2024年南昌市十中高三數(shù)學(xué)高考三模試卷附答案解析

年南昌市十中高三數(shù)學(xué)高考三模試卷試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知由小到大排列的5個(gè)樣本數(shù)據(jù)的極差是11，則的值為（

）A．23 B．24 C．25 D．262．若以集合的四個(gè)元素為邊長構(gòu)成一個(gè)四邊形，則這個(gè)四邊形可能是（

）A．矩形B．平行四邊形C．梯形 D．菱形3．若函數(shù)滿足，則稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，在下列函數(shù)中，滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是（

）A． B． C． D．4．如圖，在扇形中，C是弦的中點(diǎn)，D在上，．其中，長為．則的長度約為（提示：時(shí)，）（

）A． B． C． D．5．某校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中有一項(xiàng)為環(huán)形投球比寒，如圖，學(xué)生在環(huán)形投擲區(qū)內(nèi)進(jìn)行投球.規(guī)定球重心投擲到區(qū)域內(nèi)得3分，區(qū)域內(nèi)得2分，區(qū)域內(nèi)得1分，投擲到其他區(qū)域不得分.已知甲選手投擲一次得3分的概率為0.1，得2分的概率為，不得分的概率為0.05，若甲選手連續(xù)投擲3次，得分大于7分的概率為0.002，且每次投擲相互獨(dú)立，則甲選手投擲一次得1分的概率為（

）A． B． C． D．6．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．-2 B．-3 C．-4 D．-57．如圖，在正四棱臺中，，為上底面的對角線，且下底面的面積和側(cè)面的面積分別為20和，則該正四棱臺外接球的表面積是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題:本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知復(fù)數(shù)，且的虛部為3，則（

）A．B．C．為純虛數(shù)D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限10．已知橢圓，點(diǎn)分別為的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)分別為的左?右頂點(diǎn)，過原點(diǎn)且斜率不為0的直線與交于兩點(diǎn)，直線與交于另一點(diǎn)，則（

）A．的離心率為B．的最小值為C．上存在一點(diǎn)，使D．面積的最大值為211．函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，和都是奇函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．是周期函數(shù) D．三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．設(shè)圓心在軸的圓過點(diǎn)，且與直線相切，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.13．在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是．

14．正方形螺旋線是由多個(gè)不同大小的正方形旋轉(zhuǎn)而成的美麗圖案，如圖，已知第1個(gè)正方形的邊長為，且，依次類推，下一個(gè)正方形的頂點(diǎn)恰好在上一個(gè)正方形對應(yīng)邊的分點(diǎn)處，記第1個(gè)正方形的面積為，第個(gè)正方形的面積為，則.四、解答題共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明:.16．如圖，在直角梯形中，，，，為梯形對角線，將梯形中的部分沿翻折至位置，使所在平面與原梯形所在平面垂直（如圖）.（1）求證：平面平面；（2）探究線段上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出；若不存在說明理由.17．已知為橢圓的右焦點(diǎn)，過的右頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)的直線的斜率為.(1)求的方程；(2)若直線與交于兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)），記直線和直線的斜率分別為，求的值.18．已知函數(shù).(1)求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)區(qū)間；(3)若對任意，都有，求的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）19．為落實(shí)食品安全的“兩個(gè)責(zé)任”，某市的食品藥品監(jiān)督管理部門和衛(wèi)生監(jiān)督管理部門在市人民代表大會(huì)召開之際特別邀請相關(guān)代表建言獻(xiàn)策.為保證政策制定的公平合理性，兩個(gè)部門將首先征求相關(guān)專家的意見和建議，已知專家?guī)熘泄灿?位成員，兩個(gè)部門分別獨(dú)立地發(fā)出批建邀請的名單從專家?guī)熘须S機(jī)產(chǎn)生，兩個(gè)部門均邀請2位專家，收到食品藥品監(jiān)督管理部門或衛(wèi)生監(jiān)督管理部門的邀請后，專家如約參加會(huì)議.(1)設(shè)參加會(huì)議的專家代表共X名，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.(2)為增強(qiáng)政策的普適性及可行性，在征求專家建議后，這兩個(gè)部門從網(wǎng)絡(luò)評選出的100位熱心市民中抽取部分市民作為群眾代表開展座談會(huì)，以便為政策提供支持和補(bǔ)充意見.已知這兩個(gè)部門的邀請相互獨(dú)立，邀請的名單從這100名熱心市民中隨機(jī)產(chǎn)生，食品藥品監(jiān)督管理部門邀請了名代表，衛(wèi)生監(jiān)督管理部門邀請了名代表，假設(shè)收到食品藥品監(jiān)督管理部門或衛(wèi)生監(jiān)督管理部門的邀請后，群眾代表如約參加座談會(huì)，且，請利用最大似然估計(jì)法估計(jì)參加會(huì)議的群眾代表的人數(shù).（備注:最大似然估計(jì)即最大概率估計(jì)，即當(dāng)P（X=k）取值最大時(shí)，X的估計(jì)值為k）1．B【分析】由極差的定義即可求解.【詳解】由題知最小的數(shù)據(jù)是13，最大的數(shù)據(jù)是，則極差為，解得.故選：B.2．C【分析】根據(jù)集合中元素的互異性，可得四個(gè)元素互不相等，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】由題意，集合的四個(gè)元素為邊長構(gòu)成一個(gè)四邊形，根據(jù)集合中元素的互異性，可得四個(gè)元素互不相等，以四個(gè)元素為邊長構(gòu)成一個(gè)四邊形，結(jié)合選項(xiàng)，只能為梯形.故選：C.3．D【分析】根據(jù)逐一將選項(xiàng)的每個(gè)函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】解：由題得滿足，則稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，A．，不符合要求；B．，不符合要求；C．，不符合要求；D．，符合要求故選：D.4．B【分析】根據(jù)弧長公式，結(jié)合已知求出角的余弦的近似值，求出CO,最后得到CD即可.【詳解】設(shè)圓心角，，，所以，，所以．故選：B.5．B【分析】先由已知條件確定，再計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】由于甲選手投擲3次后，如果得分大于7分，則3次的得分必定是3，3，3或3，3，2（不考慮順序），所以其概率.而已知，故，所以.從而甲選手投擲一次得1分的概率為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于利用已知概率逆向確定的值.6．D【分析】根據(jù)兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，即可求得答案.【詳解】由可知，其展開中常數(shù)項(xiàng)為，令，r無整數(shù)解，不存在含的項(xiàng)，令，故含項(xiàng)為，則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故選：D.7．A【分析】先確定該棱臺的上下底面邊長和高，然后解出外接球球心到下底面的距離，最后求出外接球半徑和表面積.【詳解】由于該棱臺是正四棱臺，故每條側(cè)棱的長度都相等，且上下底面都是正方形.而下底面的面積是，所以下底面的邊長.而，所以上底面的邊長.由于每個(gè)側(cè)面都是上下底分別為和的等腰梯形，而面積為，故每個(gè)等腰梯形的高，所以每個(gè)等腰梯形的側(cè)棱長.由于每條側(cè)棱在底面上的投影長都是，所以該棱臺的高.最后設(shè)該棱臺外接球球心到下底面的距離為，則外接球球心到上底面的距離為，并設(shè)外接球的半徑為.則，，所以，即.解得，所以.所以該外接球的表面積等于.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于設(shè)出外接球球心到下底面的距離，再列方程組求解.8．D【分析】將函數(shù)變形，換元后得到，研究得到為偶函數(shù)，由有唯一零點(diǎn)，得到函數(shù)的圖象與有唯一交點(diǎn)，結(jié)合為偶函數(shù)，可得此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，代入后求出.【詳解】有零點(diǎn)，則，令，則上式可化為，因?yàn)楹愠闪?，所以，令，則，故為偶函數(shù)，因?yàn)橛形ㄒ涣泓c(diǎn)，所以函數(shù)的圖象與有唯一交點(diǎn)，結(jié)合為偶函數(shù)，可得此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，故.故選：D9．AC【分析】利用向量的除法運(yùn)算和虛部為3，即可求出，再利用復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算和模的運(yùn)算以及復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的表示，就能作出選項(xiàng)判斷.【詳解】由的虛部為3，則，解得，所以選項(xiàng)A正確.，所以，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤.由為純虛數(shù)，所以選項(xiàng)C正確.由，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC.10．ACD【分析】熟悉橢圓的離心率公式，橢圓焦半徑取值范圍為，焦半徑三角形頂角在上頂點(diǎn)時(shí)取最大，先對選項(xiàng)A、B、C作出判斷，對于選項(xiàng)D，就需要設(shè)出直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，再把三角形面積計(jì)算公式轉(zhuǎn)化到兩根關(guān)系上來，最后代入韋達(dá)定理得到關(guān)于的函數(shù)式，從而求出最值.【詳解】由題知，該橢圓中，所以離心率為正確；根據(jù)橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長軸的兩個(gè)端點(diǎn)得，距離最大為，距離最小為，又直線的斜率不為0，所以，B錯(cuò)誤；當(dāng)橢圓的對稱可知當(dāng)為短軸頂點(diǎn)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，由余弦定理得，故，即上存在一點(diǎn)，使正確；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與的方程得，設(shè)，則，所以，又點(diǎn)到直線的距離為，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以面積的最大值為正確；故選：ACD.11．BC【分析】由是奇函數(shù)可判斷A；利用向右平移1個(gè)單位后可得可判斷B；利用是奇函數(shù)，得到關(guān)系式，兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得，再由可求出的周期可判斷C；由可得，即可判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，則有，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故A錯(cuò)誤；對于B，是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，向右平移1個(gè)單位后可得，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；對于C，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以，所以，所以，所以①，因?yàn)?，所以②，由①②可得：，所以，所以，，所以是函?shù)的一個(gè)周期函數(shù)，所以是周期函數(shù)，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以，，，，所以，而，故D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性常有以下結(jié)論（1）關(guān)于軸對稱，（2）關(guān)于中心對稱，（3）的一個(gè)周期為，（4）的一個(gè)周期為.可以類比三角函數(shù)的性質(zhì)記憶以上結(jié)論.12．【分析】設(shè)圓的圓心為，根據(jù)已知條件得出半徑為，再將代入即可解出，從而得到答案.【詳解】設(shè)圓的圓心為，則由于該點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合圓與直線相切，知圓的半徑為.所以圓的方程是.而圓過點(diǎn)，所以，解得.所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：.13．或0【分析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)，結(jié)合與三點(diǎn)共線，可求得，再根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】∵三點(diǎn)共線，∴可設(shè)，∵，∴，即，若且，則三點(diǎn)共線，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，設(shè)，，則，.∴根據(jù)余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的長度為.當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)的長度為，當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)，不合題意，舍去.故答案為：0或.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量知識的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用以及求解運(yùn)算能力，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出．14．【分析】據(jù)已知條件可確定，然后使用數(shù)列求和方法即可.【詳解】由于第個(gè)正方形的邊長為，而第個(gè)正方形的面積等于第個(gè)正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積，故.而，故.所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于從相似圖形中辨別出等比數(shù)列.15．(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)，再用已知條件列出兩個(gè)方程并解出其中的參數(shù)；（2）直接求出，再用裂項(xiàng)法即可.【詳解】（1）設(shè)，則由已知有，.將第一個(gè)等式展開化簡可得，故由知.再代入第二個(gè)等式可得，解得，從而.故的通項(xiàng)公式是.（2）由于，故.16．（1）見解析（2）存在點(diǎn)，且時(shí)，有平面，詳見解析【分析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，證明平面，得到平面平面.（2）存在點(diǎn)，且時(shí)，有從而得到平面.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，則，故，又平面平面，且平面平面，，平面，∴平面，又平面，∴.又，，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）存在點(diǎn)，且時(shí)，有平面，連結(jié)交于，由知，又，故，又平面，平面，∴平面.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直，線面平行，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件列出關(guān)于的兩個(gè)方程，再解出即可；（2）將直線和橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即可化簡并求出結(jié)果.【詳解】（1）由有；而，，故.所以，從而，故.所以的方程是.（2）設(shè)，，將直線與聯(lián)立：.將直線代入橢圓，得到.展開即為.故，.由于，故，即，從而.所以.18．(1)；(2)答案見解析；(3).【分析】（1）求得，，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得切線方程；（2）討論參數(shù)與和的大小關(guān)系，在不同情況下，求函數(shù)單調(diào)性，即可求得單調(diào)區(qū)間；（3）將問題轉(zhuǎn)化為在上的最大值，根據(jù)（2）中所求單調(diào)性，求得，再構(gòu)造函數(shù)解關(guān)于的不等式即可.【詳解】（1），，又，，故的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2），又，，則時(shí)，當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減；時(shí)，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減；時(shí)，當(dāng)，，在單調(diào)遞減；時(shí)，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)，的單調(diào)減區(qū)間為，沒有單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.（3）若對任意，都有，則在上的最大值；由（2）可知，當(dāng)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故；令，則，故在單調(diào)遞增，又，則；故當(dāng)時(shí)，，也即當(dāng)時(shí)，對任意，都有.故的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問處理的關(guān)鍵是，將在區(qū)間上恒成立，轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)第二問中所求函數(shù)單調(diào)性求得，再構(gòu)造函數(shù)解不等式即可.19．(1)分布列見解析，3.2(2)詳見解析.【分析】(1)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的概率公式計(jì)算得分布列及期望；(2)設(shè)收到兩個(gè)部門邀請的代表的集合為A∪B，人數(shù)，，設(shè)參加會(huì)議的群眾代表的人數(shù)為Y，則由離散型隨機(jī)變量的概率公式可得，設(shè)，由組合數(shù)公式計(jì)算得，分類討論是否為整數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】（1）X的可能取值為2，3，4，則，，，則X的分布列為X234P0.10.60.3（2）設(shè)食品藥品監(jiān)督管理部門邀請的代表記為集合A，人數(shù)為，衛(wèi)生監(jiān)