2024年九年級數(shù)學(xué)下冊27相似小專題三相似三角形的基本模型檢測題含解析新版新人教版

小專題(三)相像三角形的基本模型下面僅以X字型、A字型、雙垂型、M字型4種模型設(shè)置練習(xí)，幫助同學(xué)們相識相像三角形的基本模型，并能從困難的幾何圖形中辨別出相像三角形，進(jìn)而解決問題．模型1X字型及其變形(1)如圖1，對頂角的對邊平行，則△ABO∽△DCO；(2)如圖2，對頂角的對邊不平行，且∠OAB＝∠OCD，則△ABO∽△CDO.1．(濱州中考)如圖，矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝eq\r(6)，點(diǎn)E在對角線BD上，且BE＝1.8，連接AE并延長交DC于點(diǎn)F，則eq\f(CF,CD)＝eq\f(1,3)．2．如圖，已知∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的長．解：∵∠ADE＝∠ACB，∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，即∠BDF＝∠ECF.又∵∠BFD＝∠EFC，∴△BDF∽△ECF.∴eq\f(BD,CE)＝eq\f(DF,CF)，即eq\f(8,4)＝eq\f(DF,2).∴DF＝4.模型2A字型及其變形(1)如圖1，公共角所對應(yīng)的邊平行，則△ADE∽△ABC；(2)如圖2，公共角的對邊不平行，且有另一對角相等，則△ADE∽△ABC；(3)如圖3，公共角的對邊不平行，兩個(gè)三角形有一條公共邊，且有另一對角相等，則△ACD∽△ABC.3．(濰坊中考)如圖，在△ABC中，AB≠AC，D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，AC＝3AD，AB＝3AE，點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn)，添加一個(gè)條件：答案不唯一，如：∠A＝∠BDF，∠A＝∠BFD，∠ADE＝∠BFD，∠EDA＝∠BFD，DF∥AC，eq\f(BD,AE)＝eq\f(BF,ED)，eq\f(BD,DE)＝eq\f(BF,AE)等，可以使得△FDB與△ADE相像．(只需寫出一個(gè))4．(福州中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝eq\f(\r(5)－1,2)，在AC邊上截取AD＝BC，連接BD.(1)通過計(jì)算，推斷AD2與AC·CD的大小關(guān)系；(2)求∠ABD的度數(shù)．解：(1)∵AD＝BC＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴AD2＝(eq\f(\r(5)－1,2))2＝eq\f(3－\r(5),2).∵AC＝1，∴CD＝1－eq\f(\r(5)－1,2)＝eq\f(3－\r(5),2).∴AD2＝AC·CD.(2)∵AD2＝AC·CD，∴BC2＝AC·CD，即eq\f(BC,AC)＝eq\f(CD,BC).又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.∴eq\f(AB,BD)＝eq\f(AC,BC).又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD.∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC.設(shè)∠A＝∠ABD＝x，則∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x.∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°.解得x＝36°.∴∠ABD＝36°.模型3雙垂型直角三角形被斜邊上的高分成兩個(gè)直角三角形與原三角形相像，即△ACD∽△ABC∽△CBD.5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，則AD的長為(C)A．3B．4C．5D．66．如圖，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D為垂足，且AD＝3，AC＝3eq\r(5)，則斜邊AB的長為(B)A．3eq\r(6)B．15C．9eq\r(5)D．3＋3eq\r(5)7．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝6，AC＝3eq\r(13)．模型4M字型及其變形(1)如圖1，Rt△ABD與Rt△BCE的斜邊相互垂直，則有△ABD∽△CEB；(2)如圖2，點(diǎn)B，C，E在同一條直線上，∠ABC＝∠ACD，則再已知一組條件，可得△ABC與△DCE相像．8．如圖，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是線段BD的中點(diǎn)，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，求AB的長．解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°.∴∠ACB＋∠A＝90°.∵AC⊥CE，∴∠ACB＋∠ECD＝90°.∴∠A＝∠ECD.∴△ABC∽△CDE.∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(BC,DE).又∵C是線段BD的中點(diǎn)，ED＝1，BD＝4，∴BC＝CD＝2.∴AB＝4.9．如圖，在正方形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，且∠BEF＝90°.(1)求證：△ABE∽△DEF；(2)若AB＝4，延長EF交BC的延長線于點(diǎn)G，求BG的長．解：(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠A＝∠D＝90°.∴∠ABE＋∠AEB＝90°.∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°.∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF.(2)∵AB＝AD＝4，E為AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE＝2.由(1)知，△ABE∽△DEF，∴eq\f(AB,DE)＝eq\f(AE,DF)，即eq\f(4,2)＝eq