人教高中物理同步講義練習(xí)必修二6.4 勻速圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問題 （解析版）

6.4勻速圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問題學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．會(huì)用線速度、角速度、周期描述勻速圓周運(yùn)動(dòng)。2．知道勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度的大小和方向。3．能用牛頓第二定律分析勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。1、進(jìn)一步熟悉勻速圓周運(yùn)動(dòng)的各種特點(diǎn)。2、會(huì)解決勻速圓周運(yùn)動(dòng)中的各種臨界問題。002預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)課前研讀課本，梳理基礎(chǔ)知識(shí)：物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，若物體的速度、角速度發(fā)生變化，會(huì)引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)發(fā)生變化，進(jìn)而出現(xiàn)某些物理量或運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的突變，即出現(xiàn)臨界狀態(tài)．一、常見的臨界情況(1)水平轉(zhuǎn)盤上的物體恰好不發(fā)生相對滑動(dòng)的臨界條件是物體與盤間恰好達(dá)到最大靜摩擦力．(2)物體間恰好分離的臨界條件是物體間的彈力恰好為零．(3)繩的拉力出現(xiàn)臨界條件的情形有：繩恰好拉直意味著繩上無彈力；繩上拉力恰好為最大承受力等．一、分析方法分析圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題的方法是讓角速度或線速度從小逐漸增大，分析各量的變化，找出臨界狀態(tài)．確定了物體運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)和臨界條件后，選擇研究對象進(jìn)行受力分析，利用牛頓第二定律列方程求解．（二）即時(shí)練習(xí)：【小試牛刀1】如圖所示，一質(zhì)量為2.0×103kg的汽車在水平公路上行駛，路面對輪胎的徑向最大靜摩擦力為1.4×104N，當(dāng)汽車經(jīng)過半徑為80m的彎道時(shí)，下列判斷正確的是()A．汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)所受的力有重力、彈力、摩擦力和向心力B．汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20m/s時(shí)所需的向心力為1.4×104NC．汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20m/s時(shí)汽車會(huì)發(fā)生側(cè)滑D．汽車能安全轉(zhuǎn)彎的向心加速度不超過7.0m/s2答案D解析汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)所受的力有重力、彈力、摩擦力，向心力是由摩擦力提供的，A錯(cuò)誤；汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20m/s時(shí)，根據(jù)Fn＝meq\f(v2,R)，得所需的向心力為1.0×104N，沒有超過最大靜摩擦力，所以汽車不會(huì)發(fā)生側(cè)滑，B、C錯(cuò)誤；汽車安全轉(zhuǎn)彎時(shí)的最大向心加速度為am＝eq\f(Ff,m)＝7.0m/s2，D正確．【小試牛刀2】雨天野外騎車時(shí)，在自行車的后輪輪胎上常會(huì)粘附一些泥巴，行駛時(shí)感覺很“沉重”．如果將自行車后輪撐起，使后輪離開地面而懸空，然后用手勻速搖腳踏板，使后輪飛速轉(zhuǎn)動(dòng)，泥巴就被甩下來．如圖所示，圖中a、b、c、d為后輪輪胎邊緣上的四個(gè)特殊位置，則()A．泥巴在圖中a、c位置的向心加速度大于b、d位置的向心加速度B．泥巴在圖中的b、d位置時(shí)最容易被甩下來C．泥巴在圖中的c位置時(shí)最容易被甩下來D．泥巴在圖中的a位置時(shí)最容易被甩下來答案C解析當(dāng)后輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由a＝Rω2知a、b、c、d四個(gè)位置的向心加速度大小相等，A錯(cuò)誤．在角速度ω相同的情況下，泥巴在a點(diǎn)有Fa＋mg＝mω2R，在b、d兩點(diǎn)有Fb＝Fd＝mω2R，在c點(diǎn)有Fc－mg＝mω2R.所以泥巴與輪胎在c位置的相互作用力最大，最容易被甩下來，故B、D錯(cuò)誤，C正確．【小試牛刀3】（多選）如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小木塊a和b(可視為質(zhì)點(diǎn))放在水平圓盤上，a與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為l，b與轉(zhuǎn)軸的距離為2l，木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g.若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，下列說法正確的是()A．b一定比a先開始滑動(dòng)B．a(chǎn)、b所受的摩擦力始終相等C．ω＝eq\r(\f(kg,2l))是b開始滑動(dòng)的臨界角速度D．當(dāng)ω＝eq\r(\f(2kg,3l))時(shí)，a所受摩擦力的大小為kmg答案AC解析小木塊a、b做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由靜摩擦力提供向心力，即f＝mω2R.當(dāng)角速度增加時(shí)，靜摩擦力增大，當(dāng)增大到最大靜摩擦力時(shí)，發(fā)生相對滑動(dòng)，對木塊a：fa＝mωeq\o\al(2,a)l，當(dāng)fa＝kmg時(shí)，kmg＝mωeq\o\al(2,a)l，ωa＝eq\r(\f(kg,l))；對木塊b：fb＝mωeq\o\al(2,b)·2l，當(dāng)fb＝kmg時(shí)，kmg＝mωeq\o\al(2,b)·2l，ωb＝eq\r(\f(kg,2l))，所以b先達(dá)到最大靜摩擦力，選項(xiàng)A正確；兩木塊滑動(dòng)前轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同，則fa＝mω2l，fb＝mω2·2l，fa<fb，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)ω＝eq\r(\f(kg,2l))時(shí)b剛開始滑動(dòng)，選項(xiàng)C正確；當(dāng)ω＝eq\r(\f(2kg,3l))時(shí)，a沒有滑動(dòng)，則fa＝mω2l＝eq\f(2,3)kmg，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．003題型精講【題型一】靜摩擦作用下的臨界問題【典型例題1】(多選)摩擦傳動(dòng)是傳動(dòng)裝置中的一個(gè)重要模型，如圖所示的兩個(gè)水平放置的輪盤靠摩擦力傳動(dòng)，其中O、O′分別為兩輪盤的軸心，已知兩個(gè)輪盤的半徑之比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作時(shí)兩輪盤不打滑。今在兩輪盤上分別放置兩個(gè)同種材料制成的完全相同的滑塊A、B，兩滑塊與輪盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，兩滑塊與軸心O、O′的間距RA＝2RB。若輪盤乙由靜止開始緩慢地轉(zhuǎn)動(dòng)起來；且轉(zhuǎn)速逐漸增加，則下列敘述正確的是()A．滑塊A和B均與輪盤相對靜止時(shí)，角速度之比為ωA∶ωB＝1∶3B．滑塊A和B均與輪盤相對靜止時(shí)，向心加速度之比為aA∶aB＝2∶9C．轉(zhuǎn)速增加后滑塊B先發(fā)生滑動(dòng)D．轉(zhuǎn)速增加后兩滑塊一起發(fā)生滑動(dòng)解析：選ABC由題意可知兩輪盤邊緣的線速度v大小相等，由v＝ωr可知，ω甲∶ω乙＝1∶3，所以兩滑塊均與輪盤相對靜止時(shí)，A、B的角速度之比為ωA∶ωB＝1∶3，故A正確；兩滑塊均與輪盤相對靜止時(shí)，根據(jù)a＝Rω2，得A、B的向心加速度之比為aA∶aB＝2∶9，故B正確；根據(jù)題意可得滑塊的最大靜摩擦力為f＝μmg，轉(zhuǎn)動(dòng)中所受的靜摩擦力之比為fA′∶fB′＝maA∶maB＝2∶9，可知滑塊B先達(dá)到最大靜摩擦力，先開始滑動(dòng)，故C正確，D錯(cuò)誤?！镜湫屠}2】如圖，有一傾斜的勻質(zhì)圓盤(半徑足夠大)，盤面與水平面的夾角為θ，繞過圓心并垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，有一物體(可視為質(zhì)點(diǎn))與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ(設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力)，重力加速度為g。要使物體能與圓盤始終保持相對靜止，則物體與轉(zhuǎn)軸間最大距離為()A.eq\f(μgcosθ,ω2) B.eq\f(gsinθ,ω2)C.eq\f(μcosθ－sinθ,ω2)g D.eq\f(μcosθ＋sinθ,ω2)g[解析]當(dāng)物體在圓盤上轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)，所受的靜摩擦力沿斜面向上達(dá)到最大時(shí)，角速度一定，由牛頓第二定律得：μmgcosθ－mgsinθ＝mω2r，解得：r＝eq\f(μcosθ－sinθ,ω2)g，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確。[答案]C【對點(diǎn)訓(xùn)練1】(多選)如圖所示，兩物塊A、B套在水平粗糙的CD桿上，并用不可伸長的輕繩連接，整個(gè)裝置能繞過CD中點(diǎn)的軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)，已知兩物塊質(zhì)量相等，桿CD對物塊A、B的最大靜摩擦力大小相等，開始時(shí)繩子處于自然長度(繩子恰好伸直但無彈力)，物塊A到OO′軸的距離為物塊B到OO′軸距離的兩倍，現(xiàn)讓該裝置從靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)，使轉(zhuǎn)速逐漸增大，從繩子處于自然長度到兩物塊A、B即將滑動(dòng)的過程中，下列說法正確的是()A.B受到的靜摩擦力一直增大B.B受到的靜摩擦力是先增大后減小再增大C.A受到的靜摩擦力是先增大后減小D.A受到的合力一直在增大答案BD解析開始角速度較小時(shí)，兩物體均靠靜摩擦力提供向心力，角速度增大，靜摩擦力增大，根據(jù)Ff＝mrω2，知ω＝eq\r(\f(Ff,mr))，隨著角速度的增大，A先達(dá)到最大靜摩擦力，A先使繩子產(chǎn)生拉力，所以當(dāng)繩子剛好產(chǎn)生拉力時(shí)，B受靜摩擦力作用且未到最大靜摩擦力，隨著角速度的增大，對B，拉力和靜摩擦力的合力提供向心力，角速度增大，則B的靜摩擦力會(huì)減小，然后反向增大。對A，拉力和最大靜摩擦共同提供向心力，角速度增大，靜摩擦力不變，可知A的靜摩擦力先增大達(dá)到最大靜摩擦力后不變，B的靜摩擦力先增大后減小，再增大，故A、C錯(cuò)誤，B正確；根據(jù)向心力公式F＝meq\f(v2,r)，在發(fā)生相對滑動(dòng)前物體的半徑是不變的，質(zhì)量也不變，隨著速度的增大，向心力增大，而向心力就是物體受到的合力，故D正確?！緦c(diǎn)訓(xùn)練2】如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離2.5m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止。物體與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為eq\f(\r(3),2)(設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力)，盤面與水平面的夾角為30°，g取10m/s2。則ω的最大值是()A.eq\r(5)rad/s B.eq\r(3)rad/sC．1.0rad/s D．0.5rad/s解析：選C物體隨圓盤做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)最容易滑動(dòng)，因此物體在最低點(diǎn)且剛好要滑動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為最大值，這時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有，μmgcos30°－mgsin30°＝mrω2，求得ω＝1.0rad/s，C項(xiàng)正確，A、B、D項(xiàng)錯(cuò)誤?！绢}型二】彈力中的臨界問題【典型例題3】一光滑圓錐固定在水平地面上，其圓錐角為74°，圓錐底面的圓心為O′。用一根長為0.5m的輕繩一端系一質(zhì)量為0.1kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，另一端固定在光滑圓錐頂上O點(diǎn)，O點(diǎn)距地面高度為0.75m，如圖所示，如果使小球在光滑圓錐表面上做圓周運(yùn)動(dòng)。(1)當(dāng)小球的角速度為4rad/s時(shí)，求輕繩中的拉力大小。(2)逐漸增加小球的角速度，若輕繩受力為eq\f(5,3)N時(shí)會(huì)被拉斷，求當(dāng)輕繩斷裂后小球落地點(diǎn)與O′點(diǎn)間的距離。(g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)解析：(1)當(dāng)小球在圓錐表面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，據(jù)牛頓第二定律可得：Tsin37°－FNcos37°＝mω2Lsin37° ①Tcos37°＋FNsin37°＝mg ②小球剛要離開圓錐表面時(shí)，支持力為零，求得：ω0＝5rad/sT0＝1.25N當(dāng)小球的角速度為4rad/s時(shí)，小球在圓錐表面上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)公式①②可求得：T1＝1.088N。(2)當(dāng)輕繩斷裂時(shí)，繩中的拉力大于T0＝1.25N，故小球已經(jīng)離開了圓錐表面，設(shè)繩子斷裂前與豎直方向的夾角為θ。根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律可得：T2sinθ＝meq\f(v2,Lsinθ)T2cosθ＝mg，求得：θ＝53°，v＝eq\f(4\r(3),3)m/s輕繩斷裂后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，此時(shí)距離地面的高度為：h＝H－Lcos53°＝0.45m，據(jù)h＝eq\f(1,2)gt2，求得：t＝0.3s如圖所示：水平位移為：x＝vt＝eq\f(2\r(3),5)m拋出點(diǎn)與OO′間的距離為：y＝Lsin53°＝0.4m，eq\r(x2＋y2)＝0.8m0．8m>0.75m×tan37°，即小球做平拋運(yùn)動(dòng)沒有落到圓錐表面上，所以落地點(diǎn)與O′點(diǎn)間的距離為0.8m。答案：(1)1.088N(2)0.8m【典型例題4】.(多選)質(zhì)量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質(zhì)細(xì)桿的A點(diǎn)和B點(diǎn)，如圖所示，繩a與水平方向成θ角，繩b在水平方向且長為l，當(dāng)輕桿繞軸AB以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g，則下列說法正確的是()A.a繩的張力不可能為零B.a繩的張力隨角速度的增大而增大C.當(dāng)角速度ω＞eq\r(\f(g,ltanθ))，b繩將出現(xiàn)彈力D.若b繩突然被剪斷，則a繩的彈力一定發(fā)生變化答案AC解析小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，所以a繩在豎直方向上的分力與重力相等，可知a繩的張力不可能為零，故選項(xiàng)A正確；根據(jù)豎直方向上平衡得，F(xiàn)asinθ＝mg，計(jì)算得出Fa＝eq\f(mg,sinθ)，可知a繩的拉力不變，故B錯(cuò)誤；當(dāng)b繩拉力為零時(shí)，有eq\f(mg,tanθ)＝mlω2，計(jì)算得出ω2＝eq\f(g,ltanθ)，當(dāng)角速度ω2＞eq\f(g,ltanθ)，b繩將出現(xiàn)彈力，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)閎繩可能沒有彈力，故b繩突然被剪斷，a繩的彈力可能不變，故D錯(cuò)誤?！緦c(diǎn)訓(xùn)練3】[多選]如圖所示，底角為θ＝eq\f(π,4)的圓錐體靜止不動(dòng)，頂端通過一根長為l＝1m的細(xì)線懸掛一個(gè)質(zhì)量為m＝1kg的小球，細(xì)線處于張緊狀態(tài)，若小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度ω的取值范圍介于3rad/s到4rad/s之間，不計(jì)一切阻力，則細(xì)線拉力F可能等于()A．(5eq\r(2)－5)N B．(5eq\r(2)＋5)NC．15N D．20N解析：選BC當(dāng)小球剛好沒有脫離圓錐時(shí)，小球受重力mg、細(xì)線拉力F的作用，它們的合力提供向心力，mgcotθ＝mω02lcosθ，代入數(shù)據(jù)解得ω0＝eq\r(10\r(2))rad/s，此時(shí)ω0的取值范圍介于3rad/s到4rad/s之間，當(dāng)ω較小時(shí)，小球沒有脫離圓錐，小球受到重力mg、細(xì)線拉力F和光滑圓錐的支持力N的作用，它們在水平方向的合力提供向心力，則Fsinθ＋Ncosθ＝mg，F(xiàn)cosθ－Nsinθ＝mω2lcosθ，可求得，F(xiàn)＝mgsinθ＋mω2lcos2θ，此時(shí)(5eq\r(2)＋4.5)N≤F≤10eq\r(2)N，當(dāng)ω較大時(shí)，小球脫離圓錐，小球的重力mg和細(xì)線拉力F的合力提供向心力，設(shè)細(xì)線和水平方向夾角為α，則Fcosα＝mω2lcosα，可求得F＝mω2l,10eq\r(2)N≤F≤16N，綜上分析，選項(xiàng)B、C正確。【對點(diǎn)訓(xùn)練4】如圖所示，AB為豎直轉(zhuǎn)軸，細(xì)繩AC和BC的結(jié)點(diǎn)C系一質(zhì)量為m的小球，兩繩能承受的最大拉力均為2mg。當(dāng)細(xì)繩AC和BC均拉直時(shí)∠ABC＝90°，∠ACB＝53°，BC＝1m。細(xì)繩AC和BC能繞豎直軸AB勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，因而小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)小球的線速度增大時(shí)，兩繩均會(huì)被拉斷，則最先被拉斷的那根繩及另一根繩被拉斷時(shí)的速度分別為(重力加速度g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)()A．AC5m/s B．BC5m/sC．AC5.24m/s D．BC5.24m/s解析：選B當(dāng)小球線速度增至BC被拉直后，由牛頓第二定律可得，豎直方向上：TAsin∠ACB＝mg①，水平方向上：TAcos∠ACB＋TB＝meq\f(v2,r)②，由①式可得：TA＝eq\f(5,4)mg，小球線速度增大時(shí)，TA不變，TB增大，當(dāng)BC繩剛要被拉斷時(shí)，TB＝2mg，由②可解得此時(shí)，v≈5.24m/s；BC繩斷后，隨小球線速度增大，AC線與豎直方向間夾角增大，設(shè)AC線被拉斷時(shí)與豎直方向的夾角為α，由TAC·cosα＝mg，TACsinα＝meq\f(v′2,r′)，r′＝LAC·sinα，可解得，α＝60°，LAC＝eq\f(5,3)m，v′＝5m/s，故B正確?！绢}型三】聯(lián)系實(shí)際【典型例題5】某高速公路的一個(gè)出口路段如圖所示，情景簡化：轎車從出口A進(jìn)入匝道，先勻減速直線通過下坡路段至B點(diǎn)(通過B點(diǎn)前后速率不變)，再勻速率通過水平圓弧路段至C點(diǎn)，最后從C點(diǎn)沿平直路段勻減速到D點(diǎn)停下。已知轎車在A點(diǎn)的速度v0＝72km/h，AB長L1＝150m；BC為四分之一水平圓弧段，限速(允許通過的最大速度)v＝36km/h，輪胎與BC段路面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5，最大靜摩擦力可認(rèn)為等于滑動(dòng)摩擦力，CD段為平直路段長L2＝50m，重力加速度g取10m/s2。(1)若轎車到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度剛好為v＝36km/h，求轎車在AB下坡段加速度的大?。?2)為保證行車安全，車輪不打滑，求水平圓弧段BC半徑R的最小值；(3)求轎車從A點(diǎn)到D點(diǎn)全程的最短時(shí)間。解析：(1)v0＝72km/h＝20m/s，AB長L1＝150m，v＝36km/h＝10m/s，對AB段勻減速直線運(yùn)動(dòng)有v2－v02＝－2aL1代入數(shù)據(jù)解得a＝1m/s2。(2)汽車在BC段做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，靜摩擦力提供向心力，F(xiàn)f＝meq\f(v2,R)為了確保安全，則須滿足Ff≤μmg聯(lián)立解得：R≥20m，即：Rmin＝20m。(3)設(shè)AB段時(shí)間為t1，BC段時(shí)間為t2，CD段時(shí)間為t3，全程所用最短時(shí)間為t。由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律得L1＝eq\f(v0＋v,2)t1eq\f(1,2)πRmin＝vt2L2＝eq\f(v,2)t3t＝t1＋t2＋t3聯(lián)立以上各式，代入數(shù)據(jù)解得：t＝23.14s。答案：(1)1m/s2(2)20m(3)23.14s【典型例題6】如圖所示是小型電動(dòng)打夯機(jī)的結(jié)構(gòu)示意圖,電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)質(zhì)量為的重錘(重錘可視為質(zhì)點(diǎn))繞轉(zhuǎn)軸O勻速圓周運(yùn)動(dòng),重錘轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑為.電動(dòng)機(jī)連同打夯機(jī)底座的質(zhì)量為,重錘和轉(zhuǎn)軸O之間連接桿的質(zhì)量可以忽略不計(jì),重力加速度g取.求:(1)重錘轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為多大時(shí),才能使打夯機(jī)底座剛好離開地面?(2)若重錘以上述的角速度轉(zhuǎn)動(dòng),當(dāng)打夯機(jī)的重錘通過最低位置時(shí),打夯機(jī)對地面的壓力大小.答案：(1)(2)1500N解析：(1)當(dāng)連接桿對重錘的拉力大小等于電動(dòng)機(jī)連同打夯機(jī)底座的重力時(shí),才能使打夯機(jī)底座剛好離開地面,即,對重錘根據(jù)牛頓第二定律有,代入數(shù)據(jù)解得.(2)重錘運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí),對重錘根據(jù)牛頓第二定律有,解得,對打夯機(jī)有.根據(jù)牛頓第三定律可知,打夯機(jī)對地面的壓力.【對點(diǎn)訓(xùn)練5】[多選](2016·浙江高考)如圖所示為賽車場的一個(gè)水平“梨形”賽道，兩個(gè)彎道分別為半徑R＝90m的大圓弧和r＝40m的小圓弧，直道與彎道相切。大、小圓弧圓心O、O′距離L＝100m。賽車沿彎道路線行駛時(shí)，路面對輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的2.25倍。假設(shè)賽車在直道上做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，在彎道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。要使賽車不打滑，繞賽道一圈時(shí)間最短(發(fā)動(dòng)機(jī)功率足夠大，重力加速度g＝10m/s2，π＝3.14)，則賽車()A．在繞過小圓弧彎道后加速B．在大圓弧彎道上的速率為45m/sC．在直道上的加速度大小為5.63m/s2D．通過小圓弧彎道的時(shí)間為5.58s[審題指導(dǎo)](1)要使賽車?yán)@賽道一圈所用時(shí)間最短，賽車在彎道上運(yùn)動(dòng)的速度應(yīng)最大，此時(shí)恰好由最大靜摩擦力提供向心力。(2)賽車在彎道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度對應(yīng)賽車在直道上的初速度和末速度。(3)借助三角函數(shù)知識(shí)確定直道長度和彎道對應(yīng)的圓心角。[解析]賽車做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由F＝eq\f(mv2,R)知，在小圓弧上的速度小，故賽車?yán)@過小圓弧后加速，選項(xiàng)A正確；在大圓弧彎道上時(shí)，根據(jù)F＝meq\f(v2,R)知，其速率v＝eq\r(\f(FR,m))＝eq\r(\f(2.25mgR,m))＝45m/s，選項(xiàng)B正確；同理可得在小圓弧彎道上的速率v′＝30m/s。如圖所示，由邊角關(guān)系可得α＝60°，直道的長度x＝Lsin60°＝50eq\r(3)m，據(jù)v2－v′2＝2ax知在直道上的加速度a≈6.50m/s2，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；小彎道對應(yīng)的圓心角為120°，弧長為s＝eq\f(2πr,3)，對應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝eq\f(s,v′)≈2.79s，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。[答案]AB【對點(diǎn)訓(xùn)練6】如圖所示為某電視臺(tái)正在策劃的某節(jié)目的場地設(shè)施,為水平直軌道,上面安裝有電動(dòng)懸掛器,可以載人(人可看成質(zhì)點(diǎn))運(yùn)動(dòng),下方水面上漂浮著一個(gè)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑為且鋪有海綿墊的轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)盤軸心離平臺(tái)的水平距離為L,平臺(tái)邊緣與轉(zhuǎn)盤平面的高度差.選手抓住懸掛器后,按動(dòng)開關(guān),在電動(dòng)機(jī)的帶動(dòng)下從A點(diǎn)(平臺(tái)邊緣)沿軌道做初速度為零且加速度為的勻加速直線運(yùn)動(dòng),2s后選手松開懸掛器.已知選手與轉(zhuǎn)盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)為,設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,重力加速度為.(1)求選手隨懸掛器水平運(yùn)動(dòng)的位移大小和松開懸掛器時(shí)選手的速率;(2)若選手恰好落到轉(zhuǎn)盤的軸心上,求L的大??；(3)假設(shè)選手落到轉(zhuǎn)盤上瞬間相對轉(zhuǎn)盤的速度立即變?yōu)榱?為保證選手落在任何位置都不會(huì)被甩下轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)盤的角速度ω應(yīng)限制在什么范圍?答案：(1)4m；4m/s(2)7.2m(3)解析：(1)選手做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的位移,解得.松開懸掛器時(shí)選手的速率,解得.(2)松開懸掛器后選手做平拋運(yùn)動(dòng),豎直方向有,水平方向有,解得,故轉(zhuǎn)盤軸心離平臺(tái)的水平距離.(3)臨界情況下,選手落到轉(zhuǎn)盤邊緣處不會(huì)被甩下轉(zhuǎn)盤,則最大靜摩擦力提供向心力,有,解得,所以轉(zhuǎn)盤的角速度必須滿足.004體系構(gòu)建圓周運(yùn)動(dòng)與離心運(yùn)動(dòng)的判定(1)當(dāng)物體沿半徑方向指向圓心的合力恰好等于向心力時(shí)，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(2)當(dāng)物體沿半徑方向指向圓心的合力不足以提供向心力時(shí)，物體將做離心運(yùn)動(dòng)，只有提供向心力的合外力突然消失時(shí)，物體才沿切線方向飛出。(3)靠靜摩擦力提供向心力時(shí)，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)，物體將開始做離心運(yùn)動(dòng)。005記憶清單1.與摩擦力有關(guān)的臨界極值問題物體間恰好不發(fā)生相對滑動(dòng)的臨界條件是物體間恰好達(dá)到最大靜摩擦力。(1)如果只是摩擦力提供向心力，則最大靜摩擦力Fm＝eq\f(mv2,r)，靜摩擦力的方向一定指向圓心。(2)如果除摩擦力以外還有其他力，如繩兩端連接物體隨水平面轉(zhuǎn)動(dòng)，其中一個(gè)物體存在一個(gè)恰不向內(nèi)滑動(dòng)的臨界條件和一個(gè)恰不向外滑動(dòng)的臨界條件，分別為靜摩擦力達(dá)到最大且靜摩擦力的方向沿半徑背離圓心和沿半徑指向圓心。2.與彈力有關(guān)的臨界極值問題(1)壓力、支持力的臨界條件是物體間的彈力恰好為零。(2)繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且其上無彈力或繩上拉力恰好為最大承受力。00601強(qiáng)化訓(xùn)練1．用一根細(xì)線一端系一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，另一端固定在一光滑圓錐頂上，如圖所示，設(shè)小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω，細(xì)線的張力為FT，則FT隨ω2變化的圖象是選項(xiàng)中的()答案C解析當(dāng)角速度較小時(shí)，小球始終在圓錐面上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)圓半徑不變．角速度增大，細(xì)線拉力增大，當(dāng)角速度增大到某一值時(shí)，小球會(huì)離開圓錐面，繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)拉力仍隨角速度的增大而增大，但變化率較先前大，所以只有C符合題意．2.如圖所示，細(xì)繩一端系著質(zhì)量M＝8kg的物體，靜止在水平桌面上，另一端通過光滑小孔吊著質(zhì)量m＝2kg的物體，M與圓孔的距離r＝0.5m，已知M與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2(設(shè)物體受到的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力)，現(xiàn)使物體M隨轉(zhuǎn)臺(tái)繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，問轉(zhuǎn)臺(tái)角速度ω在什么范圍時(shí)m會(huì)處于靜止?fàn)顟B(tài)．(g＝10m/s2)答案1rad/s≤ω≤3rad/s解析設(shè)角速度的最小值為ω1，此時(shí)M有向著圓心運(yùn)動(dòng)的趨勢，其受到的最大靜摩擦力沿半徑向外，由牛頓第二定律得：FT－μMg＝Mωeq\o\al(2,1)r，設(shè)角速度的最大值為ω2，此時(shí)M有背離圓心運(yùn)動(dòng)的趨勢，其受到的最大靜摩擦力沿半徑指向圓心，由牛頓第二定律得：FT＋μMg＝Mωeq\o\al(2,2)r，要使m靜止，應(yīng)有FT＝mg，聯(lián)立得ω1＝1rad/s，ω2＝3rad/s則1rad/s≤ω≤3rad/s3.細(xì)繩一端系住一個(gè)質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，另一端固定在光滑水平桌面上方h高度處，繩長l大于h，使小球在桌面上做如圖所示的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g.若要小球不離開桌面，其轉(zhuǎn)速不得超過()A.eq\f(1,2π)eq\r(\f(g,l)) B．2πeq\r(gh)C.eq\f(1,2π)eq\r(\f(h,g)) D.eq\f(1,2π)eq\r(\f(g,h))答案D解析對小球受力分析，小球受三個(gè)力的作用，重力mg、水平桌面支持力FN、繩子拉力F.小球所受合力提供向心力，設(shè)繩子與豎直方向夾角為θ，由幾何關(guān)系可知R＝htanθ，受力分析可知Fcosθ＋FN＝mg，F(xiàn)sinθ＝meq\f(v2,R)＝mω2R＝4mπ2n2R＝4mπ2n2htanθ；當(dāng)球即將離開水平桌面時(shí)，F(xiàn)N＝0，轉(zhuǎn)速n有最大值，此時(shí)nm＝eq\f(1,2π)eq\r(\f(g,h))，故選D.4.[多選]如圖所示，水平轉(zhuǎn)臺(tái)上的小物體A、B通過輕彈簧連接，并隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，A、B的質(zhì)量分別為m、2m，離轉(zhuǎn)臺(tái)中心的距離分別為1.5r、r，已知彈簧的原長為1.5r，勁度系數(shù)為k，A、B與轉(zhuǎn)臺(tái)的動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，且有kr＝2μmg。則以下說法中正確的是()A．當(dāng)B受到的摩擦力為0時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為eq\r(\f(k,m))B．當(dāng)A受到的摩擦力為0時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為eq\r(\f(2k,3m))C．當(dāng)B剛好要滑動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為eq\r(\f(k,2m)＋\f(μg,2r))D．當(dāng)A剛好要滑動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為eq\r(\f(2k,3m)＋\f(2μg,3r))解析：選BD當(dāng)B受到的摩擦力為0時(shí)，由彈簧彈力提供向心力，則有k(1.5r＋r－1.5r)＝2mω2r解得：ω＝eq\r(\f(k,2m))，故A錯(cuò)誤；當(dāng)A受到的摩擦力為0時(shí)，由彈簧彈力提供向心力，則有k(1.5r＋r－1.5r)＝mω2·1.5r解得：ω＝eq\r(\f(2k,3m))，故B正確；假設(shè)B先滑動(dòng)，則當(dāng)B剛好要滑動(dòng)時(shí)，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力，彈簧彈力與靜摩擦力的合力提供向心力，則有：k(1.5r＋r－1.5r)＋μ·2mg＝2mω2r解得：ω＝eq\r(\f(k,2m)＋\f(μg,r))，故C錯(cuò)誤；假設(shè)A先滑動(dòng)，則當(dāng)A剛好要滑動(dòng)時(shí)，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力，彈簧彈力與靜摩擦力的合力提供向心力，則有k(1.5r＋r－1.5r)＋μmg＝mω2·1.5r，解得：ω＝eq\r(\f(2k,3m)＋\f(2μg,3r))＝eq\r(\f(k,2m)＋\f(μg,r))，即A、B同時(shí)開始滑動(dòng)，故D正確。5.（多選）如圖所示，物體P用兩根長度相等、不可伸長的細(xì)線系于豎直桿上，它隨桿轉(zhuǎn)動(dòng)，若轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ω，則()A．ω只有超過某一值時(shí)，繩子AP才有拉力B．繩子BP的拉力隨ω的增大而不變C．繩子BP的張力一定大于繩子AP的張力D．當(dāng)ω增大到一定程度時(shí)，繩子AP的張力大于繩子BP的張力答案AC解析ω較小時(shí)，AP松弛，繩子BP的拉力隨ω的增大而增大，故A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤．當(dāng)ω達(dá)到某一值ω0時(shí)，AP剛好繃緊．物體P受力分析如圖所示，其合力提供向心力，豎直方向合力為零．故FBP>FAP，C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．6.（多選）質(zhì)量為m的小球由輕繩a、b分別系于一輕質(zhì)木架上的A和C點(diǎn)，繩長分別為la、lb，如圖所示，當(dāng)輕桿繞軸BC以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，繩a在豎直方向，繩b在水平方向，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到圖示位置時(shí)，繩b被燒斷的同時(shí)輕桿停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則()A．小球仍在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)B．在繩b被燒斷瞬間，繩a中張力突然增大C．若角速度ω較小，小球在垂直于平面ABC的豎直平面內(nèi)擺動(dòng)D．繩b未被燒斷時(shí)，繩a的拉力大于mg，繩b的拉力為mω2lb答案BC解析根據(jù)題意，在繩b被燒斷之前，小球繞BC軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，豎直方向上受力平衡，繩a的拉力等于mg，D錯(cuò)誤；繩b被燒斷的同時(shí)輕桿停止轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)小球具有垂直平面ABC向外的速度，小球?qū)⒃诖怪庇谄矫鍭BC的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若ω較大，則在該平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，若ω較小，則在該平面內(nèi)來回?cái)[動(dòng)，C正確，A錯(cuò)誤；繩b被燒斷瞬間，繩a的拉力與重力的合力提供向心力，所以拉力大于小球的重力，繩a中的張力突然變大了，B正確．7．如圖所示，O為半球形容器的球心，半球形容器繞通過O的豎直軸以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，放在容器內(nèi)的兩個(gè)質(zhì)量相等的小物塊a和b相對容器靜止，b與容器壁間恰好沒有摩擦力的作用．已知a和O、b和O的連線與豎直方向的夾角分別為60°和30°，則下列說法正確的是()A．小物塊a和b做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力大小之比為eq\r(3)∶1B．小物塊a和b對容器壁的壓力大小之比為eq\r(3)∶1C．小物塊a與容器壁之間無摩擦力D．容器壁對小物塊a的摩擦力方向沿器壁切線向下答案A解析a、b角速度相等，向心力大小可表示為F＝mω2Rsinα，所以a、b所需向心力大小之比為sin60°∶sin30°＝eq\r(3)∶1，A正確；對b分析可得mgtan30°＝mω2Rsin30°，結(jié)合對b分析結(jié)果，對a分析有mω2Rsin60°<mgtan60°，即支持力在指向轉(zhuǎn)軸方向的分力大于所需要的向心力，因此摩擦力有背離轉(zhuǎn)軸方向的分力，即容器壁對a的摩擦力沿切線方向向上，C、D錯(cuò)誤；對b有FNbcos30°＝mg，對a有FNacos60°＋Ffsin60°＝mg，所以eq\f(FNa,FNb)≠eq\f(cos30°,cos60°)＝eq\f(\r(3),1)，B錯(cuò)誤．8.如圖所示，疊放在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上的物體A、B及