正余弦函數的性質二單調性與最值（導學版）人教版數學必修一

人教版高中數學必修1第五章三角函數5.4.3-正弦函數、余弦函數的性質二：單調性與最值授課：張丹老師[慕聯(lián)教育同步課程導學篇]課程編號：TS2007010302RB1050403ZD（A）學習目標了解y＝sinx，y＝cosx的單調性，會利用單調性比較大小112理解y＝sinx，y＝cosx的最大值與最小值，會求簡單三角函數的值域和最值會求函數y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的單調區(qū)間13由于正弦函數是周期函數，我們可以先在它的一個周期的區(qū)間（如）上討論它的單調性，再利用它的周期性，將單調性擴展到整個定義域．

如圖當由增大到時，曲線逐漸上升，的值由-1增大到1；當由增大到時，曲線逐漸下降，的值由1減小到-1．

狓－π２

０

π２

π

３π２ｓｉｎ狓－１

０

１

０

－１狓－π２

０

π２

π

３π２ｓｉｎ狓－１

０

１

０

－１

的值的變化情況表：

狓－π２

０

π２

π

３π２ｓｉｎ狓－１

０

１

０

－１狓－π２

０

π２

π

３π２ｓｉｎ狓－１

０

１

０

－１

這就是說，

正弦函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減.由正弦函數的周期性可得，

正弦函數在每一個閉區(qū)間上都單調遞增，其值從-1增大到1；

正弦函數在每一個閉區(qū)間上都單調遞減，其值從1減小到-1．

單調性

類似地，觀察余弦函數在一個周期區(qū)間（如）上函數值的變化規(guī)律，將看到的函數值的變化情況填入表

由此可得，

函數在區(qū)間________

上單調遞增，其值從-1增大到1；在區(qū)間_____________上單調遞減，其值從1減小到-1．

由余弦函數的周期性可得，

余弦函數在每一個閉區(qū)間______________________上單調遞增，其值從-1增大到1；

余弦函數在每一個閉區(qū)間______________________上單調遞減，其值從1減小到-1．

y1o-1-ππy=cosx4.最大值與最小值從上述對正弦函數、余弦函數的單調性的討論中容易得到，

正弦函數當且僅當________________時取得最大值1，當且僅當______________時取得最小值-1；

余弦函數當且僅當___________時取得最大值1，當且僅當_______________時取得最小值-1.

例3下列函數有最大值、最小值嗎？如果有，請寫出取最大值、最小值時自變量的集合，并求出最大值、最小值．

解：容易知道，這兩個函數都有最大值、最小值.

(1)使函數取得最大值的的集合，就是使函數取得最大值的的集合

使函數取得最小值的的集合，就是使它取得最小值的的集合

函數的最大值是1+1=2；最小值-1+1=0.(2)令，使函數取得最大值的的集合，是使取最小值的的集合

由

得

所以，使函數

取得最大值的的集合

同理，使函數取得最小值的的集合是函數的最大值是3，最小值是-3.

例4不通過求值，比較下列各組數的大?。?/p>

解：（1）因為

在區(qū)間上單調遞增，所以

（2）

因為，且函數在區(qū)間上單調遞減，所以

即

例5求函數的單調遞增區(qū)間．

解：令則

因為的單調遞增區(qū)間是且由

得

所以，函數的單調遞增區(qū)間是

鞏固練習練習1課堂小結結合圖象，理解三角函數的單調性，會求三角函數的單調區(qū)間和最值.112比較三角函