2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-2.9-函數(shù)模型及其應(yīng)用【課件】

第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)第9節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎(chǔ)夯實11.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)______單調(diào)______單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與______平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與______平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當(dāng)x>x0時，有l(wèi)ogax<xn<ax遞增遞增y軸x軸2.幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與冪函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長量越來越小.2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗證數(shù)學(xué)結(jié)果對實際問題的合理性.×××√∴每件賠1元，(1)錯誤.(2)當(dāng)x＝2時，2x＝x2＝4.不正確.C所以該同學(xué)視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是(

)A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)3.(多選)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.BCD解析由題圖可知，2014年8月到9月的月接待游客量在減少，則A錯誤.其余全部正確.解析設(shè)銷售價每瓶定為x元，利潤為y元，4.某商店每月按出廠價每瓶3元購進(jìn)一種飲料，根據(jù)以前的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，若零售價定為每瓶4元，每月可銷售400瓶；若零售價每降低(升高)0.5元，則可多(少)銷售40瓶，在每月的進(jìn)貨當(dāng)月銷售完的前提下，為獲得最大利潤，銷售價應(yīng)定為(

) A.3.75元/瓶

B.7.5元/瓶 C.12元/瓶 D.6元/瓶D所以x＝6時，y取得最大值.則對x，y最適合的擬合函數(shù)是(

)A.y＝2x

B.y＝x2－1 C.y＝2x－2 D.y＝log2x5.在某個物理實驗中，測量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：Dx0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00解析當(dāng)x＝0.99時，y＝0.01，可排除A，當(dāng)x＝2.01時，y＝0.98，可排除B、C，故選D.CKAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點突破題型剖析2根據(jù)折線圖，下列結(jié)論正確的是(

)A.月跑步平均里程的中位數(shù)為6月份對應(yīng)的平均里程數(shù)B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8月和9月D.1月至5月的月跑步平均里程相對于6月至11月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)1.某“跑團(tuán)”為了解團(tuán)隊每月跑步的平均里程，收集并整理了2021年1月至2021年11月期間“跑團(tuán)”每月跑步的平均里程(單位：千米)的數(shù)據(jù).繪制了下面的折線圖.D解析由折線圖知，月跑步平均里程的中位數(shù)為5月份對應(yīng)的平均里程數(shù)，A錯誤；月跑步平均里程不是逐月增加的，B錯誤；月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C錯誤，故選D.①0時到3時只進(jìn)水不出水；②3時到4時不進(jìn)水只出水；③4時到5時不進(jìn)水也不出水.則一定正確的論斷是________(填序號).2.水池有兩個相同的進(jìn)水口和一個出水口，每個口進(jìn)出水的速度如圖甲、乙所示，某天0時到6時該水池的蓄水量如圖丙所示，給出以下3個論斷：①解析由甲、乙、丙圖可得進(jìn)水速度為1，出水速度為2，結(jié)合丙圖中直線的斜率可知，只進(jìn)水不出水時，蓄水量增加的速度是2，故①正確；不進(jìn)只出水時，蓄水量減少的速度為2，故②不正確；兩個進(jìn)水，一個出水時，蓄水量減少的速度也是0，故③不正確.②解析由散點圖的走勢，知模型①不合適.例1

我國在2020年進(jìn)行了第七次人口普查登記，到2021年4月以后才能公布結(jié)果.人口增長可以用英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯提出的模型：y＝y(tǒng)0·ert，其中t表示經(jīng)過的時間(單位：年)，y0表示t＝0時的人口數(shù)(單位：億)，r表示人口的年平均增長率.以國家統(tǒng)計局發(fā)布的2000年第五次人口普查登記(已上報戶口)的全國總?cè)丝?2.43億人(不包括香港、澳門和臺灣地區(qū))和2010年第六次人口普查登記(已上報戶口)的全國總?cè)丝?3.33億人(不包括香港、澳門和臺灣地區(qū))為依據(jù)，用馬爾薩斯人口增長模型估計我國2020年年末(不包括香港、澳門和臺灣地區(qū))的全國總?cè)丝跀?shù)為(13.332＝177.6889，12.432＝154.5049)(

) A.14.30億 B.15.20億

C.14.62億 D.15.72億A所以我國2020年年末的全國總?cè)丝跀?shù)約為A.0.3

B.0.5 C.0.7

D.0.8訓(xùn)練1

我們檢測視力時會發(fā)現(xiàn)對數(shù)視力表中有兩列數(shù)據(jù)，分別是小數(shù)記錄與五分記錄，如圖所示(已隱去數(shù)據(jù))，其部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：B小數(shù)記錄x0.10.120.150.2…？…1.01.21.52.0五分記錄y4.04.14.24.3…4.7…5.05.15.25.3解析由題中數(shù)據(jù)可知，當(dāng)x＝1時，y＝5，兩個函數(shù)模型都符合；所以選擇模型y＝5＋lgx更合適，此時令y＝4.7，則lgx＝－0.3，所以x＝10－0.3≈0.5.角度1構(gòu)造二次函數(shù)模型A整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8].解析設(shè)這種放射性物質(zhì)最初的質(zhì)量為1，經(jīng)過x(x∈N)年后，剩余量是y，則22x≥100，解得x≥4.所以至少需要的年數(shù)是4.角度2構(gòu)造指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型C解析設(shè)老師上課時聲音強(qiáng)度、一般兩人小聲交談時聲音強(qiáng)度分別為x1W/m2，x2W/m2，B因此，老師上課時聲音強(qiáng)度約為一般兩人小聲交談時聲音強(qiáng)度的10倍.角度3構(gòu)建分段函數(shù)模型解

每件產(chǎn)品售價為5元，則x萬件產(chǎn)品的銷售收入為5x萬元.當(dāng)0<x<8時，當(dāng)x≥8時，當(dāng)x＝6時，L(x)取最大值為L(6)＝9(萬元)；(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？解

當(dāng)0<x<8時，綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為10萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為15萬元.解析當(dāng)nA＝1時，PA＝0，故A錯誤；又nA·nB＝1010且nA，nB∈N*，∴nA≤1010，∴PA≤lg1010＝10，故B正確；訓(xùn)練2(1)(多選)已知一容器中有A，B兩種菌，且在任何時刻A，B兩種菌的個數(shù)乘積均為定值1010，為了簡單起見，科學(xué)家用PA＝lgnA來記錄A菌個數(shù)的資料，其中nA為A菌的個數(shù).現(xiàn)有以下幾種說法，其中正確的是(

) A.PA≥1 B.PA≤10 C.若今天的PA值比昨天的PA值增加1，則今天的A菌個數(shù)比昨天的A菌個數(shù)多10 D.假設(shè)科學(xué)家將B菌的個數(shù)控制為5萬，則此時5<PA<5.5(注：lg2≈0.3)BD若PA＝1，則nA＝10；若PA＝2，則nA＝100，故C錯誤；設(shè)B菌的個數(shù)為nB＝5×104，則PA＝lg(nA)＝5＋lg2.又lg2≈0.3，∴5<PA<5.5，D正確.CFENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3解析依題意，令pH1＝－lg[1×10－7.45]＝7.45，pH2＝－lg[1×10－7.35]＝7.35，因此，正常人體血液的pH值的范圍是[7.35，7.45].1.溶液酸堿度是通過pH計算的，pH的計算公式為pH＝

－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升，人體血液的氫離子的濃度通常在1×10－7.45～1×10－7.35之間，如果發(fā)生波動，就是病理現(xiàn)象，那么，正常人體血液的pH值的范圍是(

) A.[7.25，7.55] B.[7.25，7.45] C.[7.25，7.35] D.[7.35，7.45]D解析由題中表格可知函數(shù)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大而增大得越來越快，分析選項可知B符合，故選B.2.在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)，現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個函數(shù)中的一個近似表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是(

)Bx1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60minB.甲從家到公園的時間是30minC.甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度快3.(多選)甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園，甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園的距離都是2km.如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過的路程y(km)與時間x(min)的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是(

)BD解析在A中，甲在公園休息的時間是10min，所以只走了50min，A錯誤；由題中圖象知，B正確；甲從家到公園所用的時間比從公園到乙同學(xué)家所用的時間長，而距離相等，所以甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度慢，C錯誤；A.收入最高值與收入最低值的比是3∶1B.結(jié)余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同D.前6個月的平均收入為40萬元4.(多選)某工廠一年中各月的收入、支出情況的統(tǒng)計圖如圖所示，則下列說法中正確的是(

)ABC解析由題圖可知，收入最高值為90萬元，收入最低值為30萬元，其比是3∶1，故A正確；由題圖可知，7月份的結(jié)余最高，為80－20＝60(萬元)，故B正確；由題圖可知，1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同，故C正確；5.如圖，有一直角墻角，兩邊的長度足夠長，若P處有一棵樹與兩墻的距離分別是4m和am(0＜a＜12)，不考慮樹的粗細(xì).現(xiàn)用16m長的籬笆，借助墻角圍成一個矩形花圃ABCD，設(shè)此矩形花圃的最大面積為u，若將這棵樹圍在矩形花圃內(nèi)，則函數(shù)u＝f(a)(單位：m2)的圖象大致是(

)B解析設(shè)AD長為x，則CD長為16－x.又因為要將P點圍在矩形ABCD內(nèi)，所以a≤x≤12.則矩形ABCD的面積為x(16－x).當(dāng)0＜a≤8時，當(dāng)且僅當(dāng)x＝8時，u＝64.當(dāng)8＜a＜12時，u＝a(16－a)，分段畫出函數(shù)圖象，可得其形狀與B選項中圖象接近.6.2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王族預(yù)定區(qū)域安全著陸.嫦娥五號返回艙之所以能達(dá)到如此高的再入精度，主要是因為它采用彈跳式返回彈道，實現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類似.現(xiàn)將石片扔向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為11.2m/s，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的93%，若要使石片的速率低于7.84m/s，則至少需要“打水漂”的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：取ln0.7＝－0.357，ln0.93＝

－0.073)(

) A.4

B.5 C.6 D.7C解析設(shè)石片第n次“打水漂”時的速率為Vn，則Vn＝11.2×0.93n－1.由11.2×0.93n－1＜7.84，得0.93n－1＜0.7，則(n－1)ln0.93＜ln0.7，則n＞5.89，故至少需要“打水漂”的次數(shù)為6.∵t∈N.∴t＝12或13時，ymax＝506.7.某商品在最近30天內(nèi)的價格f(t)與時間t(單位：天)的函數(shù)關(guān)系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)，銷售量g(t)與時間t的函數(shù)關(guān)系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，則這種商品的日銷售金額的最大值是________.506設(shè)經(jīng)過x天后，蝗蟲數(shù)量會達(dá)到4000億只，則有1×(1＋a)x＝4000，9.據(jù)報道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗蟲災(zāi)害.在所有的農(nóng)業(yè)害蟲中，沙漠蝗蟲對人類糧食作物危害最大.沙漠蝗蟲的繁殖速度很快，遷徙能力很強(qiáng).已知某蝗蟲群在適宜的環(huán)境條件下，每經(jīng)過15天，數(shù)量就會增長為原來的10倍.該蝗蟲群當(dāng)前有1億只蝗蟲，則經(jīng)過________天，蝗蟲數(shù)量會達(dá)到4000億只.(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48)54故經(jīng)過54天，蝗蟲數(shù)量會達(dá)到4000億只.解某次地震釋放能量約1012焦耳，即E＝1012代入lgE＝4.8＋1.5M，10.盡管目前人類還無法準(zhǔn)確地預(yù)報地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震釋放出的能量E(單位：焦耳)與地震里氏震級M之間的關(guān)系為lgE＝4.8＋1.5M. (1)已知地震等級劃分為里氏12級，根據(jù)等級范圍又分為三種類型，其中小于2.5級的為“小地震”，介于2.5級到4.7級之間的為“有感地震”，大于4.7級的為“破壞性地震”，若某次地震釋放能量約1012焦耳，試確定該次地震的類型；因為4.8>4.7，所以該次地震為“破壞性地震”.解設(shè)汶川地震、日本地震所釋放的能量分別為E1，E2.由題意知，lgE1＝4.8＋1.5×8＝16.8，lgE2＝4.8＋1.5×9＝18.3，即E1＝1016.8，E2＝1018.3，故2011年日本地震所釋放的能量是2008年汶川地震所釋放的能量的32倍.解

由題意得當(dāng)0＜x≤4時，v＝2；當(dāng)4＜x≤20時，設(shè)v＝ax＋b，顯然v＝ax＋b在(4，20]內(nèi)是減函數(shù)，11.“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點.研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養(yǎng)殖密度x(單位：尾/立方米)的函數(shù).當(dāng)x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當(dāng)4＜x≤20時，v是x的一次函數(shù)；當(dāng)x達(dá)到20尾/立方米時，因缺氧等原因，v的值為0千克/年. (1)當(dāng)0