階段，在一定程度上根據(jù)直觀進(jìn)行抽象。1.概念形成概念形成，是指從大量同類對(duì)象或者事實(shí)從發(fā)，發(fā)現(xiàn)共性、抽象概括，歸納得到本質(zhì)屬性，得到概念的過程。這是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的主要方式，通常需要經(jīng)歷“感知具體對(duì)象—嘗試建立表象—抽象本質(zhì)屬性—語(yǔ)言符號(hào)表示—運(yùn)用到同類中”五個(gè)階段。根據(jù)小學(xué)生的思維特點(diǎn)和年齡、性格特征，教師在概念形成的教學(xué)中要注意以下幾點(diǎn)。第一、要提供大量同類事物或現(xiàn)象，只有一個(gè)事例不能抽象出數(shù)學(xué)概念。第二、提供的正例應(yīng)具有代表性或典型性，便于小學(xué)生證實(shí)概念的本質(zhì)特征。正例就是正確的例子，包括標(biāo)準(zhǔn)形式和改變非本質(zhì)屬性所形成的變式。第三、提供的反例要恰當(dāng)。第四、學(xué)生的感知方式要多元。教師可以通過看一看、摸一摸、畫一畫、想一想等教學(xué)活動(dòng)，使小學(xué)生通過視覺、動(dòng)作、圖像、表象等多種表征方式在感知的過程中逐步構(gòu)建概念。2.概念同化概念同化，是指學(xué)習(xí)者利用認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的概念理解新概念，再經(jīng)過對(duì)比、分析、推理等方法，辨析新概念與原有概念的異同，從而掌握新概念。學(xué)生只有在具備一定的數(shù)學(xué)能力、掌握一定的數(shù)學(xué)基本概念之后，才有可能用概念同化的方式學(xué)習(xí)。教師在概念同化的教學(xué)中要注意以下幾點(diǎn)：①教師要了解學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)，因?yàn)楦拍钔瑯?gòu)需要具備足夠的已有概念和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)；②教師要從更宏大的背景下看待新概念，即做到“跳出概念看概念”，找到新、舊概念之間真正的、內(nèi)在的聯(lián)系；③教師要突出新概念的關(guān)鍵特征，關(guān)鍵特征突出的越明顯，學(xué)生越容易迅速地聯(lián)系上已經(jīng)學(xué)過的相關(guān)知識(shí)。3.兩者聯(lián)系概念形成和概念同化兩種方式既有區(qū)別又相互滲透。前者強(qiáng)調(diào)對(duì)概念學(xué)習(xí)過程的認(rèn)識(shí)，后者則強(qiáng)調(diào)新、舊概念之間的異同辨析。當(dāng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)概念有一定的積累或者學(xué)習(xí)水平達(dá)到一定的階段時(shí)，概念同化就成為一種重要的獲得概念的方式。在小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)的中，常常將兩種方式結(jié)合起來使用。在概念同化為主的教學(xué)中，也會(huì)存在概念形成。例如，人教版六年級(jí)下冊(cè)“比例的意義”一節(jié)課，根據(jù)教材呈現(xiàn)內(nèi)容可以設(shè)計(jì)如下的教學(xué)過程。首先，探討操場(chǎng)上和教室里的兩面國(guó)旗長(zhǎng)和寬的比值有什么關(guān)系？由此，引出定義“表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例”。其次，回憶這個(gè)定義中已經(jīng)學(xué)過的重要概念“比”“相等”“式子”，引導(dǎo)學(xué)生辨析新概念“比例”和以前學(xué)過的概念“比”之間的區(qū)別和聯(lián)系。最后，列舉幾個(gè)例子強(qiáng)化對(duì)新概念的理解（例如，5：103=2.4：1.6，60：40=5：10上述教學(xué)過程中，學(xué)生獲得概念的方式主要是概念同化。但在概念同化的同時(shí)，又有概念形成的方式。可見，教師通過學(xué)校里的一個(gè)比較直觀易懂的實(shí)例引入，便于學(xué)生理解、掌握和運(yùn)用。4.2小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)習(xí)過程小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算是理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)的工具。因此，我們要高度重視小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)，其前提是理解小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算是什么、有什么。4.1.1數(shù)學(xué)運(yùn)算的表現(xiàn)層次就小學(xué)生而言，數(shù)學(xué)運(yùn)算的表現(xiàn)差異很大，可以分為技能、能力和素養(yǎng)三個(gè)層次。下面我們以計(jì)算為例，對(duì)這三個(gè)層次進(jìn)行說明。1技能層次處于技能層次的學(xué)生，能夠快速的進(jìn)行計(jì)算，過程很流暢、結(jié)果非常正確。主要表現(xiàn)為計(jì)算結(jié)果正確，且計(jì)算速度快。運(yùn)算技能高的人看到，直接想到相當(dāng)于計(jì)算250÷875，那就列豎式進(jìn)行計(jì)算，很快就得到正確答案0.285714285714…。2能力層次運(yùn)算能力強(qiáng)的學(xué)生，利用已有的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算律，把問題變得更好計(jì)算一些。這時(shí)的計(jì)算，而在于計(jì)算的原理和方法的掌握和運(yùn)用，當(dāng)然要保證結(jié)果正確。運(yùn)算能力強(qiáng)的人，看到會(huì)想到利用運(yùn)算律和性質(zhì)，把計(jì)算變得簡(jiǎn)單一些。0.25乘4等于1，利用商不變的性質(zhì)，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘4，。再用豎式計(jì)算，就好計(jì)算多了。3素養(yǎng)層次運(yùn)算素養(yǎng)強(qiáng)的學(xué)生，會(huì)先仔細(xì)觀察，預(yù)想不同的計(jì)算方法，并比較各種方法可能的結(jié)果，進(jìn)而選擇比較合適的方法進(jìn)行計(jì)算。運(yùn)算素養(yǎng)強(qiáng)的人，看到會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)小數(shù)除法計(jì)算題，有三種計(jì)算方法：①直接用小數(shù)計(jì)算，但計(jì)算量很大；②化成整數(shù)除法，計(jì)算量會(huì)減少很多，但還有可能不好計(jì)算；③化成分?jǐn)?shù)計(jì)算，計(jì)算量會(huì)大大減少（請(qǐng)注意：方法③已經(jīng)改變了運(yùn)算對(duì)象，原來是小數(shù)，現(xiàn)在改變成了分?jǐn)?shù)）。通過對(duì)這三種方法的預(yù)測(cè)和比較，采用第三種方法計(jì)算，會(huì)比較合適4.2.2小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)習(xí)過程面對(duì)具體運(yùn)算，學(xué)生需要經(jīng)歷問題解決和推理的過程。這是一個(gè)比較復(fù)雜的思維過程，大致需要經(jīng)歷四個(gè)階段，即理解運(yùn)算符號(hào)、理解與表征數(shù)、尋求計(jì)算方法、做計(jì)算出結(jié)果。下面我們以12+25為例，來說階段示例理解運(yùn)算符號(hào)這個(gè)算式是加法，即求和。因?yàn)?2>0，25>0，所以12+25>12，12+25>2理解與表征數(shù)①借助小數(shù)來理解分?jǐn)?shù)，12=0.5，2②利用通分理解分?jǐn)?shù)，12=24③利用畫圖理解分?jǐn)?shù)，即圖形表征。尋求計(jì)算方法可以如何計(jì)算呢？實(shí)際上上面每一種表征就對(duì)應(yīng)著相應(yīng)的方法。第一種理解，化成小數(shù)，計(jì)算方法就是小數(shù)加法。第二種理解，通分，就是尋找同分母分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算。第三種方法，畫圖，可以借助圖形把陰影部分合并在一起，看看最終結(jié)果是多少。做計(jì)算出結(jié)果①12+2②1212③畫圖如下。4.3小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)論的學(xué)習(xí)過程小學(xué)數(shù)學(xué)中的規(guī)律主要包括法則、定理、運(yùn)算律、公式、性質(zhì)等，它們是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分。4.3.1數(shù)學(xué)結(jié)論的特點(diǎn)小學(xué)數(shù)學(xué)的結(jié)論很多，如運(yùn)算結(jié)果、運(yùn)算律、運(yùn)算規(guī)則、數(shù)的特性、圖形性質(zhì)、圖形度量公式、圖形變換的結(jié)論、常見量之間的進(jìn)率、簡(jiǎn)單概率與統(tǒng)計(jì)問題的結(jié)論、方程的同解原理等。數(shù)學(xué)結(jié)論是數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，有它自身的諸多特點(diǎn)，比如嚴(yán)謹(jǐn)性、簡(jiǎn)潔性、實(shí)用性等。嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)科學(xué)的基本特點(diǎn)，它要求數(shù)學(xué)結(jié)論的敘述必須精煉、準(zhǔn)確，而對(duì)結(jié)論的推理論證和系統(tǒng)闡述都要求既嚴(yán)格又周密。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論的嚴(yán)謹(jǐn)性要求，要有一個(gè)逐步適應(yīng)、逐步深化的過程，尤其是在小學(xué)階段的訓(xùn)練基礎(chǔ)。學(xué)生在初期對(duì)一些較精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，如“只有”“任意”“非0整數(shù)”“存在”“唯一”“一定”等，往往缺乏足夠的理解。實(shí)用性是指數(shù)學(xué)結(jié)論能夠被應(yīng)用到數(shù)學(xué)學(xué)科和現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中，并且能夠起到一定的積極作用和具有一定的影響力、說服力。教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的條件給學(xué)生以實(shí)際活動(dòng)的機(jī)會(huì)，使學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)中加深對(duì)新學(xué)知識(shí)的鞏固理解。簡(jiǎn)潔性是指數(shù)學(xué)結(jié)論的內(nèi)容簡(jiǎn)練，表述的語(yǔ)言簡(jiǎn)樸。例如，“對(duì)頂角相等”就是“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等”的簡(jiǎn)要表達(dá)。4.3.2小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)論的學(xué)習(xí)過程人們掌握客觀結(jié)論一般有兩種模式。一種是歸納模式，另一種是演繹模式。有論者認(rèn)為，前一種對(duì)應(yīng)的是發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，后一種對(duì)應(yīng)的是接受學(xué)習(xí)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)結(jié)論，要經(jīng)歷探索與發(fā)現(xiàn)的過程，因而一般采用歸納模式。由于認(rèn)知能力的差異和數(shù)學(xué)規(guī)律的潛隱程度不同，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)經(jīng)歷的過程會(huì)有一些差異。但總體上會(huì)經(jīng)歷“分析情境→發(fā)現(xiàn)表述→驗(yàn)證證明→鞏固運(yùn)用”四個(gè)基本階段。階段示例分析情境教師提出問題：同學(xué)們的校服，每件上衣62元，每條褲子37元，大家算一算，咱們班35個(gè)人，每人一套校服，需要花多少錢？學(xué)生解答：每一套校服的錢乘總的套數(shù)，(62+37)×35=3465。所有上衣的錢加上所有褲子的錢，62×35+37×35=3465。教師在黑板上寫下(62+37)×35=62×35+37×35、然后教師再出示兩個(gè)類似的問題，用類似的方法得到兩個(gè)等式，例如，(4+2)×25=4×25+2×25，(10+8)×50=10×50+8×50。教師再次提問：觀察這三個(gè)等式，它們有什么特點(diǎn)？發(fā)現(xiàn)表述教師提問：觀察三個(gè)算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？請(qǐng)用自己的話說一說。學(xué)生有不同的表述：(甲數(shù)十乙數(shù)）×丙數(shù)=甲數(shù)×丙數(shù)十乙數(shù)×丙數(shù)；(△+□）×○=△×○+□×○；(a+b)×c=a×c+b×c；兩個(gè)數(shù)的和與第三個(gè)數(shù)相乘，等于每個(gè)加數(shù)分別與第三個(gè)數(shù)相乘，再把所得的積加起來。驗(yàn)證證明教師提出問題：以(a+b)×c=a×c+b×c為例，怎么說明這個(gè)結(jié)論是正確的？有的學(xué)生可能用乘法的定義來進(jìn)行說明：(a+b)×c可以看做c個(gè)(a+b)連加；也就是c個(gè)a連加，再加上c個(gè)b連加；可以看做a×c+b×c。還有的學(xué)生會(huì)采用長(zhǎng)方形面積進(jìn)行解釋。鞏固運(yùn)用教師總結(jié)：我們把這個(gè)規(guī)律叫作乘法分配律。下面請(qǐng)大家用乘法分配律計(jì)算25×(10+8)和37×(20+3)，并用豎式計(jì)算25×18和37×23,看看你有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生計(jì)算后領(lǐng)悟：豎式的算法就是來源于乘法分配律（具體解釋，略）。教師再次提問：如果計(jì)算38×102，你打算怎么算？學(xué)生思考后回答：把38×102寫成38×(100+2)，再用乘法分配律計(jì)算，這樣比較簡(jiǎn)單。也可以直接列豎式計(jì)算，當(dāng)然這樣會(huì)比較麻煩。在數(shù)學(xué)結(jié)論的學(xué)習(xí)四階段中，驗(yàn)證證明是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，這個(gè)過程不可或缺，因?yàn)檫@是學(xué)生發(fā)展邏輯思維能力、論證能力、推理能力和獲取數(shù)學(xué)思想方法的重要途徑。教師需要提供一些引導(dǎo)，來幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)結(jié)論的證明。4.4數(shù)學(xué)問題解決的學(xué)習(xí)過程問題是數(shù)學(xué)的心臟，解決問題是數(shù)學(xué)的核心。20世紀(jì)80年代以來，問題解決（ProblemSolving）在國(guó)際數(shù)學(xué)教育界受到普遍重視。一些國(guó)家和地區(qū)的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)問題解決做了特別的規(guī)定，使得其含義非常豐富。4.4.1問題與問題解決1.問題在數(shù)學(xué)教育中，“問題”是一個(gè)外來詞，是根據(jù)英文翻譯過來的?！皢栴}”對(duì)應(yīng)的英文單詞有三個(gè)，分別是題目（Question）、疑問（Problem）和猜想（Conjecture）?？梢?，數(shù)學(xué)教育中的問題，主要對(duì)應(yīng)我們?cè)凇冬F(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》中常使用前面兩種，并對(duì)其進(jìn)行引申。2.問題解決問題解決，就是面對(duì)一個(gè)問題，經(jīng)歷一段探究思考，確定其是否可以解答，在能解答的情況下尋求一個(gè)或者多個(gè)解答，或者探究解決的途徑。從心理學(xué)的角度講，問題解決是指通過一系列有目的、有指向的認(rèn)知操作序列以達(dá)到目標(biāo)的過程。問題解決有兩種類型：一類是常規(guī)性問題解決，即使用已有的方法和程序去解決問題；另一類是創(chuàng)造性問題解決，即運(yùn)用新的方法和程序去解決問題。4.4.2數(shù)學(xué)問題解決的學(xué)習(xí)過程數(shù)學(xué)教育家喬治·波利亞提出了數(shù)學(xué)問題解決的“啟研”模式，揭示了問題解決的心路歷程，被西方譽(yù)為“自我啟發(fā)解決問題的經(jīng)典概括”。闡述該模式的專著《怎樣解題》（HOWTOSOLVEIT）成為數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的經(jīng)典之作，并引導(dǎo)了20世紀(jì)數(shù)學(xué)教育中“問題解決”的熱潮。波利亞關(guān)于數(shù)學(xué)問題解決的“啟研”模式由四個(gè)部分構(gòu)成，即理解題意、擬定計(jì)劃、執(zhí)行計(jì)劃和回顧反思。值得注意的是，國(guó)外有研究表明，解題的新手和專家在解決問題上的差別是很明顯的。新手看到問題就開始嘗試解答，解答失敗后就放棄了。而專家遇到問題，則先明確已知和目標(biāo)，然后花很長(zhǎng)時(shí)間擬定解題計(jì)劃，而實(shí)施解題的時(shí)間則比較短。專家在解決問題后，會(huì)花大量時(shí)間進(jìn)