2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊同步練習(xí)

2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊

第一章數(shù)列

§1數(shù)列的概念及其函數(shù)特性

1.1數(shù)列的概念

1.2數(shù)列的函數(shù)特性

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一對數(shù)列概念的理解

1.（2022河南南陽月考）下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（）

A.同一數(shù)列的任意兩項(xiàng)均不可能相同

BWJ-1,0,1與數(shù)列L0/l是同一個(gè)數(shù)列

C.數(shù)歹I」1,357可表示為｛135,7｝

D.數(shù)列中的每一項(xiàng)都與它的序號(hào)有關(guān)

2.（多選）下列說法正確的是（）

A.數(shù)列L2,3,4,…,n是無窮數(shù)列

B.數(shù)歹i」｛2n+l｝的第6項(xiàng)是13

C.若用圖象表示數(shù)列，則圖象是一群孤立的點(diǎn)

D.數(shù)列的項(xiàng)數(shù)一定是無限的

題組二數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用

0

3.已知數(shù)列&｝的通項(xiàng)公式為anU+（-2n1n￡N+,則該數(shù)列的前4項(xiàng)依次為

（）

A.1,0,1,0B.0,1,0,1

段,0,初D.2,0,2,0

（3n+1,九為奇數(shù)，

4.數(shù)列同｝的通項(xiàng)公式為an=其中n￡N+廁a2a3=（)

2n-2,n為偶數(shù),

A.70B.28C.20D.8

5.（2022山東聊城期末）數(shù)列剎…的通項(xiàng)公式可能是（）

B-1尸白

C.an=(-l)n4；D.an=(-l)nTT

n+2n+2

6.(2020山東荷澤期中)已知數(shù)列1,8,強(qiáng)夕，…，師I若3芯是這個(gè)數(shù)列的第m

項(xiàng)廁m=()

A.20B.21C.22D.23

7.(2022山東濟(jì)寧鄒城期中)九連環(huán)是我國古代至今廣為流傳的一種益智游戲，它

由九個(gè)鐵絲圓環(huán)相連成串按一定規(guī)則移動(dòng)圓環(huán)的次數(shù),決定解開圓環(huán)的個(gè)數(shù).在某

種玩法中，用an表示解下n(nw9,n￡N+)個(gè)圓環(huán)最少需要移動(dòng)的次數(shù)，數(shù)列&｝滿

(2an-l,n為奇數(shù)，

足ai=l,Sai=<(nw8,n￡N+),則解下5個(gè)圓環(huán)最少需要移

n+(2冊+2,n為偶數(shù)

動(dòng)的次數(shù)為()

A.7B.10

C.16D.31

8.(2022浙東北聯(lián)盟期中)分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅在20世紀(jì)70

年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科,它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了

全新的思路.按照圖1所示的分形規(guī)律可得圖2所示的一個(gè)樹形圖.若記圖2中第

n行黑圓的個(gè)數(shù)為則a5=()

第

1行

?2

行

O第

O

行

第

3

9.寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:

(1)4,6,8,10,...;

371531.

⑶-琮,一尊?.；

(4)5,55,555,5555,....

10.在數(shù)列｛an｝中,ai=2,ai7=66,其通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù).

⑴求數(shù)列同｝的通項(xiàng)公式；

（2）求32020；

（3）2020是不是數(shù)列｛an｝中的項(xiàng)？

題組三數(shù)列的函數(shù)特性

11.（2022河北邢臺(tái)期末）下列通項(xiàng)公式表示的數(shù)列中，是遞增數(shù)列的是（）

A.an=l-nB.an二審

2

C.an=2n2-5n+lD.an=^^f

12.已知數(shù)列｛an｝滿足ai>0,San+i=后an（n￡N+）,則數(shù)列俑｝的最大項(xiàng)是（）

A.aiB.ag

C.aioD.不存在

13.已知an=-2n2+9n+3廁數(shù)列｛an｝中的最大項(xiàng)為（）

A.10B.13C.12D.14

14.已知數(shù)列&｝的通項(xiàng)公式為an=4n-102,則從第項(xiàng)開始，數(shù)列中的項(xiàng)

都大于零.

15.（2020湖北武漢外國語學(xué)校期中）已知數(shù)列｛ri2+入n+入｝是遞增數(shù)列廁實(shí)數(shù)A

的取值范圍為

16.已知2仔=詈6￡7+）,則數(shù)列｛an｝中有沒有最大項(xiàng)?如果有，求出最大項(xiàng);如果

沒有,請說明理由.

能力提升練

題組一數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用

1.（2020天津靜海一中期中）設(shè)an=m+J+』+.?.+=（n￡N+）,那么ai-a^

n+ln+2n+32nn+n

于（）

A-1—Bi—

2n+l2n+2

l1,1cl1

'2n+l+2n+2'2n+l~2n+2

2.（多選）（2022湖南長沙長郡中學(xué)期末）數(shù)列0,10-1,0,1。；,…的一個(gè)通項(xiàng)公式

是an=（）

A.sin用B.cos^

22

C.cos^^D.cos^^

22

3.（多選）（2022河北保定部分學(xué)校月考）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算

法?商功》中出現(xiàn)了類似下圖所示的形狀，后人稱之為"三角垛"."三角垛"的最

上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，……,以此類推?設(shè)從上到下各層

球數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛an｝,則（）

A.34=9

B.an+i-an=n+l,nGAJ+

C.320=210

D.成+i=anan+2,n￡N+

4.（2021湖北期末聯(lián)考）1766年彳惠國有一位名叫提丟斯的中學(xué)數(shù)學(xué)老師把數(shù)列

0,3,6,12,24,48,96,…經(jīng)過一定的規(guī)律變化彳導(dǎo)到新數(shù)歹I」04071,1.628,5210，…,

科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，新數(shù)列的前幾項(xiàng)恰好為太陽系各行星與太陽之間的平均距離，并據(jù)此

發(fā)現(xiàn)了"天王星""谷神星"等行星，這個(gè)新數(shù)列就是著名的"提丟斯-波得定

則"根據(jù)規(guī)律新數(shù)列的第8項(xiàng)為（）

A.14.8B.19.2

C.19.6D.20.4

5.設(shè)數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an=*，要使它的前n項(xiàng)的乘積大于36,則n的最小

值為（）

A.6B.7C.8D.9

6.已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式是2R嗡平.

Q）判斷喘是不是數(shù)列｛an｝中的項(xiàng)；

⑵試判斷數(shù)列｛an｝中的各項(xiàng)是否都在區(qū)間（0,1）內(nèi)；

（3）試判斷在區(qū)間弓,|）內(nèi)是否有數(shù)列｛而｝中的項(xiàng).若有，是第幾項(xiàng)?若沒有，請說明理

由.

題組二數(shù)列的函數(shù)特性

7.(2021北東帝有期末)右數(shù)列｛an｝中,ai=La2=2,an+i=an-an-i(n22幣￡N+),則32

019=()

A.-2B.-1

C.lD.2

2CLyifCLy-iE彳，n

721al=|,則

2a--,a>-,

｛nn

下列數(shù)是數(shù)列｛an｝中的項(xiàng)的為（）

9.（2020遼寧沈陽東北育才中學(xué)期中）已知數(shù)列同｝的通項(xiàng)公式為

an=舄■茄（n￡N+），且數(shù)列&｝從第n項(xiàng)起單調(diào)遞減，則n的值為（）

A.llB.12

C.13D.10

10.（2020山東滕州一中階段檢測）已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為己小鬻假，且存在

ZUZi-Z

正整數(shù)T5使得aTWanWas對任意的n￡N+恒成立則T+S=（）

A.15B.17

C.19D.21

1L侈選）若數(shù)列｛an｝滿足對任意正整數(shù)n,｛an+ia｝為遞減數(shù)列廁稱數(shù)列&｝為

"差遞減數(shù)列".給出下列數(shù)列｛an｝（n￡N+）,其中是"差遞減數(shù)列"的有（）

2

A.an=3nB.an=n+1

C.a仔聲D.an=ln^

12.（2020浙南名校聯(lián)盟期中聯(lián)考）已知數(shù)列｛an｝對任意的n￡N+都有

an+i<E*且ai+a2+…+a9=9廁下列說法正確的是（）

A.數(shù)列｛an+ia｝為遞減數(shù)列，且a5>l

B.數(shù)列｛an+ia｝為遞增數(shù)列，且a5>l

C.數(shù)列｛an+1-an｝為遞減數(shù)列，且a5<l

D.數(shù)列&+1自｝為遞增數(shù)列且a5<l

13.（2021天津一中期末）已知數(shù)列｛an｝滿足an=|（？a）n+2，n>&“￡山,若對任

n-7

a,n<8,nGN+,

意nWN+都有an>an+i,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

14.已知數(shù)列&｝滿足a=1+(nGN+,a￡R且awO).

na+Z(n-l)

Q)若a=-7,求數(shù)列｛an｝中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值；

(2)若對任意的nWN+,都有a/a6成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

答案與分層梯度式解析

第一章數(shù)列

§1數(shù)列的概念及其函數(shù)特性

?1.1數(shù)列的概念

1.2數(shù)列的函數(shù)特性

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.P同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)，故A中說法錯(cuò)誤;數(shù)列中各項(xiàng)是有序的，故

數(shù)列-1,0,1與數(shù)列是不同的數(shù)列，故B中說法錯(cuò)誤;｛135,7｝是集合，不是數(shù)

列，故C中說法錯(cuò)誤;由數(shù)列的概念可知,數(shù)列中的每一項(xiàng)都與它的序號(hào)有關(guān)，故D

中說法正確.故選D.

2.13C數(shù)列123,4,共n項(xiàng),是有窮數(shù)列,A中說法錯(cuò)誤;當(dāng)n=6

時(shí),2x6+1=13,B中說法正確;易知C中說法正確;數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以是有限的，也可

以是無限的,D中說法錯(cuò)誤.故選BC.

易錯(cuò)警示

需特別注意的是，數(shù)列中的項(xiàng)具有三大特性:確定性,有序性(與各項(xiàng)的排列順

序有關(guān))向重性(允許童葡.

3.A解:i—:由an=i+(-2""：n￡N+,可得31=1,32=0,33=1,34=0.4^A.

解法二:由已知得，當(dāng)n￡N+且n為奇數(shù)時(shí),l+(-l)n+i=2,當(dāng)n￡N+且n為偶數(shù)

時(shí),l+(-l)n+i=0,所以數(shù)列｛an｝的奇數(shù)項(xiàng)為L偶數(shù)項(xiàng)為0,故該數(shù)列的前4項(xiàng)依次

為1,0,1。

4c由通項(xiàng)公式得a2=2x2-2=2,a3=3x3+l=10,所以a2a3=20.

5.P數(shù)列*技…即獷￡|，W，…,觀察到奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)為正，偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)為負(fù)，分

子、分母分別是從1,3開始的正整數(shù)，因此其通項(xiàng)公式可以為an=(-l)n-i言.故選

D.

方法技巧

當(dāng)一個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)的符號(hào)正負(fù)相間時(shí)，應(yīng)把符號(hào)分離出來，可用(-1尸或(-

l)n+i(n￡N+)表示.

6.P由題意得近為1=3場即2m-1=45,解得m=23,故選D.

方法技巧

要判斷一個(gè)數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)，其實(shí)質(zhì)是看相應(yīng)方程是否有正整數(shù)解.

7.C由題意知a5=2a4+2=2(2a3-l)+2=4(2a2+2)=8(2ai-l)+8=16ai=16.故

選C.

8.A記題圖2中第n行白圓的個(gè)數(shù)為b~由題圖1知,1個(gè)白圓分形為1個(gè)白圓

和1個(gè)黑圓,1個(gè)黑圓分形為1個(gè)白圓和2個(gè)黑圓，因此

an+i=2an+bn,bn+i=an+bn且ai=0,bi=1,所以

a2=2ai+bi=l,b2=ai+bi=l;a3=2a2+b2=3/b3=a2+b2=2;a4=2a3+b3=8,b4=a3

+b3=5;a5=2a4+b4=21,b5=a4+b4=13.故選A.

9.解析⑴易知該數(shù)列由從4開始的偶數(shù)構(gòu)成，所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為

an=2n+2,neN+.

(2)易知該數(shù)列中每一項(xiàng)分子比分母少L且分母可寫成21,22,23,24,25,…，故該數(shù)列

的一個(gè)通項(xiàng)公式為an二拳,n￡N+.

⑶通過觀察可知，該數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故選擇(-1戶作為每一項(xiàng)的

一個(gè)因式.又第1項(xiàng)可改寫成分?jǐn)?shù)-|,所以每一項(xiàng)的分母依次為3,579,…,可寫成

2n+l的形式.分子為3=1x3,8=2x4,15=3x5,24=4x6,……,可寫成n(n+2)的形

式.所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-l)n?需,n￡N+.

(4)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可以變?yōu)槊?,|x99,19995x9999,

即射(10-1居x(100-l)，l(l000-l),1x(10000-1),

螭x(10-1),|x(102-1),|x(103-1),|x(104-1),

所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=|x(ion-l),new+.

10.解析⑴依題意設(shè)an=kn+b(kwo),

?a=2,ai7=66,.?悠；黃66,

，

解得C2-2--an=4n-2,nGN+.

(2)32020=4x2020-2=8078.

⑶令an=2020廁2020=4n-2,

解得n:竽,?.■竽住N+,

.?.2020不是數(shù)列斜｝中的項(xiàng).

11.C對于A,an=l-n,則2.廠2廿1-6+1)-(17)=-1<0,該數(shù)歹1」是遞減數(shù)歹1」,不

符合題意；

對于B,anW，則an+i-an=?喘二品<0,該數(shù)列是遞減數(shù)列,不符合題意；

22

對于C,an=2n2-5n+L則an+i-an=2(n+l)-5(n+l)+l-(2n-5n+l)=4n-3,fiT

neN+,所以4n-3>0,該數(shù)列是遞增數(shù)列，符合題意；

對于D,an斗黑;：號(hào)2則a2=5,a3=4,a2<a3,該數(shù)列不是遞增數(shù)列，不符合題意.

故選C.

12.A;ai>。且己（1+1=三爐~「d>0,皿=々<1,「品+1?！保藬?shù)列為遞減數(shù)列,，

MixZU-JL

最大項(xiàng)為ai.

故選A.

13.Ban=-2n2+9n+3=-2（7i-：）+與，

,「n￡N+,...當(dāng)n=20^,32=13最大.故選B.

14.答案26

解析令4n-102>0彳導(dǎo)》25初￡2+,

二從第26項(xiàng)開始，數(shù)列中的項(xiàng)都大于零.

15.答案（-3,+8）

解析因?yàn)樗捔校?入n+入｝是遞增數(shù)列，所以n2+An+A<（n+l）2+A（n+l）+A對任

意n￡N+都成立，整理得人>-2n-L因?yàn)楫?dāng)n=l時(shí),-2n-l有最大值，且最大值為-3,

所以人>-3.

16.解析解法一:由an==薩（n￡N+）,

得an+i-an=^-q^=^znGN+.

當(dāng)n<8時(shí),an+i-an>0,即an+i>an,即｛an｝在n<8時(shí)單調(diào)遞增;當(dāng)n=8時(shí),an+i-

an=O,BPan+i=an,即a8=a9；當(dāng)n>8時(shí)an+ia<0,即an+i<an,即&｝在n>8時(shí)單

調(diào)遞減.

所以數(shù)列｛an｝的最大項(xiàng)是第8項(xiàng)或第9項(xiàng)，目38=39=^.

解法二:設(shè)an為最大項(xiàng)，

則｛露然（nN2,n￡N+）,

9十+1）>9』

嘉:猊+2）解得8分49.

（10“-10"+1'

又因?yàn)閚￡N+,所以n=8或n=9.

故｛dn｝的最大項(xiàng)為38=89=^5.

能力提升練

LD,鼻二波擊+擊+…+總

「?an+i=擊+++…+/+肅

???an+ia二*+熹一左=器一急

2.AP當(dāng)n=2時(shí),cos^=cosTT=-L故B不符合題意；

當(dāng)n=l時(shí),cos^=cosTI=-1，故C不符合題意；

經(jīng)驗(yàn)證,A,D均符合題意，故選AD.

3.13C因?yàn)閍i=La2=3=l+2,a3=6=l+2+3,所以a4=l+2+3+4=10,an+i-

an=n+Ln￡N+就A錯(cuò)誤,B定版

由前面的規(guī)律可知an=l+2+...+n=^,

則a2o=竽=210,故C正確；

因?yàn)槠?產(chǎn)婦中空，

d。nan+2―—n(n+l)(n+2)(n+3/)

所以4+1Nanan+2,故D錯(cuò)誤.

故選BC.

4C觀察得原數(shù)列0,3,6,12,24,48,96,…從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)是前一項(xiàng)的2倍，故

該數(shù)列的第8項(xiàng)為2x96=192,觀察可得新數(shù)列是將原數(shù)列的每一項(xiàng)加4,再除以

10,故新數(shù)歹I」的第8項(xiàng)為(192+4)+10=19.6,故選C.

5.C記數(shù)列&｝的前n項(xiàng)的乘積為Dn廁Dn=aixa2x...xan-

62口=3*并*...*詈*彳=^^^1^.依題意有^^i^2>36,整理得(0-7)3+10)>0,

解得n>7或n<-10,因?yàn)閚￡N+,所以rimin=8,故選C.

9

56用角?！避?析k-(Li；a)nan=9-n2-1(3n-l)(3n+l)3n+l,

整得，解得n號(hào)

因?yàn)榕c不是正整數(shù)，所以需不是數(shù)列斜｝中的項(xiàng).

(2)由⑴可得而=需=錯(cuò)=1-高，

因?yàn)閚￡N+,所以0<焉<1,所以0<an<L

所以數(shù)列同｝中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi).

(3)在區(qū)間&|)內(nèi)有數(shù)列｛an｝中的項(xiàng).

令*n<|得<若<|,

即｛黑黑鬻解彳星"嗎

又因?yàn)閚￡N+,所以n=2.

故在區(qū)間&|)內(nèi)有且僅有一個(gè)數(shù)列｛an｝中的項(xiàng)，它是第2項(xiàng)，目32=^.

7.0數(shù)列｛an｝中,ai=La2=2,an+i=an-an-i,

所以當(dāng)n=2時(shí),a3=a2-ai=L

當(dāng)n=3時(shí),a4=a3-a2=-l,

當(dāng)n=40^,35=34-33=-1-1=-2,

當(dāng)n=5時(shí),a6=a5-a4=-2+l=-i,

當(dāng)n=6時(shí),a7=a6-a5=L

當(dāng)n=70^,38=37-36=2,

所以數(shù)列｛an｝是以6為周期的周期數(shù)列,

又2019=336x6+3,

所以32019=己3=1.故選C.

2a*n<.ai=|,依次取n=l,2,3代入計(jì)算彳導(dǎo)

8.BC數(shù)列｛an｝滿足an+i=

2an-/n>

a2=2aiq三,a3=2a2W，a4=2a3=|=ai,則數(shù)歹i」｛an｝是周期為3的周期數(shù)列，所以an

的所有可能取值為溫|,故選BC.

n+1

9.A?An-濃+]30"a+i=

5+1)2+130’

*an+i-an=n+1_n

n2+2n+131n24-130

_______-n2-n+130_____

"(n2+2n+131)(n2+130)*

由數(shù)列｛an｝從第n項(xiàng)起單調(diào)遞減可得an+i-an<0,

即-r)2-n+130<0,

即M+n-130>0,解得”卡或n>等i,又n￡N+〃、n>等i.

??.22<同<23〃，10.5〈竽<11,

.?.n>ll,/.n的值為11,故選A.

10.P依題意得2廿翳*=1-赤'

=1+——-——

2n-20211

nn

當(dāng)n>ll(neM+M2>2=2當(dāng)8,數(shù)列⑸｝遞減且an>L」.(an)max=au,

當(dāng)n<lO(neW+M2n<2io=l024,數(shù)列冏｝遞減，且an<l,「.(an)min=aio,

???aioWan4an,「T+S=2L故選D.

11.CD選項(xiàng)A,由an=3Q得an+ia=3則&+ia｝為常數(shù)列不滿足"差遞減數(shù)

列"的定義；

選項(xiàng)B,由an=n2+L得an+ia=(n+l)2+：L-n2-l=2n+L則同+ia｝為遞增數(shù)列

不滿足"差遞減數(shù)列"的定義；

選項(xiàng)C,由an=加得an+1-dn=樂三1-而二而缶

顯然Qn+1-an｝為遞減數(shù)列，滿足"差遞減裝列’的定義；

選