2012年福建省高一數(shù)學(xué)競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

2012年福建省高一數(shù)學(xué)競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

(考試時(shí)間：5月13日上午8：30-11：00)

一、選擇題(每小臟6分，共36分)

1.已知集合4={x|l￡x44},B={y|y=log,x.xcA],則4CB=()

A.[0,2]B.[0,1]C,[1,2]D.[2.4]

【答案】C

【解答】由條件知，B=[0,2],=

2.已知直線x=2，x=4與函數(shù)y=k>g《x的曲象交于/、3兩點(diǎn)，與函數(shù)y=lnr的國

段交于C、O兩點(diǎn)，則直線與C。(>

A.相交，且交點(diǎn)在第~象限B.相交,且交點(diǎn)在第二象限

C.相交，且交點(diǎn)在第四條限D(zhuǎn).相交，且交點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)

【答案】D

—**

1

【解答】由條件知，A(2,~).fi(4,1),C(2,ln2).D(4,2ln2).

所以，直線,48方程為y-1=；(x-4)：直線C。方程為y-ln2=^Cr-2).

由此可得，兩直戰(zhàn)相交，互交點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn).

3.已知集合4,如果存在實(shí)數(shù)馬，使得對任意正數(shù)。，都存在xs/，使得0<|x-xJva,

則稱/為集合/的“聚點(diǎn)”.繪出下列四個(gè)集合；①{三"WZ,"ZOj；②

IJ

{x|x€R,且xwO};③④Z.其中以0為“聚點(diǎn)”的集合有（）

A.②、③B.①、②C.①、③D.②、④

【答案】A

【解答】對于集合①，若取4H：，則不存在X，使得0v|x-0k。；

對于④，若取，則不存在X,使得0<|x-0|<a（只要avl的正數(shù)均可）.

顯然，②、③符合要求.

4.已知四面體/6CD四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為彳（2,0.0）、氏0,2,0）、C（0,0.1）,

ZX0,0,0）,則直線￡>C與平面/8C所成角的正弦值為《）

【答案】D

【解答】取中點(diǎn)E,則由條件知，ABIDE.AB1CD,

wn年HHt省商一?t學(xué)競賽試題參考答案及評分標(biāo)存?

所以，48J■面CAE,IIICDF.\ABC.N0CE就是直線/X：與平面48。所成的甬.

又CO=】，￡>E=&,CEr、回，因此，&n，DCE=7久回

\133

5.已知x,7是兩個(gè)不相等的正數(shù)，且滿足條件=/->2,則［9乃］的最大值為

）f符號［*］表示不超過x的最大整數(shù)）

%才.丫、-x-rvl

A.4B.3C.2D,1

【答案】B

【解答】由—”知，/+D+V=-八v=a+?-（x+『）。

由x,夕為正數(shù)知，xy>Oex+7>lo

又由xj<里知,（x+?』（x+y）<!?：,it此解得,l<（x+y）《2。

443

所以，xy=(x+>)?-(Jr+y)=(x+y_L)'?」w(0,&)?0<9xy<4.

249

又，當(dāng)個(gè)二；，》+?=耳互，即x、），是方程P-士魯r+；=0的兩根時(shí)（容易驗(yàn)證

該方程有兩個(gè)不相同的正根），9xy=3.

因此，［9到1的最大值為3?

6.函數(shù)〃x)=疫=i+48-3x的最大值為()

A,而B.26C.而D.岳

【答案】D,

【解答】由柯西不等硒

(V2x-6+V18-3x)J=(V2-7x^3+6瓜工￥

f［(應(yīng)產(chǎn)+(6尸］,［(Jx-3尸十(j6-x)，=15.當(dāng)且僅當(dāng)(3亍=即x=5?時(shí)

等號成立.所以，/(x)的最大值為后.

另解：易知，34x46.設(shè)x=3sin'a+3,OSa,

2

則/(x)=J6sina+內(nèi)cosa=Ji7sin(a+p).因此，/(x)的最大值為而\

二、填空題《每小題6分，共38分)

7.已知過點(diǎn)43,-2)的直線/交x軸近半軸于點(diǎn)8,交直線//x-2y=0于點(diǎn)C，旦

|卜2|BC|,則直線/在y軸上的載距為.

【答案I7

【解答】由|/8|=2|8C|知，點(diǎn)C的級坐標(biāo)為1,點(diǎn)C的坐標(biāo)為C'(2,l),因此?宜戰(zhàn)

AC即直線/的方程為p+2=-3*-3)。

所以，直線，在y軸上的截距為7.”「"二"

2011年柏建省K一畋學(xué)竟姿長區(qū)參考替鬃及評分標(biāo)準(zhǔn)2'.工三.

8,若關(guān)于X的不等式2*+3*-*《'NO在區(qū)間［1,2］上有解，則人的最大值為<

【答案】噂干

*

【解答】依題意，不等式(y+(；)一口0,*匕(9'+(今在區(qū)間［1,2］上有機(jī)

由于“X)=(；)'嗎'在區(qū)間【1，2］上為減函數(shù)，其最小值為/⑵=；+；=：，?

jJL.

11

所以，A的最大值為掾.?w■-一二,

36

9.在三梭椎D-41C中，已知4gHBC=慫?&，HD=AC=2,BCj.AD,則三棱

,椎D-X8c外接球的表面積為■?

【答案】6*

【解答】由4B=BC=4D-M，8。=4c=2知，0/2.48，BC1AB.

又3c■L/D，因此，面/8C，BCJ.面所以，DA1AC,08J.BC。

取DC中點(diǎn)。，則。4=O3=OC=。。，。是三棱維D-48c外接球的球心.

所以，三棱推D-4BC外接球半徑手，其表面積S=4"R?q6"?

—2

10.三個(gè)手徑都是2的圓，其圓心分別為/。川、8(3,6)、C(7,12),直線/斜率為

旦過點(diǎn)(1,1).若。/、08、0C位于直線/某一側(cè)的部分的面積和等于位于直線？另一側(cè)的

部分的面枳和.貝必=.

【答案】2_

【解答】由條件知，直線/將GU面積分成相等的兩部分，因此，03、OC位于直線/某

一側(cè)的部分的面枳和等于位于直線/另一側(cè)的部分的面積和.'

所以，直線，過8(3,6八C(7.12)的中點(diǎn)D｛5,9)???共=2?

5-1■

11.已知函數(shù)〃x)=1X-°.則方程/(x)=x在區(qū)間(0,10)內(nèi)所有實(shí)根的和

/(x-l)+lx>0

為，

【答案】45.

【解答】設(shè)g(x)?f(x)-x,則Ovx4M/(x)=/(x-l)+l-2,'\^(i)=2x-'-x.

???函數(shù)y=2'-‘(0<xG)的圖象與直線)=、有且只有1個(gè)橫坐標(biāo)為1的交點(diǎn)，

方程g(x)=0在區(qū)間(0川上僅有一個(gè)實(shí)根x?=1。

又x>0時(shí)，g(x+l)=/■(x-?-l)-(x+l)?/(Jf)+l-(x+l)=/(x)-x=g(x)..

:.方程g(x)=O在區(qū)間(1,2]上僅有一個(gè)實(shí)根x=2；在區(qū)間(2,3]上僅有一個(gè)實(shí)根

x=3：…，在區(qū)間(8,9]上僅有一個(gè)實(shí)根x=9：在區(qū)間(9,10]上僅有一個(gè)實(shí)根x=10.

:.方程f(x)=x在區(qū)間(0JQ)內(nèi)所有實(shí)根的和為1+2+3+“-9=45?

20“年播*省1島一蚊學(xué)史要試JS參考答*足評分標(biāo)準(zhǔn)3

12.符號[x]表示不超過X的最大整數(shù)，符號｛工｝表示X的小數(shù)部分，即｛*｝=x-[xj.

若實(shí)數(shù)x滿足[2x]+[4x]+[6x卜[gx]=2Q12,mU｛x｝的最小值為.，

【答案】\

3

【解答】依題意有x=[x]+｛x｝,設(shè)｛1｝=/,0</<1.

2x]+[4x]+[6x]+[8x]=2[x]+[2r]+4[x]+[4/]+6[x]+[6/]+8[x]+[&]

=20[x]>[2i]b[4，卜[6/]+[]=2012.

所以，[2]+[4/]+[&]+[8/)=12.

又當(dāng)f時(shí)，[2“+[4”+[6/卜[8/卜12,符合要求.

r<]時(shí)，[4442,[6“<4,[8445,

所以，[2r]+[4/]+[6/]+[8r]<1+2+4+5=12不符合要求.

所以，r的最小值,即｛*｝的最小值為;.

三、解答題(第13、14、15、16題每題16分，第17題14分，滿分78分)

13.已知〃r)h，+2"-2在區(qū)間卜2,0］上的最小值為g(p)?

(D求g(p)的表達(dá)式：*.

(2)當(dāng)g(p)=-3時(shí)，求在區(qū)間［-2,0］上的最大值.

【解答】〈I)/(x)=x2+2px-2=(x+p)1-p2-2,

當(dāng)-p<-2,即p>2時(shí)，/(x)在區(qū)間xw［-2,0］上的最小值為〃-2)=2-4p；

...................................4分

當(dāng)-24-p40,即OS”2時(shí)，/(x)在區(qū)間xw［-2,0］上的最小值為-2?

......................................8分

當(dāng)一p>0,即p<0時(shí)，/(x)在區(qū)間xe［-2,0)上的最小值為〃0)=-2?

2-4pp>2

g(P)=，-p2-2QSpS2.........*???：”…,12分

-2p<Q

p>2或04P42

(2)由以p)=-3知,

2-4pa-3

所以，p=L/(*)?=+2x-2=(x+1)3-3.

所以，/(x)在區(qū)間［-2,0］上的最大值為-2?16分

|4.已知IEC:(x-2)’=/n?點(diǎn)彳(4,6)、B(s,t),

(1)若3s-4/=-12,且直線加3被圓C裁得的弦長為4,求m的值；

(2)若s,f為正整數(shù)，且I2C上任意?點(diǎn)到點(diǎn)人的荏高與到點(diǎn)B的距離之比為定值4

求m的值。

【解答】＜1)V3*4—4X6=-】2,S3S-4/=-I2?

:.直線48的方程為3*-4y=-l2,即3x-4"12=0?..................4分

?；直線祓例C鼓得的弦長為4,且國心C到直線月8的距離為4=也展U=2,

:.圓半徑r=2&,即、*=2應(yīng)，m=8?'.............................8分

(2)設(shè)尸(xj)為圓C上任意一點(diǎn)，則由條件知，華學(xué)士?二空?2%，

郎(萬-1)/+(^-1)/-2(AJj-4)x-2(&-6)y-筋(『+力-52=0,..............①

由點(diǎn)P為圓C上任意一點(diǎn)知，方程①表示的軌跡與圓C是同一條曲線.

...............................................12分

公$-4,*-6AJ(?+?)-52

所以,—=-----=2,-；——

2J-1萬T

、2、4X(s'+「)-52

所以.$=2+9r=2+9m=08------—]'—?

由知，2<$<4.結(jié)合s為正整數(shù)知.3=3,4=Ji,因此，/=4?加工10.

所以.w=10?................................16分

15.對任意的正整數(shù)人以及任意〃個(gè)互不相同的正整數(shù)馬，叫，…，4,若不等式

（上尸+二］+…+二尸<2恒成立.求整數(shù)2的最小值.

【解答】；i+LLL”>2,

23412

??若％41,則有（，+（；）'+（!）'+（；）"士1+j+；+:>2與要求不符.

:.2>1?..........................................................4分

當(dāng)Z22時(shí)，山田，&為〃個(gè)互不相同的正整數(shù)知，

（f'+6尸+…+6）”《（;）”+（;）”+（;）“?"+（：）"

.........................................................8分

,.111111

W1+-X—4--X-?4,1*■**,X-........................??????????????“?????一?????127T

)223?-]n

S14-（1—1）+（［-1）+???+（------）=2---<2o

223k一1nn

:.當(dāng)；122時(shí)，不等式+…+（JL><2對任意找個(gè)互不相同的匯整數(shù)q,

4%可

氏恒成立?

:.整數(shù)Z的最小值為2.,......................................................16分

16.如圖，PA、PH為圓。的兩條切線，A.8為切點(diǎn):.PC0為圓。的割線，C、。為

割戰(zhàn)與的交點(diǎn).過C作直畿交48于點(diǎn)￡、交3于點(diǎn)F，且CE=￡F。

求證?CE//PA,

【解答】如圖，作。M1CD于M,聯(lián)結(jié)OM、ME、"3、8C,第”國圖

則M為CD的中點(diǎn).

在△CFD中，由CE=EF,“為CD的中點(diǎn)，^EM//FD.

,；.N師=/必。...............■芬-―

VA~D.3、C四點(diǎn)并圓，/

:./B/D=N8C。：從而C、E、M、8四點(diǎn)共圓.

：.ZEBM=4ECM.……①............8分AAZA

VPA.尸8為圓。的兩條切線，ROM1PM,Ij

:.P、4、MB四點(diǎn)共圓（都在以O(shè)P為直徑的圓\N?A]

±）...............12分Xy/

.*.UPM=&BM.........②---

由①、②fthZAPM=￡ECM第16廖答題圖

:.CE//PA,............16分

17.在直角坐標(biāo)平面x6,內(nèi)有2012個(gè)點(diǎn)，元這2012個(gè)點(diǎn)組成的點(diǎn)集為尸，已知點(diǎn)生P中

任何兩點(diǎn)的連線與坐標(biāo)軸既不平行也不重合.

證明：在點(diǎn)集『中，存在E、G兩點(diǎn)，使得以￡G為對角線，且邊與坐標(biāo)軸平行或重合

的矩形EFGH內(nèi)（不包括邊提）至少含有點(diǎn)失尸中的402個(gè)點(diǎn).

【解答】設(shè)/是點(diǎn)集尸中縱坐標(biāo)最大的點(diǎn)，8是點(diǎn)集尸中縱坐標(biāo)最小的點(diǎn)，C是點(diǎn)失尸中

橫坐標(biāo)最大的點(diǎn)，。是點(diǎn)集尸中橫坐標(biāo)最小的點(diǎn).

則點(diǎn)集P被四條直線x=x”x=x。、＞=以、）,=%所形成的矩形所發(fā)蓋，記此矩形為

矩形0.....................4分

記以線段,婚,為對角線，且邊與坐標(biāo)軸平行或重合的矩形為“如，矩形J““內(nèi)（不包括邊

界》含有點(diǎn)集尸中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.

（D若,4、8、C、。四點(diǎn)中有重合的情形.

由于點(diǎn)集尸中任何兩點(diǎn)的連線與坐標(biāo)軸既不平行也不重合，因此，點(diǎn)力與點(diǎn)8不重合，

點(diǎn)C與點(diǎn)。不里合.’.

①若/、3、C、。重合為2個(gè)不同的點(diǎn).

由對稱性，不妨設(shè)/與D重合、8與C重合，則顯然矩形J“符合要求.

......................7分

②若4、B、C、。重合為3個(gè)不同的點(diǎn).

由對稱性不妨設(shè)/與。重合，則矩形。板三個(gè)小矩形J,.、%、?/口所覆蓋，因此，點(diǎn)

集尸也被三個(gè)小矩形乙“、小4.’所覆蓋。

因此，7；e+Tw+^＞2009,即，,、小、工”中至少有一個(gè)不小于670,從而符合條件

的點(diǎn)片、G存在.

由①、②知，當(dāng)/、B、C,。四點(diǎn)中有重合情形時(shí)，結(jié)論成立.

.......................10分

（2）若4、3、C,"四點(diǎn)兩兩不堇合..

易知矩形。被五個(gè)小矩形Jv、J加、小〃.八，，所覆蓋，因此點(diǎn)失尸也被這五個(gè)小

矩形所覆能（如圖所示）.

所以，加*4+。+小&22008。

所以，丁人口、心、心、兀＜、乙,中至少有一個(gè)不小于402.

因此，符合條件的點(diǎn)E、G存在.

由（1）、（2）知，結(jié)論成立.

2024福建省中學(xué)數(shù)學(xué)競賽

(考試時(shí)間：2013年9月7日上午9：00-11：30,滿分160分)

一、填空題(共10小題，每小題6分，滿分60分。請直接將答案寫在題中的橫線上)

1.已知數(shù)列也｝滿足％=32,%+「4=2〃(〃e”)，則，的最小值為=

【答案】—

3

I解答】由％=32,q+i-?=2〃知，

an~a?-i-?”"_1-4_2=2(“一2)，””，4一°1=2><1,4=32。

上述〃個(gè)等式左右兩邊分別相加，得4=〃(〃-1)+32。

%=〃_1+上，又〃=5時(shí)，％=工；〃=6時(shí)，%

,

〃〃〃5ncj\c)gi.corrLcn/scjing

2.對于函數(shù)了=/(x)，xeD,若對任意的wcD,存在唯一的馬?“，使得

”(皿，則稱函數(shù)在。上的幾何平均數(shù)為脛。已知/")=好-/+1,

xe［l,2］,則函數(shù)/⑺=1一/+i在［1,2］上的幾何平均數(shù)N_

【答案】炳

【解答】*/當(dāng)l<x<2時(shí)，f(x)=3x2-2x=x(3x-2)>0,

二/8)=d-/+1在區(qū)間［1,2］上為增函數(shù)，其值域?yàn)椋?,5］。

，根據(jù)函數(shù)了(x)幾何平均數(shù)的定義知，M=0

3.若三個(gè)非零且互不相等的實(shí)數(shù)a、b、c滿足+:=士，則稱a、b、c是調(diào)和的；若

abc

滿足a+c=S,則稱a、b、c是等差的。已知集合兇=；x|b|42013Z),集合F是集

合M的三元子集，即尸=｛叫入。｝匚M。若集合P中元素a、b.c既是調(diào)和的，又是等差

的，則稱集合F為“好集”。則不同的“好集”的個(gè)數(shù)為。

【答案】1006blog.sirjE/sc］irig

T1_Z

【解答】若a、b、c既是調(diào)和的，又是等差的，則Z+b=a=-2b,c=4ba

a+c=2b

即“好集”為形如；-乃，34幻（匕=0）的集合。

由“好集”是集合M的三元子集知，-2013W4bW2013,beZ,且8x0。

-503</?<503,beZ,且6工00符合條件的b可取1006個(gè)值。

/.“好集”的個(gè)數(shù)為1006.

4.已知實(shí)數(shù)x,了滿足砂+l=4x+y,且x>l,則（x+l>。的最小值

為。

【答案】27

【解答】由號+l=4x+y矢口，了=4"-1。

(x+1M+2)x"誓/+=隼產(chǎn)2.1)

設(shè)工一1=3貝算>0,

/，、/小3(x+l)(2x-l)3(￡+2)(2r+l)“1、，=皿

(x+l)(y+2)=———-----=———------=66+-)+15227。

x-1rt

當(dāng)且僅當(dāng)￡=；,即f=l,x=2,y=7時(shí)等號成立。

(x+1M+的最小值為27。blDg.siri8i.corrLcri/sc]irjg

(x+l)(y+2)—27=(工+1)(i——+2)—27=—>0

1-J7X~1.

5,如圖，在四面體中，4B_L平面ECZ),△8CD是邊長

為3的等邊三角形?若那=2,則四面體4BCZ)外接球的面積

為

【答案】16〃

【解答】如圖，設(shè)正△88的中心為q,四面體458外接球的

球心為。。則OQJ.平面8CQ,OOJ/AB,5Q=-x—x3=V3.

ii32

取中點(diǎn)

由04=08知，O￡_L^,OE//OXB,Oq=E8=l。

于是，OA^OB=2.

，四面體45ao外接球半徑為2,其面積為164。

bl嗎sineLC^ffLcri/sqing

6.在正十邊形的10個(gè)頂點(diǎn)中，任取4個(gè)點(diǎn)，則以這4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形的概

率為?

【答案】；2

【解答】設(shè)正十邊形為444°.則

以44為底邊的梯形有4444。、4444、4444共3個(gè)。同理分別以44、44、

44、，,、44）、為底邊的梯形各有3個(gè)。這樣，合計(jì)有30個(gè)梯形.

以44為底邊的梯形有4444。、4444共2個(gè).同理分別以&&、司司、44、，,、

44、44為底邊的梯形各有2個(gè)。這樣，合計(jì)有20個(gè)梯形。

以44為底邊的梯形只有44441個(gè)。同理分別以44、44、44、”、44、44

為底邊的梯形各有1個(gè)。這樣，合計(jì)有io個(gè)梯形.

30+20+102

所以，所求的概率尸=

7

Y；y1

7,方程sin"=--2+-在區(qū)間必2句內(nèi)的所有實(shí)根之和為.（符

號［x］表示不超過x的最大整數(shù)）。

【答案】12

【解答】設(shè)｛；｝=；-；，則對任意實(shí)數(shù)x,0<｛；卜1。

原方程化為sin/=（-1+-a

Ll2J2J

①若則sin4X=/X1+1=0,"=左耳?左cZ,）。,

I2J2LI2J2Jolog.siriELCorrLcn/sqirig

9.已知集合月的元素都是整數(shù)，其中最小的為1,最大的為200。且除1以外，力中每

一個(gè)數(shù)都等于/中某兩個(gè)數(shù)（可以相同）的和。貝UI囿的最小值為。（符號A\

表示集合幺中元素的個(gè)數(shù)）

【答案】10

【解答】易知集合/={1,2,3,5,10,20,40,80,160,200}符合要求。此時(shí)，|圖=10。

下面說明|*=9不符合要求。

假設(shè)集合A=[\,y\,x2,xi,x^,x5,x(1,x1,200},a<三<三<%<W</<當(dāng)符合要求。

則玉=1+1=2,毛M2+2=4,X3<8,x4<16,<32,x6<64,xy<128o

由于線+X7g64+128=192<200,因此，200=f+毛，x7=1000

同理，由毛+升W32+64=96<100,知，毛=100=4+毛，x6=50o

由4+/=16+32=48<50,知，/=50=鼻+/，々=25。

25

由天8+16=24<25,知，/=25=2+z，x4=?與4為整數(shù)矛盾。

/.圖=9不符合要求，141H9。同理，|4區(qū)8也不符合要求。

因此，|川的最小值為10。

'X,若x為無理數(shù)

10,已知函數(shù)/(x)=|q+1辛q甘山”■口后底，則函數(shù)了3在

-——，若x=[,其中p,qe叢，且/?、q互質(zhì)，p〉q

PP

7Q

區(qū)%,9)上的最大值為一

打心勺,5/sqm勺

16

【答案】

8

【解答】若x為有理數(shù)，且xcd/）。設(shè)工=&€（Zt）（*北獷），

89a+幾89

,7a8,「9”生+84……

由<〈知，《,7A<a<8^a

8a+A97a+7^<8a

當(dāng)N=1時(shí)，a不存在；

當(dāng)4=2時(shí)，存在唯一的a=15,此時(shí)xJ5,/（x）=16.

1717

當(dāng)N23時(shí)，設(shè)&=74+M，其中1?加4幾一1,且附已曾二此時(shí)/伏）=必士竺

8N+%

16H+m+1-m-17A(-m卞加8~17)

17-a+w=174&切=)1^儂)

，若x為有理數(shù)，則工=￡時(shí)，/（x）取最大值;二

又x為無理數(shù)，且xe乙8）時(shí)，/（x）=x<8<16

89917blog.sinei.cD/scjirig

綜合以上可知，在區(qū)間乙號）上的最大值為16。

8917

二、解答題（共5小題，每小題20分，滿分100分.要求寫出解題過程）

11.將各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列;%J排成如下所示的三角形數(shù)陣（第冏行有附個(gè)數(shù)，同一行中，

下標(biāo)小的數(shù)排在左邊）.與表示數(shù)陣中，第附行、第1列的數(shù)。已知數(shù)列為等比數(shù)列，且

從第3行開始，各行均構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列（第3行的3個(gè)數(shù)構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列；

第4行的4個(gè)數(shù)構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，，,,,）,4=1,4=17,%=34。

3）求數(shù)陣中第那行、第附列的數(shù)次加，冏）（用冽、附表示）.

⑵求的值;

（3）2013是否在該數(shù)陣中？并說明理由。

%

%%

%%a6

%%%?10

【解答】（1）設(shè)⑼的公比為q。blog^irjc!.corrLcri/s;c|ifjg

依題意，%為數(shù)陣中第5行、第2列的數(shù)；%為數(shù)陣中第6行、第3列的數(shù)。

2=1,b=qn~1=^4+c/=17,a..=c/5+2d=34??...........5分

1tU/lo*a

***q=2,d=1,b=2"一10

A（m,t）=6+（第1）左*刎+/1............................10分

（2）由1+2+3+―+62=1953,1+2+3+…+62+63=2016,2013-1953=60知，

。加13為數(shù)陣中第63行，第60列的數(shù)。

，%）B=262+59。............................15分

（3）假設(shè)2013為數(shù)陣中第冽行、第附列的數(shù)。

第/行中，最小的數(shù)為2吁1最大的數(shù)為2所】+加一1,

2海-1?201342加-1+附一1”,①。

由于活￡10時(shí)，2秋」+切_1?29+9=512<2。13,因此切410不符合①；

由于加211時(shí)，2W-1>210=1024>2013,因此附之11不符合①；

/.上述不等式①無正整數(shù)解.

2013不在該數(shù)陣中。3sir國&。血c門腹地Fig

12,已知/、8為拋物線C：*=4x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)/在第一象限，點(diǎn)8在第四象限。

4、4分別過點(diǎn)/、8且與拋物線C相切，戶為4的交點(diǎn)。

（1）若直線過拋物線C的焦點(diǎn)歹，求證：動(dòng)點(diǎn)E在一條定直線上，并求此直線方程;

（2）設(shè)C、Z）為直線匕、4與直線工=4的交點(diǎn)，求面積的最小值.

【解答】（1）設(shè)收（，入），8百，為）（片〉0>為）。

易知《斜率存在，設(shè)為片，貝叫方程為」-片=%8-。）。

由<"（x-4）得，片尸-4了+4入-占了；=0..........

①

/=4x

由直線4與拋物線C相切，知△=16一4片（4八-左］｝；）=0。

于是，片=2,4方程為了=工工+1萬。

K居2

21

同理，4方程為了=工+-了2。

力22

聯(lián)立4、4方程可得點(diǎn)F坐標(biāo)為打牛，丐力）

h?log.E；iricLc；ofrj.crjJVc|irjg

?/上.="一々=4，方程為了-居=48-*）,45過拋物線C的焦點(diǎn)

尤』為+必X+%4

44

秋1,0）。

4y2

工一%二（1一;），為為二一4。

片+為4

，x=月7=-1，點(diǎn)F在定直線工=一1上。................10分

4

或解：設(shè)/（不，居），B（X2,y2）,則4方程為入了=2（工+%）,乙方程為%7=20+%）°

.................................5分

設(shè)E（%，為），貝以為=2（%+%）,y2y0=2（x0+X2）a

，點(diǎn)/（工1，入），8%，九）坐標(biāo)滿足方程?0=2（/+x）。

，直線AB方程為yyQ=2（%+x）。

由直線過點(diǎn)F0,O）,知0=2（%+1）。

%=-1。點(diǎn)尸在定直線工=-1上。5叫:號什歸口力仃）,二創(chuàng)為ing

O1Q1

（2）由（1）知，C,Q的坐標(biāo)分別為C（4,士+!%）、。（4,+上為）。

了12y22

.**CD1=('+%)-(8+1%)5了2-16)3vy)2

112

典2為2乂%

?s一14%匕|I。八16）8-1y/.................

-S△皿一24-4卜|2加015分

設(shè)了仍=一/（f>。），卜「了21=加，

由=仇-力）2+4為力=療-4尸“知，m>2t,當(dāng)且僅當(dāng)為+為=0時(shí)等號成立。

1戶口j加一16用m-t+1行2￡2%("6)￡+(16)

|一把=ir§一代=。

￡8

港（產(chǎn)+1。22(產(chǎn)+16)2Tf-(尸+16)2_(3產(chǎn)-16)(y+1①

設(shè)/?=

3t，貝U/M8t2-8t2

J0<f<4f時(shí)，/.）<o；”4’時(shí)，了?>0。在區(qū)間（o,華］上為減函數(shù)；

住區(qū)間「生叵，+8］上為增函數(shù)。

L3）

***'=:時(shí)，/V）取最小值了°M嗎介尼Lsrn.cn/sqing

迎c16aH44時(shí)，△■PS面積取最小值I2干

當(dāng)必+必=0,月月=-§，即九=耳，厲=一生

20分

13.如圖，在△腑中,4=90°,它的內(nèi)切圓分別與邊羽、CA,那相切干點(diǎn)。、E、

F,連接M,與內(nèi)切圓相好另一點(diǎn)匕跳PC、PE、PF、FD、ED.

(2)^PE//BC,求證:PC1PF.

【解答】⑴由條件M,UFP=/ADF,又/期=/期D。

AD即

：.MFPSMDF,=—O

AFDF5畫浙獲隔/那叫

同理，由即=/2。百，/口百=/￡4D知,A

PPAp

/\AEPs/\ADE,—=—o

DEAE

：AF=AEt

.EPAPAPFP

**DE~AE~AF~DFa

BDC

.FPEP

FDED

.............................10分

(2)：PE//BC

，APED=NEDC=ADPE=ZCED.

△DPEs^CDE.

.EP_PD

分

**ED=DC.............................15

FPnp

結(jié)合Cl)可知，----=------o

FDDC

又4FFD=/FDC,

APFDs/\PDC,ZPCB=APDF=NFFA3blog,sinci.corn.cn/scjing

/.P、F、B.C四點(diǎn)共圓。

又"=90°,

/.AFPC=90°,PC1.PFa20分

14.已知/(x)=21n(x+l)+―-——1。

x(x+l)

(1)求/(X)在區(qū)間［1,+OOI上的最小值；

(2)利用函數(shù)/'(%)的性質(zhì)，求證：Inl+ln2+ln3+…+In冏>包a~(nwN”,且對之2)；

2n

(3)求證：In2l+ln22+ln23+-+In2M?(附e獷,

且附22)。

4附3

22x+l2X3+2x2-2x-l(2X3-1)+2x(x-1)

【解答】(1)：「3

x+1x2(x+l)2x2(x+l)2^(x+l)2

，X21時(shí)，r(x)>Ot即/(x)在區(qū)間［1,+m上為增函數(shù)。

，/(x)在區(qū)間［l，+oo?上的最小值為了⑴=21n2-...........5分

(2)由(1)知，對任意的實(shí)數(shù)x21,21n(x+l)+J、-1221n2-1>0恒成立。

x(x+l)2

1

對任意的正整數(shù)左，21n3+1)+=一-l>0,EP21n(^+l)>l-(--))恒成立。

k(k+1)