五省河北重慶廣東福建湖南2025屆高三數(shù)學(xué)解題能力試題含解析

PAGE29-五?。ê颖敝貞c廣東福建湖南）2025屆高三數(shù)學(xué)解題實(shí)力試題（含解析）一?單項(xiàng)選擇題1.已知集合，，則集合為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別化簡集合，，利用交集的定義計(jì)算可得答案．【詳解】集合，則集合故選：B【點(diǎn)睛】本題考查集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，考查學(xué)生計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．2.提鞋公式也叫李善蘭協(xié)助角公式，其正弦型如下：，，下列推斷錯(cuò)誤的是（）A.當(dāng)，時(shí)，協(xié)助角B.當(dāng)，時(shí)，協(xié)助角C.當(dāng)，時(shí)，協(xié)助角D.當(dāng)，時(shí)，協(xié)助角【答案】B【解析】【分析】分別推斷出，的值，對協(xié)助角的影響．①，，則協(xié)助角在第一象限；②，，則協(xié)助角在第四象限；③，，則協(xié)助角在第三象限；④，，則協(xié)助角在其次象限．【詳解】解：因?yàn)椋?，，對于，因?yàn)椋?，則協(xié)助角在第一象限，，，故選項(xiàng)正確；對于，因?yàn)椋?，則協(xié)助角在第四象限；，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于，因?yàn)?，，則協(xié)助角在其次象限；，，故選項(xiàng)正確；對于，因?yàn)椋?，則協(xié)助角在第三象限，，，故選項(xiàng)正確；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的分析實(shí)力，屬于中檔題．3.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，若動點(diǎn)滿意，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)出的坐標(biāo)為，依據(jù)題目條件，求出點(diǎn)的軌跡方程，寫出點(diǎn)的參數(shù)方程，則，依據(jù)余弦函數(shù)自身的范圍，可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則∵，∴∴∴為點(diǎn)的軌跡方程∴點(diǎn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）則由向量的坐標(biāo)表達(dá)式有：又∵∴故選：D【點(diǎn)睛】考查學(xué)生依據(jù)條件求解各種軌跡方程的實(shí)力，嫻熟駕馭代數(shù)式轉(zhuǎn)換，能夠利用三角換元的思想處理軌跡中的向量乘積，屬于中檔題.求解軌跡方程的方法有：①干脆法；②定義法；③相關(guān)點(diǎn)法；④參數(shù)法；⑤待定系數(shù)法4.已知，，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把要求的式子變形為，再利用基本不等式求得它的最小值．【詳解】已知，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，且，等號成立，故的最小值為，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的運(yùn)用，考查常數(shù)代換法，留意最值取得的條件，考查運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．5.在可行域內(nèi)任取一點(diǎn)，假如執(zhí)行如圖所示的程序框圖，那么輸出數(shù)對的概率是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出條件所表示的正方形區(qū)域，和圓，再利用幾何概型計(jì)算概率，即可得答案.【詳解】如圖所示：分別作出條件所表示的正方形區(qū)域、圓，由程序框圖的程序得：當(dāng)輸出數(shù)對的概率是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖與幾何概型，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心），若恒有成立，則雙曲線的離心率取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)所給條件和三角形面積公式，求得，的關(guān)系式，即可求得離心率的范圍.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，，，因?yàn)椋?，由雙曲線的定義可知，，所以，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了求雙曲線離心率的范圍，其主要方法為依據(jù)條件得出一個(gè)關(guān)于的齊次式，再化簡轉(zhuǎn)化成關(guān)于的不等式即可得解，本題屬于較難題.7.一個(gè)班級共有30名學(xué)生，其中有10名女生，現(xiàn)從中任選三人代表班級參與學(xué)校開展的某項(xiàng)活動，假設(shè)選出的3名代表中的女生人數(shù)為變量X，男生的人數(shù)為變量Y，則等于()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出,即得解.【詳解】由題得,所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查超幾何分布概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平.8.某人設(shè)計(jì)一項(xiàng)單人嬉戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形（邊長為2個(gè)單位）的頂點(diǎn)處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時(shí)針方向行走了幾個(gè)單位，假如擲出的點(diǎn)數(shù)為，則棋子就按逆時(shí)針方向行走個(gè)單位，始終循環(huán)下去.則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到起點(diǎn)處的全部不同走法共有（）A.21種 B.22種 C.25種 D.27種【答案】D【解析】【分析】正方形的周長為8，拋擲三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和為8或16，分別求出兩種狀況下三次骰子的點(diǎn)數(shù)狀況，進(jìn)而求出對應(yīng)的排列方法即可.【詳解】由題意，正方形的周長為8，拋擲三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和為8或16，①點(diǎn)數(shù)之和為8的狀況有：；；；；，排列方法共有種；②點(diǎn)數(shù)之和為16的狀況有：；，排列方法共有種.所以，拋擲三次骰子后棋子恰好又回到起點(diǎn)處的全部不同走法共有種.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合問題，留意兩種計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.二?多項(xiàng)選擇題9.已知，．若有唯一的零點(diǎn)，則的值可能為（）A.2 B.3 C. D.【答案】ACD【解析】【分析】通過只有一個(gè)零點(diǎn)，化為只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．令，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，推斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象，通過①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，④當(dāng)時(shí)，驗(yàn)證函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，推出結(jié)果即可．【詳解】解：，．只有一個(gè)零點(diǎn)，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且時(shí)，，函數(shù)的大致圖象如圖所示，所以只需關(guān)于的方程有且只有一個(gè)正實(shí)根．①當(dāng)時(shí)，方程為，解得，符合題意；②當(dāng)時(shí)，方程為，解得或，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，方程為，得，只有，符合題意．④當(dāng)時(shí)，方程為，得，只有，符合題意．故選：ACD．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)以及數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算實(shí)力，屬于難題．10.下列四個(gè)條件中，是的充分條件的是（）A.，B.為雙曲線，C.，D.，【答案】BC【解析】分析】依次分析推斷每個(gè)選項(xiàng)可知.【詳解】對于A，若，則，故p不是q的充分條件；對于B，若為雙曲線，則異號，即，故p是q的充分條件；對于C，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故p是q的充分條件；對于D，當(dāng)時(shí)，成立，不成立，故不是q的充分條件.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件的推斷，屬于基礎(chǔ)題.11.在正三棱錐中，側(cè)棱長為3，底面邊長為2，E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，則下列命題正確的是()A.EF與AD所成角的正切值為 B.EF與AD所成角的正切值為C.AB與面ACD所成角的余弦值為 D.AB與面ACD所成角的余弦值為【答案】BC【解析】【分析】如圖所示，先找出EF與AD所成角再求解，再找出AB與面ACD所成角求解.【詳解】（1）設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，連接、、、，因?yàn)椋?，，所以，，所以就是直線與所成的角或補(bǔ)角，在三角形中，，，由于三棱錐是正三棱錐，，，又因?yàn)槠矫妫?，所以平面，平面，所以，所以，所以，所以A錯(cuò)誤B正確.（2）過點(diǎn)作垂直，垂足為.因?yàn)椋?，平面，所以平面，平面，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，所以就是與平面所成角.由題得，所以.所以C正確D錯(cuò)誤.故答案為：BC.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間異面直線所成的角的求法，考查直線和平面所成的角的求法，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平.12.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．則下列結(jié)論正確的是（）．A.當(dāng)時(shí)，B.函數(shù)有五個(gè)零點(diǎn)C.若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D.對，恒成立【答案】AD【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，求出時(shí)的解析式，可推斷A；利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間及極值，再結(jié)合是奇函數(shù)，可作出函數(shù)在上的大致圖象，從而可逐項(xiàng)推斷B、C、D．【詳解】設(shè)，則，所以，又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，即故A正確．當(dāng)時(shí)，，所以，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得微小值，當(dāng)時(shí)，，又，故函數(shù)在僅有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在沒有零點(diǎn)，所以函數(shù)在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，故函數(shù)在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，又，故函數(shù)是定義在上有3個(gè)零點(diǎn)．故B錯(cuò)誤．作出函數(shù)的大致圖象，由圖可知若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故C錯(cuò)誤．由圖可知，對，故D正確．故選：AD．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式；利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性及最值；同時(shí)也考查函數(shù)的零點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)．三?填空題13.“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺是由中宣部主管，以深化學(xué)習(xí)宣揚(yáng)習(xí)近平新時(shí)代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員、面對全社會的優(yōu)質(zhì)平臺，現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動態(tài)、緊跟時(shí)代脈搏的熱門APP，該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”“視聽學(xué)習(xí)”兩個(gè)學(xué)習(xí)板塊和“每日答題”“每周答題”“專項(xiàng)答題”“挑戰(zhàn)答題”四個(gè)答題板塊，某人在學(xué)習(xí)過程中，“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩高校習(xí)板塊之間最多間隔一個(gè)答題板塊的學(xué)習(xí)方法有______種.【答案】432【解析】【分析】依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，結(jié)合排列數(shù)和組合數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】依據(jù)題意學(xué)習(xí)方法有二類：一類：在“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩高校習(xí)板塊之間間隔一個(gè)答題板塊，這樣的學(xué)習(xí)方法數(shù)為：；另一類是：在“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩高校習(xí)板塊之間不間隔一個(gè)答題板塊，這樣的學(xué)習(xí)方法數(shù)為：，因此某人在學(xué)習(xí)過程中，“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩高校習(xí)板塊之間最多間隔一個(gè)答題板塊的學(xué)習(xí)方法數(shù)為：.故答案為：432【點(diǎn)睛】本題考查了分類計(jì)算原理的應(yīng)用，考查了排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力和數(shù)學(xué)閱讀實(shí)力.14.函數(shù)的定義域?yàn)椋鋱D象如圖所示.函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿意，且當(dāng)時(shí)，.給出下列三個(gè)結(jié)論：①；②函數(shù)在內(nèi)有且僅有個(gè)零點(diǎn)；③不等式的解集為.其中，正確結(jié)論的序號是__________.【答案】①③【解析】【分析】利用的奇偶性和可求出的周期為，對于①，即可推斷；對于②，令求出，再利用周期即可推斷；對于③，令，求，視察圖像即可得出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，又，所以，即，所以，函數(shù)的周期為.對于①，由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，，故①正確；對于②，，令，可得，得，所以，函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)為和.因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，所以函數(shù)在內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)，分別是、、、、，故②錯(cuò)誤；對于③，令，則需求的解集，由圖象可知，，所以，故③正確.故答案為：①③.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的奇偶性和周期求區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)以及視察圖像解不等式.屬于較易題.15.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的鱉臑中，平面，，，，為中點(diǎn)，為內(nèi)的動點(diǎn)（含邊界），且.①當(dāng)在上時(shí)，______；②點(diǎn)的軌跡的長度為______.【答案】(1).2(2).【解析】【分析】(1)依據(jù)與鱉臑的性質(zhì)證明平面再求解即可.(2)依據(jù)(1)中的計(jì)算可知垂直于所在的平面,再得出垂直于在平面內(nèi)的軌跡再計(jì)算長度即可.【詳解】(1)當(dāng)在上時(shí),因?yàn)槠矫?故,又,故平面.故.又,為中點(diǎn),故所以為中點(diǎn).故.(2)取中點(diǎn)則由(1)有平面,故,又,設(shè)平面則有平面.故點(diǎn)的軌跡為.又此時(shí),,故.所以.故答案為：(1).2(2).【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)線面垂直與線面垂直的性質(zhì)求解立體幾何中的軌跡問題,須要依據(jù)垂直關(guān)系求解對應(yīng)的線段長度.屬于中檔題.16.已知等差數(shù)列中，若，則等式恒成立；運(yùn)用類比思想方法，可知在等比數(shù)列中，若，則與此相應(yīng)等式_________________恒成立.【答案】【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)有，等比數(shù)列的性質(zhì)有，類比即可得到結(jié)論.【詳解】已知等差數(shù)列中，,.,由等差數(shù)列的性質(zhì)得，.等比數(shù)列，且，有等比數(shù)列的性質(zhì)得，.所以類比等式，可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合類比的規(guī)則，和類比積，加類比乘，得出結(jié)論,屬于中檔題.四?解答題17.已知圓柱底面半徑為1，高為，是圓柱的一個(gè)軸截面，動點(diǎn)從點(diǎn)動身沿著圓柱的側(cè)面到達(dá)點(diǎn)，其距離最短時(shí)在側(cè)面留下的曲線如圖所示.將軸截面圍著軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，邊與曲線相交于點(diǎn).（1）求曲線的長度；（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）將圓柱的一半綻開,可知曲線的長度為矩形的對角線長度.其中矩形的寬為圓柱的高,長為底面的半圓長,即可求得曲線的長度.（2）當(dāng)時(shí),以底面的圓心O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),求得平面的法向量,即可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）曲線的長度為矩形的對角線長度.其中矩形的寬為圓柱的高,長為底面的半圓長,其中,底面的半圓長為∴的長為（2）當(dāng)時(shí),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:則有、、、,所以、、.設(shè)平面的法向量為,則,代入可得,令,得,所以點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱的綻開圖及距離的求法,利用空間向量求點(diǎn)到平面距離,屬于中檔題.18.甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參與猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個(gè)成語，在一輪活動中，假如兩人都猜對，則“星隊(duì)”得3分；假如只有一個(gè)人猜對，則“星隊(duì)”得1分；假如兩人都沒猜對，則“星隊(duì)”得0分．已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響．各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)“星隊(duì)”參與兩輪活動，求：（Ⅰ）“星隊(duì)”至少猜對3個(gè)成語的概率；（Ⅱ）“星隊(duì)”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列見解析，【解析】試題分析：（Ⅰ）找出“星隊(duì)”至少猜對3個(gè)成語所包含的基本領(lǐng)件，由獨(dú)立事務(wù)的概率公式和互斥事務(wù)的概率加法公式求解；（Ⅱ）由題意，隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事務(wù)的獨(dú)立性與互斥性，得到的分布列，依據(jù)期望公式求解.試題解析：（Ⅰ）記事務(wù)A:“甲第一輪猜對”，記事務(wù)B：“乙第一輪猜對”，記事務(wù)C：“甲其次輪猜對”，記事務(wù)D：“乙其次輪猜對”，記事務(wù)E：“‘星隊(duì)’至少猜對3個(gè)成語”.由題意，由事務(wù)的獨(dú)立性與互斥性，,所以“星隊(duì)”至少猜對3個(gè)成語的概率為.（Ⅱ）由題意，隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事務(wù)的獨(dú)立性與互斥性，得,,,,,.可得隨機(jī)變量的分布列為

0

1

2

3

4

6

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所以數(shù)學(xué)期望.【考點(diǎn)】獨(dú)立事務(wù)的概率公式和互斥事務(wù)的概率加法公式，分布列和數(shù)學(xué)期望【名師點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立事務(wù)的概率公式和互斥事務(wù)的概率加法公式、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題，首先要精確確定所探討對象的基本領(lǐng)件空間、基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)，利用獨(dú)立事務(wù)的概率公式和互斥事務(wù)的概率加法公式求解.本題較難，能很好的考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、基本運(yùn)算求解實(shí)力等.19.為了緩解城市交通壓力，某市市政府在市區(qū)一主要交通干道修建高架橋，兩端的橋墩現(xiàn)已建好，已知這兩橋墩相距m米，“余下的工程”只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)測算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2＋)x萬元．假設(shè)橋墩等距離分布，全部橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素．記“余下工程”的費(fèi)用為y萬元．(1)試寫出工程費(fèi)用y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m＝640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使工程費(fèi)用y【答案】（1）；（2）需新建9個(gè)橋墩才能使工程費(fèi)用y取得最小值，且最少費(fèi)用為8704萬元．【解析】試題分析：（1）設(shè)出相鄰橋墩間距米，需建橋墩個(gè)，依據(jù)題意余下工程的費(fèi)用為橋墩的總費(fèi)用加上相鄰兩墩之間的橋面工程總費(fèi)用即可得到的解析式；（2）把米代入到的解析式中并求出令其等于0，然后探討函數(shù)的增減性推斷函數(shù)的最小值時(shí)的值代入中求出橋墩個(gè)數(shù)即可.試題解析：（1）相鄰橋墩間距米，需建橋墩個(gè)，則，()

（2）當(dāng)米時(shí)，，，∵且時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，∴，∴需新建橋墩個(gè).20.已知直線與拋物線交于兩點(diǎn).（1）求證：若直線過拋物線的焦點(diǎn)，則；（2）寫出（1）的逆命題，推斷真假，并證明你的推斷.【答案】（1）證明見解析；（2）逆命題：若，則直線過拋物線的焦點(diǎn)；真命題.見解析【解析】【分析】（1）不妨設(shè)拋物線方程為，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為代入，驗(yàn)證.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為代入，得，再由韋達(dá)定理驗(yàn)證.（2）逆命題：直線過拋物線的焦點(diǎn).是真命題.證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為代入，解得，再由，求解.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為代入，得，由韋達(dá)定理得再由，求得與的關(guān)系現(xiàn)求解.【詳解】（1）設(shè)拋物線方程為，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，代入，得，所以.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，代入，得，由韋達(dá)定理得.所以若直線過拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，則.（2）逆命題：若，則直線過拋物線的焦點(diǎn).是真命題證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為代入得因?yàn)?，所以，解得，所以直線過拋物線的焦點(diǎn).當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，代入，得，由韋達(dá)定理得，又因?yàn)?，所以，所以直線的方程，所以直線過定點(diǎn)即直線過拋物線焦點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.21.在股票市場上，投資者常參考股價(jià)(每一股的價(jià)格)的某條平滑均線的改變狀況來確定買入或賣出股票.股民老張?jiān)谔接懝善钡淖邉輬D時(shí)，發(fā)覺一只股票的均線近期走得很有特點(diǎn)：假如按如圖所示的方式建立平面直角坐標(biāo)系，則股價(jià)(元)和時(shí)間的關(guān)系在段可近似地用解析式來描述，從點(diǎn)走到今日的點(diǎn)，是震蕩筑底階段，而今日出現(xiàn)了明顯的筑底結(jié)束的標(biāo)記，且點(diǎn)和點(diǎn)正好關(guān)于直線：對稱.老張預(yù)料這只股票將來的走勢如圖中虛線所示，這里段與段關(guān)于直線對稱，段是股份持續(xù)段的趨勢(規(guī)律)走到這波上升行情的最高點(diǎn).現(xiàn)在老張確定取點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)來確定解析式中的常數(shù)，，，，并且求得.（1）請你幫老張算出，，中，并回答股價(jià)什么時(shí)候見頂(即求點(diǎn)的橫坐標(biāo))（2）老張如能在今日以點(diǎn)處的價(jià)格買入該股票3000股，到見頂處點(diǎn)的價(jià)格全部賣出，不計(jì)其它費(fèi)用，這次操作他能賺多少元？【答案】（1），，，當(dāng)時(shí)，股價(jià)見頂；（2）(元).【解析】【分析】（1）依據(jù)?關(guān)于直線對稱，.得到點(diǎn)坐標(biāo)為，然后將??的坐標(biāo)代入求得段的解析式，然后再利用為稱性得到段的解析式.（2）利用（1）的解析式先求得，再由求解.【詳解】（1）∵?關(guān)于直線對稱，.∴點(diǎn)坐標(biāo)為，即把??的坐標(biāo)代入解析式，得，②-①得，，③-①得，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，代入②，得.再由①得，，∴，，，于是，段的解析式為，由對稱性得段的解析式為，∴，解得.因此可知