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重慶市2024屆校高三第五次月考數(shù)學(xué)試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,,是平面內(nèi)三個單位向量,若,則的最小值()A. B. C. D.52.若θ是第二象限角且sinθ=,則=A. B. C. D.3.設(shè)i為數(shù)單位,為z的共軛復(fù)數(shù),若,則()A. B. C. D.4.已知函數(shù)的一條切線為,則的最小值為()A. B. C. D.5.連接雙曲線及的4個頂點的四邊形面積為,連接4個焦點的四邊形的面積為,則當(dāng)取得最大值時,雙曲線的離心率為()A. B. C. D.6.港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車,它是中國境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程,橋隧全長55千米.橋面為雙向六車道高速公路,大橋通行限速100km/h,現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進(jìn)行抽樣調(diào)查.畫出頻率分布直方圖(如圖),根據(jù)直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為()A.300, B.300, C.60, D.60,7.已知是第二象限的角,,則()A. B. C. D.8.甲乙兩人有三個不同的學(xué)習(xí)小組,,可以參加,若每人必須參加并且僅能參加一個學(xué)習(xí)小組,則兩人參加同一個小組的概率為()A.B.C.D.9.的展開式中的常數(shù)項為()A.-60 B.240 C.-80 D.18010.將函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像,則的最小值為()A. B. C. D.11.若的展開式中的系數(shù)為-45,則實數(shù)的值為()A. B.2 C. D.12.《易經(jīng)》包含著很多哲理,在信息學(xué)、天文學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用,《易經(jīng)》的博大精深,對今天的幾何學(xué)和其它學(xué)科仍有深刻的影響.下圖就是易經(jīng)中記載的幾何圖形——八卦田,圖中正八邊形代表八卦,中間的圓代表陰陽太極圖,八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田.已知正八邊形的邊長為,陰陽太極圖的半徑為,則每塊八卦田的面積約為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,,則__________.14.函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù),),若函數(shù)恰有個零點,則實數(shù)的取值范圍為__________________.15.已知兩動點在橢圓上,動點在直線上,若恒為銳角,則橢圓的離心率的取值范圍為__________.16.展開式中項的系數(shù)是__________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列的前項和為,且點在函數(shù)的圖像上;(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列滿足:,,求的通項公式;(3)在第(2)問的條件下,若對于任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;18.(12分)已知()過點,且當(dāng)時,函數(shù)取得最大值1.(1)將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù),求函數(shù)的表達(dá)式;(2)在(1)的條件下,函數(shù),求在上的值域.19.(12分)已知橢圓的長軸長為,離心率(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)分別為橢圓與軸正半軸和軸正半軸的交點,是橢圓上在第一象限的一點,直線與軸交于點,直線與軸交于點,問與面積之差是否為定值?說明理由.20.(12分)已知動圓Q經(jīng)過定點,且與定直線相切(其中a為常數(shù),且).記動圓圓心Q的軌跡為曲線C.(1)求C的方程,并說明C是什么曲線?(2)設(shè)點P的坐標(biāo)為,過點P作曲線C的切線,切點為A,若過點P的直線m與曲線C交于M,N兩點,則是否存在直線m,使得?若存在,求出直線m斜率的取值范圍;若不存在,請說明理由.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點的極坐標(biāo)為,直線與曲線的交點為,求的值.22.(10分)在邊長為的正方形,分別為的中點,分別為的中點,現(xiàn)沿折疊,使三點重合,構(gòu)成一個三棱錐.(1)判別與平面的位置關(guān)系,并給出證明;(2)求多面體的體積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
由于,且為單位向量,所以可令,,再設(shè)出單位向量的坐標(biāo),再將坐標(biāo)代入中,利用兩點間的距離的幾何意義可求出結(jié)果.【詳解】解:設(shè),,,則,從而,等號可取到.故選:A【點睛】此題考查的是平面向量的坐標(biāo)、模的運算,利用整體代換,再結(jié)合距離公式求解,屬于難題.2、B【解析】由θ是第二象限角且sinθ=知:,.所以.3、A【解析】
由復(fù)數(shù)的除法求出,然后計算.【詳解】,∴.故選:A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘除法運算,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,掌握復(fù)數(shù)的運算法則是解題關(guān)鍵.4、A【解析】
求導(dǎo)得到,根據(jù)切線方程得到,故,設(shè),求導(dǎo)得到函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故,計算得到答案.【詳解】,則,取,,故,.故,故,.設(shè),,取,解得.故函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故.故選:.【點睛】本題考查函數(shù)的切線問題,利用導(dǎo)數(shù)求最值,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.5、D【解析】
先求出四個頂點、四個焦點的坐標(biāo),四個頂點構(gòu)成一個菱形,求出菱形的面積,四個焦點構(gòu)成正方形,求出其面積,利用重要不等式求得取得最大值時有,從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線,四個頂點的坐標(biāo)為,四個焦點的坐標(biāo)為,四個頂點形成的四邊形的面積,四個焦點連線形成的四邊形的面積,所以,當(dāng)取得最大值時有,,離心率,故選:D.【點睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的問題,涉及到的知識點有共軛雙曲線的頂點,焦點,菱形面積公式,重要不等式求最值,等軸雙曲線的離心率,屬于簡單題目.6、B【解析】
由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車輛數(shù),同時利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過的頻率.【詳解】由頻率分布直方圖得:在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率為,∴在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的車輛數(shù)為:,行駛速度超過的頻率為:.故選:B.【點睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.7、D【解析】
利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【詳解】因為,由誘導(dǎo)公式可得,,即,因為,所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故選:D【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運算求解能力和知識的綜合運用能力;屬于中檔題.8、A【解析】依題意,基本事件的總數(shù)有種,兩個人參加同一個小組,方法數(shù)有種,故概率為.9、D【解析】
求的展開式中的常數(shù)項,可轉(zhuǎn)化為求展開式中的常數(shù)項和項,再求和即可得出答案.【詳解】由題意,中常數(shù)項為,中項為,所以的展開式中的常數(shù)項為:.故選:D【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用和二項式展開式的通項公式,考查學(xué)生計算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的平移求出函數(shù)的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位,得到,此時與函數(shù)的圖象重合,則,即,,當(dāng)時,取得最小值為,故選:.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用三角函數(shù)的平移關(guān)系求出解析式是解決本題的關(guān)鍵.11、D【解析】
將多項式的乘法式展開,結(jié)合二項式定理展開式通項,即可求得的值.【詳解】∵所以展開式中的系數(shù)為,∴解得.故選:D.【點睛】本題考查了二項式定理展開式通項的簡單應(yīng)用,指定項系數(shù)的求法,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個三角形的面積,再計算出圓面積的,兩面積作差即可求解.【詳解】由圖,正八邊形分割成個等腰三角形,頂角為,設(shè)三角形的腰為,由正弦定理可得,解得,所以三角形的面積為:,所以每塊八卦田的面積約為:.故選:B【點睛】本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式,需熟記定理與面積公式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
直接根據(jù)集合和集合求交集即可.【詳解】解:,,所以.故答案為:【點睛】本題考查集合的交集運算,是基礎(chǔ)題.14、【解析】
令,則,恰有四個解.由判斷函數(shù)增減性,求出最小值,列出相應(yīng)不等式求解得出的取值范圍.【詳解】解:令,則,恰有四個解.有兩個解,由,可得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則,可得.設(shè)的負(fù)根為,由題意知,,,,則,.故答案為:.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)當(dāng)中的應(yīng)用,屬于難題.15、【解析】
根據(jù)題意可知圓上任意一點向橢圓所引的兩條切線互相垂直,恒為銳角,只需直線與圓相離,從而可得,解不等式,再利用離心率即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得,圓上任意一點向橢圓所引的兩條切線互相垂直,因此當(dāng)直線與圓相離時,恒為銳角,故,解得從而離心率.故答案為:【點睛】本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì),考查了邏輯分析能力,屬于中檔題.16、-20【解析】
根據(jù)二項式定理的通項公式,再分情況考慮即可求解.【詳解】解:展開式中項的系數(shù):二項式由通項公式當(dāng)時,項的系數(shù)是,當(dāng)時,項的系數(shù)是,故的系數(shù)為;故答案為:【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用,注意分情況考慮,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)當(dāng)n為偶數(shù)時,;當(dāng)n為奇數(shù)時,.(3)【解析】
(1)根據(jù),討論與兩種情況,即可求得數(shù)列的通項公式;(2)由(1)利用遞推公式及累加法,即可求得當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時的通項公式.也可利用數(shù)學(xué)歸納法,先猜想出通項公式,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.(3)分類討論,當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時,分別求得的最大值,即可求得的取值范圍.【詳解】(1)由題意可知,.當(dāng)時,,當(dāng)時,也滿足上式.所以.(2)解法一:由(1)可知,即.當(dāng)時,,①當(dāng)時,,所以,②當(dāng)時,,③當(dāng)時,,所以,④……當(dāng)時,n為偶數(shù)當(dāng)時,n為偶數(shù)所以以上個式子相加,得.又,所以當(dāng)n為偶數(shù)時,.同理,當(dāng)n為奇數(shù)時,,所以,當(dāng)n為奇數(shù)時,.解法二:猜測:當(dāng)n為奇數(shù)時,.猜測:當(dāng)n為偶數(shù)時,.以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:,命題成立;假設(shè)當(dāng)時,命題成立;當(dāng)n為奇數(shù)時,,當(dāng)時,n為偶數(shù),由得故,時,命題也成立.綜上可知,當(dāng)n為奇數(shù)時同理,當(dāng)n為偶數(shù)時,命題仍成立.(3)由(2)可知.①當(dāng)n為偶數(shù)時,,所以隨n的增大而減小從而當(dāng)n為偶數(shù)時,的最大值是.②當(dāng)n為奇數(shù)時,,所以隨n的增大而增大,且.綜上,的最大值是1.因此,若對于任意的,不等式恒成立,只需,故實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查了累加法求數(shù)列通項公式的應(yīng)用,分類討論奇偶項的通項公式及求和方法,數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列的單調(diào)性及參數(shù)的取值范圍,屬于難題.18、(1);(2).【解析】
試題分析:(1)由題意可得函數(shù)f(x)的解析式為,則.(2)整理函數(shù)h(x)的解析式可得:,結(jié)合函數(shù)的定義域可得函數(shù)的值域為.試題解析:(1)由函數(shù)取得最大值1,可得,函數(shù)過得,,∵,∴,.(2),,,值域為.19、(1)(2)是定值,詳見解析【解析】
(1)根據(jù)長軸長為,離心率,則有求解.(2)設(shè),則,直線,令得,,則,直線,令,得,則,再根據(jù)求解.【詳解】(1)依題意得,解得,則橢圓的方程.(2)設(shè),則,直線,令得,,則,直線,令,得,則,.【點睛】本題主要考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系,還考查了平面幾何知識和運算求解的能力,屬于中檔題.20、(1),拋物線;(2)存在,.【解析】
(1)設(shè),易得,化簡即得;(2)利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可得,要使,只需.聯(lián)立直線m與拋物線方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可解決.【詳解】(1)設(shè),由題意,得,化簡得,所以動圓圓心Q的軌跡方程為,它是以F為焦點,以直線l為準(zhǔn)線的拋物線.(2)不妨設(shè).因為,所以,從而直線PA的斜率為,解得,即,又,所以軸.要使,只需.設(shè)直線m的方程為,代入并整理,得.首先,,解得或.其次,設(shè),,則,..故存在直線m,使得,此時直線m的斜率的取值范圍為.【點睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,涉及拋物線中的存在性問題,考查學(xué)生的計算能力,是一道中檔題.21、(1)(2)【解析】
(1)由公式可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程;(2)把點極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),直線的參數(shù)方程是過定點的標(biāo)準(zhǔn)形式,因此直接把參數(shù)方程代入曲線的方程,利用參數(shù)的幾何意義求解.【詳解】解:(1),則,∴,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為,即(2)點的直角坐標(biāo)為,易知.設(shè)
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