第6章 方程組的教學(xué)設(shè)計(整章)

北京市京源學(xué)校初中教學(xué)設(shè)計

7耳級下第九章二完一次方程做

揚(yáng)帝完

1玨

2010,09

第六章二元一次方程組

6.1二元一次方程6.2二元一次方程組

教學(xué)目標(biāo)

1使學(xué)生弄懂二元一次方程、二元一次方程組和它的解的含義，并會檢驗一對數(shù)是不是某

個二元一次方程組的解；

2通過練習(xí)和討論，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、分析問題的能力

教學(xué)重點和難點

重點：二元一次方程、二元一次方程組及其解的意義

難點：弄懂二元一次方程組解的含義

課堂教學(xué)過程設(shè)計

一、從學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)提出問題

1我們在初一時學(xué)習(xí)了一元一次方程的有關(guān)概念及其解法，誰能寫出一個一元一次方程，

指出它的解是什么？

2為什么它（是指學(xué)生回答問題（1）時例舉的方程）叫一元一次方程？

3方程中“元”是指什么？“次”是指什么？

二、引導(dǎo)學(xué)生討論二元一次方程、二元一次方程組和它的解等概念

問題：（投影）

一個農(nóng)民有若干只雞和兔子，它們共有50個頭和140只腳，問雞和兔子各多少只？

教師提出：這是一個非常有意思的問題，它曾在好幾個世紀(jì)里引起過人們的興趣，我想這個

問題也一定會使在坐的每一名同學(xué)感興趣那么，現(xiàn)在我們怎樣來解答我個問題呢？（先讓學(xué)

思考一下，然后自己做出解答，教師巡視最后，在學(xué)生動手腦的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)給出各

種解法）

解法一：在分析時，可提出如下問題：

150只動物都是雞，對嗎？

（不對，因為50只雞有100只腳，腳數(shù)少了）

250只動物都是兔子嗎？

（不對，因為50只兔子共有200只腳，腳數(shù)多了）

3一半是雞，一半是兔子對嗎？

（不對，因為25只雞，25只兔共有150只腳，多10只腳）

怎么辦？（在學(xué)生思考后，教師指出：我們可采取逐步調(diào)整，驗算的方法來加以解決）

4若增加一只雞，減少一只兔，那么動物總只數(shù)，腳數(shù)分別怎樣變化？

（當(dāng)增加一只雞，減少一只兔時，動物的總只數(shù)不變，腳數(shù)比原來少兩只）

5現(xiàn)在你是否知道有幾只雞、幾只兔？

（若學(xué)生回答還是感到困難，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)一半是雞，一半是兔時多10只腳，做出5

次如問題4所述的方法進(jìn)行調(diào)整，即增加5只兔，減少5只兔，則多出的10只腳就沒有了，

故答案是30只雞、20只兔）

此時，教師指出：這個問題是解決了，但它在很大程度上依賴于數(shù)字，50和140比較小，比

較簡單，若它們相當(dāng)大且又很復(fù)雜，那么像上述方法這樣一次次的試算就很麻煩了，然后提

出問題：是否可有其它的方法來解決這個問題呢？（若學(xué)生在思考后，還很茫然，則教師引導(dǎo)

學(xué)生嘗試可否用一元一次方程來解由一名學(xué)生板演，其余學(xué)生自行完成）

解法二：設(shè)有x只雞，則有（50-x）只兔根據(jù)題意，得2x+4（50-x）=140

（解方程略）

追問：對于上面的問題用一元一次方程可解，是否還有其它方法可解？（若學(xué)生想不到，教師

可引導(dǎo)學(xué)生注意，要求的是兩個未知數(shù)，能否設(shè)兩個未知數(shù)列方程求解呢?讓學(xué)生自己設(shè)未知

數(shù)，列方程，然后請一名學(xué)生板演解所列的方程）

解法三：設(shè)有x只雞，y只兔，依題意得

x+y=50,

2x+4y=140

針對學(xué)生所列出的這兩個方程，提出如下問題:

1結(jié)合前面的復(fù)習(xí)提問，這兩個方程應(yīng)該叫幾元幾次方程呢？

2為什么叫二元一次方程呢？

3什么樣的方程叫二元一次方程呢？

結(jié)合學(xué)生的回答，教師板書

二元一次方程的定義：含有兩個未知數(shù)，且未知項次數(shù)是1的方程，叫做二元一次方程

x+y=50和2x+4y=140是一對數(shù)x,y必須同時滿足的兩個方程，我們合在一起寫成

x+y=50,

并稱之為二元一次方程組

2x+4y=140

從解法一，我們還知道，x=30,y=20,使方程組中每一個方程成立所以我們把尸=30'叫

y=20

做方程組卜+>=5°’的解（板書：使二元一次方程組的兩個方程左、右兩邊

2x+4y=140.

的值都相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解)

將上述問題的三種解法進(jìn)行優(yōu)劣對比，你有哪些想法呢？(若學(xué)生回答得不全面，不確切，教

師可補(bǔ)充歸納如下：當(dāng)我們運(yùn)用代數(shù)知識將問題翻譯成代數(shù)語言列方程時，就可以借助代數(shù)

運(yùn)算來求解，從上面的問題可以看到，列二元一次方程組比例一元一次方程容易)

三、例題講解

例1(KB33)已知2x+5y=7,用關(guān)于y的代數(shù)式表示x.

例2(KB33)求出二元一次方程3x+2y+4=0的任意3個解.

例3(KB35)判斷r=-2是不是方程組F+3)'=1的解

y=1\2x-5y=-9

例4(KB36)已知=T是關(guān)于x、y的方程組卜=1的解，求a+b的值.

y=2[2x-by=4

三、課堂練習(xí)P34練習(xí)1、2、3P36練習(xí)1、2

補(bǔ)充：

1造一個二元一次方程，一個二元一次方程組(通過提問，檢查學(xué)生對這兩個概念的掌握

程度)

2填表,使上、下每對x,y的值，滿足方程3x+y=5(投影)

3已知下列三對數(shù)值：

x=1,[x=2,fx=4,

<<<

7=-i;[y=1;[y=5.

哪一對是下列方程組的解？

⑴卜一；⑵尸一3,

3尤+4y=10;[4x-3y=L

4已知滿足二元一次方程組[：一：=&的x值是x=-l,求方程組的解

四、師生共同小結(jié)

首先，讓學(xué)生回答以下問題：

1本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？2什么叫二元一次方程？

3什么叫二元一次方程組？4什么叫二元一次方程組的解？

然后，教師結(jié)合學(xué)生的回答，用投影儀將預(yù)先制作好的投影膠片打出，以此培養(yǎng)學(xué)生歸納小

結(jié)的能力

五、作業(yè)P36-39A組、B組、C組

補(bǔ)充:

1

t.x——Jx=O,x=—,[x=2,

1在3〈{2\各組值中,

y=Ty=-2,

3=1,1〔y=-2,“

⑴是方程y=2x-3的解有（）；

（2）是方程3x+2y=l的解有（）；

⑶是方程組F'=2x-3,的解有（）

3x+2y=1

2已知方程組「"一）'=（）'（1）用含乂的代數(shù)式表示丫；

x+y=10;

（2）分別求出方程①和②的四個解，其中x=0,1,2,3；

⑶方程組的解是什么？

3利用一元一次方程解二元一次方程組

y=2%-1,

2x_l=-x+2,<

y=T+2.

6.3用代入法解二次一次方程組（-）

教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生會用代入消元法解二元一次方程組；

2.理解代入消元法的基本思想體現(xiàn)的“化未知為己知”，“變陌生為熟悉”的化歸思想方法;

3.在本節(jié)課的教學(xué)過程中，逐步滲透樸素的辯證唯物主義思想.

教學(xué)重點和難點

重點：用代入法解二元一次方程組.

難點：代入消元法的基本思想.

課堂教學(xué)過程設(shè)計

一、從學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)提出問題

1.誰能造一個二元一次方程組？為什么你造的方程組是二元一次方程組？

2.誰能知道上述方程組（指學(xué)生提出的方程組）的解是什么？什么叫二元一次方程組的解？

3.上節(jié)課我們提出了雞兔同籠問題：（投影）

一個農(nóng)民有若干只雞和兔子，它們共有50個頭和140只腳，問雞和兔子各有多少？

設(shè)農(nóng)民有X只雞，y只兔，則得到二元一次方程組

x+y=50,①

"2x+4y=140.②

對于列出的這個二元一次方程組，我們?nèi)绾吻蟪鏊慕饽兀?學(xué)生思考)

教師引導(dǎo)并提出問題：若設(shè)有x只雞，則兔子就有(50-x)只，依題意，得

2x+4(50-x)=140

從而可解得，x=30,50-x=20,使問題得解.

問題：從上面一元一次方程解法過程中，你能得出二元一次方程組

A；7："：/。的解法嗎？(若學(xué)生還是感到困難，教師可提出以下一

2x+4y=140

串問題，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生找出它的解法)

(1)在一元一次方程解法中，列方程時所用的等量關(guān)系是什么？

(2)該等量關(guān)系中，雞數(shù)與兔子數(shù)的表達(dá)式分別含有幾個未知數(shù)？

(3)前述方程組中方程②所表示的等量關(guān)系與用一元一次方程表示的等量關(guān)系是否相同？

(4)能否由方程組中的方程②求解該問題呢？

(5)怎樣使方程②中含有的兩個未知數(shù)變?yōu)橹缓幸粋€未知數(shù)呢？

(以上問題，要求學(xué)生獨(dú)立思考，想出消元的方法)

結(jié)合學(xué)生的回答，教師作出講解.

由方程①可得y=50r③，即兔子數(shù)y用雞數(shù)x的代數(shù)式50-x表示，由于方程②中的y與方

程①中的y都表示兔子的只數(shù)，故可以把方程②中的y用(50-x)來代換，即把方程③代入方

程②中，得

2x+4(50-x)=140,

解得x=30.

將x=30代入方程③，得y=20.

T

這樣，二元一次方程組的解是F,

y=20.

即雞有30只，兔有20只.

本節(jié)課，我們來學(xué)習(xí)二元一次方程組的解法.

二、講授新課

例1解方程組

y=1-x,①

3x+2y=5.②

分析：若此方程組有解，則這兩個方程中同一個未知數(shù)就應(yīng)取相同的值.因此，方程②中的

y就可用方程①中的表示y的代數(shù)式來代替.

解：把①代入②，得

3x+2（l-x）=5,

3x+2-2x=5,

所以x=3.

把x=3代入①，得y=-2.

x=3,

所以

y=-2.

（本題應(yīng)以教師講解為主，并板書，同時教師在最后應(yīng)提醒學(xué)生，與解一元一次方程一樣，要

判斷運(yùn)算的結(jié)果是否正確，需檢驗.其方法是將所求得的一對未知數(shù)的值分別代入原方程組

里的每一個方程中，看看方程的左、右兩邊是否相等.檢驗可以口算，也可以在草稿紙上驗

算）

教師講解完例1后，結(jié)合板書，就本題解法及步驟提出以下問題：

1.方程①代入哪一個方程？其目的是什么？

2.為什么能代入？

3.只求出一個未知數(shù)的值，方程組解完了嗎？

4.把已求出的未知數(shù)的值，代入哪個方程來求另一個未知數(shù)的值較簡便？

在學(xué)生回答完上述問題的基礎(chǔ)上，教師指出：這種通過代入消去一個未知數(shù)，使二元方程轉(zhuǎn)

化為一元方程，從而方程組得以求解的方法叫做代入消元法，簡稱代入法.

例2解方程組

2x+5y=-21,①

"x+3y=8.②

分析：例1是用y=l-x直接代入②的.例2的兩個方程都不具備這樣的條件（即用含有一個未

知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)），所以不能直接代入.為此，我們需要想辦法創(chuàng)造條件，把

一個方程變形為用含x的代數(shù)式表示y（或含y的代數(shù)式表示x）.那么選用哪個方程變形較簡

便呢？通過觀察，發(fā)現(xiàn)方程②中x的系數(shù)為1,因此，可先將方程②變形，用含有y的代數(shù)

式表示x,再代入方程①求解.

解：由②，得x=8-3y,③

把③代入①，得（問：能否代入②中？）

2（8-3y）+5y=-21,

-y=-37,

所以y=37.

（問：本題解完了嗎？把y=37代入哪個方程求x較簡單？）

把y=37代入③，得

x=8-3X37,

所以x=-103.

所以

fyU=37.'

（本題可由一名學(xué)生口述，教師板書完成）

例3（KB39）解下列方程組⑴尸一"3（2產(chǎn)+2y=5

3x—2y=5[4x-3y=1

三、課堂練習(xí)（投影）P41練習(xí)1、2

補(bǔ)充：用代入法解下列方程組：

fy=2x-3,r2x-y=5,

2.

'[3x+2y=8；3x+4y=2；

x+2y=0,(2x+y=32,

3.4-2x=.

3x+4y=6；y

四、師生共同小結(jié)

在與學(xué)生共同回顧了本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，教師著重指出，因為方程組在有解的前提下,

兩個方程中同一個未知數(shù)所表示的是同一個數(shù)值，故可以用它的等量代換，即使“代入”成

為可能.而代入的目的就是為了消元，使二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程，從而使問題最終得到解

決.

五、作業(yè)P47習(xí)題6-2A組1

補(bǔ)充：用代入法解下列方程組：

x=3y,

2.

3x-2y=1；

4x-2y=1；

2x+y=12,(3x-5y=6,

3x-y=-2；,|x+4y=15；

5x+3y=3x+2y=7

6.3用代入法解二元一次方程組(Z.)

教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生熟練地掌握用代入法解二元一次方程組；

2.使學(xué)生進(jìn)一步理解代入消元法所體現(xiàn)出的化歸意識.

教學(xué)重點和難點

重點：學(xué)會用代入法解未知數(shù)系數(shù)的絕對值不為1的二元一次方程組.

難點：進(jìn)一步理解在用代入消元法解方程組時所體現(xiàn)出的化歸意識.

課堂教學(xué)過程設(shè)計

一、從學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)提出問題

1.解方程組=

4x-5y+9=0.

(本題為小測驗，教師把題抄在黑板上，學(xué)生準(zhǔn)備數(shù)學(xué)作業(yè)紙完成.其目的是檢查并督促學(xué)生

復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識，時間為3分鐘)

2.結(jié)合第1小題的解答，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出用代入消元法解方程組的一般步驟.(先

提問，后教師用投影打出)

(1)從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程中的一個未知數(shù)，如y,用含x的的

代數(shù)式表示，即y=ax+b；

(2M^y=ax+b代入另一個方程中，消去y,得到一個關(guān)于x的一元一次方程；

(3)解這個一元一次方程，求出x的值；

(4)把求得的x的值代入丫=2乂+13中，求出y的值，從而得到方程組的解.

二、講授新課

例1解方程組?

分析：該方程組中的每一個方程都不是以含有一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)的形式,

因此不能直接代入.應(yīng)先將其中的某個方程變形.是用含x的代數(shù)式表示y,還是用含y的

代數(shù)式表示x呢？引導(dǎo)學(xué)生通過觀察得出，由于方程①中y的系數(shù)的絕對值是2,較小.故

由方程①得出用含x的代數(shù)式表示y.

解：由①，得y=g(3x-ll),③

把③代入②，得

4x-5?j(3x-ll)=3,

8x-5(3x-ll)=6,

-7x=-49,

所以x=7.

把x=7代入③，得y=5.

所以(X=7；

y=5.

(本題的解答過程由學(xué)生口述，教師板書完成；通過師生的共同探討，得出選擇未知數(shù)的系數(shù)

的絕對值比較小的一個方程進(jìn)行變形，可使解題較為簡便)

例2方程解組

分析：未知數(shù)的系數(shù)是分?jǐn)?shù)的方程組，在求解時一般先將分?jǐn)?shù)系數(shù)化為整數(shù)系數(shù)，然后求解.

解：方程①兩邊同乘以12,得4x+3y=12,③

方程②兩邊同乘以6,得2y-3x=6.④

由④，得y=￡(3x+6).⑤

將⑤代入③，得

4x+3?g(3x+6)=12,

8x+9x+18=24,

17x=6,

所以x=.

把x=5代入⑤，得曠=黑

，6

所以60

y=n-

(本題的解答過程，可由學(xué)生口述，教師板書完成)

例3解方程組

3x+y=2a+b,①

x-3y=2b-a.②

其中x,y是未知數(shù).

分析:解含有字母系數(shù)的方程組時，首先要分清哪些字母表示未知數(shù)，哪些字母表示已知數(shù)(即

常量).

解：由①，得尸2a+b-3x,③

將③代入②，得

x-3(2a+b-3x)=2b-a,

10x-6a-3b=2b-a,

10x=5a+5b,

a+b

所以

把x=三代入③，得

a+b

y=2a+b-3?

所以y=^.

'a4-b

三、課堂練習(xí)P41(3)(4)

補(bǔ)充：1.(投影)已知方程組:

'4y=x+4,①f4x-7y=2,①

（1J/「八（2乂八）m

5y=4x+3；②12x-25y=-2.②

對于每一個方程組，分別指出下列方法中比較簡捷的解法是().

A.利用①，用含x的代數(shù)式表示y,再代入②;

B.利用①，用含y的代數(shù)式表示x,再代入②;

C.利用②，用含x的代數(shù)式表示y,再代入①;

D.利用②，用含x的代數(shù)式表示x,再代入①;

2.用代入法解方程組:

2s+3t=-1,(3m-4n=7,

(似⑵！

4s-9t=8；9m-10n+25=0；

n、'x+3y+5_

—+—=2,-----十-——=7,

4423

⑶n⑼

mx+42y-3

—+-=2；-----------2

,6335

四、師生共同小結(jié)

在師生共同回顧了本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，教師指出，對于用代入法解未知數(shù)系數(shù)的絕對

值不是1的二元一次方程組，解題時，應(yīng)選擇未知數(shù)的系數(shù)絕對值比較小的一個方程進(jìn)行變

形，這樣可使運(yùn)算簡便.

五、作業(yè)

用代入法解下列方程組:

3x-5y=-1,7x+9y=8,

(1)l2x-3y=0；⑵4

9x-8y=69；

x2§

2-2y=25

4x+5y=3.5,

⑶y(4乂

x-1=1.8-x-6y；

x+/=-9；

x+1y+2

/亍-丁二°'r

mx+y=n,,

(5)jx-3y-31(6)<(m+n聲0)

———=--■nx-y=m.

4312'

6.4用加減法解二元一次方法組(-)

教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生正確掌握用加減法解二元一次方程組；

2.使學(xué)生理解加減消元法的基本思想所體現(xiàn)的“化未知為已知”的化歸思想方法.

教學(xué)重點和難點

重點：用加減消元法解二元一次方程組.

難點：明確用加減法解二元一次方程組的關(guān)鍵是必須使兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)絕對值

相等.

課堂教學(xué)過程設(shè)計

一、從學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)提出問題

1.用代入法解方程組：

2x+5y=19,①

2x-5y=-11.②

2.代入消元法解方程組的基本思想是什么？

在學(xué)生回答完上述問題的基礎(chǔ)上，教師指出，我們學(xué)習(xí)了“代入消元法”解方程組，代入法

的核心是代入“消元”，通過“消元”，使“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，從而問題得以解決，

那么除了代入可“消元”外，是否還有其它方法也能達(dá)到“消元”的目的呢？本節(jié)課我們就

來解決這一問題.

二、講授新課

1.用加減法解某一未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等的二元一次方程組

首先，引導(dǎo)學(xué)生觀察上面練習(xí)1中的方程組的特點，不難發(fā)現(xiàn)：方程組的兩個方程中，未知

數(shù)x的系數(shù)相等，都是2.因此可利用等式的性質(zhì)，把這兩個方程兩邊分別相減，就可以消

去一個未知數(shù)，得到一元一次方程，從而實現(xiàn)化“二元”為“一元”的目的.

然后，指導(dǎo)學(xué)生寫出本題的解答過程.

解：①-②，得10y=30,

所以y=3.

把y=3代入①，得x=2.

（問：把y=3代入②求x值，可以嗎？）

所以卜=2；

y=3.

（解答完本題后，應(yīng)讓學(xué)生口算檢驗）

隨后，教師進(jìn)一步追問消未知數(shù)x是由①-②達(dá)到目的，那么②-①可以嗎？怎樣做更簡捷？

學(xué)生一試即知.

再次引導(dǎo)學(xué)生觀察方程組構(gòu)成特點，并提出問題：能否通過消去未知數(shù)y,得到關(guān)于x的一

元一次方程，從而使問題得解呢？怎樣消去未知數(shù)y呢？

（請學(xué)生通過觀察、思考后求解，讓一名學(xué)生板演，其余學(xué)生自己完成，最后教師講評）

解：①+②，得4x=8,

所以x=2.

把x=2代入①，得y=3.

x=2,

所以

y=3.

解答完本題后，教師指出，從上面的解答過程來看，對某些二元一次方程可組通過兩個方程

兩邊分別相加或相減，消去其中一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，從而求出它的解.這

種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法，簡稱加減法.

例1解方程組

+7y=-19,①

6x-5y=17.②

分析：方程組中兩個方程的同一未知數(shù)x的系數(shù)相等，因此可直接由①-②或②-①消去未知

數(shù)x.

解：①-②，得12y=-36,

所以y=-3.

把y=-3代入②，得

6x-5X(-3)=17,

6x+15=17,

所以x=g.

r_2

所以X=31

y=-3.

此時，教師需強(qiáng)調(diào)以下兩點：

(1)解題時，①-②或②-①都可以消去未知數(shù)X,不過在②-①得到的方程中，y的系數(shù)是負(fù)數(shù),

所以在上面解法中應(yīng)選擇①-②；

(2)把y=-3代入①或②，最后結(jié)果是一樣的.但我們通常的作法是將所求出的一個未知數(shù)的

值代入系數(shù)簡單的過程中求另出一個未知數(shù)的值.

問題：若直接將上面方程組中的兩個方程兩邊相加或相減可以消去y嗎？

啟發(fā)學(xué)生得出以下結(jié)論：

在方程組的兩個方程中，若某個未知數(shù)的系數(shù)是相反數(shù)，則可直接把這兩個方程的兩邊分別

相加，消去這個未知數(shù)；若某個未知數(shù)的系數(shù)相等，可直接把這兩個方程的兩邊分別相減，

消去這個未知數(shù).

2.用加減法解某一未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍數(shù)關(guān)系的二元一次方程組

例2解方程組

2x+3y=16,①

’4x-12y=4②

分析：該方程組中同一未知數(shù)的系數(shù)的絕對值均不相等，將這兩個方程直接相加減都不能消

去未知數(shù).那么怎樣使方程組中某一未知數(shù)系數(shù)的絕對值相等呢？

啟發(fā)學(xué)生仔細(xì)觀察方程組的結(jié)構(gòu)特點，得出：①X2,得4x+6y=32.③

由③-②即可消去x,從而使問題得解.

解：①X2,得

4x+6y=32,

③

③-②，得18y=36,

(問：②-③可以嗎？怎樣更好)

所以y=2.

把y=2代入①，得x=5.

7=5,

所以

y=2.

此時，教師應(yīng)進(jìn)一步提問：能否通過消去未知數(shù)y,得出關(guān)于x的一元一次方程，使問題得

解呢？怎樣更好呢？

例3(KB44)解方程組⑴產(chǎn)+2y=142x-3y=3

(2)<

5x—y=63x—2y=7

三、課堂練習(xí)P45練習(xí)1、2

補(bǔ)充：(投影)

下列方程組中

(1)先消去哪個未知數(shù)較簡單，怎樣消？

(2)用加減法解下列方程組：

2x+y=11,-8x-5y=9,

1.2.'231

3x-y=9；3x-5y=20；rX+y=J

kk.3x+5y=41,342

5x+2y=12,(2x+5y=25,

3.4.9x-lOy=-52；

3x+2y=6；4+3y=15；

四、師生共同小結(jié)

首先，應(yīng)向?qū)W生提出以下問題:

1.當(dāng)方程組的某一方程中某一未知數(shù)的系數(shù)的絕對值是1時，用何種方法解較好?

例如解方程組x<+4y:—I2

5x-6=1.

2.當(dāng)方程組中某一未知數(shù)系數(shù)的絕對值相等時，用何種方法解較好?

例如解方程組：

2x+3y=3,(2x+3y=3,

⑴<5x-3y=2；⑵<|5x+3y=2.

3.當(dāng)方程組中某一未知數(shù)系數(shù)絕對值不相等，但成整倍數(shù)關(guān)系時，用何種方法較好？

例如解方程組

4x+7y=5.

然后，教師結(jié)合學(xué)生的回答情況指出，對于問題1,常用代入消元法求解；對問題2,3,常

用加減消元法求解.

五、作業(yè)P47習(xí)題6-2A組2B組1、2C組1、2

補(bǔ)充：用加減法解下列方程組：

x+5y=7,‘3x+2z=16,

1.2.4

x-3y=-1；3x-z=1；

'1

2u+5v=—,'2n-3y=13,

3.4.4

110n-4y=34；

3u-5v=-；

r4(x+l)=l-5y,

5.

3(y+2)=3-2x；

3(x+y)-2(3y-x)=15.

6.4用加減法解二元一次方程組(二)

教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生熟練地掌握用加減法解二元一次方程組；

2.進(jìn)一步使學(xué)生理解加減消元法的基本思想所體現(xiàn)的“化未知為已知”的化歸思想方法.

教學(xué)重點和難點

重點：學(xué)會用加減法解同一未知數(shù)的系數(shù)絕對值不相等，且不成整數(shù)倍的二元一次方程

組.

難點：怎樣將方程組化成某個未知數(shù)系數(shù)絕對值相等的方程組.

課堂教學(xué)過程設(shè)計

一、從學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)提出問題

1.解二元一次方程組有哪些方法？

2.下列方程組中，用哪種方法解較為簡捷？(投影)(只分析不求解)

5x+6y=8,①5x+6y=8,①(5x+6y=8,①

⑴x-4y=Is②⑵L4(3)1/4

2x-6y=l；②2x-3y=l.②

(結(jié)合學(xué)生的回答，教師作小結(jié)：第⑴小題由方程②得x=4y+l,因此用代入法較好.或

者①-②義5,消去x,用加減法；第(2)題未知數(shù)y的系數(shù)絕對值相等，第(3)題未知數(shù)y的

系數(shù)成整倍關(guān)系.因此，第(2),(3)題用加減法較好)

二、講授新課

上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了用加減法解二元一次方程組，本節(jié)課我們繼續(xù)學(xué)習(xí)利用加減法解二

元一次方程組.

例1解方程組

3x+4y=16,①

5x-6y=33.②

在分析本例題時，可向?qū)W生提出以下問題：

1.方程組中兩方程是否可通過直接相加或相減消元？

2.為什么兩方程直接相加或相減消不了元？

3.怎樣可使方程組中某一未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等呢？

4.怎樣可使方程組中某一未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等，且方程系數(shù)又都是整數(shù)呢？

讓學(xué)生自己思考，分析得出解題方法：通過由①義3,②X2,使關(guān)于y的系數(shù)絕對值相

從而可用加減法解得.

解：①義3,得

9x+12y=48,

②X2,得

10x-12y=66,

④

③+④，得

19x=144,

所以x=6.

把x=6代入①，得

3X6+4y=16,

4y=-2,

所以

x=6,

所以1

y=-2,

(上述例題，有的學(xué)生可能選擇消未知數(shù)x,再求解.教師可讓用不同消元過程解題的兩

名學(xué)生板演.通過對比，使學(xué)生自己總結(jié)出應(yīng)選擇方程組中同一未知數(shù)系數(shù)絕對值的最小公

倍數(shù)較小的未知數(shù)消元)

教師結(jié)合例1的解答過程，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出用加減法解二元一次方程組的一般步驟.(利

用投影逐一打出)

1.方程組的兩個方程中，某一未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等時：

(1)把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；

(2)解這個一元一次方程；

(3)將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值，從而

得到方程組的解.

2.方程組中同一未知數(shù)的系數(shù)絕對值均不相等時，把一個(或兩個)方程的兩邊乘以適當(dāng)

的數(shù)，使兩個方程中某一未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等，從而化為第一類型方程組求解.

例2解方程組

2(x-150)=5(3y+50),①

’10%?x+6%?y=8.5%X800.②

分析：當(dāng)方程組比較復(fù)雜時，應(yīng)先化簡，利用去括號、去分母、合

并同類項等手段，使方程組化為上君;二;的形式再解。

解：化簡方程組，得

2x-15y=550,③

5x+3y=3400.④

③+④義5,得

27x=17550,

所以x=650.

把x=650代入④中,得

5X650+3y=3400,

所以y=50.

x=650,

故'y=50.

三、課堂練習(xí)

1.下列各題中，消去哪個未知數(shù)比較合理？方程兩邊同乘以什么數(shù)，怎樣相加減以達(dá)到

消元目的？（只分析，不求解）

2x-3y=8,2x=3-3y,3x+5y=25,

(1乂

7x-5y=-5；3x=4-5y；4x+3y=15.

（本題利用投影打在屏幕上）

2.把下列方程組化成標(biāo)準(zhǔn)形式：（只整理成標(biāo)準(zhǔn)形式，不解出）

Jx+y=2800,

⑴Q)196K?x+64%?y=2800?92%；

3.解下列方程組:

'7xy

--+—=4,

2x-3y=8,32

(2)<

7x-5y=-55x+2y+9

53

四、師生共同小結(jié)

首先，向?qū)W生提出問題：用加減法解二元一次方程組的步驟是什么？

然后，結(jié)合學(xué)生的回答，教師指出，解二元一次方程組，可以用代入法，也可以用本節(jié)

課學(xué)習(xí)的加減法.今后解題時，如果沒有提出具體要求，應(yīng)該根據(jù)方程組的特點，選用其中

一種比較簡便的解法.

五、作業(yè)P269—270A組2B組1、2

1.解下列方程組：

2u3v1

+=

2x=3-3y,TT2*

3x=4-5y；457

-u+—v=—

5615

r3(2x-y)+4(x-2y)=87,x+y=60,

(3)<(4)<

2(3x-y)-3(x-y)=82；30%?x+60%?y=10%X60；

'2(x-y)x+y

(5)(34

6(x+y)=4(2x-y)+16.

2.已知方程組：x+21n，x=l求皿的值.

4x-ny=2m-1y=-1.

二元一次方程組解法復(fù)習(xí)課

教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生能夠正確地選擇解題方法，熟練地解二元一次方程組;

2.通過逆向思維訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

教學(xué)重點和難點

重點：二元一次方程組的解法.

難點：如何選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼舛淮畏匠探M.

課堂教學(xué)過程設(shè)計

一、從學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)提出問題

提問：解二元一次方程組有哪幾種方法？它們各適用于什么情況？

在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師指出：當(dāng)方程組中某一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值是1或一個方程的

常數(shù)項為零時，用代入法較方便；當(dāng)兩個方程中，同一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等或成整倍

數(shù)時，用加減法較方便.

二、課堂練習(xí)

(本節(jié)課的課堂練習(xí)已提前發(fā)到學(xué)生手中，要求學(xué)生認(rèn)真思考并解答每一個題，不明白或不清

楚的問題在題目上做好標(biāo)記，以便本節(jié)課上重點聽講并解決之)

1.已知四個方程組：

’3x-y=l,①8x+12y=5,①

⑴！?(2)<公

5x+4y=2；②15x-13y=l；②

x-5y=7,①(5x-6y=2,①

◎乂??乂公

3x+5y=9；②3x+7y=9.②

分別指出每一方程組比較簡捷的解法[]

A.利用①，用含x的代數(shù)式表示y,再代入②;

B.利用②，用含y的代數(shù)式表示x,再代入①;

C.用加減法，先消去x；

D.用加減法，先消去y；

2.用適當(dāng)方法解下列各方程組：

3(2x-l)+2(5y-2)=0,

x-5y=0,

⑴<

3x+7y=44；

心+口

x+y=500,

例23(4乂

60%?x+80%?y=500X72%.

4(x+y)-5(x-y)=2;

3.已知|x+y|+(x-y+3)W),則x、y的值分別是[]

223-33c33

；D

3*3；'2'"2"C-2-212-

5.若方程組[產(chǎn)y)的解是方程+2mxy+y2=16的一個解,

I7x-9y=5.

則m的值是[]

974

A.—；B.28；C.—；D.——.

447

6.思考題

若方程組f+1=7'無解，則a,c的值是[]

ax+2y=c

A.a=2,c=14；B.a=2,cW14；

C.aW2,c=14；D.aW2,cW14.

(第1題由學(xué)生口答即可，教師做些必要補(bǔ)充；第2題應(yīng)讓四名學(xué)生板演，教師與學(xué)生共同講

解.并做小結(jié)；第3、4、5題應(yīng)請三名學(xué)生分別闡述自己的解題方法，如有不妥之處，教師

作必要的補(bǔ)充.對于思考題，應(yīng)首先由加減法消去一個未知數(shù)y,得(a-2)x=cT4,考慮到方

程組無解，就是這個方程無解，故當(dāng)a=2,cW14時滿足這一條件)

三、師生共同小結(jié)

首先，讓學(xué)生回答，代入法和加減法解方程組的實質(zhì)是什么？

然后，教師列出以下框圖，以示說明.

消元

二元一次方程組一元一次方程I

代入、加溫

四、作業(yè)P47習(xí)題6-2A組3B組3C組2

補(bǔ)充:

1.解方程組:

'5mn

——+—=-4,(3(2x-y)+4(x-2y)=87,

25

2]2(3x-y)-3(x-y)=82；

mn2

--+-=

366

x+1

l-0.3(x-2)=xy

5(4)<2+3=3a，(a是常數(shù))

y-34x+9

-1.5；x-y=a.

420

2.當(dāng)x=2和x=3時，二次三項式x*px+q的值等于零，求p,q的值.

jx|+|y|=5，

3.解方程組:

‘綱他|=2

簡單的三元一次方程組的解法舉例

教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生了解三元一次方程組的概念，會用消元法解簡單的三元一次方程組；

2.理解用消元法解三元一次方程組時體現(xiàn)的“三元”化“二元”、“二元”化“一元”的化

歸思想方法.

教學(xué)重點和難點

重點：應(yīng)用消元法解三元一次方程組.

難點：選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄏ?，解方程組.

課堂教學(xué)過程設(shè)計

一、新課引入

前面我們學(xué)習(xí)了用代入法、加減法解二元一次方程組，這兩種方法的實質(zhì)都是消元，即把“二

元”轉(zhuǎn)化為“一元”，從而使問題得以解決.

但在實際中，我們所需要解決的問題往往涉及到3個或多個未知數(shù)，因而求解多元方程組的

問題是我們繼續(xù)討論的課題.

引例甲、乙、丙三數(shù)之和是26,甲數(shù)比乙數(shù)大1,甲數(shù)的兩倍與丙數(shù)的和比乙數(shù)大18.求

這三個數(shù).

（由學(xué)生設(shè)未知數(shù)，列方程組.并提問學(xué)生，讓其板演列方程組）

設(shè)甲數(shù)是x,乙數(shù)是y,丙數(shù)是z,根據(jù)題意，可以得到下列幾個方程

x+y+z=26,

x-y=l,

2x+z-y=18.

這個問題的解必須同時滿足上述三個方程，因此，我們把上述三個方程合在一起寫成

'x+y+z=26,①

ix-y=1,②

2x+z-y=18.③

這就構(gòu)成了方程組，該方程組中含有三個未知數(shù)，且組成方程組的每個方程的未知數(shù)項的次

數(shù)都是1,這就是我們要學(xué)習(xí)的三元一次方程組.本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)三元一次方程組的解

法.

二、師生共同探討三元一次方程組的解法

提問：怎樣求解由引例列出的三元一次方程組呢？

（先由學(xué)生自己做，教師巡視，在學(xué)生動手動腦的基礎(chǔ)上，教師給予適當(dāng)引導(dǎo)）

首先引導(dǎo)學(xué)生思考：三元一次方程組與二元一次方程組的不同之處是什么？

然后，教師指出：我們知道二元一次方程組可以利用代入法或加減法消去一個未知數(shù)，化成

一元一次方程求解.利用它們的解題思想和方法，我們是否會求解三元一次方程組呢？

（通過以上的啟發(fā)工作，引導(dǎo)學(xué)生自然地想到通過代入法或加減法消元，化“三元”為“二元”，

化“二元”為“一元”，從而方程組得以求解）

例1解方程組

x+y+z=26,①

ix-y=1,②

2x+z-y=18.③

分析：仿照前面學(xué)過的代入法，將②變形后代入①、③中消元，再求解.

解法一：由②，得x=y+l.④

將④分別代入①、③得

2y+z=25,⑤

y+z=16.⑥

解這個方程組，得

'y=9,

z=7.

把y=9代入④，得x=10.

x=10,

所以<y=9,

z=7.

此時，教師進(jìn)一步提出如下問題：

1.上面方程組中方程②只含有未知數(shù)X、y,是一個二元一次方程，由它可以直接求出x與y

的值嗎？那么怎樣可以求出x與y的值呢？

2.怎樣得出關(guān)于x,y的第二個二元一次方程呢？（由學(xué)生獨(dú)立思考，自己找出解題方法）

解法二：③-①，得x-2y=-8④

由②，④組成方程組

x-y=1,②

x-2y=-8.④

解這個方程組，得《x=10,

y=9.

把x=10,y=9代入①中，得y=7.

1=10,

所以<y=9,

z=7.

此時，教師進(jìn)一步追問：本題是否還有更簡捷方法求解？（若有學(xué)生發(fā)現(xiàn)簡捷方法，教師應(yīng)及

時給予表揚(yáng)，并請學(xué)生板演.若不然，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察這三個方程中未知數(shù)系數(shù)間的對

應(yīng)關(guān)系.從而發(fā)現(xiàn)①+②所得的方程中X與Z的系數(shù)與方程③中X與Z的系數(shù)分別對應(yīng)相等，

因此可由①+②-③直接得到關(guān)于y的一元一次方程，求出y值后再代回，即可得到關(guān)于X、y

的二元一次方程組）

解法三：由①+②-③，得y=9.把y=9代入②，得x=10.

把x=10,y=9代入①，得z=7.

x=10,

所以<y=9,

z=7.

（解答完本題后，應(yīng)提醒學(xué)生不要忘記檢驗，但檢驗過程一般不寫出）

從上述問題的一題多解，使我們體會到，靈活運(yùn)用代入法或加減法消元，將有助于我們迅速

求解方程組.

例2解方程組

'llx+3z=9,①

?2x+2y+z=8,②

2x-6y+4z=5.③

分析：在這個方程組中，方程①只含有兩個未知數(shù)X、Z,所以只要由②③消去y,就可以得

到只含有x,z的二元一次方程組.

解：②X3+③，得llx+7z=29,④

把方程①，④組成方程組

[lx+3z=9,①

'llx+7z=29.④

r_6

解這個方程組，得]'=一五’

z=5.

把x=-搐,z=5代入②，得

6

3*(--)+2y+5=8,

51

所以y=0.

，6

x='Ti,

51

所以y=221

z=5.

問：將x=《，z=5代入②求懂行嗎？怎樣更簡捷.

例3解方程組

3x+2y+z=13,①

<x+y+2z=7,②

2x+3y-z=12.③

分析時，引導(dǎo)學(xué)生觀