圓與圓的位置關(guān)系7題型分類(lèi)（原卷版）

2.5.2圓與圓的位置關(guān)系7題型分類(lèi)一、圓與圓的位置關(guān)系1．圓與圓的位置關(guān)系有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含．2．判定方法(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線(xiàn)的長(zhǎng)為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關(guān)系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|(2)代數(shù)法：設(shè)兩圓的一般方程為C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，聯(lián)立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))則方程組解的個(gè)數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下：方程組解的個(gè)數(shù)2組1組0組兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)兩圓的位置關(guān)系相交內(nèi)切或外切外離或內(nèi)含二、圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用設(shè)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若兩圓相交，則有一條公共弦，由①－②，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③方程③表示圓C1與C2的公共弦所在直線(xiàn)的方程．(1)當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程相減，所得的直線(xiàn)方程即兩圓公共弦所在的直線(xiàn)方程，這一結(jié)論的前提是兩圓相交，如果不確定兩圓是否相交，兩圓方程相減得到的方程不一定是兩圓的公共弦所在的直線(xiàn)方程．(2)兩圓公共弦的垂直平分線(xiàn)過(guò)兩圓的圓心．(3)求公共弦長(zhǎng)時(shí)，幾何法比代數(shù)法簡(jiǎn)單易求．三、圓與圓的公切線(xiàn)1．公切線(xiàn)的條數(shù)與兩個(gè)圓都相切的直線(xiàn)叫做兩圓的公切線(xiàn)，圓的公切線(xiàn)包括外公切線(xiàn)和內(nèi)公切線(xiàn)兩種．位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示公切線(xiàn)條數(shù)432102．公切線(xiàn)的方程核心技巧：利用圓心到切線(xiàn)的距離d=r求解.（一）圓與圓位置關(guān)系的判斷判斷兩圓的位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：將兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之差的絕對(duì)值，半徑之和進(jìn)行比較，進(jìn)而判斷出兩圓的位置關(guān)系，這是在解析幾何中主要使用的方法．(2)代數(shù)法：將兩圓的方程組成方程組，通過(guò)解方程組，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)進(jìn)而判斷兩圓位置關(guān)系．題型1：判斷兩圓的位置關(guān)系11．（2023秋·浙江嘉興·高二浙江省海鹽高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓：與圓：，則圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．外切 C．內(nèi)切 D．內(nèi)含12．（2023秋·江西九江·高二九江市同文中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓，圓，其中，那么這兩個(gè)圓的位罝關(guān)系不可能為（

）A．外離 B．外切 C．內(nèi)含 D．內(nèi)切13．【多選】（2023秋·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）下列圓中與圓：相切的是（

）A． B．C． D．14．（2023秋·陜西西安·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，圓和圓的圓心分別為，，半徑都為，寫(xiě)出一條與圓和圓都相切的直線(xiàn)的方程：.15．（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）已知圓O的直徑，動(dòng)點(diǎn)M與點(diǎn)A的距離是它與點(diǎn)B的距離的M的軌跡，并判斷該軌跡與圓O的位置關(guān)系.題型2：由圓的位置關(guān)系求參數(shù)21．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知圓，圓．試求為何值時(shí)，兩圓：(1)相切；(2)相交；(3)外離；(4)內(nèi)含．22．（2023秋·河北邢臺(tái)·高二河北南宮中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓與圓相交，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．23．（2023秋·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知圓與圓，則“”是“圓與圓外切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件24．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若圓上存在點(diǎn)P，且點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q在圓上，則r的取值范圍是.25．（2023秋·江西九江·高二九江市同文中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓與圓相交于，兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．0 C．1 D．226．（2023秋·天津武清·高二天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使得線(xiàn)段的中點(diǎn)也在圓上，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.27．（2023秋·江西上饒·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓：上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均為，則的取值范圍是.28．（2023秋·山東菏澤·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓，圓，如果這兩個(gè)圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則常數(shù).29．（2023秋·江西九江·高二九江市同文中學(xué)?？茧A段練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切于原點(diǎn)的圓的方程為.210．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知圓與圓外切，并且與直線(xiàn)相切于點(diǎn)，求圓的方程．（二）圓與圓相交有關(guān)的問(wèn)題1．圓系方程一般地過(guò)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他條件求出λ，即可得圓的方程．2．兩圓相交時(shí)，公共弦所在的直線(xiàn)方程若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在直線(xiàn)的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.3．公共弦長(zhǎng)的求法(1)代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng)．(2)幾何法：求出公共弦所在直線(xiàn)的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．4.求兩圓的相交弦的垂直平分線(xiàn)的方程：經(jīng)過(guò)兩圓的圓心的直線(xiàn)方程．題型3：求兩圓公共弦方程及公共弦長(zhǎng)31．（2023秋·四川雅安·高二校考階段練習(xí)）圓和圓的公共弦所在的直線(xiàn)方程為．32．（2023秋·山西運(yùn)城·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）圓與圓相交于兩點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．33．（2023秋·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓與圓(1)求經(jīng)過(guò)圓與圓交點(diǎn)的直線(xiàn)方程：(2)求圓與圓的公共弦長(zhǎng)．34．（2023秋·江蘇·高二鹽城市伍佑中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知四點(diǎn)，，，.(1)求過(guò)，，三點(diǎn)的圓方程，并判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；(2)求圓與圓的公共弦長(zhǎng).35．【多選】（2023秋·江蘇連云港·高二贛榆一中?？茧A段練習(xí)）若圓與圓的交點(diǎn)為，則（

）A．線(xiàn)段中垂線(xiàn)方程為B．公共弦所在直線(xiàn)方程為C．公共弦的長(zhǎng)為2D．在過(guò)A，B兩點(diǎn)的所有圓中，面積最小的圓是圓36．（2023秋·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)為直線(xiàn)上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，當(dāng)四邊形的面積取得最小值時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)的方程為.37．（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)分別為A，B，則的面積為（

）A． B． C． D．（三）圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用1．公切線(xiàn)的條數(shù)：由圓與圓的位置關(guān)系求解.2．公切線(xiàn)的方程：由圓心到切線(xiàn)的距離d=r求解.3.與圓有關(guān)的最值問(wèn)題：利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．題型4：兩圓的公切線(xiàn)的條數(shù)41．（2023秋·陜西西安·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）圓與圓的公切線(xiàn)有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條42．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若圓和有且僅有一條公切線(xiàn)，則；此公切線(xiàn)的方程為43．（2023秋·山西運(yùn)城·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓與圓只有一條公切線(xiàn)，則.44．（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知兩圓，，當(dāng)圓與圓有且僅有兩條公切線(xiàn)時(shí)，則的取值范圍.45．（2023秋·四川眉山·高三仁壽一中校考開(kāi)學(xué)考試）已知圓.若圓與圓有三條公切線(xiàn)，則的值為.題型5：兩圓的公切線(xiàn)方程51．（2023秋·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）寫(xiě)出圓：與圓：的公切線(xiàn)方程．52．（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）寫(xiě)出與圓和都相切的一條直線(xiàn)方程．53．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）證明圓與圓內(nèi)切，并求它們的公切線(xiàn)方程．54．（2023秋·上海普陀·高三曹楊二中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知圓和圓，則過(guò)點(diǎn)且與，都相切的直線(xiàn)方程為．55．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓，圓，則下列不是，兩圓公切線(xiàn)的直線(xiàn)方程為（）A． B．C． D．題型6：兩圓的公切線(xiàn)長(zhǎng)61．（2023秋·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若直線(xiàn)與圓，圓都相切，切點(diǎn)分別為、，則（

）A． B． C． D．62．【多選】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓，圓，則（

）A．圓與圓相切B．圓與圓公切線(xiàn)的長(zhǎng)度為C．圓與圓公共弦所在直線(xiàn)的方程為D．圓與圓公共部分的面積為63．【多選】（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓與圓相交于，兩點(diǎn)，則（

）A．的直線(xiàn)方程為 B．公共弦的長(zhǎng)為C．圓與圓的公切線(xiàn)長(zhǎng)為 D．線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程為64．【多選】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知與相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．直線(xiàn)AB的方程為B．過(guò)A，B兩點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程為C．與的公切線(xiàn)的長(zhǎng)度為D．以線(xiàn)段AB為直徑的圓的方程為65．（2023秋·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓A的方程為，圓的方程為.(1)判斷圓A與圓是否相交，若相交，求過(guò)兩交點(diǎn)的直線(xiàn)方程及兩交點(diǎn)間的距離；若不相交，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)求兩圓的公切線(xiàn)長(zhǎng).66．（2023秋·山東濰坊·高二統(tǒng)考期中）為測(cè)量一工件的內(nèi)圓弧對(duì)應(yīng)的半徑，工人用三個(gè)半徑均為的圓柱形量棒放在與工件圓弧相切的位置上，通過(guò)深度卡尺測(cè)出卡尺下沿水平面到中間量棒頂側(cè)面的垂直深度（如圖所示），則.題型7：與圓有關(guān)的最值問(wèn)題71．（2023秋·江蘇無(wú)錫·高二江陰市華士高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓與圓外切，點(diǎn)P是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離的最大值為72．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓C：，圓是以圓上任意一點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓．圓C與圓交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，則當(dāng)最大時(shí)，（

）A．1 B． C． D．273．【多選】（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）已知圓：與圓：相交于，兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線(xiàn)的一般式方程為B．公共弦長(zhǎng)C．過(guò)，，三點(diǎn)其中點(diǎn)為圓的圓心的圓的一般方程為D．同時(shí)與圓和圓相內(nèi)切的最大圓的方程為74．【多選】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)圓O，直線(xiàn)，P為l上的動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線(xiàn)PA，PB，切點(diǎn)為A，B，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．直線(xiàn)l與圓O相交B．直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)C．當(dāng)P的坐標(biāo)為時(shí)，最大D．當(dāng)最小時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為75．【多選】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓M的方程為：，（），點(diǎn)，給出以下結(jié)論，其中正確的有（

）A．過(guò)點(diǎn)P的任意直線(xiàn)與圓M都相交B．若圓M與直線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)，則C．圓M面積最小時(shí)的圓與圓Q：有三條公切線(xiàn)D．無(wú)論a為何值，圓M都有弦長(zhǎng)為的弦，且被點(diǎn)P平分76．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)位于軸上方，且兩圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)相互垂直.(1)求的值；(2)若直線(xiàn)與圓?圓分別切于兩點(diǎn)，求的最大值.一、單選題1．（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段是圓的一條動(dòng)弦，且，則的最大值是（）A． B． C． D．2．（2023秋·內(nèi)蒙古·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離3．（2023秋·陜西西安·高二?？茧A段練習(xí)）若圓與圓恰有3條公切線(xiàn)，則（

）A． B． C． D．4．（2023秋·江西宜春·高二江西省豐城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓與圓的公共弦所對(duì)的圓心角是（

）A． B． C． D．5．（2023秋·江西撫州·高二江西省撫州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓上有2個(gè)點(diǎn)到的距離為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（2023秋·江西上饒·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，若圓O：上存在點(diǎn)A，使得線(xiàn)段PA的中點(diǎn)也在圓O上，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2023秋·天津北辰·高二天津市第四十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓與圓的公共弦所在的直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為2，則的值為（

）A． B． C．3 D．3或8．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓C：，若點(diǎn)P在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線(xiàn)，，切點(diǎn)分別為A，B，則直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023秋·江西九江·高二九江市同文中學(xué)校考階段練習(xí)）已知兩圓，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若兩圓相切，則B．若兩圓有三條公切線(xiàn)，則C．若兩圓在交點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直，則D．若兩圓的公共弦所在直線(xiàn)方程為，則10．（2023秋·河北保定·高二定州市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓和圓相交于兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的為（

）A．兩圓有兩條公切線(xiàn) B．直線(xiàn)的方程為C．線(xiàn)段的長(zhǎng)為 D．圓上點(diǎn)，圓上點(diǎn)，的最大值為11．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓，圓，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，兩圓相交弦所在直線(xiàn)為B．兩圓圓心所在直線(xiàn)為C．過(guò)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，，則D．已知兩圓的位置關(guān)系是相切，則12．（2023秋·福建三明·高二永安市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓，圓，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則B．若，則圓的公共弦所在的直線(xiàn)方程是C．若圓外切，則D．過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，則的方程是或13．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知圓：，圓：，則（

）A．兩圓外切B．直線(xiàn)是兩圓的一條公切線(xiàn)C．直線(xiàn)被圓截得的最短弦長(zhǎng)為D．過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)僅有一條三、填空題14．（2023秋·湖南·高二湘潭縣一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知