2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-17.1-導(dǎo)數(shù)與不等式證明【課件】

第17講

導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用第1課時

導(dǎo)數(shù)與不等式證明第三章

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－a)，a∈R.(1)若函數(shù)f(x)在[1，4]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；構(gòu)造新函數(shù)求最值證明不等式舉題說法1【解析】f′(x)＝lnx－a＋1，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[1，4]上單調(diào)遞增，所以f′(x)≥0在[1，4]上恒成立，又f′(x)＝lnx－a＋1在[1，4]上單調(diào)遞增，所以f′(x)min＝f′(1)＝－a＋1，所以－a＋1≥0，解得a≤1，所以a的取值范圍是(－∞，1].已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－a)，a∈R.(2)對任意a＞0，求證：f(x)≤x(x－2－lna).【解答】1因?yàn)閍＞0，x＞0，所以要證f(x)≤x(x－2－lna)，只需證lnx－a≤x－2－lna．已知f(x)＝x2－xlnx.(1)求曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程；隔離分析證明不等式2【解答】因?yàn)閒(x)＝x2－xlnx，所以f(1)＝1，f′(x)＝2x－lnx－1，則f′(1)＝1，所以所求切線方程為y－1＝1×(x－1)，即y＝x.已知f(x)＝x2－xlnx.(2)當(dāng)a∈(0，2e)時，求證：2x2－(2x＋a)lnx＞0.【解答】2變式已知函數(shù)f(x)＝ex＋x2－x－1.(1)求f(x)的最小值；【解答】由題意可得

f′(x)＝ex＋2x－1，則函數(shù)f′(x)在R上單調(diào)遞增，且f′(0)＝0.由f′(x)＞0，得x＞0，由f′(x)＜0，得x＜0，所以f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．故f(x)min＝f(0)＝0.變式已知函數(shù)f(x)＝ex＋x2－x－1.(2)求證：ex＋xlnx＋x2－2x＞0.(提示：原不等式等價于f(x)＞g(x))【解答】要證ex＋xlnx＋x2－2x＞0，即證ex＋x2－x－1＞－xlnx＋x－1.由(1)可知當(dāng)x＞0時，f(x)＞0恒成立．設(shè)g(x)＝－xlnx＋x－1，x＞0，則g′(x)＝－lnx，由g′(x)＞0，得0＜x＜1，由

g′(x)＜0，得x＞1，所以g(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，從而g(x)≤g(1)＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時，等號成立．故f(x)＞g(x)，即ex＋xlnx＋x2－2x＞0.已知函數(shù)f(x)＝ax－sinx.(1)若函數(shù)f(x)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；利用放縮法證明不等式3【解答】因?yàn)閒(x)＝ax－sinx，所以f′(x)＝a－cosx，由函數(shù)f(x)為增函數(shù)，知f′(x)＝a－cosx≥0恒成立，即a≥cosx在R上恒成立．因?yàn)閥＝cosx∈[－1，1]，所以a≥1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞).已知函數(shù)f(x)＝ax－sinx.(2)求證：當(dāng)x＞0時，ex＞2sinx.(提示：用x＞sinx放縮)【解答】3由(1)知，當(dāng)a＝1時，f(x)＝x－sinx為增函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f(x)＞f(0)＝0，即x＞sinx．要證當(dāng)x＞0時，ex＞2sinx，只需證當(dāng)x＞0時，ex＞2x，即證ex－2x＞0在(0，＋∞)上恒成立．設(shè)g(x)＝ex－2x(x＞0)，則g′(x)＝ex－2，令g′(x)＝0，解得x＝ln2，所以g(x)在(0，ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)min＝g(ln2)＝eln2－2ln2＝2(1－ln2)＞0，所以g(x)≥g(ln2)＞0，所以ex＞2x成立．故當(dāng)x＞0時，ex＞2sinx．【解答】設(shè)h(x)＝ex－ex，x∈(0，＋∞)，則h′(x)＝ex－e，易得函數(shù)h(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，因此h(x)min＝h(1)＝0，故ex≥ex恒成立．隨堂練習(xí)1．已知函數(shù)f(x)＝ax＋xlnx，且曲線y＝f(x)在點(diǎn)(e，f(e))處的切線與直線4x－y＋1＝0平行．(1)求實(shí)數(shù)a的值；【解答】f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1＋a，由題意知，f′(e)＝2＋a＝4，則a＝2.1．已知函數(shù)f(x)＝ax＋xlnx，且曲線y＝f(x)在點(diǎn)(e，f(e))處的切線與直線4x－y＋1＝0平行．(2)求證：當(dāng)x＞0時，f(x)＞4x－3.【解答】由(1)知，f(x)＝2x＋xlnx，令g(x)＝f(x)－(4x－3)＝xlnx－2x＋3，則g′(x)＝lnx－1，由lnx－1＞0得x＞e，由lnx－1＜0得0＜x＜e，故g(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，在(e，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)min＝g(e)＝3－e＞0，即g(x)＞0，即f(x)＞4x－3.配套精練A組夯基精練1．已知函數(shù)f(x)＝ex－x－1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；【解答】易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，因?yàn)閒(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，令f′(x)＞0，解得x＞0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，令f′(x)＜0，解得x＜0，f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)，所以函數(shù)f(x)的極小值為f(0)＝0，無極大值．【解答】2．已知函數(shù)f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；【解答】因?yàn)閒(x)＝a(ex＋a)－x，定義域?yàn)镽，所以f′(x)＝aex－1，當(dāng)a≤0時，由于ex＞0，則aex≤0，故f′(x)＝aex－1＜0恒成立，所以f(x)在R上單調(diào)遞減．當(dāng)a＞0時，令f′(x)＝aex－1＝0，解得x＝－lna，當(dāng)x＜－lna時，f′(x)＜0，則f(x)在(－∞，－lna)上單調(diào)遞減；當(dāng)x＞－lna時，f′(x)＞0，則f(x)在(－lna，＋∞)上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)a≤0時，f(x)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時，f(x)在(－∞，－lna)上單調(diào)遞減，在(－lna，＋∞)上單調(diào)遞增．【解答】【解答】【解答】4．已知函數(shù)f(x)＝a·2x－xln2.(1)討論f(x)的單調(diào)性；f′(x)＝aln2·2x－ln2＝ln2(a·2x－1)，當(dāng)a≤0，f′(x)＜0，則函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減；【解答】【解答】【解析】AC6．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)同時具有下列三個性質(zhì)，則f(x)＝_______________________________.(寫出一個滿足條件的函數(shù)即可)①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)；②f′(x)是偶函數(shù)；③當(dāng)x＋y＞0時，f(x)＋f(y)＜0.－x(答案不唯一，kx(k＜0)均可)【解析】由條件①，設(shè)f(x)＝kx，則f′(x)＝k，滿足條件②，此時易知f(x)為奇函數(shù)，再由條件③，當(dāng)x＞－y時，有f(x)＜－f(y)＝f(－y)，可知f(x)為R上的減函數(shù)，所以k＜0.7．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋5，a＞1.(1)若函數(shù)f(x)的定義域和值域均為[1，a]，求a的值；因?yàn)閒(x)＝x2－2ax＋5的圖象開口向上，且對稱軸為x＝a(a＞1)，所以f(x)在[1，a]上單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2.【解答】7．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋5，a＞1.(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，2]上單調(diào)遞減，且對任意的x1，x2∈[1，a＋1]，總有f(x1)－f(x2)≤9成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．因?yàn)閒(x)在(－∞，2]上是減函數(shù)，所以a≥2，所以f(x)在[1，a]上單調(diào)遞減，在[a，a＋1]上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(a)＝5－a