高中數(shù)學(xué)圓錐曲線重要結(jié)論

L點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)P處的外角.

2.PT平分△PFF2在點(diǎn)P處的外角，那么焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).

3.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.，以焦點(diǎn)半徑PH為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.

4.假設(shè)《（玉），％）在橢圓《+”.=1上，那么過玲的橢圓的切線方程是號(hào)+渾=1.

a2a1-b

5.假設(shè)玲（工。，）。）在橢圓￡+E=i外，那么過P。作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為Pi、P2,那么切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是警+斗=1.

a2b-a'b'

6.橢圓I+/=1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為Fl,F2,點(diǎn)P為橢圓上隨意一點(diǎn)/月P乙=7,那么=b2tan；.

7.橢圓￡_+2_=1、>1>>0）的焦半徑公式：|嗎|=a+eXo，|ME,|=。一ex（）（K（-c,O）,7s（c,0）M（x0,y0））.

a-h

8.過橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交P、Q,A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連AP和AQ交F橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，那么MF_LNF.

9.過橢圓焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于P、Q.Ai、A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，AiP和A?Q交于點(diǎn)M,A2P和AiQ交于點(diǎn)N,那么MFJ_NF.

10.AB是橢圓烏+二=1的不平行于對(duì)稱軸的弦，M（Xo，y0）為AB的中點(diǎn)，那么心”―陽(yáng)8=—4，即長(zhǎng)八"=_93。

b"'礦'42yo

1.點(diǎn)P處的切線PT平分△PFF2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.

2.PT平分△PRF2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，那么焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).

3.以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交

以焦點(diǎn)半徑PH為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）

4.假設(shè)《（%,為）在雙曲線=一2.=1（a>0,b>0）上，那么過外的雙曲線的切線方程是警一卑=1.

ab~ah~

5.假設(shè)在雙曲線與_與=1（a>0,b>0）外，那么過P。作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為Pi、P2,那么切點(diǎn)弦學(xué)一岑=1.

a2b~ab~

6.雙曲線二y-2=1（a>0,b>o）的焦點(diǎn)為Fi,F2,點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)/耳月用=/,那么雙曲線的焦點(diǎn)角形4尸/八

丫2v2

7.雙曲線三一方=1（a>0,b>o）的焦半徑公式：（耳（一。,0）,Q（C,O）

7

當(dāng)M（%o，yo）在右支上，|A/E|=e%o+aJM8|=ex（）-a當(dāng)M（~）,%）在左支上時(shí)|M/；|=-ex（）+a,\MF21=-ex0-a

8.過雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線交于P、Q,A為雙曲線長(zhǎng)軸上一頂點(diǎn)，連AP和AQ交于焦點(diǎn)F雙曲線準(zhǔn)線于M、N,那么MF_LNF.

焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于P、Q,Ai、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，AiP和A2Q交于M,A2P和AiQ交于點(diǎn)N,那么MF_LNF.

10.AB是雙曲線m一￡=1的不平行于對(duì)稱軸的弦，M（Xo，yo）為AB的中點(diǎn)那么-Km=生%，即

22

a-b-'ay0ay0

2222

11?4（王）,凹））在￡一￡=1內(nèi)，被p。所平分的中點(diǎn)弦的方程華一書=誓—工.過p。的弦中點(diǎn)的軌跡二一二=學(xué)一渾?

a2hrab~aba"b~a~b~

i.假設(shè)P為橢圓鼻+5=1上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),B,Fz是焦點(diǎn)，NPF、F,=a,NPF,F\=/3,那么區(qū)二￡=tan￡cot2.

aba+c22

22

XV

2.設(shè)橢圓=+彳=1（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi.F2.P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為橢圓上隨意一點(diǎn)，在△PFF?中，記N耳P?=￡,

ah

/尸耳外=/,/月吊尸=》,那么有—包上—=￡=e.

sin/?+sin/a

22

3.假設(shè)橢圓［+與=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為B、F2,左準(zhǔn)線為L(zhǎng),那么當(dāng)OVeWJ5-1時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)P,使得PB

a-b

是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).

X2V2

4.P為橢圓=+*=1（a>b>0）上任一點(diǎn),R,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)肯定點(diǎn)，那么2。一|46141PAi+|2片區(qū)24+|入片當(dāng)且僅

當(dāng)A，K，P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.

2

5.橢圓(?='-+=1與直線Ax+By+C^O有公共點(diǎn)的充要條件是A2a2+B2b?>(Ar0+Bya+C).

a'b

22

xy

6.橢圓一y+w=t1（a>b>0）,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP_LOQ

2222

11114abrah

(1)口而+前r/+/⑵QPF+QQF的最大值為總戶⑶%”最小值是瓦萬.

X2V2\PF\e

7.過橢圓丁+—=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P,那么----=-

a2h2\MN\2

8.AB在橢圓=十==1(a>b>0)上，線段AB的中垂線與x軸相交于點(diǎn)尸(題,0),那么一———<X()<-———.

abaa

2

Xy22b2

9.設(shè)P點(diǎn)是橢圓f+-=1(a>b>0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),Fi、F2為其焦點(diǎn)記居=8,那么⑴|P￡||P居|=------.(2)

crb~1+cos0

Sg=〃tang

10.設(shè)A、B是橢圓*+2=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，ZPAB=a,/PBA=0,NBPA=y,c、e分別是

橢圓的半焦距離心率，那么有(1)|PA|=2"'l,cos,⑵tantztan/7=l-e2.(3)coty.

a~-c^cos-yb"-a

22

11.橢圓[+3=1(a>b>0)的右準(zhǔn)線/與x軸相交于點(diǎn)E,過橢圓右焦點(diǎn)尸的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線/上，且

a2b2

8CJL.X軸，那么直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).

12.過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，那么相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.

過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，那么該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑相互垂直.

13.橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率)(注:在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分

線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn))內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).

2222

14.橢圓工+匯=1(a>b>o)的頂點(diǎn)4(一。，0),4(。，0)，與y軸平行的直線交橢圓于PLP2時(shí)AR與A2P2交點(diǎn)軌跡

a-b-ab

22X

15.過橢圓=+4=1上一點(diǎn)A(Xo，%)隨意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，那么直線BC有定向且4叱=F&(常數(shù)).

abayQ

2222

1.雙曲線W—4=1頂點(diǎn)A(—a,o).&(。,0),與y軸平行的直線交雙曲線于P,.P2,A.P,與A2P2交點(diǎn)軌跡馬+2=1.

a~b~crb~

2..2方2

2.r過=_上=1上一點(diǎn)A(Xo，X,)作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn)，那么直線BC有定向且％8c=—々乜(常數(shù)).

ab~a%

X2y2

3.假設(shè)P為雙曲線—一一二1(a>0,b>0)右(或左)支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),Fi,F2是焦點(diǎn)，/產(chǎn)打工=Q,/尸居耳=/?,那么

ab-

c-aaB_c-aBa

-----=tan—cot一(或------=tan-cot—).

c+a22c+a22

4.設(shè)雙曲線￡_/=i(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fl、F:,P(異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為雙曲線上隨意一點(diǎn)，在△PFR中，記/片2鳥=0.

sina

/PF[F?=/3,NFiF?P=y,那么有

±(sin/-sin/3)a

5.假設(shè)雙曲線￡-E=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為R、Fz,左準(zhǔn)線為L(zhǎng),那么當(dāng)l〈ewj5+l時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P,使得

a2b2

PFi是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF:的比例中項(xiàng).

22

6.P為雙曲線=_與=1(a>0,b>0)上任一點(diǎn),FI,F2為二焦點(diǎn),A為雙曲線內(nèi)肯定點(diǎn)，那么|AE,|—2a<\PA\+\PFl|,當(dāng)且僅當(dāng)A,F,,P

a~b~

三點(diǎn)共線且尸和A,￡,在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立.

2

上_(a>0.b>0)與直線Ax+5y+C=0有公共點(diǎn)的充要條件是A2a2-g-b24c2

7.雙曲線工_人2

y2

8.雙曲線工.o2_(b>a>0),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP_LOQ.

11ii4612b2ca2b2

⑴——-+------=——一7；(2)IOPF+IOQF的最小值為73——T；⑶SA”0的最小值是73——7.

|OQ『a2b2h--a2ch2-a2

22

p,那么也，

9.過雙曲線七一二=1(a>0,b>0)右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于

a2b2IMN|2

—/a2+b2

10.雙曲線.一4=1(a>0,b>0),A,B在雙曲線上，線段AB的中垂線與x軸交于尸(X。，0)，那么X。之三且,或/W--------.

ah~aa

222b2

11.設(shè)P點(diǎn)是雙曲線二一與=1(a>0,b>0)上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),B、巳為其焦點(diǎn)記=6,那么(l)|Pf；I--——

a~b~1一COS夕

2/

SAPFR=b-cot-.

X2V2

12.設(shè)A、B是雙曲線r—J=l（a>0,b>0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，/PAB=a,/PBA=02BPA=y,c、e分

ab~

2ICSI222b72

別是雙曲線的半焦距離心率，那么(1)1PAi=―—°v--(2)tan(2tan/?=1-e.(3)SAPAB=9cot/.

\a-ccosy\b"+a

x2y2

13.雙曲線二一一二1（a>0,b>0）的右準(zhǔn)線/與x軸相交于點(diǎn)E,過雙曲線右焦點(diǎn)廠的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線/

ab

上，且5C_Lx軸，那么直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).

14.過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，那么相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.

過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，那么該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑相互垂直.

15雙曲線焦三角形中，外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e（離心率）（注:在雙曲線焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角

平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)）.其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng).

、產(chǎn)1

例1.點(diǎn)A（3,2）,F[2,0）,雙曲線/2_己_=],P為雙曲線上一點(diǎn)。求|PA|+51Ppi的最小值。

,??雙曲線離心率為2,F為右焦點(diǎn)，由其次定律知即點(diǎn)P到準(zhǔn)線距離.?.|PA|+，|PF|=|Q4|+|MNAM=-

222

例2.求共焦點(diǎn)F、共準(zhǔn)線/的橢圓短軸端點(diǎn)的軌跡方程。

解：取如下圖的坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)F到準(zhǔn)線/的距離為p（定值），橢圓中心坐標(biāo)為M（t,0）（t為參數(shù)）

tb~

22

+V

解析：???加=2t3的幾何意義為，曲線/+y2=3（》20）上的點(diǎn)與點(diǎn)（一3,

-3）連線的斜率，如下圖

x+3

kpAWmWkpB博加3

22

例4.圓（x—3）2+y2=4和直線y=〃式的交點(diǎn)為p、Q,那么|0丹|0。|的值為一

???\OMP?\OQN\OP\]OQ\=\OM\]ON\=5

射線OP交橢圓于一點(diǎn)R,點(diǎn)Q在OP上且滿意|。。卜|0月=|0/?|2,

2416128

當(dāng)點(diǎn)P在/上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程。

f—>—>———>——>

如圖，OQ,OR,。。共線，設(shè)OR=40（2,OP=//0。,OQ=(x,y)，那么OR=(Ax,Ay)，OP=(jux,r)

???IOP|=I。那???〃|=22|0Q『〃=萬

22

?.?點(diǎn)R在橢圓上，P點(diǎn)在直線/上二+殳）=[,竺+竺=1x~yxy

即一+—=—+—

24161282416128

(x-1)(y-D2.2

化簡(jiǎn)整理得點(diǎn)Q的軌跡方程為:+1（直線y=一4％上方局部）

55

23

例6.求經(jīng)過兩圓了2+y2+6x-4=0和+y2+6y-28=0的交點(diǎn)，且圓心在直線x-y—4=0上的圓的方程。

設(shè)+y2+6x—4+2(尤2+>2+6>—28)=0

—3—3J

(1+A)x~+(1+%)y~+6x+6/ly—(284+4)=0那么圓心為(------，---------)，在直線x—y—4=()上

1+A1+2

解得；1=一7故所求的方程為x2+y2-x+7y-32=0

2

v

例7.過點(diǎn)A(2,1)的直線與雙曲線-J=1相交于兩點(diǎn)Pl、P2,求線段PlP2中點(diǎn)的軌跡方程。

2

解：設(shè)々(X1,必)，(%2'

P]y2),那么

2

2紇=1<1>

(%-y)(y+丁2)即丁2一%2區(qū)+%2)

2<2-1>得(為2—陽(yáng))(玉+%2)=-------------------即--------=------------

22%2一再弘+為

”=1<2>

2

為一必…2%

設(shè)PH的中點(diǎn)為M(x0,%),那么kp、p.

￡7]y。

y—1,即止1=為

又“AM=~~Z,而Pi、A、M、P2共線:?kpp=kAM

%-2/一2y0

二片鳥中點(diǎn)M的軌跡方程是2》2—y2-4x+y=0

例1點(diǎn)T是半圓O的直徑AB匕一點(diǎn)，AB=2、OT=t(0<t<1),以AB為直腰作直角梯形AA'B'B，使AA'垂直且等于AT,使BB'

垂直且等于BT,N'8'交半圓于P、Q兩點(diǎn)，建立如下圖的直角坐標(biāo)系.

(1)寫出直線A'B'的方程；(2)計(jì)算出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；

(3)證明：由點(diǎn)P發(fā)出的光線，經(jīng)AB反射后，反射光線通過點(diǎn)Q.

(1)明顯B(-1,1+4得直線N'B'的方程為》=—加+1；

x2+y2=1,2z1—t2

(2)由方程組《,解出尸(0,1)、0(————-)：

y=—Zx+1,1+，l+L

1-01二-O-2

(3)k

PT0-1'(I-'

1+尸

由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知，由點(diǎn)P發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)T反射,反射

光線通過點(diǎn)Q.

22

xv

例2直線I與橢圓r+谷=1(。>〃>。)有且僅有?個(gè)交點(diǎn)Q,且與x軸、y軸分別交于R、S,求以線段SR為對(duì)角線的矩形ORPS

a1Z?

的一個(gè)頂點(diǎn)P的軌跡方程.

由，直線I不過橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，所以設(shè)直線I的方程為y=/(％。0).

代入橢圓方程得b?/+a2(k2x2+2ktnx+m1)=a2b2.(a2k2+b2)x2+2koimx+a2/w2-a2b2=0.

^=(2ka2m)2-4(a2k2+b2)(a2m2-a2h2)=^a2h1(a1k2+b2-m2).△=0.^ia2k2+b2=m2.①

在直線方程y=Zx+m中，分別令y=0,x=0,求得R(-',0),S(0,，〃).

k

m』上，22

令頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由，得&解得x代入①得4+C.=］即為所求頂點(diǎn)p的軌跡方程.

y=m.m-y.Yy2

22ry

例3雙曲線一--=1的離心率c=―--,過A(tz,O),B(0,—/?)的直線到原點(diǎn)的距離是

⑴求雙曲線的方程；

⑵直線y=Ax+5(ZW0)交雙曲線于不同的點(diǎn)C,D且C,D都在以B為圓心的圓上，求k的值.

/-_ab_ab_V3

(1)￡=273，原點(diǎn)到直線AB：2_S=1的距離a=r2.,2=-=虧..故土_/=1

ci3ah、"°3

...b=1,a=-\/3.

⑵把y=Ax+5d弋入—3,2=3中消去y,整理得(1-342)工2一30kx-78=0.

設(shè)C(X[,y),D(X2,y2),CD的中點(diǎn)是E(x0，%)，那么

項(xiàng)+“2_15kJu5Jy04-11

X。=.yo=^o+5=T-^r,^=^--=--

2i-3k2

15k5k2

2+2+左=(),工O,k=7那么k=±V7.

x0+ky0+k=0,即i-3kl-3k例

4橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)Ft、F2在x軸上，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且NFiPFz的最大值為90。，直線I過左焦點(diǎn)Fi與橢圓交于A、

B兩點(diǎn)，AABF2的面積最大值為12.

（1）求橢圓C的離心率；（2）求橢圓C的方程.

（）設(shè)|對(duì)△「與耳；，由余弦定理，得

1PFt|=?],|PF21=r2,\FXF2I—2C,

22222

r'+r2-4c_(4+r2)-2rxr2-4c_4a-4c2]=442_4C2[=1-2/=0得T

cosZF,PF2=

2rd22”24r2-2(^

（2）考慮直線/的斜率的存在性，可分兩種狀況：

i）當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)I的方程為y=Z（x+c）...................①

橢圓方程為*+方=1,4（西，弘）,仇工2，%）由e=q.得。2=2。2/2=。2

于是橢圓方程可轉(zhuǎn)化為x2+2/-2c2=0.....................②

將①代入②，消去y得/+2公*+。）2一2o2=o,

整理為X的一元二次方程，得（i+2k2）x2+Ack2x+2c2（Jl2-1）=0.

那么XCX2是上述方程的兩根.且|x,-x"=2岳2缶（1+公）

'|4B|=Jl+公工-占|=

2'1+2/1+2&2

AB邊上的高h(yuǎn)=|"?"$inNBFE=2cx—1￡L=(

Jl+公廠也可這樣求解:

S」2&C(^^)^L2Cs=gl月工

2i+2k2

J1+&2|?|

=2A/5C2=25/2c2<Vic2.V=。|上卜|丹一x?I

1+2-

+k2

ii）當(dāng)k不存在時(shí)，把直線％=—。代入橢圓方程得）>=±孝。,|A8|=6?,S=gj5c'xJ5c2

由①②知S的最大值為由題意得0c2=12所以「2==Z?2a2=I2V2

故當(dāng)ZXABF2面積最大時(shí)橢圓的方程為：力?/

12726加

另一解法設(shè)過左焦點(diǎn)的直線方程為：x=my-c.......①橢圓的方程為：￡+E=I,A（項(xiàng)，兇）,8（々,刈）

a2b2

由6=變.得：/=2/,〃=/,于是橢圓方程可化為：x2+2y2-2c2=0……②

2

把①代入②并整理得：（機(jī)2-2）寸-2機(jī)分，-’2=0%，丫2是上述方程的兩根.

y/4m2c2+4c2(m2+2)_2y[2c(1+m2)

IAB|=依一工2)2+(%-％)2=Jl+>\y2-ytI=

m2+2m2+2

AB邊上的總看,sfw小堂/卷=2&i\+tn2

l(m+2)2=2叵$----------———<V2c2.

m2+1+—+2

w2+l

當(dāng)且僅當(dāng)m=0取等號(hào)，即Smax=3c2.

由題意知缶2=]2,于是。2=c?=12夜.故當(dāng)aABFZ面積最大時(shí)橢圓的方程為：蟲?y2T

I2V26V2'

x2y2

例5直線y=—x+l與橢圓r+一=l（a>Z>>0）相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線/：工一2〉=0上.

ab'

（i）求此橢圓的離心率；（2）假設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)的在圓+y2=4上，求此橢圓的方程.

[y=—％+1,

（1）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4（七，必）,852，%）?則由工2y2得(Q_+/?-)工__2Q_X+Q__ct~b~=0,

/+萬=1

再+為=，"二，%+為二—（X1+3）+2=,，，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（.26r2，TF）?

a+b-Q+Zra+ba+b

a22b2

由得一i-----------%-------=0,「.a?=2b~=2(。~—c2)=2c"，故橢圓的離心率為e-.

a2+b-a2+b22

(2)由(1)知b=c,從而橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為/S,0),設(shè)廠(6,0)關(guān)于直線/:x-2y=0的對(duì)稱點(diǎn)為

(%'%)’則震.9一但.一2吟=。，解得/=|Wo=：b

由得x(；+=4,{-b)~+(—/?)"=4,b~=4,故所求的橢圓方程為國(guó)-+=1

例6OM：X?+(y-2)2=1，。是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA,QB分別切。M于A,B兩點(diǎn)，

4.72

(1)假如|AB\=—^-,求直線MQ的方程；(2)求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程.

(1)由|AB|=—3一,可得

|MP|=J|MA|2一(呼1)2J"(半y=g，由射影定理，得

|MB|2=|MP\-\MQ|,得|MQ\=3,在RSMOQ中,

|021=J|MQl-[MOI=J32_22=V5,故"炳或a=-75,

所以直線AB方程是2x+J5y—2j5=0或2x—J5y+2逐=0;

(2)連接MB,MQ,設(shè)尸(x,y),Q(a,O),由點(diǎn)M,P.Q在始終線上，得

由射影定理得|MB『=|MP|?|MQI,即-Jx2+(y-2)2-V?2+4=1,(**)

把(*)及(**)消去a,并留意到y(tǒng)<2,可得犬+(>—？尸=」-(y片2).

416

例7如圖，在Rt^ABC中，NCBA=90°,AB=2,AC=——。DO_LAB于O點(diǎn)，OA=OB,D0=2,曲線E過C點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在E上運(yùn)動(dòng),

2

且保持|PA|+|PB|的值不變.

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程;

(2)過D點(diǎn)的直線L與曲線E相交于不同的兩點(diǎn)M、N且M在D、N之間，設(shè)'也=4,試確定實(shí)數(shù)；I的取值范圍.

DN

(1)建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖：|PA|+|PB|=|CA|+|CB|

y