2024年九年級數(shù)學下冊27相似小專題三相似三角形的基本模型檢測題含解析新版新人教版

小專題(三)相像三角形的基本模型下面僅以X字型、A字型、雙垂型、M字型4種模型設置練習，幫助同學們相識相像三角形的基本模型，并能從困難的幾何圖形中辨別出相像三角形，進而解決問題．模型1X字型及其變形(1)如圖1，對頂角的對邊平行，則△ABO∽△DCO；(2)如圖2，對頂角的對邊不平行，且∠OAB＝∠OCD，則△ABO∽△CDO.1．(濱州中考)如圖，矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝eq\r(6)，點E在對角線BD上，且BE＝1.8，連接AE并延長交DC于點F，則eq\f(CF,CD)＝eq\f(1,3)．2．如圖，已知∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的長．解：∵∠ADE＝∠ACB，∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，即∠BDF＝∠ECF.又∵∠BFD＝∠EFC，∴△BDF∽△ECF.∴eq\f(BD,CE)＝eq\f(DF,CF)，即eq\f(8,4)＝eq\f(DF,2).∴DF＝4.模型2A字型及其變形(1)如圖1，公共角所對應的邊平行，則△ADE∽△ABC；(2)如圖2，公共角的對邊不平行，且有另一對角相等，則△ADE∽△ABC；(3)如圖3，公共角的對邊不平行，兩個三角形有一條公共邊，且有另一對角相等，則△ACD∽△ABC.3．(濰坊中考)如圖，在△ABC中，AB≠AC，D，E分別為邊AB，AC上的點，AC＝3AD，AB＝3AE，點F為BC邊上一點，添加一個條件：答案不唯一，如：∠A＝∠BDF，∠A＝∠BFD，∠ADE＝∠BFD，∠EDA＝∠BFD，DF∥AC，eq\f(BD,AE)＝eq\f(BF,ED)，eq\f(BD,DE)＝eq\f(BF,AE)等，可以使得△FDB與△ADE相像．(只需寫出一個)4．(福州中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝eq\f(\r(5)－1,2)，在AC邊上截取AD＝BC，連接BD.(1)通過計算，推斷AD2與AC·CD的大小關(guān)系；(2)求∠ABD的度數(shù)．解：(1)∵AD＝BC＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴AD2＝(eq\f(\r(5)－1,2))2＝eq\f(3－\r(5),2).∵AC＝1，∴CD＝1－eq\f(\r(5)－1,2)＝eq\f(3－\r(5),2).∴AD2＝AC·CD.(2)∵AD2＝AC·CD，∴BC2＝AC·CD，即eq\f(BC,AC)＝eq\f(CD,BC).又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.∴eq\f(AB,BD)＝eq\f(AC,BC).又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD.∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC.設∠A＝∠ABD＝x，則∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x.∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°.解得x＝36°.∴∠ABD＝36°.模型3雙垂型直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形與原三角形相像，即△ACD∽△ABC∽△CBD.5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一點，DE⊥AB于點E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，則AD的長為(C)A．3B．4C．5D．66．如圖，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D為垂足，且AD＝3，AC＝3eq\r(5)，則斜邊AB的長為(B)A．3eq\r(6)B．15C．9eq\r(5)D．3＋3eq\r(5)7．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝6，AC＝3eq\r(13)．模型4M字型及其變形(1)如圖1，Rt△ABD與Rt△BCE的斜邊相互垂直，則有△ABD∽△CEB；(2)如圖2，點B，C，E在同一條直線上，∠ABC＝∠ACD，則再已知一組條件，可得△ABC與△DCE相像．8．如圖，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是線段BD的中點，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，求AB的長．解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°.∴∠ACB＋∠A＝90°.∵AC⊥CE，∴∠ACB＋∠ECD＝90°.∴∠A＝∠ECD.∴△ABC∽△CDE.∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(BC,DE).又∵C是線段BD的中點，ED＝1，BD＝4，∴BC＝CD＝2.∴AB＝4.9．如圖，在正方形ABCD中，E為邊AD的中點，點F在邊CD上，且∠BEF＝90°.(1)求證：△ABE∽△DEF；(2)若AB＝4，延長EF交BC的延長線于點G，求BG的長．解：(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠A＝∠D＝90°.∴∠ABE＋∠AEB＝90°.∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°.∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF.(2)∵AB＝AD＝4，E為AD的中點，∴AE＝DE＝2.由(1)知，△ABE∽△DEF，∴eq\f(AB,DE)＝eq\f(AE,DF)，即eq\f(4,2)＝eq