2015考研數(shù)學(xué)強(qiáng)化-線性代數(shù)(章飛)講義

2015考研數(shù)學(xué)強(qiáng)化班

線性代數(shù)

講義

第一講行列式

一、理論強(qiáng)化

L行列式的定義n2個(gè)數(shù)%⑺=1,2,???,"）排成"行八列的方形表

aaa

u12\n

。21%a

￡(-1)'。1九。2力"'njn=|川=detA=D=A(與)

hJ2<-jn

anlan2ann

稱為一個(gè)”階行列式,〃階行列式是一個(gè)數(shù)，它等于所有來自不同行，不同列的〃個(gè)元素的乘積

?的代數(shù)和.其中，，上，，是L2,〃的一個(gè)排列.”=1時(shí)，1all[為一階行列式.

’2.2行列式的1性質(zhì)

(1)行列式轉(zhuǎn)置后，其值不變，D=DT（表示行列地位平等）；

(2)行列式某行（列）的元素的公因子女，可以提到行列式符號(hào)外;

a+bc+dacbd

(3)行列式具有分行（歹（J）相加性；例:+

(4)行列式中有兩行（列）元素成比例時(shí)，其值為0;

(5)互換行列式兩行（列），行列式變號(hào)；

(6)把某行（列）的左倍加到另一行（列）后，行列式值不變.

3.行列式的余子式、代數(shù)余子式

把a(bǔ)：：所在的i行，j列劃去余下來的〃-1階行列式稱為D的元素的余子式記為；

1J1JlJ

稱Aij=（―1）3人句為D的元素外的代數(shù)余子式.

*4.行列式展開定理

定理1.行列式等于它的任意一行（列）的元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和:

nn

0=2X4?=12…M=0=12???,〃).

>1i=l

nDk=i,S.。，k手j,

定理2.

",白lky[D,k=j.

j=l〔U,

5.方陣的行列式設(shè)A、6為〃階方陣，則

①[A[=|A|T；②林牛kn\A\；③|A*|=|A|"T；

@|A5|=|BA|=|A||B|；⑤|A+3罔A|+|3|.

二、常用結(jié)論

i.上（下）三角形行列式

0

。22

=a

''nn?11?22---ann.

ann

2.副對(duì)角行列式

*

%0%”

n(n-1)

a2(n-l)%5-1)

—

=(-1)241〃。2(〃一1)。3(〃一2)

*

%0anl

3.范德蒙行列式

111???1

不%22■../

D—X；-??次=n(%.-%).

nn>i>j>\]z

短鎮(zhèn)???康

4.分塊行列式

AA

A0_AC0mx.mcmxm

=|A||B|;②=(—1)叫

CB-0Bc0

AB

③^\AD-BC\.

CD

三、題型強(qiáng)化

1.具體行列式的計(jì)算

方法一：三角形法

4124

1202

（基礎(chǔ)題）求。=（答案：50）.

3320

0112

abbb

habb

例：求D=bbab

hbba

1+q111

22+22

例：求。4（q豐0）.

333+%3

4444+%

方法二：展開法

A-3-2-4

求方程-2A-2=0的根

-4-2A-3

方法三：遞推法:

21000

121

例：求=0020

00012

方法四：利用范德蒙行列式

ab

例：D=a2b2

b+cc+aa+b

1111

222222"

Dn=332333.

nn2n3n

方法五：拆項(xiàng)法

11111111

1-24-81-24-8

例：己知+=0.則%=

1041503512

1XX2X31%x2%3

方法六：分塊法

x—2x—1x—2x—3

2x—22x—12x—22x—3

例：設(shè)〃％)=，則f(x)的根的個(gè)數(shù)為().

3x—33x—24-x—53x—5

4x4x-35x—74x—3

(A)1(B)2(C)3(D)4

題型2.抽象行列式(方陣行列式)的計(jì)算

(基礎(chǔ)題)設(shè)A是三階方陣，|A|=g,求|(3A)T—2A[.(答案：—16/27)

例：設(shè)%%,%是三維列向量，記人=(%%,%)且Ml=1,若

B=(ax+a2,?2+?3,?(+?3),則慟=

例：設(shè)A3是〃階方陣，網(wǎng)=2,網(wǎng)=3,|A—同=1,求⑷-叫

,210、

例：(04-1,2)設(shè)矩陣A=120,矩陣8滿足A5A*=26A*+石，則|川=

、001J

3.有關(guān)余子式的計(jì)算

方法：利用行列式展開定理

12345

11122

D=32146+^^3。+A33

22211

43150

3040

2222

D=,求第四行個(gè)元素代數(shù)余子式之和

0-700

53-22

第二講矩陣

§1、矩陣及其運(yùn)算

一、理論強(qiáng)化

1矩陣的概念=(%)?”(是一個(gè)數(shù)表)?

2矩陣的運(yùn)算

加法A-\-B={aij+bij)

(1)線性運(yùn)算《

數(shù)乘kA=(kaij)mxn-,

(2)乘法運(yùn)算Gi=4w用*“(條件：左矩陣列數(shù)=右矩陣行數(shù));

運(yùn)算性質(zhì)：(i)AB^BAAfi=0勢(shì)A=0或3=0；

(ii)A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA-,

(3)方陣的累A"=AAA滿足(A"')"=A?',但(AB)"'豐AnBm；

(4)轉(zhuǎn)置設(shè)A=(?,)_,則4=(今).

運(yùn)算性質(zhì)：(i)(Ar/=A；(ii)(M)r=kA1'；

(iii)(—+3尸=加+*；(iv)(AB)r=BrAr.

*(5)伴隨陣A*

fAn44、

AAA

(i)定義設(shè)A=(4)“x“，則A*=(&)〃,"=92?為A的伴隨陣?

^2"A?n

(ii)基本公式A*A=A4*KA|E.

*(6)可逆陣(非奇異陣)

(i)定義對(duì)于〃階方陣A,若存在〃階方陣8,使AB=R4=E，則稱A可逆，8為A的逆陣，記

4=3.

注A一1唯一，且A4T=ATA=E.

(ii)A可逆的充要條件

〃階方陣A可逆o|A|w0o存在〃階方陣8使得48=石或b4=石oR(A)=〃oA的行

(列)向量組線性無關(guān)。方程組Av=0只有零解oAPs(其中《為初等方陣)；

(iii)逆陣公式A1=—A*；

|A|

(iv)性質(zhì)①(&T)T=A；②(公)T=』AT(k^O)；③(AT)T=(AT)r；

k

④(AB)-1=B-'A-1；⑤(4+3尸HAT+B-I.

3.分塊矩陣

(1)概念將大矩陣用若干條縱線和橫線分成多個(gè)小矩陣，每個(gè)小矩陣稱為A的子塊，以子塊為元

素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.

’0002、

如A=1000J4、

0100A>2x2

01

o74x4

'10000、'1000、

01000-1000

例:A=-12100,B=013-1,則AB

110100214

、01001/<0121；

(2)運(yùn)算性質(zhì)

分塊矩陣的運(yùn)算與普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則相似，但要注意，運(yùn)算的兩矩陣按塊能運(yùn)算，并且參與的子塊

也能運(yùn)算，即內(nèi)外都能運(yùn)算.

(3)常用的分塊

(i)列分塊4/”=3，%,,%)“4一一〃xl.

(ii)行分塊Amxn=~,八一一Ixn.

Jmxl

(iii)Ax=0的分塊

*、

x2

Ar=0=(?)a2a〃)00xxax+x2a2+xnan=0.

(iv)AB=O的分塊

AB=0=A(4匹瓦)=(。，。，0)=(A凡A%M〃)=(0,0,0)

=Aflj=0(i=1,2,ri).

結(jié)論：若則B的列向量片是方程、組Ax=0的解.

(V)分塊對(duì)角陣A=

AJ

二,常用結(jié)論

1.設(shè)a,6為〃維列向量，A=?/，則A"=(j3Ta)nlA.

2.①A*=|A|A-1；②(AA)*=[TA*；③(A-I)*=(A*)T④(AB)*=6*A*.

0、(0-l(0B-c

3.、0/=〔0=U0,

BlBO)

\n

4.

三、題型強(qiáng)化

1.求A”.

方法：數(shù)學(xué)歸納法、拆項(xiàng)法、分塊法、利用常用結(jié)論1、相似對(duì)角化法

100(310、-12、

A二010A=030A=2-24

001,202)<-11-2;

例：”階矩陣滿足A2=432=3,（4—8）2=A+3,證明：AB=BA^O

2.逆陣的計(jì)算或證明（具體矩陣、抽象矩陣）

方法一：公式法

」23、

例：A=045,則（A*）T=_________

I。02,

方法二：初等變換法求具體矩陣的逆

，223、

例：A=1—10,求A一I

、T21,

例：若4+A—4E=0,求（A—石尸

例：設(shè)4=石+的r,其中a,夕是〃維列向量，且a，力=2,證明：A是可逆陣，并求A1

例：設(shè)A3是”階矩陣，E-A8可逆，證明可逆.

(000、

00a20

例：設(shè)q.w0,，=1,2,...〃，A=,求A-

00041

000)

*題型3.解矩陣方程

’30P,5-2-2、

（基礎(chǔ)題）設(shè)矩陣A=110且AX=A+2X,求矩陣X.(答案：4-3-2)

I。14,1-2237

p1-1]

例：設(shè)矩陣A=-111，且(2A)*X=('A)T+8X,求矩陣X.

4

,1

§2、初等變換與矩陣的秩

一'理論強(qiáng)化

1.初等變換初等行變換(r1—r,r.1xk(kwO),1r+ki.)

jJ

初等列變換(q<->q，qx左(k手0),q+3)

*2.初等方陣

（1）.定義：由單位陣經(jīng)過一次初等變換而得到的矩陣.

(1、(102、

如：E=1彳+2與、010=￡(1,3(2)).

（。3+2。1）

3ob

(2).共三種

q、

①E(i,j)=:；（對(duì)應(yīng)々或q—Cj）；

b

"1、

②E(i(k》=k（對(duì)應(yīng)彳x左或qx左（左wO））；

q、

k-、

③E(i,j(k))=1（對(duì)應(yīng)彳+傷或（C/+S））.

b

(3).性質(zhì)

￡T1aa))=E(i(i)；ET\i,j(k))=E(i,j(—k))

-1

<102、0-2、

如歹(1,3(2))=010=010=E(1,3(-2))；

1;1J

<000

②初等方陣與初等變換的關(guān)系

A一次行變換＞BO：A=B,其中4為相應(yīng)的初等方陣,

八-次列變換＞BAQiB,其中2為相應(yīng)的初等方陣，

（110、<201、

如A=201)110=BoE（1,2）A=B.

U23,U2%

*3.矩陣等價(jià)

⑴概念：若A有限次初等變換〉B,稱A與8等價(jià)，記AB.

⑵性質(zhì)①人…紇x“=A,3同型且R(A)=R(5)om可逆陣月使/4Q”=瓦

(E0、

②Ar，其中廠=R(A).

〔。oJ

*4.矩陣的秩

(1).概念

尺(4)=r0至少有一個(gè)「階子式D產(chǎn)0(R(A)2r),所有r+1階子式Dr+1=0(7?(A)<r).

<1234>

12

如A=0125,3￡>!=1^0,7?(A)>1,3D2=H0(R(A)22),所有&=0

、2468)°1

(7?(A)<2),，R(A)=2.

(2).性質(zhì)若4~5,則R(A)=R(5).

二'常用結(jié)論

=0oA=0,

1.R(A)=<

21oAw0;

2.設(shè)A=(%)妨”，則RA)=H(A，)=R(kA)<rmn{m,n}(k豐0)；

=n<=>|A快0,

3.設(shè)A為”階矩陣,則R(A)=

<〃o|A|=0;

4.R(AB)<min{H(A),H(5)}；

5.R(A+B)<R(A)+R(B)；

6.設(shè)A*〃凡,s=0,則R(A)+RCB)<“；

n=7?(A)=n,

7.7?(A*)=J10R(A)=〃-1,

0o7?(A)<n-l;

8.設(shè)P,Q為可逆陣，則R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(B4Q).

三'題型強(qiáng)化

4.初等變換與初等矩陣的關(guān)系與應(yīng)用

例：(2011-1,2,3)設(shè)4是3階方陣，將4的第2行加到第1行得矩陣8,再將8的第1列的T倍加到第2

rl10、

列得到C,記。=010則()

、001,

(A)C=P-'AP(B)C=PAP-l(C)C=PTAP(D)C=PAPT

5.求矩陣的秩

方法：基本方法：初等變換法

對(duì)矩陣作初等行變換，化為階梯形，階梯形中非零行的個(gè)數(shù)即為矩陣的秩。

,111n

01-1b

例：求4=的秩

23a4

、351V

例：設(shè)A為〃階矩陣，滿足A2=E,證明：R（A+E）+R（A-E）=n.

例:設(shè)a,夕為3維列向量，矩陣A=也,+儂丁，證明：（1）秩R（A冢；（2）若a,6線性相關(guān),則7?（A）<2

nu>r（A）=n

例：證明：r（A*）<1<=>r（A）=n—\

0or（A）<n

ax

2

例：A=a\

a：

、（勾+1）2（g+1）（%+1）（a4+1）（a5+07

第三講向量

§1、向量組的線性相關(guān)性

一、理論強(qiáng)化

L向量及其運(yùn)算

①形式a==（%,，4）T----列向量（列矩陣），0=（%多）----行向量（行矩陣）.

①

②運(yùn)算J加法（同矩陣運(yùn)算）

I數(shù)乘

③向量組：若干個(gè)同維數(shù)的列（或行）向量組成，如4:%=

*2.線性表示或線性組合

⑴定義：若存在一組數(shù)％1，，/使/=+xmam（1）,則稱尸可由囚，，a，〃線性表示或夕是

a”線性組合.

⑵判定

定理1夕可由因，，為線性表示o非齊次方程組①有解o尺（火，,am）=7?（a19,am,尸）.

*3.線性相關(guān)（無關(guān)）

⑴定義：若三一組不全為。的數(shù)%，，工加使菁％++xmam=0（2）成立，

則稱必，，%,線性相關(guān)，否則稱a”0m無關(guān),即當(dāng)且僅當(dāng)％==%=0,上式才成立.

結(jié)論：1°單個(gè)向量a相關(guān)（無關(guān)）oa=0（aw0）；

2°兩個(gè)向量/,外相關(guān)（無關(guān)）。對(duì)應(yīng)分量成比例（不成比例）;

3°含有零向量的向量組必相關(guān).

注:X0++xmam=0<^>(a,,,a,?)=0<=>A=0=占，，/為Ax=0的解.

\XmJ\XmJ

⑵判定

定理2必，，?”線性相關(guān)（無關(guān)）

o齊次方程組②有非零解（僅有零解）

oR（a「,am）＜rn（尺（必，,a?,）=m）

。至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示（沒有一個(gè)向量可由其余向量線性表示）

推論：個(gè)數(shù)大于維數(shù)的向量組必相關(guān).

4.性質(zhì)

⑴若線性無關(guān)，,a,“，）線性相關(guān)，則￡可由名，，%,線性表示，且表示式唯一;

⑵部分組相關(guān)，則整體組亦相關(guān)或整體組無關(guān)，則部分組亦無關(guān)；

,T'2]C'

如A：a,=2a2=4,a3=2,四,％相關(guān)=>a],%,ar；相關(guān);

lojL

⑶無關(guān)組添加分量仍無關(guān).

如a]=da2=1j無關(guān),則尸]=0，尸2=J；無關(guān)?

二'常用結(jié)論

1.設(shè)向量組％,"，線性無關(guān)，向量組笈，，總可由%，區(qū)線性表示，即存在P=使

（力，，4）=（%，%）P，

貝I」①R（4，&）=R（P）；②當(dāng)r=s時(shí)，力，，網(wǎng)線性無關(guān)0|尸快0.

三、題型強(qiáng)化

1.判定向量組線性相關(guān)性

方法：利用上述定理與結(jié)論

例：向量組%=（1,0,2），4=（1,1,3）',夕3=（1,-1,a+2），￡=（1,2,a+3『

1）a取何值時(shí)，〃不能由線性表示；

2）a取何值時(shí)，￡能由線性表示

2.向量組的線性相關(guān)的判定

方法：利用上述結(jié)論與判定

例：向量組內(nèi)=（1,3,6,2『%=（2,1,2,-1）,,%=。,T,心-2），線性相關(guān)，財(cái)2=

例：已知內(nèi),%，%線性相關(guān)，%，%，%線性無關(guān)。

證明：1）%可由%，%線性表示；2）%不可由%,%，%線性表示

例：若q,a2,線性無關(guān)，則當(dāng)/為時(shí)A=a2-?1；A=a3-a^P3=ax~ta3線性無關(guān).

例：人為邛介矩陣，%,%,%均為n維向量，滿足

Aax=ax。0,A%=%+%，A%=ax+%,證明：av%,%線性無關(guān)

§2、向量組的極大無關(guān)組與秩

一'理論強(qiáng)化

*1.極大（最大）線性無關(guān)組與秩

定義設(shè)向量組A的部分組為名，，區(qū)滿足：i）%,,%線性無關(guān)；ii）VawA,a可由6，，火線

性表示（或A中任意廠+1個(gè)向量均線性相關(guān)），則稱％,，區(qū)為A中的一個(gè)極大無關(guān)組，廠稱為向量組的

0：

如A：4=0,a2=1,a3=1.4，。2（或%,013或。2,3）為一個(gè)極大無關(guān)組，R{ava2,a^）=2.

注：向量組的極大無關(guān)組一般不唯一，但向量組的秩唯一.

2.向量組等價(jià)

⑴定義設(shè)向量組（I）:以，，%,（II）笈，，&，若（H）中每個(gè)向量回均可由（I）線性表示,

稱向量組（II）可由（I）線性表示；若向量組（I）與（II）相互線性表示，稱（I）與（II）等價(jià).

如（I）/=（1,0）,4=（。，1）與（II）笈=（1,1）,氏=（1,一1）等價(jià).

注意：設(shè)A、3均為根X〃矩陣，則列（行）向量組等價(jià)矩陣等價(jià).

⑵性質(zhì)

i）矩陣的秩=行向量組的秩=列向量組的秩（三秩相等）

ii）向量組與極大無關(guān)組等價(jià)；

iii）若向量組A能由向量組B線性表示，則尺（A）4R（8）;

iv）等價(jià)向量組秩相等，但反之不真.

二、常用結(jié)論

1.Cmx?=4xs-Bsx?oc的列向量組可由A列向量組線性表示oC的行向量組可由B的行向量組線

性表示.

2.設(shè)向量組A的秩為r,則A中任意r個(gè)線性無關(guān)向量組成的向量組均為A的極大無關(guān)組.

3.設(shè)則

①A與8行向量組等價(jià)；②Ax=0與母=0同解；③A與B相應(yīng)的列向量組有相同線性相關(guān)性

02、10

13,01

AAA

則①a”%,%相關(guān)=笈血血相關(guān)②名,見無關(guān)一外為無關(guān)

③%=2%+a2o區(qū)=邛\+A④為A組極大無關(guān)組og,/%為B組極大無關(guān)組

三'題型強(qiáng)化

3.求向量組的極大線性無關(guān)組和秩

例：設(shè)向量組%=（1,-2,3,-球,4=（3,-1,5,-3尸,%=（5,0,7,-5尸,%=（1,-2,2,0）‘，生=（2,12-2）7

求①向量組的秩②一個(gè)極大無關(guān)組③把其余向量用該極大無關(guān)組表示出來.

例：已知尺（%%。3）=尺（。1，。2，。3，。4）=3,尺（％。2，。3，。5）=4，求尺（4,6^，口3，。4+%）.

例：4,%,%的秩是3,求百=。2+%,/?2=%+%,用=%+弓的秩

第四章線性方程組

§1、齊次方程組

一'理論強(qiáng)化

卬丙++%“七=0，

1.形式<①

。加西++金/“=0，

（\

alj

=%/++七4,=0其中。/=oAx=0其中4=（4，，a〃）一系數(shù)矩陣.

1嘰

’4、

2.解（向量）&=（若再=q,%2=。2，,x”=c"滿足①即魅=0）.

、q“

3.解的性質(zhì)

⑴.若必=0,恁=0,則4?+$）=0;

⑵.若A§=0,左常數(shù)，則A（必）=0.

結(jié)論：A（k1^1+k2^）=0.

*4.基礎(chǔ)解系（即為解向量組的極大無關(guān)組）

①定義設(shè)①《，，￡是Ax=0的解，②益，，④線性無關(guān)，③Ax=0的唯一解均可由《，，④線性

表示，（或③,/=〃—R（A））,稱&g是Ax=0的基礎(chǔ)解系.

②定理1若Ax=0有非零解（即R（A）<w），則Ax=0一定有基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為

n-R（A）.

*5.解的判定

…［只有零解（唯一解）oR（A）=〃o4l勺列向量組線性無關(guān)；

［有非零解（無窮多解）oR^AXno建I勺列向量組線性相關(guān).

此時(shí)通解x=k^++配?f（九，&-為基礎(chǔ)解系，r=R（A））.

②當(dāng)m=〃（方程個(gè)數(shù)=自變量個(gè)數(shù)）時(shí)，

只有零解ow0；

"［有非零解o|A|=0.

③當(dāng)時(shí)，Ax=0一定有非零解.

二、常用結(jié)論

1.AB=OoA0,，月)=0oA以=0。=1,,〃)O8的列向量組用，，品是Ax=0的解.

2.若Ax=0的解是聲=0的解，則R(A)>R(B).

特別：若Ax=0與3x=0同解，則R(A)=R(8).

三、題型強(qiáng)化

1.求Ax=0的基礎(chǔ)解系與通解

方法：具體的心=0,利用初等變換法解方程組

抽象的心=°,利用解的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)

玉一%2—%3+Z=0，

(基礎(chǔ)題)求<%+%3—3%4=0,的基礎(chǔ)解系與通解.(答案：工

X1~X2~2忍+3%4=0

例：設(shè)名=(1,0,—=(-2,0,2)‘，%=(1/,0)’是Ax=0的解,

Ax=0的通解為.

例：已知〃階矩陣A的各行元素之和為0,且H(A*)=1,求Ar=0的通解.

例：設(shè)A=(附且—=0,又設(shè)A中元素句代數(shù)余子式4工0,求Ax=0的通解.

題型2：基礎(chǔ)解系問題的證明

例：已知%%是A*=°的基礎(chǔ)解系，問％、t2取何值時(shí)，=4al+12a2,

Bi=G2+12a3,民=txa3+也是Ax=0的基礎(chǔ)解系.

例：已知A是根x〃矩陣，其m個(gè)行向量是CX=0的基礎(chǔ)解系，B是m階可逆矩陣

證明：BA行向量組也是CX=0的基礎(chǔ)解系。

題型3：同解問題的判定與應(yīng)用

玉+2X2+3%3=0r

例：已知:<2%+3%+5%3=。與<\22/3°同解，求a,b,c

2%+b%2+(。+1)%3=0

%+%+映=°I

例：設(shè)A為那介矩陣，證明r(A)=r(MA)

§2、非齊次方程組

一、理論強(qiáng)化

1.形式

%1%++%“4=%

<（"力不全為0）

。加%++%/"=%

alj（4

>

++xn0tn—b,其中（Xj—,b-,

\amj.J\bmJ,

oAx=Z>,其中A=Dn=3，,a“）----系數(shù)矩陣；A=（Ab）=（a,,,a,,b）---增廣陣.

2.解的性質(zhì)

①設(shè)初1="初2=〃，則A（〃]—?。?0；

②設(shè)切=瓦當(dāng)=0,則A（〃+J）=4

*3.解的判定

①對(duì)于Ax=b

i）無解oR（A）片R（A）（即R（A）=R（A）+1）O向量方不能由%,a”線性表示；

ii）有解oR（A）=R（A）O向量方能由/,,a,線性表示oq,,%與a,,方等價(jià)；

iii）唯一解OR（A）=RG）=〃O向量分能由名，，里唯一表示

0%，，a“線性無關(guān)，?，，a”，方線性相關(guān)；

iv）無窮多解oR（A）=R（A）<〃O向量△能由4，，a”表示，表示式不唯一.

②當(dāng)m=〃時(shí)，

i）當(dāng)同有唯一解x=A"=（克萊姆法則）；

ii）當(dāng)網(wǎng)=0,Ar=?？赡軣o解或無窮多解.

*4.解的結(jié)構(gòu)

通解（非齊次）=通解（齊次）+特解（非齊次），即x=K4i+

二、常用結(jié)論

〃階矩陣A可逆oAr=0只有。解oAx=5有惟一解.

三'題型強(qiáng)化

1.求解非齊次方程組Ax

方法：具體的Ax=/利用初等變換法解方程組

抽象的4%=人，利用解的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)

x1-x2+2X3+2X4=1,

（基礎(chǔ)題）求＜2%+%2+4%+%4=5,的通解.（答案：%二）

一玉-2X2-2X3+x4=-4

「1〃00、（1

1）求網(wǎng);2）已知線性方程組Ax二b有無窮解，求a,并求出通解

例：設(shè)4元非齊次方程組Ax=萬，夫（4）=3,已知7，〃2，〃3是3個(gè)解向量，且7+〃2=（LL0,2）T,

5+7=（L0,L33，,求Ax=》通解.

題型2：線性方程組與向量線性表示問題的交叉應(yīng)用

例：己知4階方陣4=（%%,%,?4），其中%，。3，。4線性無關(guān)，q=2。2-3%，若

P=aY+2a2+a3+a4,求=〃通解.

例：設(shè)A為4階方陣，4=（以,%./），設(shè)公=?有通解，女。，一1，2,0/+（2,1,0,1『，問

⑴￡能否用。2，%，。4表出？說明理由；⑵能否由四，。2，。3表出？說明理由.

第五講矩陣的特征值與特征向量

§1、方陣的特征值與特征向量

一'理論強(qiáng)化

T

1.內(nèi)積設(shè)a=（qaJ,j3=（bi?！笔?則內(nèi)積（。/）=，/=〃&=4偽+。2&+.

2.正交組：兩兩正交的非0向量組.正交組一定線性無關(guān)，反之不真，但線性無關(guān)組可通過Schmidt方法化

為正交組.

3.Schmidt方法步驟

設(shè)區(qū)，，火線性無關(guān)，則

1。正交化令隊(duì)=/，夕,=%—等黑笈—

備*民T，則四，，瓦相互正交;

\P\，Pl）\Pr-l，Pr-\/

令〃L儕”命則如

20單位化,力兩兩正交的單位向量組.

*4,正交陣AoAA?=EoAT=AToA的列（行）向量組是兩兩正交的單位向量組.

*5.特征值與特征向量

（1）概念設(shè)A為〃階方陣，若三數(shù)2和非0向量xw0,使Ax=Ax①

稱幾是A的特征值，x為對(duì)應(yīng)于幾的特征向量.

⑵特征多項(xiàng)式/（田=憶￡—A|（或|A—彳同）（關(guān)于2的〃次多項(xiàng)式）.

（3）特征方程憶石―A|=0（或|A—X國(guó)=0）②

注：①式即（2E—A）x=0或（A—2E）x=0③

結(jié)論1°齊次方程組③的非0解即為幾對(duì)應(yīng)的特征向量；

20特征方程②的根即為A的特征值（共〃個(gè)）.

（4）性質(zhì)

i）設(shè)A=（%）皿的特征值為4,,4,，則

‘444=IA|,

<

4+4++2?=all+a22++ann;

ii）設(shè)名,4為％的特征向量，則匕必+自％（#0）也為力的特征向量；

iii）設(shè)名，。2是4,4的特征向量，當(dāng)4H4時(shí)，則匕0+左2a2（匕左2?！悖┎皇翘卣飨蛄?

iv）不同特征值的特征向量必線性無關(guān)；

v）人重特征值對(duì)應(yīng)至多上個(gè)線性無關(guān)特征向量（即左2"——A））；

vi）實(shí)對(duì)稱陣的特征值一定實(shí)數(shù)，實(shí)對(duì)稱陣屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)且正交.

二、常用結(jié)論

1.設(shè)。是特征值幾的特征向量，則

①/（A）（=a/T++勺4+佝￡）特征值為了（㈤，S也是/（A）特征向量；

②AA",A，A*的特征值分別為左再，特征向量均為久

AA

2.與A有相同特征值（|2E-A|=|（2E-A）r|=|2E-Ar|），但特征向量不同.

3.（%E—A）x=0基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)〃—H（4E-A）=A中的4對(duì)應(yīng)線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù).

4.|H=0oA有0特征值.

三、題型強(qiáng)化

求特征值與特征向量

方法：具體矩陣：利用特征多項(xiàng)式、特征方程法

抽象矩陣：定義法、利用上述性質(zhì)與結(jié)論求解

（基礎(chǔ)題）求下列矩陣的特征值與特征向量

24、

A=202

、423,

例：設(shè)”階矩陣A各列元素之和都是3,求A的一個(gè)特征值.

'32-1、

例：已知三階矩陣A=x-22，有一個(gè)特征向量《=(1,-2,3)「，求及￡對(duì)應(yīng)的特征值

、3y-L

例：已矢叫X3，|A—同=0,|A—2目=0,|A—3E|=0,則|A—4日=

例：若3維列向量a,6滿足a?/=2,則矩陣的非0特征值為.

例：設(shè)4階方陣A滿足|4石+⑷=0,■=2石，且同＜0,貝U(A*)?+2E有一個(gè)特征值為一

§2、相似矩陣

一'理論強(qiáng)化

*1.相似矩陣

①定義：設(shè)A、B為〃階矩陣，若三可逆陣尸，使尸一1人尸=5,稱A與8相似；

②性質(zhì)：

i)相似具有反身性，對(duì)稱性及傳遞性；

ii)設(shè)A相似8,則A與8有相同特征多項(xiàng)式，相同特征值，相同行列式及相同的秩，但反之不真;

iii)設(shè)A相似8,則A"',AT,AT,A*"(A)分別相似于笈”,",5工3*及/(5).

*2.矩陣可對(duì)角化

任、

①定義：若矩陣A與對(duì)角陣八=相似，稱A可對(duì)角化；

②性質(zhì)：設(shè)A可對(duì)角化，即三可逆陣P,使PTAP=,貝U

i)4，必是A的特征值；

ii)P=(pp的列向量p,必是4對(duì)應(yīng)特征向量，且線性無關(guān).

"③矩陣可對(duì)角化的條件

i)充要條件

定理1:〃階矩陣A可對(duì)角化oA有幾個(gè)線性無關(guān)的特征向量；

定理2:"階矩陣A可對(duì)角化oA中每個(gè)重特征值兒對(duì)應(yīng)線性無關(guān)特征向量個(gè)數(shù)等于該特征值的重

數(shù)nii,即：n—R(4E—A)=mi或R&E—A)=n—mj,

」11、

如A=000特征值4=4=0(2重mi=2)4=1.

、0007

R(0E-A)=R(-A)=R(A)=l=n-m1=3-2A可對(duì)角化.

ii)充分非必要條件

定理3：若〃階矩陣A有〃個(gè)互不相同特征值，則A可對(duì)角化；

[4]

定理4：實(shí)對(duì)稱矩陣A一定可對(duì)角化，且三正交陣Q使QTAQ=QTAQ=

二、常用結(jié)論

若A可對(duì)角化，則其非0特征值個(gè)數(shù)（重根重復(fù)計(jì)算）=秩（A）.

三、題型強(qiáng)化

1.相似的性質(zhì)與應(yīng)用

00)<200、

例:若八=001與8=034相似，求a,b

^01a)(0-2?

例：設(shè)A是一個(gè)3階矩陣，/,a2,a?線性無關(guān)的3維列向量，且滿足A<Z[=q+%+03

A4=2a2+a3,ka3=2a2+3a3,求加勺特征值與特征向量

題型2：對(duì)角化的判定與計(jì)算

'1-33、

例：A=3