2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時分層作業(yè)12離散型隨機變量的方差與標準差含解析蘇教版選修

PAGE課時分層作業(yè)(十二)離散型隨機變量的方差與標準差(建議用時：60分鐘)[基礎(chǔ)達標練]一、選擇題1．有甲、乙兩種水稻，測得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù)，計算出樣本方差分別為V(X甲)＝11，V(X乙)＝3.4.由此可以估計()A．甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊B．乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊C．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同D．甲、乙兩種水稻分蘗整齊不能比較B[∵V(X甲)>V(X乙)，∴乙種水稻比甲種水稻整齊．]2．設(shè)二項分布B(n，p)的隨機變量X的均值與方差分別是2.4和1.44，則二項分布的參數(shù)n，p的值為()A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1B[由題意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44，∴1－p＝0.6，∴p＝0.4，n＝6.]3．已知隨機變量X的方差V(X)＝m，設(shè)Y＝3X＋2，則V(Y)＝()A．9m B．C．m D．3mA[因為V(X)＝m，所以V(Y)＝V(3X＋2)＝32V(X)＝9V(X)＝9m4．已知隨機變量X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)則下列式子：①E(X)＝－eq\f(1,3)；②V(X)＝eq\f(23,27)；③P(X＝0)＝eq\f(1,3).其中正確的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3C[由分布列可知，E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，故①正確；V(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,3)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9)，故②不正確，③顯然正確．]5．從裝有3個白球和7個紅球的口袋中任取1個球，用X表示是否取到白球，即X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1當(dāng)取到白球時，,0當(dāng)取到紅球時，))則X的方差V(X)＝()A.eq\f(21,100) B.eq\f(7,50)C.eq\f(1,10) D.eq\f(3,10)A[顯然X服從兩點分布，P(X＝0)＝eq\f(7,10)，P(X＝1)＝eq\f(3,10).故X的分布列為X01Peq\f(7,10)eq\f(3,10)所以E(X)＝eq\f(3,10)，故V(X)＝eq\f(7,10)×eq\f(3,10)＝eq\f(21,100).]二、填空題6．同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是________．eq\f(3,2)[法一：由題意可知每次試驗不成功的概率為eq\f(1,4)，成功的概率為eq\f(3,4)，在2次試驗中成功次數(shù)X的可能取值為0,1,2，則P(X＝0)＝eq\f(1,16)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,8)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(9,16).所以在2次試驗中成功次數(shù)X的分布列為X012Peq\f(1,16)eq\f(3,8)eq\f(9,16)則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值為E(X)＝0×eq\f(1,16)＋1×eq\f(3,8)＋2×eq\f(9,16)＝eq\f(3,2).法二：此試驗滿足二項分布，其中p＝eq\f(3,4)，所以在2次試驗中成功次數(shù)X的均值為E(X)＝np＝2×eq\f(3,4)＝eq\f(3,2).]7．設(shè)一次試驗成功的概率為p，進行100次獨立重復(fù)試驗，當(dāng)p＝________時，成功次數(shù)的標準差的值最大，其最大值為________．eq\f(1,2)5[成功次數(shù)ξ～B(100，p)，∴V(ξ)＝100p(1－p)≤100×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(p＋1－p,2)))2＝25.當(dāng)且僅當(dāng)p＝1－p，即p＝eq\f(1,2)時，eq\r(Vξ)取得最大值eq\r(25)＝5.]8．一次數(shù)學(xué)測驗由25道選擇題構(gòu)成，每個選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確的，每個答案選擇正確得4分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分，某學(xué)生選對任一題的概率為0.6，則此學(xué)生在這一次測驗中的成績的均值與方差分別為________．60,96[設(shè)該學(xué)生在這次數(shù)學(xué)測驗中選對答案的題目的個數(shù)為X，所得的分數(shù)(成績)為Y，則Y＝4X.由題知X～B(25,0.6)，所以E(X)＝25×0.6＝15，V(X)＝25×0.6×0.4＝6，E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，V(Y)＝V(4X)＝42×V(X)＝16×6＝96，所以該學(xué)生在這次測驗中的成績的均值與方差分別是60與96.]三、解答題9．設(shè)在15個同類型的零件中有2個是次品，每次任取1個，共取3次，設(shè)ξ表示取出次品的個數(shù)．(1)若取后不放回，求ξ的均值E(ξ)和方差V(ξ)；(2)若取后再放回，求ξ的均值E(ξ)和方差V(ξ)．[解](1)由題意，得ξ～H(3,2,15)，E(ξ)＝eq\f(nM,N)＝eq\f(3×2,15)＝eq\f(2,5)，V(ξ)＝eq\f(nMN－nN－M,N2N－1)＝eq\f(3×2×15－3×15－2,152×15－1)＝eq\f(52,175).(2)由題意ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,15)))，E(ξ)＝np＝3×eq\f(2,15)＝eq\f(2,5)，V(ξ)＝np(1－p)＝3×eq\f(2,15)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,15)))＝eq\f(26,75).10．一個口袋中裝有大小相同的2個白球和4個黑球．(1)采取放回抽樣方式，從中摸出兩個球，求兩球恰好顏色不同的概率；(2)采取不放回抽樣方式，從中摸出兩個球，求摸得白球的個數(shù)的期望和方差．[解](1)“有放回摸球”可看作獨立重復(fù)試驗，因為每摸出一球得白球的概率為p＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).所以“有放回摸兩次，顏色不同”的概率為Ceq\o\al(1,2)·eq\f(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(4,9).(2)設(shè)摸得白球的個數(shù)為ξ，依題意得：P(ξ＝0)＝eq\f(4,6)×eq\f(3,5)＝eq\f(2,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(4,6)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,6)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,15)，所以E(ξ)＝0×eq\f(2,5)＋1×eq\f(8,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(2,3)，V(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))2×eq\f(2,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×eq\f(8,15)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))2×eq\f(1,15)＝eq\f(16,45).[能力提升練]1．若X是離散型隨機變量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1<x2，又已知E(X)＝eq\f(4,3)，V(X)＝eq\f(2,9)，則x1＋x2的值為()A.eq\f(5,3) B.eq\f(7,3)C．3 D.eq\f(11,3)C[∵E(X)＝eq\f(2,3)x1＋eq\f(1,3)x2＝eq\f(4,3).∴x2＝4－2x1，V(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－x1))2×eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－x2))2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,9).∵x1<x2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2，))∴x1＋x2＝3.]2．甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為X，Y，X和Y的分布列如下：X＝k012P(X＝k)eq\f(6,10)eq\f(1,10)eq\f(3,10)Y＝k012P(Y＝k)eq\f(5,10)eq\f(3,10)eq\f(2,10)甲、乙兩名工人的技術(shù)水平較好的為()A．一樣好 B．甲C．乙 D．無法比較C[工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)X的期望和方差分別為：E(X)＝0×eq\f(6,10)＋1×eq\f(1,10)＋2×eq\f(3,10)＝0.7，V(X)＝(0－0.7)2×eq\f(6,10)＋(1－0.7)2×eq\f(1,10)＋(2－0.7)2×eq\f(3,10)＝0.81.工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)Y的期望和方差分別為：E(Y)＝0×eq\f(5,10)＋1×eq\f(3,10)＋2×eq\f(2,10)＝0.7，V(Y)＝(0－0.7)2×eq\f(5,10)＋(1－0.7)2×eq\f(3,10)＋(2－0.7)2×eq\f(2,10)＝0.61.由E(X)＝E(Y)知，兩人生產(chǎn)出次品的平均數(shù)相同，技術(shù)水平相當(dāng)，但V(X)>V(Y)，可見乙的技術(shù)比較穩(wěn)定．]3．若隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝m)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝n)＝a，若E(ξ)＝2，則V(ξ)的最小值等于________．0[由分布列中，概率和為1，則a＋eq\f(1,3)＝1，a＝eq\f(2,3).∵E(ξ)＝2，∴eq\f(m,3)＋eq\f(2n,3)＝2，∴m＝6－2n.∴V(ξ)＝eq\f(1,3)×(m－2)2＋eq\f(2,3)×(n－2)2＝eq\f(2,3)×(n－2)2＋eq\f(1,3)×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2.∴n＝2時，V(ξ)取最小值0.]4．有同寢室的四位同學(xué)分別每人寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人去拿一張，記自己拿自己寫的賀年卡的人數(shù)為X，則X的方差是________．1[由條件，得X的概率分布列為：X0124Peq\f(9,24)eq\f(8,24)eq\f(6,24)eq\f(1,24)E(X)＝0×eq\f(9,24)＋1×eq\f(8,24)＋2×eq\f(6,24)＋4×eq\f(1,24)＝1，V(X)＝(0－1)2×eq\f(9,24)＋(1－1)2×eq\f(8,24)＋(2－1)2×eq\f(6,24)＋(4－1)2×eq\f(1,24)＝1.]5．一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示．將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立．(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的概率分布，期望E(X)及方差V(X)．[解](1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷售量不低于100個且另1天的日銷售量低于50個”，因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.