重難點01 代數(shù)式規(guī)律題與代數(shù)式求值（原卷版）

重難點01代數(shù)式求值與代數(shù)式規(guī)律題考點一：代數(shù)式求值代數(shù)式核心考點：整式中：同類項與合并同類項、同底數(shù)冪的乘除法計算公式、乘法公式、整式的混合運算等；分式中：分式的意義、分式的基本性質(zhì)、分式的化簡求值；題型01整式及其運算易錯點01：冪的各公式記背 易錯點02：乘法公式的記背與區(qū)別完全平方公式：首先，需注意公式中ab乘積項的符號與兩數(shù)和或差的一致性；其次，公式也是等式，從右往左也可以應(yīng)用，故應(yīng)用時要注意兩平方項符號的一致性，如：特別注意：當(dāng)完全平方公式未知項為“中間項”時，答案一般會有兩種情況，即正負皆可。平方差公式：平方差公式從左往右應(yīng)用，只要一項系數(shù)相同，一項系數(shù)互為相反數(shù)即可，不需要都和公式長的一模一樣，而結(jié)果特征為符號相同項的平方-符號相反項的平方；如：【中考真題練】1．（2023?黑龍江）下列運算正確的是（）A．2x+3y＝5xy B．（a+b）2＝a2+b2 C．（xy2）3＝x3y6 D．（a5）2÷a7＝a2．（2023?南充）關(guān)于x，y的方程組的解滿足x+y＝1，則4m÷2n的值是（）A．1 B．2 C．4 D．83．（2023?江西）化簡：（a+1）2﹣a2＝．4．（2023?涼山州）已知y2﹣my+1是完全平方式，則m的值是．5．（2023?宿遷）若實數(shù)m滿足（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，則（m﹣2023）（2024﹣m）＝．6．（2023?麗水）如圖，分別以a，b，m，n為邊長作正方形，已知m＞n且滿足am﹣bn＝2，an+bm＝4．（1）若a＝3，b＝4，則圖1陰影部分的面積是；（2）若圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形ABCD的面積為5，則圖2陰影部分的面積是．7．（2023?西寧）計算：（2a﹣3）2﹣（a+5）（a﹣5）．8．（2023?河北）現(xiàn)有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長如圖所示（a＞1）．某同學(xué)分別用6張卡片拼出了兩個矩形（不重疊無縫隙），如表2和表3，其面積分別為S1，S2．表2表3（1）請用含a的式子分別表示S1，S2，當(dāng)a＝2時，求S1+S2的值；（2）比較S1與S2的大小，并說明理由．【中考模擬練】1．（2024?天河區(qū)校級一模）下列計算，正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．a(chǎn)2+a2＝2a4 C．（﹣a2）3＝﹣a6 D．（a﹣1）2＝a2﹣12．（2024?惠州模擬）在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（a＞b）（如圖甲），把余下的部分拼成一個矩形（如圖乙），根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證等式（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣ab﹣2b23．（2023秋?涼山州期末）已知x+y﹣3＝0，則2y?2x的值是（）A．6 B．﹣6 C． D．84．（2024?邗江區(qū)校級一模）已知a﹣2b＝8，則代數(shù)式a2﹣4ab+4b2的值為．5．（2024?長安區(qū)一模）規(guī)定一種新運算：a☆b＝ab+a﹣b，如2☆3＝2×3+2﹣3＝5．（1）計算：（3a）☆5＝；（2）如果2☆（2x﹣3）＝3x2﹣2，則x的值為．6．（2024?南崗區(qū)校級一模）閱讀材料：若x滿足（6﹣x）（x﹣4）＝﹣3，求（6﹣x）2+（x﹣4）2的值．解：設(shè)（6﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，則（6﹣x）（x﹣4）＝ab＝﹣3，a+b＝（6﹣x）+（x﹣4）＝2．所以（6﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．帶仿照上例解決下面問題：若x滿足（20﹣x）（x﹣10）＝﹣5，則（20﹣x）2+（x﹣10）2的值是．7．（2024?南京模擬）如圖，點C是線段AB上的一點，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB＝9，兩正方形的面積和S1+S2＝51，則圖中陰影部分面積為．8．（2024?重慶模擬）要使（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）展開式中不含x2項和x3項，則a﹣b＝．9．（2024?鄲城縣二模）（1）計算：；（2）化簡：（2x﹣y）（2x+y）﹣（2x﹣y）2．10．（2024?文水縣一模）請閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)，妙用平方差公式解決問題學(xué)完平方差公式后，王老師展示了以下例題：例計算+觀察算式發(fā)現(xiàn)：如果將乘這時可以連續(xù)運用平方差公式進行計算，為使等式恒成立，需將式子整體再乘2．解：原式＝＝＝＝＝＝2﹣+＝2．以上計算的關(guān)鍵是將原式進行適當(dāng)?shù)淖冃魏?，運用平方差公式解決問題．計算符合算理，過程簡潔．這種變形來源于認真觀察（發(fā)現(xiàn)特點）、大膽猜想（運用公式）、嚴格推理（恒等變形）．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要重視觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程．任務(wù)：（1）請仿照上述方法計算：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）+1；（2）請認真觀察，計算：．題型02分式及其化簡計算 易錯點01：分式的判斷只需要確定分母中含有未知數(shù)即可，不需要看化簡后的結(jié)果；易錯點02：分式的值為0時，必須同步保證分母是有意義的，也就是分母不等于0，否則分式無意義；解題大招01：若，則A、B同號；若，則A、B異號；解題大招02：分式的化簡求值問題中，加減通分，乘除約分，結(jié)果最簡，喜歡的數(shù)既要方便計算，又盡可能大點；【中考真題練】1．（2023?赤峰）化簡+x﹣2的結(jié)果是（）A．1 B． C． D．2．（2023?河北）化簡的結(jié)果是（）A．xy6 B．xy5 C．x2y5 D．x2y63．（2023?涼山州）分式的值為0，則x的值是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．0或14．（2023?北京）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是．5．（2023?寧夏）計算：+＝．6．（2023?福建）已知+＝1，且a≠﹣b，則的值為．7．（2023?大慶）若x滿足（x﹣2）x+1＝1，則整數(shù)x的值為．8．（2023?大連）計算：（+）÷．9．（2023?丹東）先化簡，再求值：，其中．10．（2023?宜昌）先化簡，再求值：+3，其中a＝﹣3．11．（2023?廣安）先化簡（﹣a+1）÷，再從不等式﹣2＜a＜3中選擇一個適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，代入求值．【中考模擬練】1．（2024?珠海校級一模）下列計算正確的是（）A． B． C． D．2．（2024?綿陽模擬）如果a＝﹣3﹣2，b＝，c＝，那么a，b，c三數(shù)的大小為（）A．a(chǎn)＜c＜b B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a3．（2024?運城模擬）化簡的結(jié)果是（）A． B． C． D．14．（2024?蘭山區(qū)校級模擬）若x﹣y＝3xy，則的值是（）A．﹣3 B．3 C． D．5．（2024?湖州一模）若分式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是．6．（2024?西城區(qū)校級一模）如果分式的值為0，則x的值是．7．（2024?新疆模擬）當(dāng)a＝﹣2時，代數(shù)式的值為．8．（2024?鳳翔區(qū)一模）化簡：．9．（2024?綿陽模擬）（1）計算：；（2）先化簡，再求值：，其中．10．（2024?天河區(qū)校級一模）先化簡，然后從﹣1，0，1，2中選取一個合適的數(shù)作為x的值代入求值．11．（2024?興慶區(qū)校級一模）在數(shù)學(xué)課上，老師出了一道題，讓甲、乙、丙、丁四位同學(xué)進行“接力游戲”規(guī)則如下：每位同學(xué)可以完成化簡分式的一步變形，即前一位同學(xué)完成一步后，后一個同學(xué)接著前一個同學(xué)的步驟進行下一步化簡變形，直至將該分式化簡完畢．請根據(jù)如表的“接力游戲”回答問題：接力游戲老師：化簡：甲同學(xué)：原式＝乙同學(xué)：＝丙同學(xué)：＝丁同學(xué)：＝．任務(wù)一：①在“接力游戲”中，丁同學(xué)是依據(jù)C進行變形的．A．等式的基本性質(zhì)B．不等式的基本性質(zhì)C．分式的基本性質(zhì)D．乘法分配律②在“接力游戲”中，從同學(xué)開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是．任務(wù)二：請你寫出該分式化簡的正確結(jié)果．題型03利用整體思想解決代數(shù)式求值問題代數(shù)式求值問題常用處理辦法：①變形已知條件，使其符合待求式中含字母部分的最簡組合形式②將待求式變形，使其成為含有上面最簡組合式的表達式，③代入未知最簡組合形式部分的值，求出最后結(jié)果；【中考真題練】1．（2023?巴中）若x滿足x2+3x﹣5＝0，則代數(shù)式2x2+6x﹣3的值為（）A．5 B．7 C．10 D．﹣132．（2023?南通）若a2﹣4a﹣12＝0，則2a2﹣8a﹣8的值為（）A．24 B．20 C．18 D．163．（2023?泰州）若2a﹣b+3＝0，則2（2a+b）﹣4b的值為．4．（2023?寧夏）如圖是某種桿秤．在秤桿的點A處固定提紐，點B處掛秤盤，點C為0刻度點．當(dāng)秤盤不放物品時，提起提紐，秤砣所掛位置移動到點C，秤桿處于平衡．秤盤放入x克物品后移動秤砣，當(dāng)秤砣所掛位置與提紐的距離為y毫米時秤桿處于平衡．測得x與y的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：x/克024610y/毫米1014182230由表中數(shù)據(jù)的規(guī)律可知，當(dāng)x＝20克時，y＝毫米．5．（2023?赤峰）已知2a2﹣a﹣3＝0，則（2a+3）（2a﹣3）+（2a﹣1）2的值是（）A．6 B．﹣5 C．﹣3 D．46．（2023?福建）已知+＝1，且a≠﹣b，則的值為．7．（2023?北京）已知x+2y﹣1＝0，求代數(shù)式的值．8．（2023?成都）若3ab﹣3b2﹣2＝0，則代數(shù)式（1﹣）÷的值為．9．（2023?菏澤）先化簡，再求值：（+）÷，其中x，y滿足2x+y﹣3＝0．【中考模擬練】1．（2023?香洲區(qū)一模）已知2a+3b＝4，則整式﹣4a﹣6b+1的值是（）A．5 B．3 C．﹣7 D．﹣102．（2023?巴中）若x滿足x2+3x﹣5＝0，則代數(shù)式2x2+6x﹣3的值為（）A．5 B．7 C．10 D．﹣133．（2023?姑蘇區(qū)校級二模）若a2﹣3a+2＝0，則1+6a﹣2a2＝（）A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣34．（2023?龍江縣四模）代數(shù)式3x2﹣4x﹣5的值為7，則x2﹣x﹣5的值為（）A．4 B．﹣1 C．﹣5 D．75．（2024?蘭山區(qū)校級模擬）若x﹣y＝3xy，則的值是（）A．﹣3 B．3 C． D．6．（2024?漢川市模擬）已知x2﹣x﹣6＝0，則的值是（）A． B． C． D．17．（2024?潼南區(qū)一模）當(dāng)x＝1時，ax3+bx+3＝5；則當(dāng)x＝﹣2時，則多項式ax2﹣2bx﹣2的值為．8．（2024?咸安區(qū)模擬）已知x2﹣2x﹣2＝0，代數(shù)式（x﹣1）2+2021＝．9．（2024?安溪縣模擬）已知，且x≠y，則的值為．10．（2024?武侯區(qū)校級一模）若2x2+2xy﹣5＝0，則代數(shù)式的值為．11．（2024?東阿縣模擬）已知：m+＝5，則m2+＝．12．（2023?河源一模）已知m2﹣4m+1＝0，則代數(shù)式值＝．13．（2024?東城區(qū)校級模擬）已知a2+a﹣2＝0，求代數(shù)式的值．考點二：代數(shù)式規(guī)律題題型01數(shù)字變化類規(guī)律題解題大招01：周期型規(guī)律題常見處理辦法：①.找出第一周期的幾個數(shù)，確定周期數(shù)②.算出題目中的總數(shù)和待求數(shù)③.用總數(shù)÷周期數(shù)=m……n（表示這列數(shù)中有m個整周期，最后余n個）④.最后余幾，待求數(shù)就和每周期的第幾個一樣；解題大招02：推理型規(guī)律題常見處理辦法：①依題意推出前3~4項規(guī)律的表達式；②類推第N項表達式【中考真題練】1．（2023?牡丹江）觀察下面兩行數(shù)：1，5，11，19，29，…；1，3，6，10，15，…．取每行數(shù)的第7個數(shù)，計算這兩個數(shù)的和是（）A．92 B．87 C．83 D．782．（2023?常德）觀察下邊的數(shù)表（橫排為行，豎排為列），按數(shù)表中的規(guī)律，分數(shù)若排在第a行b列，則a﹣b的值為（）A．2003 B．2004 C．2022 D．20233．（2023?臨沂）觀察下列式子：1×3+1＝22；2×4+1＝32；3×5+1＝42；…按照上述規(guī)律，＝n2．4．（2023?內(nèi)蒙古）觀察下列各式：S1＝＝1+，S2＝＝1+，S3＝＝1+…請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計算：S1+S2+…+S50＝．5．（2023?恩施州）觀察下列兩行數(shù)，探究第②行數(shù)與第①行數(shù)的關(guān)系：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…①0，7，﹣4，21，﹣26，71，…②根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，完成填空：第①行數(shù)的第10個數(shù)為；取每行數(shù)的第2023個數(shù)，則這兩個數(shù)的和為．6．（2023?聊城）如圖，圖中數(shù)字是從1開始按箭頭方向排列的有序數(shù)陣．從3開始，把位于同一列且在拐角處的兩個數(shù)字提取出來組成有序數(shù)對：（3，5）；（7，10）；（13，17）；（21，26）；（31，37）…如果單獨把每個數(shù)對中的第一個或第二個數(shù)字按順序排列起來研究，就會發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律．請寫出第n個數(shù)對：．7．（2023?浙江）觀察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…（1）寫出192﹣172的結(jié)果；（2）按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）；（3）請運用有關(guān)知識，推理說明這個結(jié)論是正確的．【中考模擬練】1．（2024?官渡區(qū)校級模擬）按一定規(guī)律排列的式子：a，2a3，4a5，8a7，16a9，…，則第2024個式子為（）A．22023a2025 B．（22024﹣1）a4047 C．22023a4047 D．22024a40492．（2024?渝中區(qū)校級模擬）有一列數(shù){﹣1，﹣2，﹣3，﹣4}，將這列數(shù)中的每個數(shù)求其相反數(shù)得到{1，2，3，4}，再分別求與1的和的倒數(shù)，得到，設(shè)為{a1，a2，a3，a4}，稱這為一次操作，第二次操作是將{a1，a2，a3，a4}再進行上述操作，得到{a5，a6，a7，a8}；第三次將{a5，a6，a7，a8}重復(fù)上述操作，得到{a9，a10，a11，a12}…以此類推，得出下列說法中，正確的有（）個．①a5＝2，，，，②a10＝﹣2，③a2015＝3，④．A．0 B．1 C．2 D．33．（2024?南崗區(qū)校級一模）小王利用計算機設(shè)計了一個計算程序，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如表：輸入…12345…輸出……那么，當(dāng)輸入數(shù)據(jù)為8時，輸出的數(shù)據(jù)為（）A． B． C． D．4．（2024?東興區(qū)一模）對于每個正整數(shù)n，設(shè)f（n）表示n×（n+1）的末位數(shù)字．例如：f（1）＝2（1×2末位數(shù)字），f（2）＝6（2×3的末位數(shù)字），f（3）＝2（3×4的末位數(shù)字）…，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2023）的值是（）A．4020 B．4030 C．4040 D．40505．（2024?沈陽模擬）定義一種對正整數(shù)n的“F”運算：①當(dāng)n為奇數(shù)時，F(xiàn)（n）＝3n+1；②當(dāng)n為偶數(shù)時，（其中k是使F（n）為奇數(shù)的正整數(shù)）…兩種運算交替進行，例如，取n＝12，則有，按此規(guī)律繼續(xù)計算，第2024次“F”運算的結(jié)果是（）A． B．37 C．1 D．46．（2024?蘭山區(qū)校級模擬）如圖的數(shù)字三角形被稱為“楊輝三角”，圖中兩平行線之間的一列數(shù)：1，3，6，10，15，…，我們把第一個數(shù)記為a1，第二個數(shù)記為a2，第三個數(shù)記為a3，…，第n個數(shù)記為an，則a2023﹣a2021＝．7．（2024?湖南模擬）觀察下面“品”字圖形中各數(shù)字之間的規(guī)律，根據(jù)觀察到的規(guī)律得出a+b的值為．8．（2023?咸豐縣模擬）把一根起點為0的數(shù)軸彎折成如圖所示的樣子，虛線最下面第1個數(shù)字是0，往上第2個數(shù)字是6，……，則第21個數(shù)字是．9．（2024?花山區(qū)校級一模）觀察下列等式：第1個等式：第2個式：第3個等式：第4個等式：…【總結(jié)規(guī)律】按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第5個等式：；（2）寫出第n個等式：（用含有n的等式表示）；（3）利用以上規(guī)律，化簡下面的問題（結(jié)果只需化簡）．．題型02圖形變化類規(guī)律題解題大招：多從圖形的變化規(guī)律上找相同點，再類比數(shù)字變化類推論去推導(dǎo)所求目標(biāo)項的數(shù)字或表達式【中考真題練】1．（2023?重慶）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有2個圓圈，第②個圖案中有5個圓圈，第③個圖案中有8個圓圈，第④個圖案中有11個圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個圖案中圓圈的個數(shù)為（）A．14 B．20 C．23 D．262．（2023?達州）如圖，四邊形ABCD是邊長為的正方形，曲線DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圓心角所對的弧組成的．其中，的圓心為A，半徑為AD；的圓心為B，半徑為BA1；的圓心為C，半徑為CB1；的圓心為D，半徑為DC1…，、、、的圓心依次為A、B、C、D循環(huán)，則的長是（）A． B．2023π C． D．2022π3．（2023?廣元）在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》（1261年）一書中，用如圖的三角形解釋二項和的乘方規(guī)律，因此我們稱這個三角形為“楊輝三角”，根據(jù)規(guī)律第八行從左到右第三個數(shù)為21．4．（2023?山西）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個大小相同的圓片組成．第1個圖案中有4個白色圓片，第2個圖案中有6個白色圓片，第3個圖案中有8個白色圓片，第4個圖案中有10個白色圓片，…依此規(guī)律，第n個圖案中有個白色圓片（用含n的代數(shù)式表示）．5．（2023?十堰）用火柴棍拼成如圖圖案，其中第①個圖案由4個小等邊三角形圍成1個小菱形，第②個圖案由6個小等邊三角形圍成2個小菱形，…，若按此規(guī)律拼下去，則第n個圖案需要火柴棍的根數(shù)為．（用含n的式子表示）6．（2023?綏化）在求1+2+3+…+100的值時，發(fā)現(xiàn)：1+100＝101，2+99＝101…，從而得到1+2+3+…+100＝101×50＝5050．按此方法可解決下面問題．圖（1）有1個三角形，記作a1＝1；分別連接這個三角形三邊中點得到圖（2），有5個三角形，記作a2＝5；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點得到圖（3），有9個三角形，記作a3＝9；按此方法繼續(xù)下去，則a1+a2+a3+…+an＝.（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）7．（2023?安徽）【觀察思考】【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】請用含n的式子填空：（1）第n個圖案中“◎”的個數(shù)為；（2）第1個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第2個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第3個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，第4個圖案中“★”的個數(shù)可表示為，……，第n個圖案中“★”的個數(shù)可表示為．【規(guī)律應(yīng)用】（3）結(jié)合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)n，使得連續(xù)的正整數(shù)之和1+2+3+……+n等于第n個圖案中“◎”的個數(shù)的2倍．【中考模擬練】1．（2024?濟寧一模）如圖都是由相同的小正方形按照一定規(guī)律擺放而成的，照此規(guī)律排列下去，第1個圖形中小正方形的個數(shù)是3個，第2個圖形中小正方形的個數(shù)是8個，第3個圖形中小正方形的個數(shù)是15個，第9個圖形中小正方形的個數(shù)是（）A．100 B．99 C．98 D．802．（2024?松山區(qū)一模）如圖所示是一組有規(guī)律的圖案，第1個圖案由4個基礎(chǔ)圖形組成，第2個圖案由7個基礎(chǔ)圖形組成，…，第n（n是正整數(shù)）個圖案中由（）個基礎(chǔ)圖形組成．A．3n﹣1 B．3n+1 C．4n﹣1 D．4n3．（2024?張家口一模）如圖是P1，P2，…，P10十個點在圓上的位置圖，且此十點將圓周分成十等份．連接P1P2和P5P6，并延長交于一點，連接P9P10和P6P7并延長交于一點，則夾角各是多少（）A．30°和60° B．54°和72° C．36°和54° D．36°和72°4．（2024?重慶模擬）用大小相同的圓點擺成如圖所示的圖案，其中地①個圖案用了7個圓點，第②個圖案用了10個圓點，第③個圖案用了14個圓點，第④個圖案用了19個圓點，…，按照這樣的規(guī)律擺放，則第7個圖案中共有畫點的個數(shù)是（）A．40 B．49 C．50 D．525．（2024?南岸區(qū)校級模擬）烷烴是一類由碳、