(人教版)高中數(shù)學(xué)必修四教案

第一章三角函數(shù)

1.1任意角和弧度制

1.1.1任意角

一、教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)及技能

（1）推廣角的概念、引入大于360°角和負(fù)角；（2）理解并掌握正角、負(fù)角、零角的定義：（3）理

解任意角以及象限角的概念；（4）掌握所有及。角終邊相同的角（包括a角）的表示方法：（.

二、教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解正角、負(fù)角和零角的定義，掌握終邊相同角的表示法.

難點(diǎn)：終邊相同的角的表示.

三、學(xué)法

回憶-觀察-講解-歸納-推廣.

四、教學(xué)設(shè)想

【創(chuàng)設(shè)情境】

思考:你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準(zhǔn)的？假如你的手表快了1.25

小時(shí)，你應(yīng)當(dāng)如何將它校準(zhǔn)？當(dāng)時(shí)間校準(zhǔn)以后，分針轉(zhuǎn)了多少度？

［取出一個(gè)鐘表，實(shí)際操作］我們發(fā)現(xiàn)，校正過(guò)程中分針需要正向或反向旋轉(zhuǎn)，有時(shí)轉(zhuǎn)不到一周，有時(shí)轉(zhuǎn)

一周以上,這就是說(shuō)角已不僅僅局限于0°~360°之間，這正是我們這節(jié)課要研冗的主要內(nèi)容——任意角.

【探究新知】

1.初中時(shí)，我們已學(xué)習(xí)了0°?360°角的概念，它是如何定義的呢？

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.如圖1.1-1,一條射

線由原來(lái)的位置。4,繞著它的端點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到終止位置OB,就形成角a.旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射

線。4叫做角的始邊，03叫終邊，射線的端點(diǎn)。叫做叫a的頂點(diǎn).

2.如上述情境中所說(shuō)的校準(zhǔn)時(shí)鐘問(wèn)題以及在體操比賽中我們經(jīng)常聽(tīng)到這樣的術(shù)語(yǔ)：“轉(zhuǎn)體720’”

（即轉(zhuǎn)體2周），“轉(zhuǎn)體1080°”（即轉(zhuǎn)體3周）等,都是遇到大于360°的角以及按不同方向旋轉(zhuǎn)而成的角.

同學(xué)們思考一下：能否再舉出幾個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中“大于360°的角或按不同方向旋轉(zhuǎn)而成的角”的例子，這些

說(shuō)明了什么問(wèn)題?又該如何區(qū)分和表示這些角呢？

如自行車車輪、螺絲扳手等按不同方向旋轉(zhuǎn)時(shí)成不同的角，這些都說(shuō)明了我們研窕推廣角概念的必

要性.為了區(qū)別起見(jiàn)，我們規(guī)定:按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)

角如果一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個(gè)零角.

如教材圖1.1.3⑴中的角是一個(gè)正角，它等于750°：圖1.1.3（2）中，正角a=210°,負(fù)角

/7=-150°,7=-660°；這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角，包括正角、負(fù)角和零角.為了簡(jiǎn)單

起見(jiàn)，在不引起混謂的前提下，“角a”或“Na”可簡(jiǎn)記為a.

3.在今后的學(xué)習(xí)中，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，為此我們必須了解象眼角這個(gè)概念.

角的頂點(diǎn)及原點(diǎn)重合，角的始邊及x軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，

我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.如教材圖1.1-4中的30°角、一210°角分別是第一象限角和第三象限角.

要特別注意：如果角的終邊在坐標(biāo)軸匕就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何?個(gè)象限，稱為豐象限角.

4.練習(xí):

(1)(口答)銳角是第幾象限角?第一象限角一定是銳角嗎?再分別就直角、鈍角來(lái)回答這兩個(gè)問(wèn)題.

⑵(回答)今天是星期三那么7k(keZ)天后的那一天是星期幾？7k(keZ)天前的那一天是星

期幾？loo天后的那一天是星期幾？

5.探究:將角按上述方法放在直角坐標(biāo)系中后,給定一個(gè)角，就有唯一的一條終邊及之對(duì)應(yīng).反之,對(duì)

于直角坐標(biāo)系中任意一條射線。8(如圖1.1-5),以它為終邊的角是否唯一？如果不惟一，那么終邊相同的

角有什么關(guān)系?請(qǐng)結(jié)合4.(2)口答加以分析.

［展示課件］不難發(fā)現(xiàn),在教材圖1.1-5中，如果-32°的終邊是OB,那么328°,—392°…角的終邊

都是OB，而328°=-32°+1x360°,-392°=-32°+(-l)x360°.

設(shè)S={尸|。=-32°+k?360°,AGZ］,則3281—392°角都是S的元素，一32°角也是S的

元素.因此，所有及一32°角終邊相同的航連同一32°角在內(nèi)，都是集合S的元素；反過(guò)來(lái)，集合S的任一

元素顯然及一32°角終邊相同.

一般地,我們有:所有及角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合

S={p\/3=a+h360；&GZ},即任一及角a終邊相同的角，都可以表示成角a及整數(shù)個(gè)周角的

和.

6例題講評(píng)

例1.例1在0°?360°范圍內(nèi)，找出及一950。12'角終邊相同的角，并判定它是第兒象眼角.(注:

0'—360°是指0046<360°)

例2.寫出終邊在y軸上的角的集合.

例3.寫出終邊直線在y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式一360"<a

<720°的元素月寫出來(lái).

7.練習(xí)教材凡第3、4、5題.

注意：(1)keZt(2)。是任意角(正角、負(fù)角、零角)：(3)終邊相同的角不一定相等：但

相等的角，終邊一定相同：終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差360,的整數(shù)倍.

8.學(xué)習(xí)小結(jié)

(1)你知道角是如何推廣的嗎？

(2)象限角是如何定義的呢？

(3)你熟練掌握具有相同終邊角的表示了嗎?會(huì)寫終邊落在x軸、y軸、直

線y=x上的角的集合.

五、評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

作業(yè)：習(xí)題1.1A組第1,2,3題.

1.1.2弧度制

一、教學(xué)目標(biāo)：

（1）理解并掌握弧度制的定義：（2）領(lǐng)會(huì)弧度制定義的合理性；（3）掌握并運(yùn)用弧度制表示的弧長(zhǎng)公

式、扇形面積公式；（4）熟練地進(jìn)行角度制及弧度制的換算：（5）角的集合及實(shí)數(shù)集R之間建立的一一對(duì)

應(yīng)關(guān)系.（6）使學(xué)生通過(guò)瓠度制的學(xué)習(xí)，理解并認(rèn)識(shí)到角度制及弧度制都是對(duì)角度量的方法，二者是辨證統(tǒng)

一的，而不是孤立、割裂的關(guān)系.

二、教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解并掌握弧度制定義；熟練地進(jìn)行角度制及弧度制地互化換算；弧度制的運(yùn)用.

難點(diǎn)：理解弧度制定義，弧度制的運(yùn)用.

三、教學(xué)設(shè)想

【創(chuàng)設(shè)情境】

有人問(wèn)：海口到三亞有多遠(yuǎn)時(shí)，有人回答約250公里，但也有人回答約160英里，請(qǐng)問(wèn)那?種回答

是正確的？（己知1英里=1.6公里）

顯然，兩種回答都是正確的，但為什么會(huì)有不同的數(shù)值呢？那是因?yàn)樗捎玫亩攘恐撇煌?，一個(gè)是

公里制，一個(gè)是英里制.他們的長(zhǎng)度單位是不同的，但是，他們之間可以換算：1英里=1.6公里.

在角度的度量里面，也有類似的情況，一個(gè)是角度制，我們已經(jīng)不再陌生，另外一個(gè)就是我們這節(jié)課

要研究的角的另外一種度量制--弧度制.

【探究新知】1.角度制規(guī)定：將一個(gè)圓周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于

180度，直角等于90度等等.

弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少孤度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制及角

度制之間如何換算？請(qǐng)看課本1~A，自行解決上述問(wèn)題.

2.弧度制的定義

長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1rad，或1弧度，或1（單位可以省略不

寫）.

3.探究:如圖,半徑為r的圓的圓心及原點(diǎn)重合,角a的終邊及無(wú)軸的正半

軸重合，交圓于點(diǎn)A,終邊及圓交于點(diǎn)B.請(qǐng)完成表格.y

弧AB的長(zhǎng)OB旋轉(zhuǎn)的方向N4OB的弧度數(shù)NAOB的度數(shù)

7ir逆時(shí)針?lè)较?/p>

逆時(shí)針?lè)较蚨?/p>

r1

2r-2

-7T

0

180"

180°

我們知道，角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如-丸，-2n等等，一般地，正角

的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來(lái)決定.

4.思考：如果一個(gè)半徑為r的圓的圓心角a所對(duì)的弧長(zhǎng)是/,那么。的弧度數(shù)是多少？

角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值是：13=',其中，1是圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)，，?是半徑.

5.根據(jù)探究中180°=兀rad填空：

1°=___rad,\rad=____度

顯然,我們可以由此角度及弧度的換算了.

6.例題講解

例1.按照下列要求,把67"30'億成弧度：

（1）精確值：

（2）精確到o.ooi的近似值.

例2.將3.14rad換算成角度（月度數(shù)表示,精確到0.001）.

注意：角度制及弧度制的換算主要抓住180°=RZ以，另外注意計(jì)算器計(jì)算非特殊角的方法.

7.填寫特殊角的度數(shù)及弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表:

度0。30°45c120°120°120°120°

兀K3萬(wàn)

弧度乃

~2T

角的概念推廣以后，在弧度制下，角的集合及實(shí)數(shù)集R之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：即每一個(gè)角都有唯

一的一個(gè)實(shí)數(shù)（即這個(gè)角的弧度數(shù)）及它對(duì)應(yīng)：反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角（即弧度數(shù)等于這

個(gè)實(shí)數(shù)的角）及它對(duì)應(yīng).

8.例懣講評(píng)例3.利用弧度制證羽下列關(guān)于扇形的公式：

（1）/=ctR（2）S=—cxR2：（3）S=—lR.

22

其中R是半徑，/是弧長(zhǎng)，a（O<a<2笈）為圓心角，S是扇形的面積.

例4.利用計(jì)算器比較sin1.5和sin85°的大小.

注意:弧度制定義的理解及應(yīng)用，以及角度及弧度的區(qū)別.

9.練習(xí)教材匕）.

五、作業(yè)：習(xí)題1.1A組第7,8,9題.

1.2任意角的三角函數(shù)

1.2.1任意角的三角函數(shù)（一）

一、教學(xué)目標(biāo)：

（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)）:

(2)理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法：(3)了解如何利用及單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角a的

正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來(lái)；(4)掌握并能初步運(yùn)用公式」

二、教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：任魯角的正弦、余弦、正切的定義(包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào));

終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等(公式一).

難點(diǎn)：任意角的正弦、余弦、正切的定義(包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)):

三角函數(shù)線的正確理解.

三、教學(xué)設(shè)想

第一課時(shí)任意角的三角函數(shù)(一)

【創(chuàng)設(shè)情境】

提問(wèn)：銳角。的正弦、余弦、正切怎樣表示？

借助右圖直角三角形，豆習(xí)回顧.

引入：銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。

數(shù),你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù)嗎？

如圖,設(shè)銳角a的頂點(diǎn)及原點(diǎn)0重合,始邊及x軸的正半軸重合,那

么它的終邊在第一象限.在a的終邊上任取一點(diǎn)P(a,Z?),它

及原點(diǎn)的此島r=yja2+b1>0.過(guò)F作工軸的垂線，垂足

為M，則線段OM的長(zhǎng)度為〃，線段MP的長(zhǎng)度為人.則

MPb

sina=----=—；

OPr

思考：對(duì)于確定的角a，這三個(gè)比值是否會(huì)隨點(diǎn)P在

a的終邊上的位置的改變而改變呢？

顯然，我們可以將點(diǎn)取在使線段。尸的長(zhǎng)？*=1的特殊位

置上，這樣就可以得到用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三

角函數(shù)：

思考：上述銳角a的三角函數(shù)值可以用終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)表示.那么，角的概念推廣以后，我們應(yīng)該

如何對(duì)初中的三角函數(shù)的定義進(jìn)行修改，以利推廣到任意角呢？本節(jié)課就研究這個(gè)問(wèn)題一一任意角的三角

函數(shù).

【探究新知】1.探究:結(jié)合上述銳角a的三角函數(shù)值的求法，我們應(yīng)如何求解任意角的三角函數(shù)值呢？

顯然,我們只需在角的終邊上找到一個(gè)點(diǎn),使這個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1,然后就可以類似銳角求得該角

的三角函數(shù)值了.所以,我們?cè)诖艘雴挝粓A的定義:在直角坐標(biāo)系中，我們稱以原點(diǎn)。為圓心，以單位長(zhǎng)度

為半徑的圓.

2.思考:如何利用單位圓定義任意用的三角函數(shù)的定義？

如圖,設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊及單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么：

(1)y叫做a的正弦(sine),記做sina,即sina=y；

(2)X叫做a的余弦(cossine),記做cosa,B|Jcosa=x；

(3)上叫做a的正切(tangent),記做tana,即tana=w0).

xx

注意：當(dāng)a是銳角時(shí)，此定義及初中定義相同(指出對(duì)邊，鄰邊，斜邊所在)：當(dāng)a不是銳角時(shí)，也能

夠找出三角函數(shù)，因?yàn)?，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然及單位圓有交點(diǎn)尸(x,y),從而就必然能

夠最終算出三角函數(shù)值.

3.思考:如果知道角終邊上一點(diǎn)，而這個(gè)點(diǎn)不是終邊及單位圓的交點(diǎn),該如何求它的三角函數(shù)值呢？

前面我們已經(jīng)知道,三角函數(shù)的值及點(diǎn)P在終邊上的位置無(wú)關(guān)，儀及角的大小有關(guān).我們只需計(jì)算點(diǎn)

到原點(diǎn)的距離r=Jx2+y2，那么sina=/),cosa=/人.

tana=工.所以，三角函數(shù)是以為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，又因?yàn)榻?/p>

x

的集合及實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故三角函數(shù)也可以看成實(shí)數(shù)為自變嵌的函數(shù).

4.例題講評(píng)

54

例1.求一的正弦、余弦和正切值.

3

例2.已知角。的終邊過(guò)點(diǎn)《(一3,-4),求角a的正弦、余弦和正切值.

教材給出這兩個(gè)例題，主要是幫助理解任意角的三角函數(shù)定義.我也可以嘗試其他方法:

如例2：設(shè)x=-3,y=-4,則r=J(-3>+(Y)2=5.

.y4x3y4

于是sina=—=——,cosa=—=——,tana=—=—.

r5r5x3

5.鞏固練習(xí)^7第1,2,3題

6.探究:請(qǐng)根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，將正弦、余弦和正切函數(shù)的定義域填入下表：再將這三種函數(shù)

的值在各個(gè)象限的符號(hào)填入表格中:

定義域

三角函數(shù)第一象限第二象限第三象限第四象限

角度制弧度制

sina

cosa

tana

7.例題講評(píng)

sin^<0八

例3.求證：當(dāng)且僅當(dāng)不等式組(八八成立時(shí)，角。為第三象限角.

tan?！?。

8.思考:根據(jù)三角函數(shù)的定義，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有和關(guān)系？

顯然：終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.即有公式一：

sin(a+2k^)=sinacos(a+=cosa(其中左wZ)

9.例題講評(píng)例4.確定下列三角函數(shù)值的符號(hào),然后用計(jì)算器驗(yàn)證：

(1)cos250；⑵sin(-馬；(3)tan(-672")；⑷tan3^

例5.求下列三角函數(shù)值:

（1）sin148010；（2）cos—：（3）tan（---—）

46

利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0到2萬(wàn)（或0°到360°）角的三角函數(shù)值.

另外可以直接利用計(jì)算器求三角函數(shù)值，但要注意角度制的問(wèn)題.

10.鞏固練習(xí)^7第4,5,6,7題

五、評(píng)價(jià)

1.作業(yè)：習(xí)題1.2A組第1,2題.

2.比較角概念推廣以后,三角函數(shù)定義的變化.思考公式一的本質(zhì)是什么?要做到熟練應(yīng)用.另外,關(guān)

于三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)要熟練掌握,知道推導(dǎo)方法.

第二課時(shí)任意角的三角函數(shù)（二）

【復(fù)習(xí)回顧】

1、三角函數(shù)的定義；

2、三角函數(shù)在各象限角的符號(hào)；

3^三角函數(shù)在軸上角的值：

4、誘導(dǎo)公式（一）：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等；

5、三角函數(shù)的定義域.

要求：記憶.并指出，三角函數(shù)沒(méi)有定義的地方一定是在軸上角，所以，凡是碰到軸上角時(shí)，要結(jié)合

定義進(jìn)行分析：并要求在理解的基礎(chǔ)上記憶.

【探究新知】

1.引入：角是一個(gè)圖形概念，也是一個(gè)數(shù)量概念（弧度數(shù)）.作為角的函數(shù)一三角函數(shù)是一個(gè)數(shù)量

概念（比值），但它是否也是一個(gè)圖形概念呢？換句話說(shuō)，能否用幾何方式來(lái)表示三角函數(shù)呢？

2.［邊描述邊畫］以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以單位長(zhǎng)度1為半徑畫一個(gè)圓，這個(gè)圓就叫做單位圓（注意：

這個(gè)單位長(zhǎng)度不一定就是1厘米或1米）.當(dāng)角a為第一象限Av

0/0_1%軸交工軸于點(diǎn)加，則請(qǐng)你觀察：T

根據(jù)三角函數(shù)的定義：|MP|=|y|=|sina|：___________

IOM|=|x|=|cosa|

隨著。在第一象限內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，MP、QM是否也跟著

變化?

3.思考：（1）為了去掉上述等式中的絕對(duì)值符號(hào)，能

否給線段A/尸、0M規(guī)定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆较?，使它們的取值及點(diǎn)尸的坐標(biāo)一致？

（2）你能借助單位圓，找到一條如MP、一樣的線段來(lái)表示角a的正切值嗎？

我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)及坐標(biāo)軸的方向有關(guān).當(dāng)角。的終邊不在坐標(biāo)軸時(shí)，以。為始點(diǎn)、

M為終點(diǎn)，規(guī)定：

當(dāng)線段及五軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎?，且?正值X：當(dāng)線段0M及X軸反向時(shí)，OM

的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值x：其中x為P點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣，無(wú)論那種情況都有

問(wèn)理，當(dāng)角a的終邊不在人軸上時(shí)，以M為始點(diǎn)、尸為終點(diǎn)，規(guī)定：

當(dāng)線段MP及y軸同向時(shí)，MP的方向?yàn)檎颍矣姓祔；當(dāng)線段MP及y軸反向

時(shí)，MP的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值y；其中y為尸點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣，無(wú)論那種情況都有

4.像A/尸、0M這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段(directlinesegment).

5.如何用有向線段來(lái)表示角a的正切呢？

如上圖,過(guò)點(diǎn)A(1,O)作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸，設(shè)它及a的終邊交于點(diǎn)T,請(qǐng)根據(jù)

正切函數(shù)的定義及相似三角形的知識(shí),借助有向線段04、AT,我們有

我們把這三條及單位圓有關(guān)的有向線段MROM、AT,分別叫做角a的正弦線、余弦線、正

切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.

6.探究：(1)當(dāng)角a的終邊在第二、第三、第四象限時(shí)，你能分別作出它們的正弦線、余弦線和正

切線嗎？

(2)當(dāng)a的線邊及x軸或y軸重合時(shí)，又是怎樣的情形呢？

7.例題講解

例1.已知試比較a,tan。,sina,cosa的大小.

處理:師生共同分析解答，目的體會(huì)三角函數(shù)線的用處和實(shí)質(zhì).

8.練習(xí)《9第1,2,3,4題

9學(xué)習(xí)小結(jié)

(1)了解有向線段的概念.

(2)了解如何利用及單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角。的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用正弦線、

余蘢線、正切線表示出來(lái).

(3)體會(huì)三角函數(shù)線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

【評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)】

1.作業(yè)：

比較下列各三角函數(shù)值的大小(不能使用計(jì)算器)

(1)sin15.tan15°(2)cos15018cos121(3)—.tan—

55

2.練習(xí)三角函數(shù)線的作圖.

1.2任意角的三角函數(shù)

1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

一、教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)及技能

(1)使學(xué)生掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：(2)已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)

值；(3)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化筒三角函數(shù)式：(4)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明三角恒等式；(5)牢

固掌握同角三角函數(shù)的三個(gè)關(guān)系式并能靈活運(yùn)用于解題，提高學(xué)生分析，解決三角問(wèn)題的能力；(6)靈活

運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系式的不同變形，提高三角恒等變形的能力，進(jìn)一步樹(shù)立化歸思想方法：(7)掌握恒

等式證明的一般方法.

二、教學(xué)重、難點(diǎn)

smot

重點(diǎn)：公式sii？c+cos2a=1及^-----=tana的推導(dǎo)及運(yùn)用：（1）已知某任意角的正弦、

cosa

余弦、正切值中的一個(gè)，求其余兩個(gè)；（2）化簡(jiǎn)三角函數(shù)式；（3）證明簡(jiǎn)單的三角恒等式.

難點(diǎn)：根據(jù)角a終邊所在象限求出其三角函數(shù)值；選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明三角恒等式.

三、教學(xué)設(shè)想【創(chuàng)設(shè)情境】

及初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)一樣，本節(jié)課我們來(lái)研究同角三角函數(shù)之間關(guān)系，弄清同角各不同三角函

數(shù)之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)不同函數(shù)值之間的互相轉(zhuǎn)化.

【探究新知】

1.探究:三角函數(shù)是以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義的，你能從圓的

幾何性質(zhì)出發(fā)，討論一

下同一個(gè)角不同三角函數(shù)之間的關(guān)系嗎？

如圖：以正弦線MP,余弦線0M和半徑0P三者的長(zhǎng)構(gòu)成直

角三角形，而且QP=1.由勾股定理由MF^+OM2=1,因此

x2+y2=1,即sin2cr+cos2a=\.

根據(jù)三角函數(shù)的定義，當(dāng)〃。k^+—（keZ）時(shí),有-in6Z=tana.

2cosa

這就是說(shuō),同一個(gè)角a的正弦、余弦的平方等于1,商等于角a的正切.

2.例題講評(píng)

3

例6.已知sina=--，求cosa,tana的值.

sina,cosa,tana三者知?求二,熟練掌握.

3.鞏固練習(xí)旦3頁(yè)第1，2,3題

4.例題講評(píng)

,,?cosx1+sinx

例7.求證：--------=---------.

1-sinxcosx

通過(guò)本例題，總結(jié)證明一個(gè)三角怛等式的力法步驟.

5.鞏固練習(xí)53頁(yè)第4,5題

6.學(xué)習(xí)小結(jié)

（1）同角三角函數(shù)的關(guān)系式的前提是“同角”，因此sir^a+cos?夕工1,tana工包上.

cos/

<2）利用平方關(guān)系時(shí)，往往要開(kāi)方，因此要先根據(jù)角所在象限確定符號(hào)，即要就角所在象限進(jìn)行分

類討論.

五、評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

（1）作業(yè)：習(xí)題1.2A組第10,13題.

（2）熟練掌握記憶同角三角函數(shù)的關(guān)系式，試將關(guān)系式變形等，得到其他幾個(gè)常用的關(guān)

系式;注意三角恒等式的證明方法及步驟.

第二章平面向量

§2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念

教學(xué)目標(biāo)：

1.了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示：掌握向量的模、零向量、單位向量、

平行向量、相等向量、共線向量等概念：并會(huì)區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量.

2.通過(guò)對(duì)向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別.

3,通過(guò)學(xué)生對(duì)向量及數(shù)量的識(shí)別能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力.

教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會(huì)表示向量.

教學(xué)難點(diǎn)：平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.

學(xué)法：本節(jié)是本章的入門課，概念較多，但難度不大.學(xué)生可根據(jù)在原有的位移、力等物理概念來(lái)學(xué)習(xí)

向量的概念，結(jié)合圖形實(shí)物區(qū)分平行向量、相等向量、共線向量等概念.

教學(xué)思路：

一、情景設(shè)置：

如圖，老鼠由A向西北逃竄，貓?jiān)贐處向東追去，設(shè)問(wèn)：貓能否追到老鼠？

（畫圖）c

結(jié)論：貓的速度再快也沒(méi)用，因?yàn)榉较蝈e(cuò)了.Ab

分析：老鼠逃竄的路線AC、貓追逐的路線BD實(shí)際上都是有方向、有長(zhǎng)短的量.

引言：請(qǐng)同學(xué)指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒(méi)有方向？

二、新課學(xué)習(xí)：

（）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量

（二）請(qǐng)同學(xué)閱讀課本后回答：（可制作成幻燈片）

1、數(shù)量及向量有何區(qū)別？

2、如何表示向量？

3、有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么？

4、長(zhǎng)度為零的向量叫什么向量？長(zhǎng)度為1的向量叫什么向量？

5、滿足什么條件的兩個(gè)向量處相等向量？單位向量是相等向量嗎？

6、有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什么關(guān)系？

7、如果把一組平行向量的起點(diǎn)全部移到一點(diǎn)0,這走它們是不走平行向量？這時(shí)各向量的終點(diǎn)之

間有什么關(guān)系？

（三）探究學(xué)習(xí)

1、數(shù)量及向量的區(qū)別：

數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大小:

向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.

2.向量的表示方法：,

①用有向線段表示；B

（終點(diǎn)）

②用字母a、bA（起點(diǎn)）

（黑體，印刷用）等表示；

③用有向線段的起點(diǎn)及終點(diǎn)字母：AB；

④向量麗的大小一一長(zhǎng)度稱為向量的模，記作I標(biāo).

3.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.

向量及有向線段的區(qū)別：

（1）向量只有大小和方向兩個(gè)要素，及起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同的

向量；

<2）有向線段有起點(diǎn)、大小和方向二個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線

段.

4、零向量、單位向量概念：

①長(zhǎng)度為0的向量叫等向量，記作Q。的方向是任意的.

注意0及0的含義及書寫區(qū)別.\/

②長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫單位向量.

說(shuō)明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小./I\

5、平行向量定義：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定0及任一向量平行.

說(shuō)明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定義：（2）向量a、b、c平行，記作&〃8〃c.

6、相等向量定義：

長(zhǎng)度相等且方向相同的向量“I相等向量.

說(shuō)明：（1）向量a及6相等，記作&=6：（2）零向量及零向量相等；

（3）任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來(lái)表示，并且及有向線段的

程卓不關(guān)

7、共線向量及平行向量關(guān)系：

平行向量就是共線向量，這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上（及有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)）.

說(shuō)明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；（2）共線向量可以相互平

行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.

（四）理解和鞏固：

例1書本86頁(yè)例1.

例2判斷：

（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）

（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

（3）及零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

（4）及任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

（5）若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量？（平行向量）

（6）兩個(gè)非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么？（長(zhǎng)度相等且方向相同）

（7）共線向量一定在同一直線上嗎？（不一定）

例3下列命題正確的是（）

A.a及b共線，b及c共線,則a及c也共線

B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)及終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)

C.向量a及b不共線，則a及b都是非零向量

D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行

解：由于零向量及任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的

非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以B

不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，及起點(diǎn)是否相同無(wú)關(guān)，所以D不正確：對(duì)于C,其條件以

否定形式給出，所以可從其逆否命題來(lái)入手考慮，假若a及b不都是非零向量，即a及b至少有一個(gè)是零

向量，而由零向量及任一向量都共線，可有a及b共線，不符合已知條件，所以有a及b都是非零向量，

所以應(yīng)選C.

例4如圖，設(shè)0是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中及向量OA、OB、0c相等的向量.

變式一：及向量長(zhǎng)度相等的向量有多少個(gè)？（11個(gè)）

變式二：是否存在及向量長(zhǎng)度相等、方向相反的向量？（存在）

變式三：及向量共線的向量有哪些？（而，麗，而）

課堂練習(xí)：

1.判斷下列命題是否正確，若不正確，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.

①向量Q及而是共線向量，則力、氏C、。四點(diǎn)必在一直線上;

②單位向量都相等：

③任一向量及它的相反向量不相筆；

④四邊形4筋是平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)AB=DC

⑤?個(gè)向量方向不確定當(dāng)且僅當(dāng)模為0：

⑥共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同.

解：①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個(gè)向量AB、AC在

同一直線上.

②不正確.單位向量模均相等且為1,但方向并不確定.

③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量及零向量是相等的.④、⑤正確.⑥不正確.如圖

______ABC

區(qū)及前共線，雖起點(diǎn)不同，但其終點(diǎn)卻相同.1------------'

2.書本88頁(yè)練習(xí)

三、小結(jié)：

1、描述向量的兩個(gè)指標(biāo)：模和方向.

2、平行向量不是平面幾何中的平行線段的簡(jiǎn)單類比.

3、向量的圖示，要標(biāo)上箭頭和始點(diǎn)、終點(diǎn).

四、課后作業(yè)：

書本88頁(yè)習(xí)題2.1第3、5題

第2課時(shí)

§2.2.1向量的加法運(yùn)算及其幾何意義

教學(xué)目標(biāo)：

1、掌握向量的加法運(yùn)算，并理解其幾何意義：

2、會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的

能力；

3、通過(guò)將向量運(yùn)算及熟悉的數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比，使學(xué)生掌握向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律，并

會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算，滲透類比的數(shù)學(xué)方法；

教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量.

教學(xué)難點(diǎn)：理解向量加法的定義.

學(xué)法：數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算，向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢？數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運(yùn)算的角度看，位移的合成、

力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成來(lái)理解向量的加法，讓學(xué)生順理成章接受

向量的加法定義.結(jié)合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.聯(lián)系數(shù)的運(yùn)算律理解和掌握向量

加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律.

教學(xué)思路：

一、設(shè)置情景：

1、復(fù)習(xí)：向量的定義以及有關(guān)概念

強(qiáng)調(diào)：向量是既有大小又有方向的量.長(zhǎng)度相等、方向相同的向量相等.因此，我們研究的向量是

及起點(diǎn)無(wú)關(guān)的自由向量，即任何向量可以在不改變它的方向和大小的前提下，移到任何位置

2、情戰(zhàn)設(shè)置:ABC

（1）某人從A到B,再?gòu)腂按原方向到C,

則兩次的位移和：AB+BC=AC

（2）若上題改為從A到B,再?gòu)腂按反方向到C,AB

則兩次的位移和:AB+BC=AC

（3）某車從A到B,再?gòu)腂改變方向到C,

則兩次的位移和:AB+BC=AC

（4）船速為48,水速為BC,則兩速度和：AB+

二、探索研究:

1、向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)尊，叫做向量的加法.

2、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）

如圖，已知向量a、b.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)4,作而=a,BC=b,則向量怒叫做a及b的和,

記作a+b,即a+b=Q+51=衣，規(guī)定:a+0-=0+a

a

探窕：（1）兩相向量的和仍是一

b

個(gè)向量;a力

a^b

（2）當(dāng)向量2及分不共線

時(shí)，4+6的方向不同向，且|。+力＜|O1+I；

（3）當(dāng)〃及6同向時(shí)，則4+6、〃、6同向，且

a|=|a\+\b\,當(dāng)。及J反向時(shí),若|〃|>b|,則S、

4+3的方向及。相同，且|。+3|=〃I-3:若

\a\<\b|,則a+b的方向及b相同，且|a+b|=b-a.

（4）“向量平移”（自由向量）：使前一個(gè)向量的終點(diǎn)為后一個(gè)向量的起點(diǎn)，可以推廣到n個(gè)向量連

加

3.例一、已知向量4、b,求作向量4+Z?

作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)，作OA=aAB=b,則08=。+/?.

4.加法的交換律和平行四邊形法則

問(wèn)題：上題中3+3的結(jié)果及Z+6是否相同？驗(yàn)證結(jié)果相同

從而得到：1)向量加法的平行四邊形法則(對(duì)于兩個(gè)向量共線不適應(yīng))

2)向量加法的交換律：a+Bb+a

5.向量加法的結(jié)合律：(4+b)+c=〃+(b+c)

證：如圖：使AB=a,BC=b,CD=c

則(4+7)+c=AC+CD=AD,4+R+c)=AB+BD=AD

從而，多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來(lái)進(jìn)行.

三、應(yīng)用舉例：

例二(P94—95)略練習(xí)：P95

四、小結(jié)

1、向量加法的幾何意義；2、交換律和結(jié)合律;

3、注意：|。+匕|W|。|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)方向相同時(shí)取等號(hào).

五、課后作業(yè)：P103第2、3題

七、備用習(xí)題

1、?艘船從A點(diǎn)出發(fā)以26kmih的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，船的實(shí)際航行的速度的大小為

4kmih,求水流的速度.

2、一艘船距對(duì)岸4，5km,以2辰〃2/力的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，到達(dá)對(duì)岸時(shí)，船的實(shí)際

航程為8km,求河水的流速.

3、?艘船從A點(diǎn)出發(fā)以％的速度問(wèn)垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為V2,船的實(shí)際航行的

速度的大小為4%機(jī)/力，方向及水流間的夾角是60。，求0和V2.

4、一艘船以5km/h的速度在行駛，同時(shí)河水的流速為2km/h,則船的實(shí)際航行速度大小最大是

km/h,最小是km/h

5、已知兩個(gè)力R,0的夾角是直角，且已知它們的合力F及件的夾角是60。，|F|=1ON求件和R的

大小.

6、用向量加法證明：兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

第3課時(shí)

§2.2.2向量的減法運(yùn)算及其幾何意義

教學(xué)目標(biāo)：

1.了解相反向量的概念：

2.掌握向量的減法，會(huì)作兩個(gè)向量的減向量，并理解其幾何意義；

3.通過(guò)闡述向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運(yùn)算，使學(xué)生理解事物之間可以相互轉(zhuǎn)化的辯證思

想.

教學(xué)重點(diǎn)：向量減法的概念和向量減法的作圖法.

教學(xué)難點(diǎn)：減法運(yùn)算時(shí)方向的確定.

學(xué)法：減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運(yùn)算掌握向量的減

法運(yùn)算；并利用三角形做出減向量.

教學(xué)思路：

一、復(fù)習(xí)：向量加法的法則：三角形法則及平行四邊形法則

向量加法的運(yùn)算定律：

例：在四邊形中，+—.

解：CB+BA+BA=CB+BA+AD=CD

、提出課題：向量的減法

1.用“相反向量”定義向量的減法

(1)“相反向量”的定義：及a長(zhǎng)度相同、方向相反的向量.記作a

(2)規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.(a)=a.

任一向量及它的相反向量的和是零向量.a+(a)=0

如果a、b互為相反向量，則a=b,b=a,ab=0

(3)向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a及b的差.

即：ab=a+(b)求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.

2.用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法：向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算：若b+x=a,則X

叫做a及方的差，記作ab

3.求作差向量：已知向量a、b,求作向量

注意：1A8表示&b.強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)

2用“相反向量”定義法作差向量，a6=a+（6）

顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一.

4.探究：

三、例題:

例一、（P97例三）已知向量a、b、c、d,求作向量ab、cd.

解：在平面上取一點(diǎn)。，作0A=a,OB=b,OC=c,OD=d.

作BA,DC,則BA=ab,DC-cd

AC=a+b,DB=AB-AD=ab

變式一：當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，臥b及ab垂直？（1ab)

變式二：當(dāng)a,。滿足什么條件時(shí)，I肅blab]?方互相垂直）

變式三：*b及ab可能是相當(dāng)向量嗎？（不可能，?；對(duì)角5向不同）

練習(xí)：P98

四、小結(jié)：向量減法的定義、作圖法I

五、作業(yè)：P103第4、5題

六、板書設(shè)計(jì)（略）

一匕、備用習(xí)題：

1.在AABC中，BC=a,CA=b,則AB等于()

A.a+bB.-a+(-b)C.abD.ba

2.0為平行四邊形ABCD平面上的點(diǎn)，設(shè)QAa,06=b,OC=c,OD=d,則

A.a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0C.a+b-c-d=0D.abc+d=0

3.如圖，在四邊形ABCD中，根據(jù)圖示填空：

a+b=，b+c=?c-d=,a+b+c-d=.

4、如圖所示，。是四邊形ABCD內(nèi)任一點(diǎn)，試根據(jù)圖中給出的向量，確定a、b、c、d的方向（用箭頭

表示）,使a+b=4B,c-d=DC,并畫出b-c和a+d.

2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

第4課時(shí)

§2.3.1平面向量基本定理

教學(xué)目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來(lái)表

示，初步掌握應(yīng)用向量解決實(shí)際問(wèn)題的重要思想方法；

（3）能夠在具體問(wèn)題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來(lái)表達(dá).

教學(xué)重點(diǎn)：平面向量基本定理.

教學(xué)難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解及應(yīng)用.

教學(xué)過(guò)程：

復(fù)習(xí)引入:

1.實(shí)數(shù)及向量的枳：實(shí)數(shù)A及向量2的積是一個(gè)向量，記作：入2

（1）A,a=1人Ia\；（2）人》o時(shí)2.G及。方向相同：入＜0時(shí)入2及G方向相反；入=0時(shí)入2=0

2.運(yùn)算定律

結(jié)合律：x(u^)=(xu)a；分配律：(入+n)五=入五+u五，x(a+b)=xa+xh

3.向量共線定理向量加及非零向量值共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)入，使囚=入2.

二、講解新課：

平面向量基本定理：如果％,g是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向

量5，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)3，入2使/=[,+入2?2?

探究:

(1)我們把不共線向量/、62叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底：

(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量a在給出基底入、e2的條件下進(jìn)行分解；

(4)基底給定時(shí)，分解形式推.入”