高中數(shù)學(xué) 2.1 離散型隨機(jī)變量及其分布列同步練習(xí) 北師大版選修2-3

§1離散型隨機(jī)變量及其分布列eq\a\vs4\al\co1(雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)20分鐘)1．下列變量中，不是隨機(jī)變量的是 ()．A．某人投籃6次投中的次數(shù)B．某日上證收盤指數(shù)C．標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，水在100℃時(shí)會(huì)沸騰D．某人早晨在車站等出租車的時(shí)間解析A中某人投籃投中與否在投之前并不知道，其結(jié)果是隨機(jī)的，故符合隨機(jī)變量的定義；B中某日上證收盤指數(shù)也具有隨機(jī)性，其結(jié)果不知，也符合隨機(jī)變量的定義；C在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下水在100℃時(shí)會(huì)沸騰是必然事件，其結(jié)果不具有隨機(jī)性，故不符合隨機(jī)變量的定義；D中由于出租車到站的時(shí)間是隨機(jī)的，故符合隨機(jī)變量的定義，綜上可知選C.答案C2．①某電話亭內(nèi)的一部電話1小時(shí)內(nèi)使用的次數(shù)記為X；②某人射擊2次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)之和記為X；③測量一批電阻，阻值R在950Ω～1200Ω之間；④一個(gè)在數(shù)軸上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在數(shù)軸上的位置記為X.其中是離散型隨機(jī)變量的是 ()．A．①②B．①③C．①④D．①②④解析①②中變量X所有可能取值是可以一一列舉出來的，是離散型隨機(jī)變量，而③④中的結(jié)果不能一一列出，故不是離散型隨機(jī)變量．答案A3．設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X描述一次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(X＝0)＝ ()．A．0B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)解析由題可知“X＝0”表示試驗(yàn)失敗，“X＝1”表示試驗(yàn)成功，又知試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，從而P(X＝1)＝2P(X＝0)．又P(X＝0)＋P(X＝1)＝1，∴P(X＝0)＝eq\f(1,3).答案C4．在考試中，需回答三個(gè)問題，考試規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分，則這名同學(xué)回答這三個(gè)問題的總得分X的所有可能取值是________．解析可能回答全對，兩對一錯(cuò)，兩錯(cuò)一對，全錯(cuò)四種結(jié)果，相應(yīng)得分為300分，100分，－100分，－300分．答案300分，100分，－100分，－300分5．在8件產(chǎn)品中，有3件次品，5件正品，從中任取一件，取到次品就停止，抽取次數(shù)為X，則X＝3表示的試驗(yàn)結(jié)果是________．解析X＝3表示前2次均是正品，第3次是次品答案共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品6．若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X01P9c2－3－8試求出常數(shù)c及相應(yīng)的分布列．解由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9c2－c＋3－8c＝1①，,0≤9c2－c≤1，,0≤3－8c≤1.))由①得，c＝eq\f(1,3)或c＝eq\f(2,3)，當(dāng)c＝eq\f(2,3)時(shí)，3－8c＝－eq\f(7,3)<0，不合題意．當(dāng)c＝eq\f(1,3)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證滿足題意．∴c＝eq\f(1,3).故所求離散型隨機(jī)變量的分布列為X01Peq\f(2,3)eq\f(1,3)eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時(shí)25分鐘)7．一個(gè)人有n把鑰匙，其中只有一把可以打開房門，他隨意地進(jìn)行試開，若試開過的鑰匙放在一旁，試過的次數(shù)X為隨機(jī)變量，則P(X＝k)等于()．A.eq\f(k,n)B.eq\f(1,n)C.eq\f(k－1,n)D.eq\f(k！,n！)解析X＝k表示第k次恰好打開，前k－1次沒有打開，∴P(X＝k)＝eq\f(n－1,n)×eq\f(n－2,n－1)×…×eq\f(n－k－1,n－k－2)×eq\f(1,n－k－1)＝eq\f(1,n).答案B8．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ12345678910Peq\f(2,3)eq\f(2,32)eq\f(2,33)eq\f(2,34)eq\f(2,35)eq\f(2,36)eq\f(2,37)eq\f(2,38)eq\f(2,39)m則P(ξ＝10)＝()．A.eq\f(2,39)B.eq\f(2,310)C.eq\f(1,39)D.eq\f(1,310)解析P(ξ＝10)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋\f(2,32)＋…＋\f(2,39)))＝1－eq\f(\f(2,3)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))9)),1－\f(1,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))9.答案C9．設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為P(X＝k)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))k，k＝1,2,3，則m的值為________．解析由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)得，meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3))＝1，解得m＝eq\f(27,38).答案eq\f(27,38)10．設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a為常數(shù)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))＝________.解析由題意，P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(a,1×2)＋eq\f(a,2×3)＋eq\f(a,3×4)＋eq\f(a,4×5)＝1，∴a＝eq\f(5,4).∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(a,2)＋eq\f(a,6)＝eq\f(2a,3)＝eq\f(2,3)×eq\f(5,4)＝eq\f(5,6).答案eq\f(5,6)11．已知隨機(jī)變量X的分布列：X12345Peq\f(1,10)eq\f(3,10)aeq\f(1,10)eq\f(1,10)(1)求a；(2)求P(X≥4)，P(2≤X<5)．解(1)由eq\f(1,10)＋eq\f(3,10)＋a＋eq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＝1，得a＝eq\f(2,5).(2)P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＝eq\f(1,5)；P(2≤X<5)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(3,10)＋eq\f(2,5)＋eq\f(1,10)＝eq\f(4,5).12．(創(chuàng)新拓展)某次演唱比賽，需要加試綜合素質(zhì)，每位參賽選手需加答3個(gè)問題，組委會(huì)為每位選手都備有10道不同的題目可供選擇，其中有6道藝術(shù)類題目，2道文學(xué)類題目，2道體育類題目，測試時(shí)，每位選手從給定的10道題中不放回地隨機(jī)抽取3次，每次抽取一道題，回答完該題后，再抽取下一道題目作答．(1)求某選手在3次抽取中，只有第一次抽到的是藝術(shù)類題目的概率；(2)求某選手抽到體育類題目的個(gè)數(shù)X的分布列．解從10道不同的題目中不放回地隨機(jī)抽取3次，每次只抽取1道題，抽取方法的總數(shù)為Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(1,9)Ceq\o\al(1,8).(1)某選手在3次抽取中，只有第一次抽到的是藝術(shù)類題目的抽法數(shù)為Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)，所以，這位選手在3次抽取題目中，只有第一次抽到的是藝術(shù)類題目的概率為P＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3),C\o\al(1,10)C\o\al(1,9)C\o\al(1,8))＝eq\f(1,10).(2)X的可能取值為0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(1,7)C\o\al(1,6),C\o\al(1,10)C\o\al(1,9)C\o\al(1,8))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,8)C\o\al(1,7)C\o\al(1,3)