高中數(shù)學(xué)-均值不等式教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

3.2.1《均值不等式》教學(xué)設(shè)計

一、教學(xué)目標(biāo)確立依據(jù)

1.課程標(biāo)準(zhǔn)要求及解讀

(1)課程標(biāo)準(zhǔn)要求

基本不等式：(a,b>Q)

①探索并了解基本不等式的證明過程；

②會用基本不等式解決簡單的最大(小)問題。

(2)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀

課程標(biāo)準(zhǔn)對均值不等式要求：探索并了解基本不等式的證明過程，會用基本不等式解

決簡單的最大(小)問題。這個要求可以分為兩個層次：一是探索并了解基本不等式的證明

過程；二是會用基本不等式解決簡單的最大(小)問題。從第一個層次來看，要達(dá)到“探索

并了解”，需要三個步驟：首先要給學(xué)生創(chuàng)造相關(guān)的問題情景，啟發(fā)學(xué)生的思維，獲取感性

認(rèn)識；其次通過問題探究，讓學(xué)生步步深入、剖析其特點；最后利用不等式的性質(zhì)，將得出

的結(jié)論給出完整的證明，并明確均值不等式成立的三個條件。第二個層次是應(yīng)用層面：要通

過適當(dāng)?shù)睦}、習(xí)題和變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生明白對式子如何變形才可滿足運用均值不等式的

條件?

2.教材分析

本節(jié)是高中數(shù)學(xué)人教B版，必修5第三章不等式第二節(jié)的內(nèi)容。授課時數(shù)兩課時，這是

第一課時。

高中數(shù)學(xué)不等式是初中不等式知識的完善和提升，更是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，起著承前啟后

的作用。高中不等式與其他知識聯(lián)系緊密，具有工具性功能。

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)加強了不等式知識與實際生活的聯(lián)系，力求體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實的真

諦，教學(xué)中尤其突出不等式在解決實際問題中的工具作用。

均值不等式的三個條件是學(xué)生掌握的重點，也是用均值不等式解決實際問題的關(guān)鍵點和

易錯點。

教學(xué)重點：理解均值定理并運用其解題。

教學(xué)難點：難點1：均值不等式成立的三個條件;

難點2：對給出的條件進(jìn)行變形，使之滿足均值不等式求最值的條件。

難點突破方法：①多觀察、勤類比、善歸納、重建構(gòu)

②題組引路、逐層深化、歸納總結(jié)、明確要點

3.學(xué)情分析

從知識方面看：學(xué)生在初中就掌握了一些簡單的不等式知識，必修五第三章第一節(jié)《不

等關(guān)系與不等式》的學(xué)習(xí)，在一定程度上提高了他們的相關(guān)技能和能力。由此，均值不等式

的推出（即證明過程）水到渠成。但均值不等式的運用、式子的變形，對學(xué)生提出了新的更

高的要求，是一個循序漸進(jìn)，逐步熟悉的過程。

從學(xué)習(xí)情感方面看，高二的學(xué)生具有一定的知識基礎(chǔ)，有強烈的求知欲，喜歡探求真理，

具有枳極的情感態(tài)度。

從學(xué)習(xí)能力上看，我所任教班級的學(xué)生，盡管思維活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因

而片面，不夠嚴(yán)謹(jǐn)，系統(tǒng)地分析問題和解決問題的能力有待提高。

從協(xié)作能力上看：我所任教班級的學(xué)生，經(jīng)歷了高一一年的小組合作的培養(yǎng)，團隊協(xié)作

的精神很強。好多問題均可通過小組的力量解決。

二.學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)1：學(xué)生通過經(jīng)歷情境，由勾股圓方圖中蘊含的不等關(guān)系導(dǎo)出基本不等式。

學(xué)習(xí)目標(biāo)2：學(xué)生通過對探究1、2、3及問題的回答，明確基本不等式的幾何意義，認(rèn)識基

本不等式在數(shù)列中的意義，并掌握定理中的不等號“N”取等號的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個

數(shù)相等。

學(xué)習(xí)目標(biāo)3：學(xué)生通過對探究4、5、6,進(jìn)一步明確基本不等式運用的條件，并探討出對復(fù)

雜式子的常用變形方法，能熟練運用基本不等式求簡單的最值。

學(xué)習(xí)目標(biāo)4：學(xué)生通過合作探究和變式，體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

三、評價設(shè)計：

目標(biāo)1評價：學(xué)生獨立思考后，教師提問，選代表回答，至少50人達(dá)成目標(biāo)1。

目標(biāo)2評價：學(xué)生獨立思考后，由小組共同討論完成探究2及問題，由小組代表交流展示

結(jié)果。至少50人達(dá)成目標(biāo)2。

目標(biāo)3評價：學(xué)生獨立思考后，由小組合作探究出基本不等式運用的條件，并探討出對式

子的常用變形方法，能熟練運用基本不等式求簡單的最值，至少45人達(dá)成目標(biāo)3。

目標(biāo)4評價：學(xué)生通過教師提供的素材，通過課堂合作探究和變式練習(xí)，體會數(shù)學(xué)來源于生

活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

四、教學(xué)方法與學(xué)法

教學(xué)中注意用新課程理念處理教材，采用學(xué)生自主探索、動手實踐、合作交流、師生互

動等教學(xué)手段，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，自主學(xué)習(xí)，通過同桌合作或小組合作的形式開展探究活

動，讓學(xué)生的潛能得到發(fā)揮，思維得到融合和升華。根據(jù)本節(jié)課知識點較少，例題和習(xí)題較

多的特點，我采用多媒體和投影儀作為輔助教學(xué)。所用的教學(xué)方法有：

1.啟發(fā)研討法：采用“問題情境一一概括猜想一一探討研究一一拓展與應(yīng)用”的模式展開

教學(xué)。

2.情景教學(xué)法：充分聯(lián)系生活，盡可能增加教學(xué)過程中的趣味性、實踐性，利用媒體教學(xué)

課件等豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)資源。

3.問題驅(qū)動法：精心設(shè)計各種數(shù)學(xué)問題，調(diào)動全體學(xué)生積極參與，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使

學(xué)生自覺主動的學(xué)習(xí)。

4、合作探究法：利用同桌之間或小組合作，開展學(xué)習(xí)探究活動，在探究過程中，使學(xué)生的思

維得到發(fā)散，潛能得到發(fā)揮，生生之間的思維得到融合、交叉、提煉和升華。同時培養(yǎng)學(xué)生

的合作精神，感受合作的快樂。

五、教學(xué)流程

課前預(yù)習(xí)案

(-)新課指南：

*ICM2002

探究1：如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根

據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)

車，代表中國人民熱情好客。

【設(shè)計意圖】通過對勾股弦圖中面積大小的比較，引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的Ik'ijiny；

濃厚興趣，也可使學(xué)生進(jìn)一步感受到數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用與生活。

問題1：我們把“風(fēng)車”造型抽象成圖在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形.設(shè)直角三

角形的長為a、b,那么正方形的邊長為多少？面積為多少呢？

問題2：那4個直角三角形的面積和呢？

問題3：好，根據(jù)觀察4個直角三角形的面積和正方形的面積，我們可得容易得到一個不等

式。什么時候這兩部分面積相等呢？

結(jié)論：_______________________________________________________

問題4：你能給出a2+b2>2ab的證明嗎？

【設(shè)計意圖】通過問題串引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識新概念時培養(yǎng)學(xué)生的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

探究2：特別地,如果。>0力>0,用&和加分別代替外乩可得a+b>2而，也可寫成

\/ab>0,/?>0),下證之：

2

要證：>\/ab(a>0,Z?>0)①

2

即證a+b>②

要證②，只要證a+b-_______>0③

要證③，只要證()2>0④

顯然，④是成立的，當(dāng)且僅當(dāng)a=6時，④的等號成立

均值定理_________________________________________________________

對任意兩個正實數(shù)a,b,數(shù)叫做a,b的算術(shù)平均值，

數(shù)叫做的幾何平均值。

均值定理可以表達(dá)為：________________________________________________

探究3：在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a,BC=b。

過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BDo你能利用這個圖形得出基

本不等式J茄4的幾何解釋嗎？

2

【設(shè)計意圖】教師通過探究1,2,3引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識均值不等式，培養(yǎng)學(xué)生多角度的認(rèn)識新知

識的習(xí)慣，為新課的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

（二）預(yù)習(xí)自測：

。力是正數(shù)‘則早’而‘言三個數(shù)的大小順序是

)

Aa+bf—rlab

A.------<\jab<B.而33

2a+h2a+b

c?有弘<——a+bD.而33

一2a+h2

課中導(dǎo)學(xué)案

（一）創(chuàng)設(shè)情境一一引入課題

ICM2002

【情境】如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根

據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)車,

代表中國人民熱情好客。

問題1：你能在這個圖案中從面積的關(guān)系找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系O

嗎？Ikljing

AgEgRTOO?

【教師活動】教師出示問題，在預(yù)習(xí)學(xué)案中我們做了如下的引導(dǎo)，我們可以把“風(fēng)車”造型

抽象成圖在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的長為a、〃，那么正方

形的邊長為多少？面積為多少呢？其中4個直角三角形的面積和多少呢？

【設(shè)計意圖】通過對勾股弦圖中面積大小的比較，引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的濃厚興趣，也可使學(xué)

生進(jìn)一步感受到數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用與生活。

問題2：根據(jù)觀察4個直角三角形的面積和正方形的面積，我們可得容易得到一個不等式,

22

a+b>2abo什么時候這兩部分面積相等呢？

【學(xué)生活動】小組交流1分鐘預(yù)習(xí)案的成果，并推選代表講解。

22

生答：址,a+b12ab

生答：當(dāng)直角三角形變成等腰直角三角形，即。=人時，正方形EFGH變成一個點，這時有

a2+b2=2ab

【教師活動】出示問題，評價學(xué)生代表的講解，并追問問題3。

問題3：請思考?：

（1）不等式成立，a,b應(yīng)該滿足什么條件？

(2)公式中等號成立的條件是什么？

(3)你能用數(shù)學(xué)語言表達(dá)不等式左右兩邊的特征嗎？

任意兩數(shù)的平方和不小于它們的積的兩倍

(4)你注意到公式的變形嗎？

結(jié)論：(板書)一般地，對于任意實數(shù)a、b,我們有"+匕222^,當(dāng)且僅當(dāng)。時,

等號成立。

問題4：你能給出它的證明嗎？

【學(xué)生活動】學(xué)生嘗試證明后口答

【教師活動】出示問題，提問學(xué)生代表，并對回答進(jìn)行點評。并追問問題5

【設(shè)計意圖】教師通過問題1,2,3,4引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識不等式中的“大于等于"是兩層意思,

大于或等于，定要考慮等號成立的條件，培養(yǎng)學(xué)生的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

(二)步步探究一一形成概念

問題5：如果。>0/>0用—和、瓜分別代替a/可得到什么不等式？

請思考：

(1)不等式成立，a,b應(yīng)該滿足什么條件？

(2)公式中等號成立的條件是什么？

【學(xué)生活動】學(xué)生獨立思考，并回答老師提問。

【教師活動】出示問題，提問學(xué)生代表，并對回答進(jìn)行點評。并追問問題6。

總結(jié)結(jié)論：

均值定理如果那么"J茄當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立。

2

問題6：算術(shù)平均值與幾何平均值的概念

對任意兩個正實數(shù)兒數(shù)包心叫做a,b的算術(shù)平均值，數(shù)〃而叫做a,b的幾何平均值。

2

均值定理可以表達(dá)為：兩個正實數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它的幾何平均值。

【學(xué)生活動】學(xué)生獨立思考，并回答老師提問。

【教師活動】出示問題，提問學(xué)生代表，并對回答進(jìn)行點評。并追問問題7。

問題7：你能給出均值定理的證明嗎？

【學(xué)生活動】學(xué)生獨立思考，一名學(xué)生代表板演推理過程。

【教師活動】出示問題，教師巡視觀察學(xué)生的推理過程，并對回答進(jìn)行點評。

【設(shè)計意圖】教師通過問題6,7引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識兩個不等式之間的關(guān)系，并給出嚴(yán)格的證明

進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

【探究1］在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a,BC=b。過點C作垂直于

AB的弦DE,連接AD、BDo

疝3

問題7：你能利用這個圖形得出基本不等式2

（圓心為0,0D為半徑,CD為半弦）

問題8：均值不等式幾何意義是什么？

結(jié)論：基本不等式2幾何意義是“半徑不小于半弦”

【探究2】在剛學(xué)過的數(shù)列章節(jié)中你還會想到什么關(guān)系，用語言如何表述？

a+b

結(jié)論：把2看作是正數(shù)a、b的等差中項，疝看作是正數(shù)a、b的等比中項，那么該

定理可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.

【學(xué)生活動】學(xué)生獨立思考后同桌小議，學(xué)生代表回答探究1,2,的問題。

【教師活動】出示問題，選代表回答，并對回答進(jìn)行點評。

【設(shè)計意圖】教師通過探究1,2,的問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步從兩個不同的角度認(rèn)識基本不等式,

進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的思維的發(fā)散性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

【探究3】均值不等式可做出如何的等價變形？

【學(xué)生活動】學(xué)生獨立思考，并回答老師提問。

【教師活動】出示問題，提問學(xué)生代表，并對回答進(jìn)行點評。

【設(shè)計意圖】教師通過探究3的問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識基本不等式不同形式，進(jìn)一步培養(yǎng)

學(xué)生的思維的發(fā)散性和靈活性。

（三）學(xué)以致用——深化知識

B+屋2

【自主探究4】已知。匕＞°,求證：ab,并推導(dǎo)出式中等號成立的條件。

ba

—I—

變式：若"/?＜（）,a6又會得出怎樣的變化呢？

【學(xué)生活動】學(xué)生獨立思考后解答過程，探究4的問題。利用多媒體投影學(xué)生代表解答過程，

學(xué)生給予評判，補充完整。

【教師活動】出示問題，巡視學(xué)生的解答情況，并對學(xué)生的表現(xiàn)進(jìn)行點評，引導(dǎo)學(xué)生出示變

式練習(xí)。

（設(shè)計意圖】教師通過探究4的問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識基本不等式成立的三個條件并運用

其解簡單的問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的思維嚴(yán)謹(jǐn)性和用數(shù)學(xué)的能力。

【自主探究5】%＞°,當(dāng)X取何值時x有最小值，最小值是多少？

X

【變式】無＜°,當(dāng)X取何值時X+L有最值，最值多少？

X

【總結(jié)】若求函數(shù)），=1+’的值域

X

【學(xué)生活動】學(xué)生獨立思考后解答過程，探究5的問題。利用多媒體投影學(xué)生代表解答過程，

學(xué)生給予評判，補充完整。

【教師活動】出示問題，巡視學(xué)生的解答情況，并對學(xué)生的表現(xiàn)進(jìn)行點評。

【設(shè)計意圖】學(xué)生有了探究4的解題基礎(chǔ)，探究5的問題相對簡單給學(xué)生信心的同時，學(xué)生

進(jìn)一步認(rèn)識基本不等式成立的三個條件并運用其解簡單的問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的思維嚴(yán)謹(jǐn)

性和用數(shù)學(xué)的能力。

（四）能力提升一一應(yīng)用舉例

—2r2+九一3

【合作探究6】求函數(shù)/。）=上一±，（x>0）的最大值，以及此時x的值。

x

【合作探究7］已知x<』，則函數(shù)/（x）=4x+'一的最大值是多少？

44x-5

【學(xué)生活動】學(xué)生獨立思考探究6,7的問題，兩名學(xué)生代表板演，小組合作交流解決的過程。

利用多媒體投影學(xué)生代表解答過程，學(xué)生給予評判，補充完整。

【教師活動】出示問題，巡視學(xué)生的解答情況，并對學(xué)生的表現(xiàn)進(jìn)行點評。

【設(shè)計意圖】教師通過探究6,7的問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識基本不等式成立的三個條件并會

對復(fù)雜的式子變形，運用基本不等式求最值,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的思維嚴(yán)謹(jǐn)性和用數(shù)學(xué)的能力。

（五）回顧反思一一交流收獲

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你都學(xué)了哪些數(shù)學(xué)知識？用到了那些數(shù)學(xué)思想？在哪一部分體現(xiàn)？

【學(xué)生活動】學(xué)生獨立思考問題，兩名學(xué)生代表總結(jié)發(fā)言，學(xué)生給予評判，補充完整。

【教師活動】出示問題，并對學(xué)生的表現(xiàn)進(jìn)行點評。

【設(shè)計意圖】教師通過回顧反思問題的總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)反思的良好習(xí)慣。

自查反饋表（掌握情況可用A、好B較好C一般）

學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成情況習(xí)題掌握情況

學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成情況習(xí)題題號掌握情況

目標(biāo)1練一練

目標(biāo)2變式

目標(biāo)3跟蹤練習(xí)

目標(biāo)4

（六）布置作業(yè)——課后提高

A層：課本71頁練習(xí)A2,372頁練習(xí)B2,3

B層：均值不等式還有沒其他的幾何解析的方法了？

【設(shè)計意圖】分層布置作業(yè)起到使學(xué)有余力的學(xué)生開拓思維，提升能力。

（七）課堂小測一一鞏固反饋

1.【對應(yīng)目標(biāo)2】下列敘述中正確的是（）.

（A）兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的兒何平均數(shù)

（B）兩個不等正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于它們的幾何平均數(shù)

（C）若兩個數(shù)的和為常數(shù)，則它們的積有最大值

（D）若兩個數(shù)的積為常數(shù)，則它們的和有最小值

2.【對應(yīng)目標(biāo)3】下面給出的解答中，正確的是（）.

（A）y-x+—>2X-——2,y有最小值2

y=向乂+>2Jsi,—j-=4,y有最小值4

X—2,X+3^2/-X+3\2T71

(C)y-x(-2x+3)<('---------)=(------廠，又由x=-2x+3得％=1,

.??當(dāng)％=1時，y有最大值1

-3,y有最大值-3

4

3.【對應(yīng)目標(biāo)3】已知x>0,則x+—+3的最小值為（）.

(A)4(C)8(D)11

4.【對應(yīng)目標(biāo)3】設(shè)函數(shù)/(x)=2x+L-l(x<0),則/(x)().

（A）有最大值（B）有最小值（C）是增函數(shù)（D）是減函數(shù)

答案1.B2.D3.B4.A

3.2.1《均值不等式》學(xué)情分析

從知識方面看：

①學(xué)生已經(jīng)具備的：（1）掌握了一些簡單的不等式知識；（2）必修五第三章第一節(jié)《不

等關(guān)系與不等式》的學(xué)習(xí)，在一定程度上提高了他們的相關(guān)技能和能力：（3）能夠用作差法

來比較大??；（4）初步具備將“數(shù)”與“形”相結(jié)合及轉(zhuǎn)化的意識。

②學(xué)生所缺乏的：（1）應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力還不強；（2）整體代換能力還不夠；

（3）數(shù)形結(jié)合的思想還有待提高；

由此，均值不等式的推出（即證明過程）水到渠成。但均值不等式的運用、式子的變

形，對學(xué)生提出了新的更高的要求，是一個循序漸進(jìn)，逐步熟悉的過程。

從學(xué)習(xí)情感方面看:高二的學(xué)生具有一定的知識基礎(chǔ)，有強烈的求知欲，喜歡探求真理，

具有積極的情感態(tài)度。

從學(xué)習(xí)能力上看：這一階段的學(xué)生正處在由抽象思維到邏輯思維的過渡期，對圖形的觀

察、分析、總結(jié)可能會感到比較困難。尤其是我所任教班級的學(xué)生，盡管思維活躍、敏捷，

卻缺乏冷靜、深刻，因而片面，不夠嚴(yán)謹(jǐn)，系統(tǒng)地分析問題和解決問題的能力有待提高。

針對這種情況，在教學(xué)中，我注意面向全體，發(fā)揮學(xué)生的主體性，引導(dǎo)學(xué)生積極地觀

察問題，分析問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)積極性，指導(dǎo)學(xué)生積極思維、主動獲取知識,

養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)方法。并逐步學(xué)會獨立提出問題、解決問題?？傊?，調(diào)動學(xué)生的非智力因素

來促進(jìn)智力因素的發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生積極開動腦筋，思考問題和解決問題,從而發(fā)揚鉆研精神、

勇于探索創(chuàng)新。

從協(xié)作能力上看：我所任教班級的學(xué)生，經(jīng)歷了高一一年的小組合作的培養(yǎng)，團隊協(xié)作

的精神很強。好多問題均可通過小組的力量解決。

3.2.1《均值不等式》課堂教學(xué)效果分析

這是一節(jié)新授課，從課前準(zhǔn)備、課堂氣氛、課后調(diào)查反饋的情況看，學(xué)生基本上能掌握

本節(jié)課的內(nèi)容，達(dá)到了預(yù)期的目的，收到很好的教學(xué)效果?，F(xiàn)將課堂教學(xué)效果分析如下：

一、課前預(yù)習(xí)學(xué)案完成統(tǒng)計

探究一、探究二全班47人有42人完成，探究三35人完成。說明問題設(shè)置起點低,

步子小，學(xué)生基本都能掌握。在預(yù)習(xí)自測中，第一題45人對，第二題39人對，學(xué)生基本都

用特殊值法做，準(zhǔn)確率還是很高，但要進(jìn)行證明，基本上都有問題。

二、課堂小測完成情況統(tǒng)計

檢查學(xué)生人數(shù)：47人

具體分析見圖表：

題號1234

做對人數(shù)47354743

做錯人數(shù)01204

分析如下：錯誤出在第2,4兩題。無論第二題還是第四題，命題均是根據(jù)均值不等式

的使用條件中的難點和關(guān)鍵處設(shè)置的，目的是讓學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟到不等式而V等成立

的條件a〉0,b>0,及當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。即“一正二定三相等”。有些同學(xué)就

是掉進(jìn)這些“陷阱”里。

通過這份課堂教學(xué)效果的分析，我意識到在這堂課中，可以通過以下2個環(huán)節(jié)盡量減少

學(xué)生的出錯率：

1、對課堂的預(yù)設(shè)一定要再多些。課堂教學(xué)中，重難點的突出與學(xué)習(xí)非常重要，但不能

簡單地認(rèn)為學(xué)生學(xué)過了其他的知識點就可以略過，這些知識點的復(fù)習(xí)與鞏固對新授內(nèi)容的學(xué)

習(xí)仍然非常重要。

2、均值不等式的使用條件上，學(xué)生出錯較多。在講完均值不等式的內(nèi)容后，如果設(shè)置

一些均值不等式的使用條件中的難點和關(guān)鍵處的命題，這些“陷阱”要讓學(xué)生自己往里跳,

然后自己再從中爬出來，完全放手讓學(xué)生自主探究，老師指導(dǎo)，師生歸納總結(jié)。效果可能更

好。

3.2.1《均值不等式》教材分析

本節(jié)是高中數(shù)學(xué)人教B版，必修5第三章不等式第二節(jié)的內(nèi)容。授課時數(shù)兩課時。本節(jié)

課重點探究了均值不等式的證明，并且將之應(yīng)用于具體實際問題，是數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用

于生活的良好典范。

一、內(nèi)容結(jié)構(gòu)

(1)通過課題揭示重點。從課題可以很清楚的知道我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容以及重點，

所有內(nèi)容都是圍繞這個不等式展開。

(2)實踐出真知。以一個實際問題來探究其中所蘊涵的相等或不等關(guān)系，充分體現(xiàn)

了新課標(biāo)所要求的培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神及數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識。通過探究，學(xué)生很容易得到結(jié)論:

一般地，對于任意實數(shù)a,b,我們有。2+82之加&,當(dāng)且僅當(dāng)a=匕時，等號成立。

(3)代換與證明。通過代換思想，得到均值不等式疝49辿3>0,。>0),接

2

著用作差法及數(shù)形結(jié)合法來證明均值不等式，體現(xiàn)了一題多解及證明均值不等式的方法。這

部分內(nèi)容簡單，學(xué)生基本可獨立完成，對于培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力有積極作用。

(4)實例揭示應(yīng)用價值。通過兩個實例，體現(xiàn)了均值不等式在求最值時的價值，更

進(jìn)一步體現(xiàn)了“當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時，等號成立”這一條件的重要性。學(xué)生可以從中體會到“積

定和最小”及“和定積最大”這兩條基本的解題思路。這兩個例題使數(shù)學(xué)與生活不再那么遙

遠(yuǎn)。對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識功不可沒。

(5)習(xí)題進(jìn)一步鞏固所學(xué)。共有四道習(xí)題，第一道強調(diào)了“當(dāng)且僅當(dāng)。=6時，等

號成立”這一重要條件，是均值不等式的直接應(yīng)用，難度較小；后面三道是均值不等式在實

際生活中的應(yīng)用，強調(diào)了數(shù)學(xué)與生活有著密切聯(lián)系這一基本數(shù)學(xué)觀。

二、地位與作用

《課標(biāo)》對于這一節(jié)的要求：一是探索并了解均值不等式的證明過程；二是會用均值不

等式解決簡單的最大(小)值問題。該教材內(nèi)容很好的落實了這兩點要求。

本節(jié)課是在系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的，

作為重要的基本不等式之一,為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。要進(jìn)一步了解不等式的性質(zhì)及運用，

研究最值問題，此時基本不等式是必不可缺的?；静坏仁皆谥R體系中起了承上啟下的作

用，同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應(yīng)用，因此它也是對學(xué)生進(jìn)行情感價值觀教育的好

素材，所以基本不等式應(yīng)重點研究。

教學(xué)中注意用新課程理念處理教材，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不僅要接受、記憶、模仿和練

習(xí)，而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)，師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導(dǎo)

者、合作者的作用，引導(dǎo)學(xué)生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程。

就知識的應(yīng)用價值上來看，基本不等式是從大量數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實問題中抽象出來的一個

模型，在公式推導(dǎo)中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、演繹推理、分析法證明

等在各種不等式研究問題中有著廣泛的應(yīng)用；另外它在如“求面積一定，周長最小；周長一

定，面積最大”等實際問題的計算中也經(jīng)常涉及到。

就內(nèi)容的人文價值上來看，基本不等式的探究與推導(dǎo)需要學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想，

有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探索精神,是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)能力的良好載體。

通過對這一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以較為真切的體會到數(shù)形結(jié)合法的神奇之處，也加

強了數(shù)學(xué)聯(lián)系生活這一重要的數(shù)學(xué)觀。在學(xué)習(xí)過程中，要用心體會數(shù)學(xué)思想方法，為以后抽

象數(shù)學(xué)思想方法做好鋪墊作用。

三、教學(xué)目標(biāo)

(1)知識與技能目標(biāo)：掌握均值不等式及證明方法，會用均值不等式求最值。

(2)過程與方法目標(biāo)：體會均值不等式應(yīng)用的條件(一正二定三相等)；體會均值不

等式求最值問題解題策略的建構(gòu)過程；體會數(shù)形結(jié)合法的實際應(yīng)用。

(3)情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：通過對均值不等式證明過程的探索，強化學(xué)生的探索精

神，加強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并且讓學(xué)生能夠體會到一定的成就感，形成數(shù)學(xué)聯(lián)系生活這一積

極正確的數(shù)學(xué)觀。

四、教學(xué)重、難點

（1）教學(xué)重點：均值不等式的證明方法以及均值不等式應(yīng)用的條件。

（2）教學(xué)難點：均值不等式求最值問題解題策略的建構(gòu)；數(shù)形結(jié)合思想方法的實際運用。

難點突破方法：①多觀察、勤類比、善歸納、重建構(gòu)

②題組引路、逐層深化、歸納總結(jié)、明確要點

五、教學(xué)方式

本節(jié)課程難度不大，但地位卻很重要，鑒于這種情況，運用探究式教學(xué)方法較為合理。

通過教師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，讓學(xué)生逐步體會到數(shù)形結(jié)合法的神奇，并能正確的證明均值不等式,

解決實際問題，總結(jié)出“一正二定三相等”這一均值條件。最后教師總結(jié)運用均值不等式解

決問題策略的建構(gòu).

學(xué)生在教師正確的指導(dǎo)下，能夠?qū)φn程內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)和梳理，將知識形成一個網(wǎng)絡(luò)體系，

并且能夠運用均值不等式解決一些簡單的實際問題。

六、教學(xué)建議

（1）突出數(shù)形結(jié)合的思想方法

數(shù)學(xué)結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是一個非常重要的內(nèi)容,教師應(yīng)該經(jīng)常提醒同學(xué)們意

識到正在使用或即將使用的數(shù)學(xué)思想方法，在另一個高度去看待數(shù)學(xué)問題和解題過程。

（2）注重學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的過程

運用探究式教學(xué)，要信任學(xué)生有自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論的能力，教師不能急于揭示結(jié)果，要給學(xué)生

足夠的發(fā)現(xiàn)時間和討論時間，讓學(xué)生體會到發(fā)現(xiàn)知識的成就感，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

在探索發(fā)現(xiàn)過程中學(xué)生出現(xiàn)的問題，教師應(yīng)給予高度重視，要有針對性的提出犯錯的原因及

解決辦法。

（3）前后聯(lián)系，變式練習(xí)

在教學(xué)過程中，要聯(lián)系前后知識，運用建構(gòu)主義認(rèn)識論指導(dǎo)教學(xué)。要多多的進(jìn)行變式練

習(xí)，讓學(xué)生體會到萬變不離其宗的那個“宗”，最后能夠總結(jié)出運用不等式解決問題的均值

方法。

3.2.1《均值不等式》評測練習(xí)

課后練習(xí)與提高（共70分）

一'選擇題（每小題5分，共25分）

1.【對應(yīng)目標(biāo)3】已知/U)=x+±-2(xV0),則穴刈有()

A.最大值為0B.最小值為0C.最大值為一4D.最小值為一4

解析：選C?.”<(),.\Ax)=—(一*)+已有一2?一2—2=—4,當(dāng)且僅當(dāng)一

》=」一,即x=-l時取等號.

-X

【設(shè)計意圖】本小題主要考查均值不等式適合的條件，對式子的變形，積是定值

求和的最小值。

2.1對應(yīng)目標(biāo)3]1(3—a)(a+6)(—6<a<3)的最大值為()

A.9B.^C.3

解析：選BV-6<a<3,，3-。>0,。+6〉0,

.W(3j)(a+6)Wy尸DR

3

當(dāng)且僅當(dāng)3—。=。+6,即〃=—5時取等號，

.,.當(dāng)a=一5時，4(3—a)(a+6)有最大值].

【設(shè)計意圖】本小題主要考查均值不等式適合的條件，對式子的變形，和是定值

求積的最大值。

3.【對應(yīng)目標(biāo)3】已知0〈水1,則x(3—3x)取得最大值時x的值為()

1193

解析：選B由故3—3x>0,則x（3—3?=w><3x（3—3元）忘］乂4=不當(dāng)

且僅當(dāng)3x=3—3%,即x=g時等號成立.

【設(shè)計意圖】本小題主要考查均值不等式求最值時，需對式子的變形。

,14

4.【對應(yīng)目標(biāo)3】已知。>0,Z?>0,a+b=2,則尸,+g的最小值是（）

79

A.TB.4C.ZD.5

141141b4a1lb~~4a9

解析：依題意得￡+尸龍+即+與=聲+（［+石）日（5+270萬）（當(dāng)

24149

且僅當(dāng)時取等號，即一+7的最小值是亍

答案：c

【設(shè)計意圖】本小題主要考查均值不等式求最值時，需對式子的變形。

21

5.【對應(yīng)目標(biāo)3］已知x>0,y〉0,且f+q=l,若x+2y>"z2+2"z恒成立，則

實

數(shù)

m

的

取

值

范

是

)

A.[4,+oo)U(—oo,—2]B.(—8,-4]U[2,+

°°)

C.(-2,4)D.(-4,2)

21

解析：*.”>(),y>0,且；+：=1,

人y

...x+2y=(x+2y)q+")=4+?+：N4+2當(dāng)且僅當(dāng)?=j,即

21

4y2=/,不=2》時取等號，又一+二=i,此時x=4,y=2,

xy

...(x+2y)min=8,栗使》+2>>汴+2〃2恒成立，只需(x+2y)min>"2+2機恒成

立，即8>zn2+2m,解得一4<〃z<2.

答案：D

【設(shè)計意圖】本小題主要考查均值不等式求最值時，需對式子的變形，同時解決

恒成立問題。

二、填空題(每小題5分，共25分)

6.【對應(yīng)目標(biāo)31若x>l,則x+弋4的最小值為_______.

X—1

444

解析：x+7=%—1+r+124+1=5.當(dāng)且僅當(dāng)%—1=即x=3時等號

X—1X—1X—1

成立.

答案：5

【設(shè)計意圖】本小題主要考查均值不等式求最值時，需對式子的變形。

7.【對應(yīng)目標(biāo)3】設(shè)x,yGR,且尤yWO,則(■?++)(*+4y2)的最小值為_______.

yx

解析：(/+$(m+4y2)=1+4+4x2y2+1521+4+21j4x2y2W^=9,當(dāng)且僅當(dāng)

以29=/時等號成立，則|孫尸坐時等號成立.

答案：9

【設(shè)計意圖】本小題主要考查均值不等式求最值時，需對式子的變形。

8.【對應(yīng)目標(biāo)3】已知各項為正的等比數(shù)列｛m｝中，“4與04的等比中項為26，

則2ai+a\\的最小值為.

解析：由已知44014=(2啦/=8.再由等比數(shù)列的性質(zhì)有4404=47011=8.

又,.,。7>0,tzn>0,.,.2。7+。1122寸2。7ali=8.當(dāng)且僅當(dāng)2a7=an時等號成立.

答案：8

【設(shè)計意圖】本小題主要考查與數(shù)列結(jié)合，利用均值不等式求最值。

9【對應(yīng)目標(biāo)3】.若點A(l,l)在直線處十〃y—2=0上，其中〃加>0,則的

最小值為?

解析：由已知得加+〃=2,所以(+昌(〃?+〃)&+5)=莖2+%*2,當(dāng)且

僅當(dāng)m=n=1時取等號.

答案：2

【設(shè)計意圖】本小題主要考查與直線方程結(jié)合，利用均值不等式求最值，同時考

查式子的合理變形。

10.【對應(yīng)目標(biāo)3】若不等式4~+9y222及孫對一切正數(shù)x,y恒成立，則整數(shù)人

的最大值為.

解析：由43+9y222ry,且x,y〉0得2y相善

要使24W生等W對一切正數(shù)x,y恒成立，只要力小于或等于寫券的最

小值即可.

.,4x2+9y22X2xX3,y

?—1,

xyxy

.\2A<12=21og212.

.,.^log212=2+log23.

整數(shù)%的最大值為3.

答案：3

【設(shè)計意圖】本小題主要考查與指數(shù)式和對數(shù)式結(jié)合，利用均值不等式求最值,

同時考查式子的合理變形，解決恒成立問題。

三'解答題(每小題10分，共20分)

11.【對應(yīng)目標(biāo)3］已知x>0,y>0,且2x+8y-孫=0,

求(1)孫的最小值；(2)元+y的最小值.

解：(l)"."x>0,y>0,.,.孫=2x+8y22"\/16xy.

即孫》隊回，.即孫B64.

當(dāng)且僅當(dāng)2x=8y

即x=16,y=4時，式中等號成立.

.,.xy的最小值為64.

(2)Vx>0,y>0,且2r+8y-孫=0,

28

：.2x+Sy=xy9即^+1=1.

當(dāng)且僅當(dāng)空=&,即x=2y=12時式中等號成立.

y%

.\x+y的最小值為18.

【設(shè)計意圖】本小題主要考查均值不等式求最值時，需對式子的變形。

12.【對應(yīng)目標(biāo)3】設(shè)a,人均為正實數(shù)，求證：*心2啦.

證明：由于。、方均為正實數(shù)，

“，1,10/TT2

所以了+F227示手=力,

當(dāng)且僅當(dāng)*=*,即a="時等號成立，

又因為烹yl^ab=2y[2,

2

當(dāng)且僅當(dāng)標(biāo)="時等號成立，

112

所以六+講+必》茄+時22啦，

4,-