高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽試題

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2018年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽

一、填空題(每題7分，共10題，共70分)

1.函數(shù)y=|cosx|-cos2x(xGR)的值域

2.已知(a+bi)2=3+4i,其中a,bGR,i是虛數(shù)單位，則a2+b2=

3.圓心在拋物線(xiàn)x2=2y上，并旦和該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)及y軸都相切的圓的方程

4,設(shè)函數(shù)f(x)=H'-x,則不等式f(1-x,)+f(5x-7)〈。的解集為

"Zx"-2----------------

5.已知等差數(shù)列｛aJ的前12項(xiàng)的和為60,則p|+|aJ+pJ+...+p|J的最小值

6,已知正四面體內(nèi)切球的半徑是1,則該四面體的體積為

7.在4ABC中，AB=5,AC=4,且乂/AC.,設(shè)P為平面ABC上一點(diǎn)，貝！|+00)的最

小值為

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8.設(shè)g(n)=￡'(%，")，其中nGN*,(k,n)表示k與n的最大公約數(shù)，則g(100)的值

k=l

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9.將1,2,3,4,5,6,7,8,9,這九個(gè)數(shù)隨機(jī)填入3X3的方格表中，每個(gè)小方格填一個(gè)數(shù)，且所填各

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部相同，則使每行，每列所填數(shù)之和都是奇數(shù)的概率是

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（第9題圖）

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10.在1,2,3,4,...1000中，能寫(xiě)出a2-b2+l(a,bGN)的形式，且不能被3整除的數(shù)有個(gè)

二、解答題(每題20分，共4題，共80分)

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11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓。的方程為x2+y2=4,過(guò)P(0,1)點(diǎn)的直線(xiàn)1與

(1).求實(shí)教t,d的值；

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(2).若正整數(shù)滿(mǎn)足m<p<r,a-2m=a-2tP=a2tr=0,求數(shù)組(m,p,r)和相應(yīng)的通項(xiàng)公式

mpr-

ano

13.

14.如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于P,AABD與4ABC的內(nèi)心分別

為I和I,直線(xiàn)“分別與AC,BD交于M,N,求證：PM=PN.

1212

AB

（第13題圖）

15.從1,2,3,4....2050這2050個(gè)數(shù)中任取2018個(gè)組成集合A,把A中的每個(gè)染上紅色或

藍(lán)色.求證：總存在一種染色方法使得每600個(gè)紅數(shù)及600個(gè)藍(lán)數(shù)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：

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